第一篇：如何培养孩子的几何空间思维
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如何培养孩子的几何空间思维
几何初步知识是小学数学的主要内容之一，通过对几何图形最基础的知识的教学，使学生逐步形成简单几何形体的形状、大小和相互位置关系的表象，能够识别所学的几何形体，并能根据几何形体的名称再现它们的表象，培养初步的空间观念。
学生对几何形体特征的理解，对周长、面积、体积的计算，往往是离开了这些几何实体，而依赖于头脑中对物体的形状、大小和相互位置关系的形象的反映，这就要求学生具有一定的空间观念。因此，我们在进行几何初步知识的教学时，要充分利用各种条件，运用各种手段，引导学生通过对物体、模型、图形的观察、测量、拼摆、画图、制作、实验等活动，让学生获取和运用几何初步知识，并在运用几何初步知识的过程中培养初步的空间观念。
本文就这一问题，谈一些粗浅的看法。
一、通过观察、演示、操作等感知活动，使学生逐步形成几何形体的表象
要认识几何形体，必须理解几何形体的本质属性，形成正确、清晰的几何概念。几何概念是人们在长期的生活、生产实践中，通过对大量的现实世界的空间形式进行高度的抽象概括后得到的。所以我们要重视引导学生进行观察等感知活动，使学生形成几何形体的表象，得到正确清晰的几何概念。
例如怎样认识长方体和正方体？教材没有给长方体下定义，而是通过课本中图形的观察，指出某些物体的形状是长方体。但是由6个面、12条棱、8个顶点所组成的立体不一定都是长方体，所以在教学时，就要拿出学生熟悉的日常生活中的实物，如装食品的纸盒、铅笔盒、保健箱等，引导学生仔细观察这些实物的面、棱、顶点的情况。然后把作为教具的空纸盒展开成平面图（相对的面和相对的棱课前分别涂上不同的颜色，见图47），让学生观察、比较一下，着重加深对长方体的“6个面都是长方形（也可能有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相等”、“相对的棱的长度相等”的认识，使具体事物的形象在头脑里得到全面的反映，从而使学生对长方体的理解更加深刻。接着再引入正方体的知识，学生通过对实物和平面展开图的观察，突出正方体这一属概念所具有的，区别于其它属概念的性质是长、宽、高都相等，并且能了解正方体和长方体之间的关系。
有些几何形体的概念，不仅要借助教具的演示，而且还要通过学生自己动手实际操作和测量，来理解它的本质涵义。例如“体积”的概念，本身是抽象的、先验性的。教学时，教师请学生观察教室里墙角的书柜之类的物品，想一想，这块地方不把书柜搬走，还 书人教育
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能放别的东西吗？还可在讲桌上出示一个盛水的玻璃容器，把一块金属块放入容器中，水面为什么会上升？通过这样的演示，使学生理解了这是因为书柜或容器中的金属块占据了一定大小的空间，把抽象的概念转换成看得到摸得着的感知活动，使学生初步理解“空间”“体积”的实际意义，获取一定的空间观念。又如教学长方形的周长时，教师把一张长方形纸的周长贴上彩色纸条后，再拉直展开成相连的4条线段（长和宽用不同的颜色区别），让学生到黑板前实际测量后列出不同的算式计算，让学生思考：一个长方形有几条长和几条宽？怎样计算周长比较方便？从而使学生获得长方形“周长”的表象，并掌握长方形周长的计算公式。接着，让学生自己动手操作测量某些实物的长和宽，计算出它们的周长，如教室中的玻璃窗、数学课本的封面、桌面等。
学生要得到一个正确清晰的几何概念，需要借助于直观演示、动手操作等感知活动来完成。如三角形面积公式的教学之前，学生对长方形、正方形、平行四边形、三角形等基本图形的表象已有所认识。我们把所有三角形作为一个整体来看，那么，锐角三角形、直角三角形和钝角三角形便都是这个整体的一部分。三角形面积公式的教学，教材中是通过数三角形和平行四边形的方格，再将两个锐角三角形拼摆成平行四边形来推导出面积公式。但教师在课前让学生自行准备好的两个形状、大小完全一样的三角形，并不一定都是两个锐角三角形，因此我们在课堂上让学生自己动手拼摆时，学生完全可能由两个全等的直角三角形、锐角三角形或钝角三角形拼摆出长方形、正方形或平行四边形（见下列三组拼摆图形，图48、49、50）。所以在公式的推导过程中，还需要考虑到知识的完整性和方法的多样性，最后再归纳推导出三角形的面积公式=底×高÷2。
二、在运用几何知识的过程中，加深学生对几何概念的理解，培养初步的空间观念
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在学生运用几何初步知识的过程中，教师还应引导学生运用图形的分解、组合、平移、旋转等数学方法，加深对几何形体的感知，培养初步的空间观念。
例如，“计算图形阴影部分的面积。”
学生从图形的直觉感知中，已知图51中4块小阴影部分的面积是相等的，空间观念较弱的学生一般只会从两个角度去思考，或按步就班地先算出1块阴影部分的面积，再算出4块阴影部分的面积；或者从大长方形面积里减去空白部分的面积，得到阴影部分的面积，但这样就不能两次计算十字空白交叉处的面积（2×2）。如何化静为动，从运动的观点出发，启发学生通过想象图形中空白十字的移动，使它们变换成图52的样子，从而就可以较简便地计算出图形阴影部分的面积是（20-2）×（10-2）=144（平方米）
分解、组合平面图形和进行图形的变换，不仅对学习、推导平面图形的面积公式是重要的，而且在测量、计算几何图形的面积时，也有着重要的意义，可以看出学生空间知觉能力的水平。如果学生掌握了图形的本质特征，不论图形的形状、大小、方位等如何变化，都能正确地求得解答。
又如下面一题，“如图53求图中两个圆的阴影部分的面积之差。”
学生虽然已经学过了圆面积的求积公式，但是大圆和小圆的阴影部分的面积是不易于直接求得的。这就需要学生具有一定的空间观念，特别是对空间关系的知觉与想象能力。可以让学生自己动手操作，通过平移小圆或翻转小圆的实践活动，变成下面三种情况：见图54，小圆向右平移，两圆相切，缩小相等的空白部分，同时扩大相等的阴影部分。
小圆向左平移，圆心重叠，扩大相等的空白部分，同时缩小相等的阴影部分。
小圆向左翻180°，扩大相等的空白部分，同时缩小相等的阴影部分。
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虽然两圆的相互位置关系起了变化，阴影部分和空白部分的大小边起了变化，但是可以看出，两个圆的阴影部分的面积之差实质上就是两个圆的面积之差。所以答案是（32-22）×3.14＝15.7（平方厘米）。
再如，我们在圆柱和圆锥知识教学之后，出了这样一道题目如图55：
“在一只底面半径是10厘米的圆柱形玻璃瓶中，水深8厘米。要在瓶中放入长和宽都是8厘米，高是15厘米的一块铁块，（1）如果把铁块横放在水中，水面上升几厘米？
（2）如果把铁块竖放在水中，水面上升几厘米？（得数保留整厘米数）”
对此题的解答，需要引导学生实验演示，或让学生想象出铁块浸没在水中的两种情况之下的不同的形状、方位、大小，培养学生的空间观念。
第（1）小题，学生容易理解把铁块横放在水中，将会全部浸没。上升的容积就是铁块的体积。若用算术方法解：
15×8×8÷（102×3.14）≈3（厘米）
水面上升的 圆柱底面积 水面上升
容积 的高度
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（也就是铁块体积）
第（2）小题，学生首先要考虑，把铁块竖放在水中，铁块能全部浸没吗？显然不能。因为横放在水中，水面只上升了约3厘米，而竖放在水中，铁块的体积不变，底面积变小了，所以水面不可能上升到15厘米这一高度。进而再考虑，把铁块竖放在水中，水面是肯定要上升的，因为有部分铁块将浸没在水中。若用方程解：
解：设把铁块竖放在水中，水面上升到x厘米。
102×3.14×x-82×x= 102×3.14×8
水面上升后的浸没在水中的那水面上升前的
容积部分铁块的体积容积
x≈10
10-8＝2（厘米）→水面上升2厘米。
三、沟通几何知识的内在联系抓住综合运用，提高空间观念的积累水平
在学生掌握了部分几何知识，且具有初步的空间观念以后，如何进一步沟通几何知识的内在联系，我认为还应抓住综合运用，启发学生从多角度去思考问题，采用多种方法去解决问题，以利于提高空间观念的积累水平。
如在学生对于平行四边形、三角形和梯形的面积具有初步的空间观念之后，要求学生运用多种方法解答下题：
“求平行四边形ABCD中阴影部分的面积”。（见图56）
（单位：厘米）
首先，平行四边形中的阴影部分不是直接可以用求积公式计算的基本图形；其次必须先对整个图形的结构作粗略的视觉分析，找出可分解为哪几个基本图形；然后再寻找出各个小图形（基本图形）中各自隐蔽的条件。这就要求学生具有较强的综合分析能力，书人教育
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具有整体的空间观念。此题有两种解法是可取的，可以从直接相关连的有紧密联系的几何图形中计算出阴影部分的面积，并且可以减少计算步骤。即：解法一：阴影部分的面积，可以从梯形ABCE的面积中减去△BCF的面积求得：
解法二：阴影部分的面积，可以从△ABD的面积中减去△EFD的面积求得：
又如“一个底面周长和高相等的圆柱体，如果高缩短2厘米，表面积就减少12.56平方厘米，这个圆柱体的体积是多少立方厘米？”
这是一道几何形体的应用题，难度较大。对立体图形的认知（且不说是完全用文字抽象表示的应用题），光有空间知觉能力是不够的，还需要有更高水平的空间想象能力。感知只能涉及立体图形局部的明显的部分、已知的条件，而对某些隐蔽的部分、未知的条件，必须在空间知觉的基础上，经过分析综合、抽象概括、假设推理等思维方法，产生出丰富的空间想象，才能完整全面地认识它。并且在解题过程中，把构成几何形体的诸要素沟通起来，依赖已有的空间观念，求出答案。此题的思考过程如下：
第一步：已知条件“如果高缩短2厘米，表面积就减少12.56平方厘米”，这是假设，题目要求的问题仍然是一个底面周长和高相等的圆柱体的原有的体积是多少立方厘米。
第二步：理解“表面积减少了12.56平方厘米”实质上是指减少了高为2厘米的这样一个圆柱体的侧面积。
第三步：抓住底面周长、高和侧面积三者的关系，根据已知条件假设高是2厘米，侧面积（即题中所指表面积）是12.56平方厘米，就可以求出这个圆柱体的底面周长（也就是这个圆柱体的高）。
12.56÷2＝6.28（厘米）
第四步：要求出圆柱体的体积，还必须知道底面积。根据“半径×2×3.14=圆周长”，先求出底面半径。
6.28÷3.14÷2＝1（厘米）
第五步：根据公式“底面积×高=体积”，最后求出圆柱体的体积。
12×3.14×6.28＝19.7192（立方厘米）
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四、重视发散思维的训练开阔解题思路，发展学生的空间观念
数学研究中有两种思维，一种是收敛思维，又称求同思维或集中思维。收敛思维是从若干已知条件中探求同一解题方法的思维过程，思维方向集中于同一方面，即向同一方向进行思考。这种思维形式能使学生的思维条理化、逻辑化、严密化，是培养学生理解和掌握知识所必不可少的。另一种是发散思维，又称求异思维。发散思维是从同样的已知条件中探求不同的（包括奇异的）解题方法的思维过程，思维方向分散于不同方面，即向不同方向进行思考。这种思维形式能使学生的思维活跃、灵活，具有创新意识。
在几何知识的教学中，我们根据学生的知识层次、实际水平，设计出一些数学题目，有目的、有计划地对学生进行发散思维的训练，对于开发学生的智力，活跃解题思路，发展学生的空间观念，仍然是十分必要的。下面略举两例，作些说明。
例如图57是由一个长5厘米、宽3厘米的长方形和一个边长为3厘米的正方形组成，你能用多少种方法求出阴影部分的面积？
这道题的问题只有一个，即求出阴影部分的面积。学生通过“割”“补”“移”的方法，思维向多方向扩展，从而得到以下一些解法：
（1）阴影三角形加上阴影梯形。
（2）从整个图形中减去空白三角形。
5×3+3×3-（3+3）×5÷2＝9（平方厘米）
（3）添辅助线，从三角形中减去一个长方形。（见图58）
6×5÷2-3×（5-3）＝9（平方厘米）
（4）阴影三角形旋转到空白三角形位置，则正方形面积就是阴影部分面积（见图59）。
3×3＝9（平方厘米）
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例如某铁路线上，在起点和终点之间原有7个车站（包括起点站和终点站），现在新增加了3个车站。铁路上两站之间往返的车票不一样。这样，需要增加几种不同的车票？
这道题目可启发学生按照文字叙述的题意先构思出图形（一条直线上有若干个点，求点与点之间的线段数）。学生一般的解法是利用求几个连续数
需要增加90-42＝48（种）车票。但我们在教学中，还应该启发学生寻求最佳解法，让学生凭直觉、猜想等思维形式和方法，充分发挥空间想象的能力，以求得最优的解答方法。可以这样设想：
（1）原来有7个车站，如果增加1个车站，应该增加几种车票（如图60）？
7×2＝14（种）
（2）现在有3个车站了，如果再增加1个车站，又应该增加几种车票？（想象图，仿图60，略）
8×2=16（种）
（3）已经有9个车站了，如果再增加1个车站，又应该增加几种车票？（想象图，仿图60，略）
9×2＝18（种）
（4）这样，一共新增加了3个车站，增加了几种不同的车票呢？
14+16+28＝48（种）
所以此题的解答，只要列出下面的算式就可以了：14+16+18＝48（种），或（7+8+9）×2＝48（种）。
五、在培养学生初步空间观念的教学活动中，应注意的两个问题
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首先，应根据不同层次水平的学生，精心设计练习。
发展学生的空间观念，要求教师根据学生现有的几何知识水平，坚持由浅入深，由易到难的原则，精心设计出适合于不同层次水平的学生练习的题目。形式上，也可以采用系列题组的形式出现。练习时，应从学生的实际水平出发，对于大部分学生可要求完成一些基本题（A题）和综合题（B题），以达到教材的基本要求；对于优等生，可以让他们做一些灵活题（C题），使思维更加活跃和发展，使他们的空间观念达到一个新的境界。这里略举几组题目，以作抛砖引玉之用（见附表）。
其次，练习题的设计编写，或引用现成的几何题目时，要注意数据的科学性。
例如，有这样三道题目：
1.用40厘米长的一根铁丝，围成一个最大的长方形，长是12厘米，宽是多少厘米？
2.选择适当的底和高，分别算出图61，图62两图形的面积。（单位：厘米）
3.求图63中直角梯形中阴影部分的面积。
（单位：厘米）
这三道题目的命题都是错误的，也就是说，题目中的有关数据均不确切，不符合实际情况。第1题，要求围成的是一个最大的长方形，且长已确定为12厘米，那么宽只能是8厘米，无选择余地。但事实是，若在整厘米数范围内计算，长应该是11厘米，宽是9厘米，围成的长方形的面积最大，是99平方厘米；若在小数范围内计算，长应该是10.1，10.01，10.001，„„相应的宽应该是9.9，9.99，9.999，„„长和宽都应该是一个无限迫近10的循环小数。第2题中的第（1）小题（见图61），找出底边和相对应的高后，用两种方法求出的平行四边形的面积应该是一样的，但实际上计算的结果却不相同：第（2）小题（见图62），编写者忽 书人教育
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视了“两条平行线之间所作的几条线段中，以和平行线垂直的线段最短。”这一重要性质，斜线的数据5厘米小于垂线的数据6厘米。第3题是要求出直角梯形中阴影部分的面积，解法一：阴影部分的面积，从三角形ACD的面积中减去三角形AOD
但为什么计算的结果不相同呢？
原来问题发生在题中的数据不符合科学性。据图可知△AOD∽△BOC，FO＝1.6厘来，那么EO的长度应该是1.2厘米而不应该是1厘米。改正数据之后，两种解法的得数就相同了。
总之，学生必须以掌握几何形体的基本知识为基础，并在运用几何初步知识的过程中逐步形成、加深、提高和发展空间观念。同时，有赖于我们教师的精心指导和培养。
第二篇：培养孩子的逆向思维
培养孩子的逆向思维
常听商界大亨们说的一句话就是：逆势而思，顺势而为。为什么要反过来从形势、势态去思考呢？与常规思维不同，逆向思维是反过来思考问题，是用绝大多数人没有想到的思维方式去思考问题。那究竟什么是逆向思维呢？这种思维对我们有什么作用呢？
逆向思维也叫求异思维、反向思维或创新思维，是一种重要的思维方式；是一种对惯性思维已成定论的事物或观点反过来思考的思维方式。是打破常规的思维模式、方法，抛开固有的思维定式和方向，从相反的方向去探索、分析、判断并解决问题的思维方式就叫逆向思维。简而言之，逆向思维就是克服思维定势，从问题的相反方向进行思索，从而显露出新的思想的思维方式。逆向思维能力也可以称为求异思维能力或创新思维能力。
熟语有“反其道而行之”之说，孔子有“三思而后行”之道，这些都是古人最早运用逆向思维的写照。而今我们要准确地说是“反其道而思之”，因为先人已经早就告诉我们要先思而后行，三思而后行了，说的就是要人们从问题的对立面去思索，从问题的相反面进行探索，尤其是对于某些特殊问题，从结论往回推，从求解回到已知条件，倒过来思考，或许会使问题简单化，使解决它变得轻而易举，运用逆向思维去思考和处理问题，实际上就是以“出奇”去达到“制胜”。
小故事，大思维
我国古代有这样一个故事，一位母亲有两个儿子，大儿子开染布作坊，小儿子做雨伞生意。每天，这位老母亲都愁眉苦脸，下雨了，怕大儿子染的布没法晒干；天晴了，又怕小儿子做的伞没有人买。一位邻居开导她，叫她反过来想：雨天，小儿子的伞生意做得红火；晴天，大儿子染的布很快就能晒干。从那以后，老太太再也不发愁了，因为不管是下雨还是天晴，对她的儿子们都有好处！逆向思维使这位老母亲眉开眼笑了。
我们再看“司马光砸缸”的故事，小朋友落水了，常规的思维模式就是要把人救出来——“救人离水”，而孩子们自己是没有能力的，于是，面对这样的紧急情况，其他的孩子都走了，而只有司马光面对紧急险情，运用了逆向思维，果断地用石头把缸砸破了，把“救人离水”转换成了“破缸流水”，救了小伙伴性命。
因此，逆向思维的结果常常会令人大吃一惊，喜出望外，别有所得。甚至因此而有所发现，创造出惊天动地的奇迹来，这就是逆向思维和它的魅力。
而这种思维对我们作用有：
1、正向思维决定态度，逆向思维决定广度。如果孩子只接受到单向思维的训练，形成了一种固定的思维模式以后，思维灵活性就会明显降低。而逆向思维是一种可逆性思维，它既能把事物的本质从常人的习惯思维中反映出来，也能让你去关注一般人想不到的一面，通过分析和处理，把问题呈现出来。这样，就能帮助我们从顺向和逆向两个方面更全面、更灵活地去看问题、思考问题，从而提高对生活的适应能力。
2、单向思维反映常规和外部属性，双向思维反映特质及内在规律。在遇到问题时，我们思考问题一般都是单一的从事物的明显的外部特质来分析和解决问题，这叫单向思维，它只能反映出事物的局部。
具有逆向思维的人的有以下三大优势：
优势一：事半功倍，高效快捷。生活中自觉运用逆向思维的人，会将复杂问题简单化，从而使办事效率和效果成倍提高。
优势二：见解独到，出奇制胜。在日常生活中，按常规性的思维难以解决的问题，对于具有逆向思维的人则会独辟蹊径，发现到常人惯性思维注意不到的地方，有所建树，从而制胜于出人意料。
优势三：思考维度更广、更深。逆向思维的人会思考出多种解决问题的方法，并从中获得最佳方法和途径。
人们常常习惯于沿着事物发展的正方向去思考问题并寻求解决办法，而逆向思维最大的价值就是它对人们认识的挑战，是对事物认识的不断深化，并由此而产生“原子弹爆炸”般的威力！
3~12岁是逆向思维发展的关键期
“光生七岁，凛然如成人……群儿戏于庭，一儿登瓮，足跌没水中，众皆弃去，光持石击瓮破之，水迸，儿得活。”司马光砸缸的事情是发生在他七岁那年，是什么原因让一个七岁的孩童就具有这般机警、沉着的思维呢？除了，他自幼“手不释书，至不知饥渴寒暑。”更为重要的是“闻讲《左氏春秋》，爱之，退为家人讲，即了其大指。”七岁时，他就能够熟练地背诵《左传》，并能把二百多年的历史梗概讲述得十分清楚了。
从司马光的成长经历中，我们可以了解到孩子逆向思维发展的基础首先是要具备自由阅读的能力，然后是逻辑推理能力的发展，这样，才能激发孩子逆向思维的良好发展。而作为父母，我们应当把握住3-6岁逆向思维发展的关键期，掌握正确的引导方法，让孩子的逻辑推理智能创造更多的奇迹。
训练孩子的逆向思维是很有必要的。发展逆向思维有助于宝宝在今后的学习和工作中更全面地思考问题，提高其对社会的适应性。所谓顺（正）向思维即单向思维，而逆向思维则是双向思维，它可以从正逆两个方面来揭示事物的特点及其规律。
所以，家长应多结合生活情境，为宝宝创造训练逆向思维的机会。让孩子知道思考问题和解决问题，完全可以从不同的角度入手。
（一）在孩子3岁以前，我们可以用以下的两个方法：
方法
一、用反义词和儿歌来训练孩子的逆向思维。例如：
学说反义词
夏天热，冬天冷，树儿高，草儿矮，猴儿瘦，猪儿胖，兔子快，乌龟慢，大老虎，小老鼠，你说东来我说西。
目标：丰富宝宝的词汇，帮助其理解反义词的意思，并学会将在日常生活中观察到的事物的本质特征加以归纳和总结。
跑跑曲
一大一小地上跑。
卡车大来摩托小；
一多一少天上跑，飞机多来飞船少；
一长一短拉人跑，火车汽车拉人跑；
分清大小和多少，大家拍手笑一笑。
用这种对比句来学说反义词，不仅有丰富孩子的词汇的功能，更重要是它能培养孩子逆向思维的能力，这是训练逆向思维的一种很重要又简单的方法。在日常生活中，家长要多为孩子创造使用和学习反义词的机会。例如：“爸爸穿大鞋，宝宝穿小鞋”、“妈妈坐宽凳子，宝宝坐窄凳子”等。
方法
二、正反提问法。就是同样的结论，采用不同的发问方式引发孩子的自主思考。例如“谁会采蜜呀？”和“会采蜜的是谁呀？”这两个问题，一顺一逆，对于3-5岁的孩子来说，回答出“蜜蜂会采蜜”会容易一些，而要回答出“会采蜜的是蜜蜂”，则要看回答者的思维水准而定了。
（二）3岁以上的孩子，除了上面介绍的方法，在生活中还可以这样做：
方法
一、制造错误，让孩子找出错误，增强其自信心。这里有两个儿歌游戏旨在为大家抛砖引玉。
颠倒歌
机器猫，早早起，戴上衣服，穿帽子，扣好鞋带，系扣子；
妈妈催他把牙洗，他说：不急不急，月亮公公还没起！
聪明的孩子就是你，说说哪儿有问题？
目标：促进宝宝逆向思维、空间想像力和短时记忆力的发展，提高宝宝专注力的质量和语言组织能力的水平，学会倾听。
希奇调
希奇希奇真希奇，动物园里放大戏，瘦猪胖猴来唱戏，小虎大鼠来演戏，高兔矮象扮夫妻，你说希奇不希奇！
目标：通过提供错误的信息来刺激宝宝的大脑运转，提高其记忆力，让其思维变得更敏捷，并使其创造力和创新能力得到充分发挥。
方法
二、运用利弊分析法，让孩子自主选择并承担结果。就是针对同一观点通过对其好的地方和不好的地方分析，并发表自己的观点。例如不吃水果的好处有哪些？不好的地方呢？那你会怎么选择呢？在我们自己遇到育儿的困惑时，甚至可以把困惑说出来请孩子一起来参与出谋划策。如对于做事磨叽的孩子我们可以说：“哎呀，妈妈很想你做作业的时候，快一点，可真的不知道怎么才能让你快，怎么办啊？你看要是你动作快，早完成十分钟，就多了十分钟可以自由支配啊！”然后，跟孩子一起来计算并体验十分钟可以做些什么？
采用逆向思维，有许多成功的发明创造的例子。刀削铅笔，以前是：刀动笔不动；采用逆向思维后，笔动刀不动，于是就有了旋笔刀。人上楼梯，人动梯不动；采用逆向思维，梯动人不动，于是就有了电梯。
“逆向思维”，就是一种从反方面分析问题，进而提出与众不同的见解的议论方法。从思维上说，它是一种扩散性思维，是一种发散思维，是由一个起点或多个起点向外发散，而我们要做的就是培养孩子找出不同的起点的能力。它是培养孩子的创新能力，激励创新思维的最佳途径。
第三篇：空间几何证明
立体几何中平行、垂直关系证明的思路
平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：
线∥线线∥面面∥面性质
判定线⊥线线⊥面面⊥面
线∥线线⊥面面∥面
线面平行的判定：
a∥b，b面，aa∥面
a b
线面平行的性质：
∥面，面，ba∥b
三垂线定理（及逆定理）：
PA⊥面，AO为PO在内射影，a面，则
a⊥OAa⊥PO；a⊥POa⊥AO
P O a
线面垂直：
a⊥b，a⊥c，b，c，bcOa⊥
a O α b c
面面垂直：
a⊥面，a面⊥
面⊥面，l，a，a⊥la⊥
α a l β
a⊥面，b⊥面a∥b
面⊥a，面⊥a∥
a b
定理：
1.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。作用：判断直线是否在平面内；证明点在平面内；检验平面。2.过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
作用：确定平面；判断两个平面是否重合；证明点线共面。推论：a.经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；
b.经过两相交直线，有且只有一个平面；
c.经过两条平行直线，有且只有一个平面。
3.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
作用：a.判定两个不重合平面是否相交；
b.判断点在直线上。
4.平行于同一条直线的两条直线互相平行。（平行线的传递性）。5.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。6.（直线与平面平行的判定定理）
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与该平面平行。条件：a.一条直线在平面外；
b.一条直线在平面内；
c..这两条直线互相平行。7.（平面与平面平行的判定定理）
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。条件：a.两条相交直线；
b.相交直线在一个平面内；
c.对应平行。
8.（直线与平面平行的性质定理）
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
条件：a.一条直线与一个平面平行；
b.过这条直线的任一个平面与此平面相交；
c.交线与直线平行。9.（平面与平面平行的性质定理）
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。条件：a.两个平行平面：平面1和平面2和第三个平面：平面3
b.平面1与3相交，平面2与3相交
c.交线平行
点、线、面的相关证明
一.多点共线和多线共点问题证明
方法：公理3的熟练应用；两个相交平面有且只有一条公共直线。
1.如下图，在四边形ABCD中，已知AB//CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，F，G，H。求证：E，F，G，H四点必定共线。
2.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于Q.求证：B，Q，D1三点共线。
3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AB 的中点，F为AA1的中点，求证：
a.E，C，D1，F四点共面；
b.CE，D1F，DA三线共点。
二．计算异面直线所成角度
方法：平移法和辅助线（中位线）构造角度
1.直三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角度为______________.2.如图所示，正四棱锥P-ABCD的底面面积为3，体积为√2/2，E为侧棱PC的中点，则PA与BE 所成的角为____________.3.如图所示，正三棱锥S-ABC（侧面为全等的等腰三角形，底面为正三角形）的侧棱长与底面边长相等，E、F分别是SC、AB的中点，异面直线EF与SA所成的角为____________.4.如下图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，已知AB=2，AD=2√2，PA=2.求：（1）三角形PCD的面积；
（2）异面直线BC与AE所成的角的大小.5.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P、Q分别是棱AB、BC、CD、CC1的中点，直线MN与PQ所成的度数_______________.
第四篇：反思几何解题培养思维品质
反思几何解题培养思维品质
[摘 要] 培养学生的思维品质要从严谨性、发散性、深层性、广阔性、创造性五大特征入手.数学几何学习对培养学生的思维品质具有独特而显著的作用，本文通过实例阐述如何借助几何解题进行反思，培养学生良好的思维品质.[关键词] 几何；思维品质；解题思路；严谨
数学几何是对图形的概括，是学生思维发展的“桥梁”，是师生进行交流的“纽带”.因此在课堂中作为“主导者”的教师，要善于利用一些例题、习题，充分挖掘题目背后深层次的含义，帮助学生准确理解知识点，并掌握解决问题的一般方法，从而养成良好的思维品质.笔者结合自己多年的几何教学实践，就几何教学中如何培养学生思维品质，谈几点体会.借助几何直观，深化概念理解，培养学生思维的深层性
思维的深层性要求学生在解决问题时，要抓住问题的本质和内在联系，善于举一反三，解题以后能够及时总结一般规律和通法，并能把知识和方法进行迁移，用于解决其他类似问题.数学概念，就是用简练的数学语言、符号去概括对象的本质属性.要抓住对象的本质属性，必须对概念理解到位.一直以来概念教学是一个难点，对学生理解能力要求较高.而通过几何直观，可以帮助学生突破概念理解上的难点.例如在函数概念学习中，如何理解“对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值”，如果仅仅靠解读字面意思，学生比较难以理解，更难达到数学应用的境地.若借以几何直观，加以辨析，从感性认识着手，则可以达到较好的教学效果.例1：给出以下几个图形（图1），让学生指出哪些图形所反映的是函数的图像.通过对这四个图的比较与辨析，能很直观地发现A、B、C三个图形中，同一个x的值，有两个y的值与它对应，这就不是函数的对应关系了.解后回顾，培养学生思维的严
谨性
思维的严谨性是指思维过程的严密性和逻辑性，而数学几何解题严谨、条理清晰，能很好地培养学生思维严谨性.教师要引导学生题后回顾，特别是针对一些典型错误的及时分析，能让学生明白前后逻辑关系的重要性，并在解决问题时要注重条件与结论之间关系的严谨性.例2：已知△ABC为钝角三角形，其最长边AC上有一点P（点P与点A，C不重合），过点P作直线l，使直线l截△ABC所得的三角形与原三角形相似，这样的直线l可作几条？
有学生解答：如图2，过点P分别作两条平行线并且使∠ABP=∠C（或∠PBC=∠A），这样满足条件的直线有3条.分析：是否存在点P必有∠ABP=∠C或∠PBC=∠A？因此，上述解答中思维有漏洞，即思维不严谨，从而产生了错误的解答.正确解答：如图3所示，其中∠ABD=∠C或∠EBC=∠A，当点P位于点A至D之间（包括点D）或位于点C至E之间（包括点E）时，满足条件的直线有3条；而当点P位于点E至D之间（不包括点D，E）时，满足条件的直线有2条.以上例题让学生经历从一开始的想当然认为所有点P都能画出3条，到后来发现当点P在特殊位置时会出现不一样的特殊情况，从而感受到考虑问题必须全面，不能以特殊代替一般，也不能忽视特殊情况，以及逻辑上是否前后存在矛盾等.利用结论开放，培养学生思维的发散性
思维的发散性是指个体在思维活动中独立发现解决问题的方法及推广程度.这就要求教师在平时教学中多“留白”，从已知条件出发，能得到哪些相关的结论，对同一试题探求出各种各样的方案.这种试题的解法多样，思路广阔，既能巩固深化原有知识，又能提升学生思维活动的发散性.例3：如图4，P为⊙O外一点，PAB为⊙O割线，交⊙O于A，B两点，PC切⊙O于C，∠CPB的平分线交AC于E，交BC于F.结论1：CF=CE；结论2：△PCE∽△PBF；结论3：△PAE∽△PCF；结论4：=……
通过这类习题的训练，不但能巩固知识点之间的关系，还让学生对这类问题有了深入的认识，大胆猜想并严谨论证，通过自我评价解题思路和方法，培养了思维的发散性.一题多用，培养学生思维的广
阔性
思维广阔性是指个体思维活动的广泛程度.它的特点包括：一是从多角度来分析问题，抓住问题的关键；二从分析过程中，提炼出解决问题的方法；三是技能的迁移能力，如我们平时说的“举一反三”；四是善于归纳总结，到达“运用自如”的境界.1.一题多解，解中求真，提升学生思维的广阔性
例4：如?D5，在直角坐标系中，Rt△ABC的边长BC=1，AC=2，∠C=90°，点A、点B分别在x、y轴正半轴滑动，求线段OB长的最值？
分析一：根据三角形三边关系，可构造出以OB为一边的△OBD，其中点D为AC的中点.由此可知：随着线段AC滑动，线段BD和线段OD的位置也随之改变.当BD和OD成一直线时，即线段OB刚好通过中点D时，OB为最小；当BD和OD重合时，OB为最大.因此BD-OD≤OB≤BD+OD，即-1≤OB≤+1.分析二：根据相对运动理论，转变观察角度，把“动点A，C相对于不动点O运动”变为“动点O相对于不动点A，C运动”，此时点O的运动轨迹是以AC为直径的圆.如图6所示，OB最值的情况显而易见了：-1≤OB≤+1.此题从两个截然不同的角度，都十分巧妙地构造相关图形得到两种较好的解法，使学生对问题的理解更深刻，培养从不同角度理解问题的能力，同时培养其思维的多向性、广阔性.2.一题多变，趋异求同，培养学生思维的广阔性
以基本图形为“生长点”，通过将其引申变换为相关图形而得到“再生”题组，培养学生对几何图形的空间想象力，从而培养学生思维的广阔性、多向性.例5：如图7分别以△ABC三边a，b，c为边向外作正方形.若S+S=S成立，则△ABC是直角三角形吗？
变式1：向外作正三角形呢？（如图8）
变式2：向外作等腰直角三角形呢？（如图9）
变式3：向外作半圆呢？（如图10）
变式4：向外作相似三角形呢？（如图11）
分析：由△ABF∽△ACE∽△BCD，得=2，=2，=，S+S=S，得a2+b2=c2，故△ABC是直角三角形.通过对上述变式的理解和深入，我们可得到以下结论：分别以△ABC三边a，b，c为直径向外作任意相似多边形.若S+S=S成立，则△ABC都是直角三角形！
例6：如图12，一个边长为1.2 m的正三角形金属架，能通过一个直径为1.1 m的呼啦圈吗？请证明你的判断？
分析：边长为1.2的正三角形的高为<1.1，所以能通过这样的呼啦圈.变式1：把正三角形改成直角三角形呢？（如图13）
变式2：把正三角形改成梯形呢？如图14，已知一块直角梯形的铁板，两底长分别为4 cm、10 cm，且有一个内角为60°，请用数据说明铁板能否从一个直径为8.7 cm的圆洞穿过.分析：根据上述思考，过点B作a∥CD，过点B作BE⊥CD交CD于E，求得BE=5< 8.7，所以能穿过圆洞.因此，在教学过程中要求养成从不同角度，不同方位思考问题的习惯，进行一题多解、一题多变的练习，广阔地运用公式、法则、命题，对一个对象用多种方式表达，对一个方法或理论作多方面的应用，培养其举一反
三、触类旁通的思维品质，从而培养学生思维的广阔性.一图多用，培养学生思维的创
造性
有创造性地解决问题的能力是衡量个人能力高低很重要的指标，特别是在几何学习中尤为突出.为了提升学生的创造性，这就要求教师精心设计，让学生对图形进行观察、分析、发现题中基本图形，然后鼓励学生大胆提出“猜想”，经过对基本图形相关性质理性分析对猜想予以证明，最后及时题后反思，自行改编题目，以到达提高思维的创造性的目的.它的一般程序是“观察发现基本图形――提出猜想――证明猜想――题后反思――改编题目”.现结合例子具体阐述.例7：如图15，已知△ABC中，BD，CE是高，F，G分别是BC，DE的中点，则FG与ED之间有什么关系？并给以证明.（1）观察基本图形
根据图形及条件，观察发现组成图形的基本图形是：直角三角形中线基本图形、等腰三角形三线合一基本图形.本题中的两个基本图形不完整，因此要把它补充完整，这也是添加辅助线的主要方向.（2）提出猜想
根据基本图形及已知条件，大胆猜想FG与ED的关系是：FG垂直平分ED.（3）证明猜想（证明略）
（4）题后反思
题后反思概括性越高，知识系统性越强，减缩性越大，迁移能力越广阔，注意力越集中，则思维的创造性就越突出.而题目的关键是通过添加辅助线补充完整图中的两个基本图形，使直角三角形中线性质和等腰三角形三线合一性质有机结合.同时，图形中共斜边的两个直角三角形也给我们留下了深刻的印象，利用中线性质可构造等腰三角形，可谓妙哉！结合两个三角形的位置，通过反思整理“生长”出如下“基本图形”，如图16～18.（5）改编题目
产生“创造”的原因在于主体对知识经验或思维材料的高度概括后集中而系统地迁移，进行新颖地组合分析，从而找出新奇的层次和交结点.而学生自行改编题目，需要学生广泛、深刻、跳跃性的思维，很显然，这有利于培养学生的创新能力，这有利于培?B思维的创造性.现摘录如下学生改编的题目：
①已知△ABC中，BD，CE是高，F，G分别是BC，DE的中点，探索题目满足什么条件时，△ADE是等腰直角三角形（如图19）、正三角形（如图20）？
②如图21，在△ABC中，E，F分别是AB，AC上的点.若DE⊥AB，DF⊥AC，AD⊥EF，求证：AD平分∠BAC.通过大家的大胆探索、猜想，对于改编后第一题，最后得出有趣的结论：若△ADE是等腰直角三角形，那么△ABF肯定也是等腰直角三角形；若△ADE是正三角形，则△ABF必为含30°的直角三角形.对于第二题，学生根据自己题后反思，改变了原题中共斜边的两个直角三角形的位置，从而能打破原题、常规，让图形“活”起来，随之提升学生思维能力.总之，教师在平时的几何教学中，要引导学生对几何例题、习题的解题进行多维度反思，将教学与实践相结合，从思维的深度、广度等多方位提升学生的思维品质.
第五篇：如何开发培养孩子的数学思维
如何开发培养孩子的数学思维
1如何开发培养孩子的数学思维
训练学生的数学思维要有方向
小学生学习数学的思维方向明显特点是单向直进,即顺着一个方向前进,对周围的其他因素“视而不见”。而皮亚杰认为思维水平的区分标志是“守恒”和“可逆性”。这里在所谓“守恒”就是当一个运算发生变化时,仍有某些因素保持不变,这不变的恒量称为守恒。而“可逆性”是指一种运算能用逆运算作补偿。学生要能进行“运算”,这个运算应当是具有可逆性的内化了的动作。
因此,教师在教学中既要注重定向集中思维,又要注重多向发散思维。前者是利用已有的信息积累和记忆模式,集中向一个目标进行分析推理,全力找到的合理的答案。后者是重组眼前或记忆系统中的信息,产生新的信息。解答者可以从不同角度,朝不同方向进行思索,探求多种答案。在对培养学生创造能力越来越强烈的今天,我们必须十分注重学生数学思维的方向性,要利用一切教材中的有利因素,训练学生一题多解、一题多变、一题多用的思维方法。
多媒体教学培养数学思维能力
多媒体作为常规教学的辅助手段，越来越受到小学数学教师的重视，这与它的积极作用是分不开的。幻灯、投影的特点之一就是具体形象、生动直观，能给学生提供鲜明、生动、明晰的视觉形象，激起学生学习的兴趣和求知欲，调动学生学习的积极性。如“量角器的认识和使用”一节，如照书本插图或模型教具讲解，可见度太低，会影响学生学习积极性。假如把透明量角器放在投影仪的载物台上，通过投影进行讲解，则能满足学生视觉直观需要，使学生聚精会神、兴趣盎然地投入到学习活动中。
思维能力是智力的核心。思维起源于观察，观察又给思维提供资料。幻灯、投影能在较短时间内向学生提供丰富的感性材料，使学生的感官和思维处于活跃状态。如平行四边形面积公式的推导，若运用活动而色彩鲜艳的幻灯片，再辅之以简单明确的表达，就很容易引起学生的注意，从而激发学生对平行四边形切割、拼凑方法的兴趣，帮助学生理解平行四边形面积公式，同时搞清平行四边形和长方形之间的内在联系，为以后学习三角形、梯形面积公式的推导打下良好的基础。观察是思维的触角，是学生认识世界，增长知识的重要能力。幻灯、投影不仅为学生提供从未涉及过的事物或现象，而且为直接感知观察这些事物或现象创造了条件，并且把间接知识、抽象的概念具体化、形象化。既突出了事物的重点和本质特性，又便于学生观察，形成表象，促进学生在实践中提高观察力。如讲“圆柱体表面积”一节内容时，投影圆柱体和圆柱体表面展开后的复合幻灯片，学生就能清楚地认识到圆柱体的表面积是由“两个相同上、下底圆面积和一个侧面积组成”。而侧面展开后恰好是一个长方形，这个长方形的长是上(或下)底面的周长，宽是圆柱的高。
2如何培养孩子的数学思维能力
抓好习题课教学，培养学生的思维运用能力?
数学教材课后的习题，很多都是具有代表性的典型题型等特点。在教学中不但应注重学生掌握课本中的概念知识，还善于引导学生去挖掘习题的涵与外延，使学生在探究问题中能够融会贯通，应用自如。在拓宽学生的数学基础知识的同时，加强了概念的理解，从而提高学生的思维运用能力。?
另外，在教学中可以根据情况设计一些有代表性、难度相当、巩固性和灵活性的习题，通过多种练习形式，不仅有助于加深理解所学的数学知识，而且有助于发展学生思维的灵活性，并激发学生思考问题的兴趣。
注重新旧知识的联系，培养学生的思维发展能力?
数学知识具有严密的逻辑系统。就学生的学习过程来说，某些旧知识是新知识的基础，新知识又是旧知识的引申和发展，学生的认识活动也总是以已有的旧知识和经验为前提。每教一点新知识都尽可能复习有关的旧知识，充分利用已有的知识来搭桥铺路，引导学生运用知识迁移规律，在获取新知识的过程中发展思维。
如在教圆的面积时，先复习了长方形、正方形、三角形、平行四边形等面积求法，然后引导学生从图形的变换中得出圆的面积求法，通过观察、比较，让学生自己总结出求面积的公式。这样引导学生通过温故知新，将新知识纳入原来的知识系统中，既巩固了知识，思维也得到了发展。
3如何培养学生学习数学的思维
训练学生的数学思维应有规律
数学思维中的规律包括形式逻辑规律和辩证逻辑规律以及数学本身的特殊规律。它们之间又是相互联系的。存在着形式和内容、具体与抽象、特殊与一般的关系。要使学生学习富有成效,必须揭示知识的内在的联系与规律。如整数、小数、分数、百分数概念之间的联系;四则计算中的五大运算定律,是数系运算根据的通性公式;和、差、倍、分四种基本数量关系是各种应用题的基础等等。
规律揭示得愈基本、愈概括,则学生的理解愈容易,愈方便,教学的效果也越好。因此,教师在新知识教学时,要充分利用迁移的功能,让学生用已有的知识和思维方法,去解决新的问题。如我们在教了“5乘以几”的乘法口诀后,可以让学生用这种思考方法去推导其他乘法口诀;学了“加法交换律”的推导后,可以同样的方法学习乘法交换律;学了“三角形的面积公式”推导后,可以同样的方法学习梯形的面积公式推导等等。
促进学生数学思维脉络清晰化
1.引导学生抓住思维的起点。数学知识的脉络是前后衔接、环环紧扣的，并总是按照发生—发展—延伸的自然规律构成每个单元的知识体系。学生获得知识的思维过程也是如此，或从已有的经验开始，或从旧知识引入，这就是思维的开端。从学生思维的起点入手，把握住思维发展的各个层次，逐步深入直至终结。如果这个开端不符合学生的知识水平或思维特点，学生就会感到问题的解决无从下手，其思维脉络就不会在有序的轨道上发展。
2.引导学生抓住思维的转折点。学生的思维有时会出现“卡壳”的现象，这就是思维的障碍点。此时教学应适时地加以疏导、点拨，促使学生思维转折，并以此为契机促进学生思维发展。
4思维能力的培养与训练
勤练,培养思维的灵活性
由于小学生抽象逻辑思维发展很慢,因此我们会发现学生思维呆板和功能僵化是大量存在的,这与教师的教学质量有着密切的联系。传统的灌输式和注入式的教学导致学生缺乏应变能力,学生陷于题海不能自拔,不能灵活解题。课堂讲授例题,过多地或片面地强调程式化和模式化,也容易造成学生只会按模式解题,不能适应形势发展的需要。
数学教学的特点之一是练习较多,这里所说的练习包括口答与笔练。一连串有计划的课堂提问,可以加快学生的思维节奏,使学生的大脑处于高速运转状态。有些提问是学生无法预测的,因为那是教师在教学过程中适时提出来的。应用各种方法转换教学形式,使学生适应各种变化,加快思维节奏,对培养学生思维的灵活性很有好处。
有序,培养思维的组织性
学生由于较多地依赖教师的复习总结,比较习惯于单一地思考问题,不善于把所学的内容归纳整理。还有一些学生只能应付做题,对所学知识不能构成体系。教师要善于引导学生对已学过的内容加以组织和整理,使知识系统化,这种系统不能简单地认为是课本上已有的,而要进行思维加工,使之符合认识规律。
而对于高年级学生,更需要进行这方面的思维训练。数学学科的系统性较强,知识的前后联系较紧密。因此,每学完一个单元,教师要提醒学生自觉地整理与总结,按自己的体会将知识串起来,这样有利于理解和巩固所学的知识。
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