空间几何问题（共5篇）

第一篇：空间几何问题

用空间直角坐标系求解空间几何问题：

求解（4种）

①两直线的夹角：求他们的向量，用夹角公式（会吧）求余弦。

②线面角：求线与平面的法向量的向量，用夹角公式求余弦，即线面角的正弦。

③二面角：即两平面的法向量的夹角，用两向量的夹角公式求法向量夹角的余弦

④点到面的距离h：任找一过点的平面的斜线，你可以求平面的法向量，然后就可以求出 他们的夹角的余弦，设为cosα而h=斜线的长*cosα（自己画图看看）

证明：（有6种）

①线线平行：（一般不用向量证）建立空间直角坐标系，求线段的向量，由两直线平行的判定定理证明是否平行。②线面平行：（一般也不用向量证）建立空间直角坐标系，求线段的向量，你证此向量和平面的法向量垂直了，同时线不在平面上，就证明线面平行了。

③面面平行：证法向量平行。

④线线垂直：更简单了，建立空间直角坐标系，求线段的向量，由两直线垂直的判定定理证明是否垂直。（类似线线平行的证明）

⑤线面垂直：线段的向量和平面的法向量平行或重合。

⑥面面垂直：两法向量垂直，或证两平面的二面角为90°

第二篇：空间几何证明

立体几何中平行、垂直关系证明的思路

平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：

线∥线线∥面面∥面性质

判定线⊥线线⊥面面⊥面

线∥线线⊥面面∥面

线面平行的判定：

a∥b，b面，aa∥面

a b 

线面平行的性质：

∥面，面，ba∥b

三垂线定理（及逆定理）：

PA⊥面，AO为PO在内射影，a面，则

a⊥OAa⊥PO；a⊥POa⊥AO

P O a

线面垂直：

a⊥b，a⊥c，b，c，bcOa⊥

a O α b c

面面垂直：

a⊥面，a面⊥

面⊥面，l，a，a⊥la⊥

α a l β

a⊥面，b⊥面a∥b

面⊥a，面⊥a∥

a b 

定理：

1.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。作用：判断直线是否在平面内；证明点在平面内；检验平面。2.过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

作用：确定平面；判断两个平面是否重合；证明点线共面。推论：a.经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；

b.经过两相交直线，有且只有一个平面；

c.经过两条平行直线，有且只有一个平面。

3.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

作用：a.判定两个不重合平面是否相交；

b.判断点在直线上。

4.平行于同一条直线的两条直线互相平行。（平行线的传递性）。5.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。6.（直线与平面平行的判定定理）

平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与该平面平行。条件：a.一条直线在平面外；

b.一条直线在平面内；

c..这两条直线互相平行。7.（平面与平面平行的判定定理）

一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。条件：a.两条相交直线；

b.相交直线在一个平面内；

c.对应平行。

8.（直线与平面平行的性质定理）

一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

条件：a.一条直线与一个平面平行；

b.过这条直线的任一个平面与此平面相交；

c.交线与直线平行。9.（平面与平面平行的性质定理）

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。条件：a.两个平行平面：平面1和平面2和第三个平面：平面3

b.平面1与3相交，平面2与3相交

c.交线平行

点、线、面的相关证明

一.多点共线和多线共点问题证明

方法：公理3的熟练应用；两个相交平面有且只有一条公共直线。

1.如下图，在四边形ABCD中，已知AB//CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，F，G，H。求证：E，F，G，H四点必定共线。

2.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于Q.求证：B，Q，D1三点共线。

3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AB 的中点，F为AA1的中点，求证：

a.E，C，D1，F四点共面；

b.CE，D1F，DA三线共点。

二．计算异面直线所成角度

方法：平移法和辅助线（中位线）构造角度

1.直三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角度为______________.2.如图所示，正四棱锥P-ABCD的底面面积为3，体积为√2/2，E为侧棱PC的中点，则PA与BE 所成的角为____________.3.如图所示，正三棱锥S-ABC（侧面为全等的等腰三角形，底面为正三角形）的侧棱长与底面边长相等，E、F分别是SC、AB的中点，异面直线EF与SA所成的角为____________.4.如下图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，已知AB=2，AD=2√2，PA=2.求：（1）三角形PCD的面积；

（2）异面直线BC与AE所成的角的大小.5.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P、Q分别是棱AB、BC、CD、CC1的中点，直线MN与PQ所成的度数_______________.

第三篇：小学生如何学好空间几何（本站推荐）

新课程改革以来，小学空间几何教学知识在原来的基础增加了不少的新内容，其地位在小学数学课程资源中越来越重要。关于如何搞好这一部分知识的教学，成为了小学数学教师面临的一个新的挑战。在小学数学课程标准中，关于空间观念教学目标确立为：能由实物的形状想像出几何图形，由几何图形想像出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化。能根据条件做出立体模型或画出图形；能从较复杂的图形中分解出基本的图形，并能分析其中的基本元素及其关系。能描述实物或几何图形的运动和变化；能采用适当的方式描述物体间的位置关系；能运用图形形象地描述问题，利用直观来进行思考。

由于小学生的年龄小，知识基础比较薄弱、空间观念还为完全建立等条件的限制，学习这部分知识成为让学生头疼的事情，如何激发学生的学习兴趣，提高学生对几何知识的学习效率，笔者从自身的实践中发现，在课堂教学中加强实践操作应该是最有效的一种方法。一．操作实践在教学中的作用

1、操作实践可以让抽象的几何知识直观地呈现在学生面前。

在资源平台提供的案例中有关于《圆的面积》的教学片段，在课堂中，学生通过对圆形进行折、剪、拼等方法，把圆形转化成已经熟悉的长方形、平行四边形、等腰梯形等图形，然后再通过比较新得到的图形和圆形各部分的对应关系，从而归纳出圆形面积的计算公式。虽然三位教师的侧重点有所不同，但如果不是通过操作，哪怕是再聪明的学生恐怕也很难想象出怎样来计算圆形的面积。

2、操作实践有利于学生多元化思维的发展

在原来教学长方形的认识一课时，我设计了一个小游戏，让学生利用四个相同的长方形任意摆出自己喜欢的图形，（设计的意图只是为了激发学生学习数学课程的兴趣），但在摆图形之前，我向学生提出一个要求，就是在摆之前，自己要先估计自己所能摆出的图形的个数，学生们不假思索的就写下了自己的答案：4种、5种……，但学生估计的个数都不是很多。不一会，学生就摆出了许多的形状，已经远远超过了自己估计的数据。通过这一简单的游戏，学生的思维不再局限于规范的排列，对顶排列、随机移动等方法渗透到学生的思维中。虽然这只是一个小小的游戏，但对于容易受惯性思维的小学生来说，影响却十分深刻。为以后思维的多元化发展奠定了基础。

3、操作实践让学生感受到数学学习的乐趣

数学知识来源于生活，又高于生活，它是对生活中问题的抽象概括。对于小学生来说，学习几何知识是非常抽象的，学生普遍不容易接受，学习兴趣自然就不高。但有经验的教师往往会利用直观的材料，让学生进行实践活动，在活动中认识几何图形的特征，掌握各种几何图形之间的内在联系，学生学习不仅不会感到枯燥，而且觉得这样的学习非常“好玩”。起到了事半功倍之效。二．进行几何知识操作实践应注意的问题

任何事物多是两方面的，操作实践对学习几何知识的帮助也是如此，如平台资源中关于“两条边之和等于第三条边也能拼成三角形”就是一个很好的例子。如何避免操作误导学生，我觉得进行操作教学应该注意以下几个方面。

1、操作过程要注意其严密性

数学是一门逻辑关系非常严密的学科，在操作过程中也许稍有疏忽大意，就会出现和与学科知识截然不同的结论，给学生造成错误的认识，失去了操作的实际价值。因此教师在学生的操作过程中一定要加强引导，减少甚至避免学生出现错误。

2、精心选择学生操作所需材料。曾记得原来有一位教师在教学《圆锥的体积》一课时，教师就让学生通过用圆锥向圆柱内倒水的方法，来验证圆柱和圆锥体积之间的关系，结果有两个小组就是得不出正确的结论，于是教师又让得出正确结论的小组来帮助这两个小组，可他们也同样失败了。这时教室里顿时乱了起来，觉得刚才得出的结论只不过是一种巧合，老师一下子也急出了汗，只好请其他老师去帮忙，结果仔细一看，原来教师提供给这两个小组的操作材料不是一套，虽然它们外观和大小（等底等高）相同，可其中一套材质厚，导致了操作验证不成功。

3、实践操作要与系统的整理总结相结合。

实践操作的目的就是通过动手来得出数学结论，以帮助学生认识知识的来龙去脉，因此教师要积极引导学生对操作过程进行思考回忆，并整理出自己或小组的结论，这样操作实践才不会成为只是形式上的热闹，才能让实践操作真正起到为教学服务的目的。

第四篇：2014年国家公务员考试行测空间几何问题

2014年国家公务员考试行测：空间还原问题

图形推理中的空间还原问题是很多考生的薄弱项。图形的空间还原规律主要是考查考生的空间想象能力，常见题型是平面与立体的转化和立体图形与三视图的对应两类。在这两类中，以平面与立体的转化难度最高，也是最令考生头疼的。《2014年国家公务员考试备考教材》针对这类问题，总结了解题技巧，供大家参考。

空间还原类题目主要使用拆（折）纸盒的方法进行解答。折纸盒主要是针对平面图形变为立体图形的题目，而拆纸盒则是针对立体图形转化为平面图形的题目。对于这类题目，简单直观的方法就是快速地找到特殊面或者特殊边，然后根据这个面或者边的位置进行折叠，从而分析得出试题的答案。

例1：（2013·国考）

【答案】C 【解析】本题考查空间图形。A项斜线与空白两个面应为对立面，不能同时出现。B项斜线、交叉两个面也是对立面，可以排除，D项三个面排列顺序有误用，排除。答案选C。

例2：（2012·国考）左边给定的是纸盒的外表面，下面哪一项能由它折叠而成？

【答案】A 【解析】由平面上相对的面在立体图形中不可能相邻可知，有一个点的面和有四个点的面不可能相邻，排除B项;C项正面应为四个点;D项顶面的两个点不应横向排列，而应为纵向排列，右侧面三个点应为从右上到左下。故选A。

以上是解决此类问题的常规分析方法，如果有部分考生实在不擅长分析，可以考虑在考场演示的方式，这样更为直观。只要是能够真正解决问题的方法，都是可行的方法。

第五篇：线性代数与空间几何,教学大纲

《线性代数与空间解析几何》A教学大纲

Linear Algebra and Analytic Geometry A

课程编码：09A00110

学分：3.课程类别：专业基础课（必修课）计划学时：56

其中讲课：56

实验或实践：0

上机：0 适用专业：信息科学与工程、机械工程、自动化与电气控制、土木建筑、资源与环境、物理科学与技术等学院理工类各专业

推荐教材：于朝霞 张苏梅 苗丽安主编.线性代数与空间解析几何(第二版).北京：高等教育出版社，2016.参考书目：

1、郑宝东主编.线性代数与空间解析几何(第三版).北京：高等教育出版社，2015.2、马柏林等主编.线性代数与解析几何.北京：科学出版社，2001.3、黄廷祝，成孝予主编.线性代数与空间解析几何(第三版).北京：高等教育出版社，2014.4、冯良贵等编著.线性代数与解析几何.北京：科学出版社，2013.5、龚冬保等主编.线性代数与空间解析几何要点与解题.西安：西安交通大学出版社，2006.6、黄廷祝，余时伟主编.线性代数与空间解析几何学习指导教程.北京：高等教育出版社，2005.课程的教学目的与任务

线性代数与空间解析几何具有较强的抽象性与逻辑性，所介绍的方法广泛地应用于各个学科，是高等学校本科各专业的一门重要的基础理论课。

通过本课程的教学，使得学生系统地获取线性代数与空间解析几何的基本知识、基本理论与基本方法，了解代数与几何的相互渗透关系，会用代数理论去解决几何方面的问题，具有较熟练的运算能力。通过本课程的学习使学生初步熟悉和了解抽象的、严格的代数证明方法，理解具体与抽象、特殊与一般的辩证关系，提高空间想象、抽象思维、逻辑推理的能力。学会理性的数学思维技术和模式，培养学生的创新意识和能力，能运用所获取的知识去分析和解决问题，并为后继课程的学习和进一步深造打下良好的基础。

课程的基本要求

通过本课程的学习，要求学生达到以下要求：

1.了解行列式的概念，熟记行列式的性质，掌握行列式的基本计算方法。2.掌握矩阵的基本运算，理解矩阵秩的概念及初等矩阵与初等变换的关系性质。

3.理解线性相关性、向量组的秩的概念，掌握线性相关性的性质及判定定理、三秩相等定理。4.掌握平面、直线、二次曲面的方程及方程所表示的曲面形状。

5.理解线性方程组解的存在定理、解的结构定理，掌握其在讨论空间平面位置关系中的应用。6.理解特征值、特征向量的概念。掌握方阵可相似对角化的条件及方法，正交变换化二次型为标准形的方法。掌握二次型理论在判别三元二次方程所表示的几何形状的应用。7.借助矩阵的初等行变换熟练掌握各类线性问题解的刻画及求解方法步骤。8.掌握线性方程组理论及二次型理论在几何上的应用。

各章节授课内容、教学方法及学时分配建议

本课程的内容按教学要求的不同，分为两个层次.其中，概念、理论用“理解”一词表述的，方法、运算用“掌握”一词表述的，属较高要求，必须使学生深入理解，牢固掌握，熟练应用；概念、理论用“了解”一 词表述的，方法、运算用“会”或“了解”表述的，也是教学中必不可少的，只是在要求上低于前者。第一章： 行列式

建议学时：8 [教学目的与要求]

1．理解n阶行列式的定义。

2．理解行列式的性质，掌握行列式的计算。3.了解克拉默(Cramer)法则。

[教学重点与难点] 行列式的性质，行列式的计算。

[授

课

方

法] 以课堂多媒体讲授为主，课堂讨论和课堂练习为辅。[授

课

内

容] 1.1 二阶与三阶行列式 1.1.1 二阶行列式 1.1.2 三阶行列式

1.2 n阶行列式的定义 1.2.1 排列与逆序数 1.2.2 n阶行列式的定义 1.3 行列式的性质与计算

1.3.1 行列式的性质 1.3.2 行列式的计算 1.4 克拉默法则习题课

第二章：矩阵及其运算

建议学时：10 [教学目的与要求]

1．理解矩阵的概念，知道某些特殊矩阵的定义及性质。2．熟练掌握矩阵的线性运算，乘法运算，转置及相关运算性质。

3．理解伴随阵概念及性质，理解逆矩阵的概念和性质、矩阵可逆充要条件。4．理解矩阵秩的概念，知道满秩矩阵及其性质。

5．理解矩阵的初等变换，熟练地用初等行变换求逆矩阵、求矩阵的秩、解矩阵方程。6．了解分块矩阵的运算，掌握准对角矩阵的运算性质。[教学重点与难点]

重点：矩阵、逆矩阵、矩阵的秩及矩阵的初等变换的概念。矩阵的各类运算及运算性质。矩阵可逆的充要条件。初等矩阵与初等变换的关系性质，用初等变换求逆矩阵、矩阵的秩、矩阵方程的解的方法。

难点：矩阵秩的概念，有关矩阵秩的性质的应用问题。

[授

课

方

法] 以课堂多媒体讲授为主，课堂讨论和课堂练习为辅。[授

课

内

容]

2.1 矩阵及其运算 2.1.1 矩阵的概念 2.1.2 矩阵的运算 2.2 逆矩阵 2.2.1逆矩阵的定义 2.2.2 方阵可逆的充要条件 2.3 分块矩阵及其运算 2.3.1 分块矩阵的概念 2.3.2 分块矩阵的运算

2.4 矩阵的初等变换与矩阵的秩 2.4.1 矩阵的初等变换 2.4.2 矩阵秩的概念与求法 2.5 初等矩阵

2.5.1 初等矩阵及其性质 2.5.2 用初等变换求逆矩阵习题课

第三章：向量与向量空间

建议学时：10 [教学目的与要求]

1.了解空间直角坐标系、几何向量的坐标表示及运算。

2.理解n维向量的概念、理解线性相关性概念。会判别向量组的线性相关性。

3.理解向量组的最大无关组、秩的概念，理解三秩相等定理。掌握用矩阵的初等变换求向量组的最大无关组及秩的方法。

4.理解n维向量空间、子空间、基、维数、坐标等概念，会求向量空间的基、维数。

[教学重点与难点]

重点：向量组的线性相关性的概念及性质，向量组的线性相关性的矩阵判别法及其推论以及上述结论的应用；向量组的最大无关组与秩的概念与求法；三秩相等定理及应用；向量空间、基底及维数的概念。

难点：向量组的线性相关性、向量组的最大无关组与秩及相关证明题。[授

课

方

法] 以课堂多媒体讲授为主，课堂讨论和课堂练习为辅。[授

课

内

容] 3.1 几何向量及其线性运算 3.1.1 几何向量的基本概念 3.1.2 几何向量的线性运算 3.2 空间直角坐标系 3.2.1 空间直角坐标系 3.2.2 几何向量的坐标表示 3.2.3 用坐标进行向量运算

3.3 n维向量及其线性运算 3.3.1 n维向量的概念 3.3.2 n维向量的线性运算 3.4 向量组的线性相关性 3.4.1 向量组及其线性组合 3.4.2 线性相关与线性无关的概念 3.4.3 线性相关性的性质 3.4.4 线性相关性的判定 3.5 向量组的秩

3.5.1 最大线性无关组 3.5.2 向量组的秩

3.5.3 矩阵的秩与向量组的秩的关系 3.6 向量空间

3.6.1 向量空间的概念 3.6.2 坐标变换习题课

第四章：欧氏空间

建议学时：8 [教学目的与要求]

1.理解向量的内积、长度、夹角等概念及性质；理解标准正交基、正交矩阵;会求几何向量的内积和外积。

2.掌握空间直线的标准式方程与平面的点法式、一般式方程。3.理解空间曲面、空间曲线的概念，会求空间曲线在坐标面上的投影。4.知道二次曲面方程及其所表示图形的形状。

[教学重点与难点] 标准正交基；直线与平面方程、曲面方程。

[授

课

方

法] 以课堂多媒体讲授为主，课堂讨论和课堂练习为辅。[授

课

内

容] 4.1 向量的内积

欧氏空间 4.1.1 R3中向量的内积

4.1.2 n维向量的内积

欧氏空间 4.2 标准正交基

4.3 R3中向量的外积和混合积

4.3.1 向量的外积 4.4 R3中的直线与平面 4.4.1平面及其方程 4.4.2 空间直线及其方程 4.4.3 位置关系 4.5 空间曲面及其方程

4.5.1 球面 4.5.2 旋转曲面 4.5.3 柱面

4.6 空间曲线及其方程 4.6.1 空间曲线的一般方程 4.6.2 空间曲线的参数方程 4.6.3 空间曲线在坐标面上的投影 4.7 二次曲面 4.7.1 椭球面 4.7.2 抛物面 4.7.3 双曲面 4.7.4 二次锥面习题课

第五章：线性方程组

建议学时：6 [教学目的与要求]

1．理解齐次线性方程组有非零解的充要条件及非齐次线性方程组有解的充要条件。2．理解齐次线性方程组的基础解系，线性方程组的通解的概念及解的结构。3．熟练掌握用行初等变换求线性方程组通解的方法。

4.掌握线性方程组解的理论在向量组的线性相关性和在几何上的应用。

[教学重点与难点] 齐次线性方程组有非零解的判断及基础解系的概念；非齐次线性方程组有解的判 断及通解结构；用矩阵的初等行变换求解线性方程组；线性方程组解的理论在几何上的应用。[授

课

方

法] 以课堂多媒体讲授为主，课堂讨论和课堂练习为辅。[授

课

内

容] 5.1 线性方程组有解的充要条件 5.2 线性方程组解的结构 5.2.1 齐次线性方程组解的结构 5.2.2 非齐次线性方程组解的结构

5.3 用初等变换解线性方程组及线性方程组的应用 5.3.1 用矩阵的初等行变换求解线性方程组

5.3.2 线性方程组应用举例（只介绍在几何中的应用）习题课

第六章：特征值、特征向量及相似矩阵

建议学时：8 [教学目的与要求]

1．理解矩阵的特征值与特征向量的概念并掌握其求法。

2．理解相似矩阵的概念与性质，理解矩阵可相似对角化的充要条件。

[教学重点与难点]

重点：矩阵的特征值与特征向量的概念、性质及求法；实对称矩阵的相似对角化。

难点：矩阵可相似对角化的条件及相关问题。

[授

课

方

法] 以课堂多媒体讲授为主，课堂讨论和课堂练习为辅。[授

课

内

容] 6.1 特征值与特征向量 6.1.1 特征值与特征向量的概念 6.1.2 特征值与特征向量的性质 6.2相似矩阵

6.2.1 相似矩阵的概念及性质 6.2.2 方阵的相似对角化问题 6.3 实对称矩阵及其对角化

6.3.1 实对称矩阵的特征值与特征向量 6.3.2 实对称矩阵的正交相似对角化习题课

第七章：二次型

建议学时：6 [教学目的与要求]

1.了解二次型及其矩阵表示、二次型的秩及二次型的标准形等概念。

2.掌握用正交变换将二次型化为标准形的方法,会用配方法化二次型为标准形。3.会用二次型理论讨论讨论一般二次曲面的形状。[教学重点与难点] 用正交变换化二次型为标准型。

[授

课

方

法] 以课堂多媒体讲授为主，课堂讨论和课堂练习为辅。[授

课

内

容] 7.1 二次型

7.1.1 二次型的定义及其矩阵 7.1.2 矩阵的合同 7.2 化二次型为标准形

7.2.1 用正交变换化二次型为标准形 7.2.2 用配方法化二次型为标准形 7.3 正定二次型 7.3.1 二次型的惯性定理 7.3.2 正定二次型

7.4 二次型在研究二次曲面中的应用 7.4.2 二次曲面方程化标准形

习题课

撰稿人：张苏梅

审核人：杨殿武