小学数学教学复习资料☆☆☆☆☆

第一篇：小学数学教学复习资料☆☆☆☆☆

小学数学教学研究网上终结性考核复习资料 单项选择题：70道

1．下列不属于数学性质特征的是（客观性）。2．下列不属于生活数学特征的是（逻辑和推理）。3．“算法化”是以（A功利）为价值取向的。

4．以数学素养为数学教育价值取向的特征就是（大众化）

5．以功利为价值取向的数学教育价值追求可以称之为（算法化）。

6．课程是由教师、学生、教材与（环境）四因素之间的持续的相互作用所构成的有机的“生态系统”。7．传统的小学数学课程结构具有“学术中心的课程开发”、“学科取向的课程组织”、“螺旋式的课程结构”以及（记忆为主的课堂教学）等等的特征。

8．下列不属于我国21世纪小学数学新课程突出体现的理念的是（科学性）。9．影响小学数学课程目标的基本因素有“社会的进步”、“数学的发展”以及（儿童的发展观）等。10．下列不属于当今国际小学数学课程目标特征的是（注重逻辑推理）。

11．新世纪我国数学课程内容从学习的目标切入可以分为“知识与技能”、“数学思考”、“解决问题”以及（情感与态度）等四个纬度。

12．下列不属于从数学活动的素养切入而概括出的新世纪我国数学课程内容的是（数学思考）。13．新世纪我国数学课程内容从知识的领域切入可以分为“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”以及（实践与综合应用）等四个领域。

14．下列不属于选择小学数学课程内容的基本原则的是（学术性原则）。15．下列不属于小学数学课程内容的编排原则的是（统一性原则）。

16．从方法论层面予以区别，认知学习可以分为“接受学习”和（发现学习）两类。17．下列不属于知识学习某一阶段的是（问题阶段）。18．小学数学学习中存在着“陈述性知识”“程序性知识”以及策略性知识）等三类互相渗透与相互支持的不同的知识。19从数学的陈述性知识、程序性知识和策略性知识的分类角度出发可以将数学能力分为“认知”“操作”与策略等三类。20．下列不属于儿童数学问题解决能力发展阶段的是（学会解题阶段）。21．发现学习教学模式的教学流程主要有：创设情境、（提出假设）、检验假设和总结运用等四个阶段。22．“再创造”学习理论的核心概念是（数学化）。23．数学课堂教学过程就是（数学活动）的过程。

24．在数学课堂教学过程中，教师与学生之间是一个（交互主体）的关系。25．现代理论认为，学习是一个（建构）的过程。

26．小学数学课堂学习中的认知建构的活动过程，是一种由“定向环节”、“行动环节”以及（反馈环节）三个基本环节组成的环状结构。

27．下列不属于传统的小学数学学习方式特点的是（思考性）。28．下列不属于构建教学策略的主要原则的是（需要原则）。

29．“以事实为基础的问答策略”称之为（简单对话型策略）。

30．由教师先创设一个能刺激学生探究的具有现实性的情境，学生则是通过自己（小组合作的或独立的）探究，发现对象的本质属性的教学策略称之为（探索－发现式策略）。31．通过参与课堂学习活动成员（包括教师与学生）之间的话语或行为的对话，使不同的思考和活动发生互动，从而促进学生思考的教学策略称之为（交互式问题解决策略）。32．主要通过教师在课堂学习中的各种提示性活动，来帮助学生接受并内化既定的数学知识，形成既定的数学技能的属于（接受型的教学组织）的教学组织类型。

33．下列不属于小学数学学习评价价值的是（甄别价值）。34．以下不属于学习评价目的的是（依据学业对学生排序）。35．下列不属于按评价的取向角度而划分的学习评价的是（量化的评价）。36．以科学实证主义为哲学基础的评价是（量化的评价）。37．以自然主义和人本主义为哲学基础的评价是（质性的评价）。38．概念与词汇的关系是（内容与形式）关系。

39．概念的结构包括概念的“内涵”和概念的（外延）。

40．概念的抽象过程中大致要经历“分离”、“提纯”和（简化）等三个环节。

41．“平行四边形”和“长方形”这两个概念是属于（属种）关系。42．从正方形中抽象出长方形的过程称之为（弱抽象）。

43．不属于运算心理活动过程特征的是（运算方法和运算技巧结合）。

44．从逻辑层面看，在小学数学运算规则学习中，主要包含“运算法则”、“运算性质”和（运算方法）等一些内容。45．运算法则的理论依据可以称之为（算理）。

46．小学数学运算规则的学习是以（认数）学习为起点的。47．不属于小学数学运算规则学习特点的是（注重命题）。48．不属于小学空间几何特征的是（证明几何）。49．空间观念是空间知觉经过加工后所形成的（表象）。50．不属于描述空间对象量的方面概念的是（测量）。51．空间定位不包括（空间形式）。

52．儿童几何学习的起点主要是（生活经验）。53．问题的主观方面就是指（问题空间）。54．问题的客观方面就是指（课题范围）。

55．问题的条件信息包括“数据”、“关系”和（状态）等。

56．数学问题解决的基本心理模式是“理解问题”、“设计方案”、（执行方案）和“评价结果”。57．从问题解决的心理过程看，背景命题的检索阶段就是（设计方案）阶段。58．不属于小学概率与统计学习的课程意义的是（获得绘制图表的能力）。59．不属于儿童形成统计思想过程特征的是（基本概念是帮助理解的基础）。60．不属于儿童概率思想发展的过程特征的是（对事件发生的可能性认识是建立在计算之上的）。61．下列不属于数学性质特征的是（客观性）。

62．下列不属于“客观性知识”的是（图形分解的思路）。63．下列不属于传统小学数学课程内容的有（概率知识）。

64．从方法论层面予以区别，认知学习可以分为“接受学习”和（发现学习）两类。65．小学数学课堂学习中儿童的参与主要是指“行为参与”、“情感参与”以及（认知参与）。66．下列不属于构建教学策略的主要原则的是（需要原则）。67．以下不属于学习评价的目的地是（依据学业对学生排序）。68．小学数学运算规则的学习是以（认数）学习为起点的。

69．在儿童的几何思维水平的发展阶段中，处于描述（分析）阶段被认为是（水平）。70．问题的条件信息包括“数据”、“关系”和（状态）等。判断题：34道

1．数学是一门直接处理现实对象的科学。×

2．作为教育的数学是一门经过专门加工的数学。√ 3．当今人们对课程内涵的界定已呈多元化的格局。√

4．传统的小学数学课程开发具有“学术中心”的特征。√

5．初步了解“不确定现象”或“事件的可能性”是传统的小学数学课程内容。× 6．小学数学中的“量与计量”知识属于“常规法则”中的重要内容。√ 7．小学数学课程内容的选择必须要考虑儿童的可接受能力。√

8．将学习的全部内容以定论的形式呈现给学习者的学习方式称为接受学习。√

9．儿童的数学概念获得方式是逐渐由“概念同化”为主发展到“概念形成”为主的。× 10．范例教学强调利用人类认识客观世界的规律来组织教学。√ 11．探究教学是一种在单位时间内的学习效率最高的教学方式。× 12．课堂学习中教师的主导作用是通过控制予以体现的。× 13．“教学活动的过程特征”是课堂活动的基本构成要素之一。√ 14．教学方法是一个稳定不变的程序结构。×

15．启发式谈话法中的师生的对话是以理解为核心的。√

16．好的教学方法应当能刺激学生的参与。√

17．以共同在完成任务的过程中的多种表现为参照的一种评价是表现性评价。√ 18．常模参照评价是一种相对评价。√

19．课堂教学评价的价值在于对教师教学行为的某种鉴定。×

20．指学习者个人的数学活动经验的知识称之为客观性知识。× 21．判断和推理是思维的两个基本形式。√ 22．概念是分析与综合的结果 ×

23．运算法则是关于运算方法和程序的规定。√

24．关于运算方法和程序的规定称之为运算方法。×

25．空间几何主要就是研究事物的空间形式或关系的一门学科。√ 26．小学的几何属于一种论证几何。×

27．问题的条件信息就是指已经给出的数据。× 28．数学问题的条件信息包括给定的某种状态。√

29．儿童的统计观念是伴随着操作活动逐步形成的。√

30．儿童的统计知识的学习重点就是要能学会制作统计图表。× 31．儿童的数学认知思维具有明显的个性化特征√ 32．教学方法是一个稳定不变的程序结构 × 33．所谓学业评价，就是指学生的学习成就的评价√ 34．儿童的统计观念是伴随着操作活动逐步形成的 √

填空题：24道

1．数学学科具有 抽象性、严谨性、运用的广泛性 等特征。

2．数学的严谨性特征体现在它的 逻辑性、精确性、系统性

以及等方面。

3．通常认为数学的课程目标可以分为实用知识、学科知识、文化素养

等三类。以及 知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观

三位一体的课程功能。

5．国际上小学数学的教材在呈现方式上开始逐渐凸现出 切近儿童生活、强化过程体验、注意探究发现等价值取向发展上的特征。

6．我国21世纪小学数学课程内容从知识的领域切入可以分为数与代数、空间与图形、统计与概率

以及实践活动或综合运用这四个领域。

7．按照学习的对象的特征以及学习目标的不同，认知学习可以分为知识学习、技能学习、问题解决学习等三类。8．知识学习过程大致包含了 选择阶段、领会阶段、习得阶段以及巩固阶段等这样几个阶段。

9．发现教学模式在小学数学教学中的运用要注意教师创设的问题情境必须有效、教师要注意儿童发现知识的过程、教师在发现教学过程中要注意适时指导等三个问题。

10．探究教学模式的基本流程是设置问题情境、提出假设、获得结论以及反思评价等。11．课堂教学中的学生参与主要指 行为参与、情感参与、认知参与等。

12．儿童在课堂学习过程中的情感参与主要包括 兴趣、动机、自信心 以及态度等因素。

13．小学数学的教学组织主要有 接受型的教学组织、问题解决型教学组织、自主型的教学组织等三种不同的类型。14．常见的小学数学教学方法包括叙述式讲解法、启发式谈话法、演示法

以及“实验法”、“练习法”等。15．学习评价除了具有“导向”、“反馈”等价值外，还应具有诊断、激励、研究等价值。16．儿童学习数学概念的过程大致可以分为

感知阶段、表象阶段、概念阶段

等三个阶段。

17．在儿童的运算规则学习的导入阶段中主要可以采用

情境导入、活动导入、问题导入 等策略。18．空间定位包括对物体的空间方位、空间距离、空间大小

等的识别。

19．数学问题解决的基本心理模式是理解问题、设计方案、执行方案

以及“评价结果”等四个心理过程。

20．小学数学统计教学的主要策略有关注儿童对现实生活的经历、增加在数学活动中的体验、强化将知识运用于现实情境

等。

21．对小学数学学科性质的再认识包含着儿童数学观、生活数学观、现实数学观等这样三个数学观。22．影响小学数学课程目标的基本因素主要有社会的进步、数学自身的发展、儿童的发展观等。23．空间定位包括对物体的方位、距离、大小等的识别。

24．常见的数学问题解决的方法主要有试误法、逆推法、逼近法等三种。简答题：18道

1．简述数学素养的基本内涵。

答案：数学素养的基本内涵：懂得数学的价值；对自己的数学能力有信心；有解决现实数学问题的能力；学会数学交流；学会数学的思想方法。

2．简述当今国际小学数学课程目标的变革主要体现在哪些方面。4．我国21世纪小学数学新的课程标准力图在课程目标、内容标准和实施建议等方面全面体现、答案：当今国际小学数学课程目标的变革主要体现在以下五个方面：第一，注重问题解决；第二，注重数学应用；第三，注重数学交流；第四，注重数学思想方法；第五，注重培养学生的态度情感与自信心。3．简述选择小学数学课程内容的基本原则有哪些？

答案：选择小学数学课程内容的基本原则有四个：基础性原则；可接受性与发展性相结合的原则；统一性与灵活性相结合的原则；教育作用原则。

4．简述国际上小学数学课程内容的组织与呈现的发展有哪些共同性的特征。

答案：国际上小学数学课程内容的组织与呈现的发展有如下三个共同性的特征：在选择上表现出“切近儿童生活”的价值取向；在呈现上表现出“强化过程体验” 的价值取向；在组织上表现出“注意探究发现”的价值取向。5．简述认知迁移的实现主要取决于哪些因素。

答案：认知迁移的实现主要取决于如下四个因素：对象的共同因素；已有经验的概括水平；定势的作用；学习的指导。6．简述探究学习的理论在小学数学教学中运用时要注意的问题。

答：探究学习的理论在小学数学教学中运用时要注意以下几个问题：第一，注意探究教学模式对学习主体的适用性。第二，注意学习材料的选择与呈现。第三，注意教师引导的适度性。四，加强学生科学态度的养成和探究能力的发展。7．简述在课堂学习中的师生相互作用方式。

答案：在课堂学习中的师生相互作用方式是：教师是课堂教学活动的主导，而学生则是课堂教学活动的主体，他们之间是按主导与主体之间的不断错位滑移来实现相互作用的。具体地说，教师的主导作用通过切合的引导予以体现；对话是小学数学课堂学习的基本交互形式；课堂教学是一个人际之间充分交流与分享的过程。8．简述现代课堂学习中教学组织策略的特点。

答案：现代课堂学习中教学组织策略的特点有三个:运用情境的方式呈现学习任务；数学活动是以任务来驱动的；探索是数学活动的重要形式。9．简述常见的教学手段有哪些？

答案：常见的教学手段有：操作材料；辅助学具；电化设备；计算机技术等四类。10．简述小学数学学业评价的基本内容有哪些？

答案：小学数学学业评价的基本内容有如下七个方面：对数学的价值的了解；数学知识意义的建构；数学技能的形成；数学问题解决能力水平；数学思想与方法的获得；数学学习的态度与情感；数学学习的自信心。11．简述在概念引入阶段主要可以运用哪些策略？

答案：在概念引入阶段主要可以运用如下一些策略：生活化策略；操作性策略；情境激发策略；知识迁移策略。12．简述可以从哪些方面去发展儿童的良好的数感？

答案：可以从如下三方面去发展儿童的良好的数感：（1）在实际的情境中形成数的意义。即在实际情境中认识数；在实际情境中运用数；（2）具有良好的数的位置感和关系感。即发展数的良好位置感；对各种数的关系有敏锐的反应。（3）对数和数的运算实际意义有所理解。

13．简述小学数学几何学习的主要特点。

答案：小学数学几何学习的主要特点是：1）经验是儿童几何学习的起点；（2）操作是儿童构建空间表象的主要形式。14．简述数学问题的基本结构。

答案：数学问题的基本结构:数学问题是一组尚未达到目标状态的、有待加工处理的信息系统，它主要由以下三种成分构成：条件信息、目标信息、运算信息。15．简述儿童概率思想发展的过程特征。

答案： 在儿童概率思想发展的这个过程中，主要会表现出如下一些特点：（1）对事件发生可能性的认识是逐步发展的；（2）对事件发生的可能性认识受到经验的制约；（3）对事件发生的可能性认识需要通过直观操作来支持。

16、简述我国21世纪小学数学课程变革主要体现在哪些方面。

①素质教育的理念落实到课程标准之中②突破学科中心③改善学生的学习方式④评价具有更强的指导性和操作性⑤课程标准为教材的多样性和教学的创造性提供了空间

17、简述发现学习的基本流程。

①创设情境②提出假设③检验假设④总结运用

18、简述在运算规则的导入阶段主要可以运用哪些策略。①情境导入②活动导入③问题导入

论述题 2题

1、举例论述可以从哪些方面实现“转变儿童学习方式”。①变单一形式为多样化形式

②变单纯接受为探索发现与引导接受相结合

③变概念获得活动为概念获得活动与问题解决活动相结合

④变个体学习为独立探索与团队合作相结合

2、请从以下案例中尝试分析，如下三种数学概念的学习，分别属于概念同化中的哪一种方式？（要能说明主要依据）① 学生已经掌握了有关除法、除尽、商、余数等知识，继续学习关于整除的知识。② 学生已经掌握了有关长方形、平行四边形等知识，继续学习关于梯形的知识。

③ 学生已经掌握了有关表内除法、一位数除法等知识，继续学习关于多位数除法的知识。①下位学习

理由：原认知结构中的相关概念是新概念中的属概念。②并列学习

理由：两种概念不构成属种关系，却具有相似性。③上位学习

理由：新概念是原有认知结构中概念的属概念。

第二篇：小学数学教学论复习资料

小学数学教学论复习资料

第一章

1．《全日制义务教育数学课程标准（实验修订稿）》指出：“数学课程应致力于实现义务教育阶段的培养目标，体现基础性、普及型和发展性。义务教育阶段的数学课程要面向全体学生，适应学生个性发展的需要，使得：人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”

主要可以从以下方面理解：

①小学数学课程应体现出基础性、普及性和发展性 ②小学数学课程要使人人都能获得良好的数学教育

③小学数学课程要使不同的学生在数学上得到不同的发展 2.2001年颁布的《基础教育课程改革纲要（试行）》

3.①数学是研究现实世界的数量关系和空间形式的一门学科，具有理论的抽象性、逻辑的严谨性和应用的广泛性。②数学的基本特点：理论的抽象性、逻辑的严谨性和应用的广泛性

4.《数学课程标准》规定了义务教育数学的“课程目标”，将课程目标以“总体目标”和“学段目标”俩个层次给出，并从“知识技能”、“数学思考”、“问题解决”、“情感态度”四个方面加以阐述。由于《数学课程标准》使用于义务教育阶段全程，因此将数学课程总体目标细化为第一学段（1-3年级）、第二学段（4-6年级）和第三学段（7-9年级）三个学段目标。具体目标包括（知识技能，数学思考，问题解决，情感态度），领域目标（数与代数，图形与几何，统计与概率，综合和实践）——详细的见书13页的图1.1 5.《数学课程标准》确定的义务教育阶段数学课程的总体目标是，通过义务教育阶段的数学学习，学生能够“获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验；体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力；了解数学的价值，激发好奇心，提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心。养成良好的学习习惯，具有初步的创新意识和实事求是的科学态度。”（四基：基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验）

5.在发展形象思维方面，主要在于让学生建立初步的空间观念，能够借助图形区进行思维，这也是学生学习“图形与几何”的首要目标。

6.作为学科的数学，小学数学课程内容是作为学科的小学数学的具体表现，是科学数学领域的一个组成部分。学科数学与科学数学的区别：①.科学数学是对数学原理与方法的系统阐述。②.作为科学的数学，对所有的定理、公式、法则等都要进行严格的论证和推导。③.作为科学的数学，可以完全按照数学自身的理论体系和逻辑顺序安排，尽量使内容完整、系统和科学化。

7.教材内容又不能一味的去迁就学生的能力，而应有一定得难度，为创造儿童心理的“最近发展区”提供条件，促进儿童健康发展。（书23页）

8.《数学课程标准》将小学数学课程内容分为数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践四个领域。

9.在“数与代数”的教学中，应帮助学生建立数感和符号意识，发展运算能力，建立模型思想。

数感指的是关于数与数量表示、数量大小比较、数量运算结果的估计等方面的直观感觉。

符号意识主要是指能够理解并运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号进行一般性的运算和推理。建立“符号意识”有助于学生理解符号意识的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。

运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确的进行运算，理解运算的算理，能够寻求合理的运算途径解决问题的能力。

模型是“数与代数”的重要内容。

10.在“图形与几何”的教学中，应帮助学生建立空间观念。注重培养学生的几何直观与推理能力。空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描绘的实物物体；想象出物体的方位和相互之间的位臵关系；描绘图形的运动和变化；根据语言描绘画出图形等。

11.推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理。合情推理是从已有的事实，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推测某些结果。演绎推理是从已有的事实（包括定义、公里、定理等）出发，按照规定的法则证明（包括逻辑和运算）结论。

12.教材分析的内容：

①.分析教材的编排体系和知识间的内在联系.a.分析教材的编排体系和知识之间的内在联系可以从整体把握各类知识在小学教材中的分布，认清各类知识的来龙去脉与纵横联系以及他们在整个小学数学教材中的地位作用。对同类知识来说，又可以充分认识到所要教的那部分内容。充分领略由浅入深，由易到难，循序渐进，螺旋上升的编写原则，以及数行结合的思想。

②.分析教材的重点、难点和关键。③.分析教材中的练习题。④.分析教材如何体现课程目标。⑤.分析教材中渗透的数学思想方法。⑥.分析教材的德育、美育等教育因素。

13.小学数学新教材分析中应注意的问题：①.分析新教材所提供的材料的必要性和目的性。②.分析数学概念的形成、发展过程和内在联系。③.分析教材中所蕴含的数学学习方法.14.教材分析是教师的一项重要基本功，是备好课、上好课的前提。第二章

1.学生学习的特点：①.人类的一般学习的特点。②.学生学习的主要内容是人类已经获得的现成的知识（间接知识，再发现的过程）③.学生学习的一般过程是从“实践—理论—实践”的过程。这与一般人类的认识过程“理论—实践—理论”是不同的。④.学生学习的基本方式是在教师的指导下，依据课程和教材进行的。⑤.学生学习的主要目的是为今后的学习和劳动奠定基础。2.小学数学学习是学生在小学阶段对数学学科的学习，是学生在教师指导下，由于获得数学知识经验而引发的比较持久的行为变化过程。具体来说，小学数学学习具有的特点有：①.小学数学学习需要感性材料的支持。②.小学数学学习需要较强的抽象思维能力。③.小学数学学习是人类发现基础上的再发现。④.小学数学学习是在教师的指导下，依据课程和教材进行分析的。（有目的、有计划、有组织、有步骤）

3.小学生由于受自身思维发展水平的制约，在数学学习中常出现思维过程不流畅甚至中断的现象，这在客观上就需要教师对学生学习做必要的引导。具体表现在：（教师对学生做必要的引导主要体现在）①.启发和引导学生把握好思考的起点。②.引导学生把握好数学思维发展的方向。③.启发学生对自己的学习过程作必要的反思。

4.小学数学的学习按照学习的深度划分，可以分为机械学习与有意义的学习；按学习的方式来划分，可以分为接受学习和发现学习。

机械学习是指学生对所学的知识并未真正理解，而只是仅仅记住相关数学符号、了解相应词句及简单性的模仿。

有意义的学习则要求学生能理解新知识及其实际内容，要对符号所代表的意义与头脑中已有的旧知识建立非人为﹙非任意﹚的实质性﹙非字面﹚的联系并能融会贯通。

接受学习指学习的全部内容是以定论的形式呈现给学生，即把问题的条件、结论以及推倒过程等都叙述清楚，让学生将所学的新知识与旧知识有机结合起来，融为一体。

发现学习的主要特征是，教师不是把学习内容以定论的形式或现成的结论呈现给学生，而是把尚未定论的、有待研究的材料提供给学生，让学生自己去独立发现相关的结论或方法，然后内化。小学数学学习中的发现学习一般都是在教师的指导下进行的，实际上时指导发现学习。

小学数学学习，应以有意义的接受学习为主要的学习方式，辅之以有意义的指导发现学习。

5.数学认知结构师数学学习过程中的一个中心心理成分。

数学认知结构，就是学生头脑里的数学知识按照自己的理解深度、广度，结合着自己的直觉、记忆、思维、联想等认知特点，结合成的一个具有内部规律的整体结构。

6.进行数学学习时，学生原有的数学认知结构和新的学习内容就会发生作用，其作用的最基本形式有俩种：①.同化。同化是指学生利用原有数学认知结构对新的数学知识进行适当改造，然后将改造后的数学知识直接纳入认知结构，扩大原有认知结构，使数学认知结构发生量变的过程。②顺应。顺应是指某些新的数学知识不能直接同化到学生原有认知结构去，必须适当调整或改造原有认知结构使其适应新知识的学习，在此基础上将新知识纳入改造后的认知结构中去，从而建立新的数学认知结构的过程。

7.概念是反映客观事物本质属性的思维形式。数学概念是客观事物的数量关系和空间形式等方面的本质属性在人脑中的反映。

8.数学概念的学习有俩种基本形式：①.概念形成。是指在课堂教学条件下，从大量具体例子出发，从学生实际经验的肯定例证中，以归纳的方法概括出一类事物的本质属性，这种获得概念的方式叫做概念形成。②.概念同化。是指利用学生已有的知识经验，以定义的方式直接向学生揭示概念的本质属性，这种获得概念的方式叫做概念同化。（52-53页的 概念形成与同化的一般过程需要了解）

9.影响数学概念学习的因素：①.与新概念有关的感性材料和感性经验。②.学生原有的认知结构。③.学生抽象概括的能力。④.学生语言表达的能力。

10.数学规则是两个或两个以上数学概念之间固有关系叙述，以经过严格论证的数学命题的形式呈现。规则的学习可分为：①.下位学习。新规则在层次上低于原有认知结构中的有关知识，因此新规则和原有认知结构中的有关知识就构成下位关系。在下位学习中，新规则和原有认知结构的作用方式是同化。②上位学习。新规则在层次上高于原有认知结构中的有关知识，因此新规则和原有认知几个中的有关知识就构成上位关系。在上位学习中，新规则和原有认知结构作用的方式是顺应。③.并列学习。新规则与原有认知结构的有关知识有一

定的联系，但既不处于下位，也不处于上位。那么，称为并列学习。

11.数学规则学习的两种主要形式：①.“例证—规则”式。是属于上位学习，是一种指导发现学习。②.“规则—例证”式。这种形式又可分为以下俩种：一是先推导出所要学习的新规则，然后用实例说明其规则的应用；二是直接给出要学习的新规则，然后用实例说明规则。

12.数学规则学习的几个要点：①.要注意与已掌握的知识相联系，把新规则纳入到原有的认知结构中。②.要注意弄清新规则的形成过程、理解规则的算理。③.要注意将规则系统化、完善认知结构。遗忘低级的规则是一种积极的遗忘。

13.技能是指顺利完成某种任务的一种活动方式；它是通过练习获得的。它有以下特点：① 技能是一种活动方式。② 技能是合乎法则的活动方式。③ 技能是通过练习而形成的。数学技能在数学学习过程中通过练习而形成的心智或动作的活动方式，它往往表现为完成数学任务所需要的动作的协调和自动化。

14.心智技能是指通过学习而形成的合乎法则的心智活动方式，也称之为智力技能或认知技能。数学心智技能的学习过程一般分为以下四个方面：① 认知阶段。是心智活动的定向阶，也是关键。② 模仿阶段。是心智技能的模仿学习阶段。③ 有意识的口述阶段。实际上就是学生数学心智技能的自我练习阶段，是心智技能的内化阶段。④ 无意识的内部言语阶段。就是学生数学心智技能的自动化阶段。

15.认知阶段教师要做到：① 让学生了解活动的结构，使学生对活动有一个完整的印象，为以后的学习奠定基础。② 让学生愿意与教师一道共同总结各步动作及执行顺序，而不是被动地接受现成的东西。

16.模仿阶段教师要做到：示范准确，讲解清晰，动作规范。不要给学生造成“夹生饭”，因为纠正是相当困难的。

17.有意识的口述阶段教师要做到：① 要求学生将教师的言语指导转化成学生自己的言语指导，并逐步转向学生自己的内部言语指导。② 要适时纠正学生认识上的错误、纠正学生操作上的失误。

18.无意识的内部言语阶段教师要做到；对活动方式进行概括，以便学生广泛应用于同类问题。

19．数学动作技能是通过学习和练习而形成的，数学动作技能的学习过程可以分为：① 操作定向阶段。② 操作模仿阶段，教师要结合学生的实际，把整套动作分解成若干局部动作，让学生模仿并进行逐个练习，分别掌握。还有适当纠正学生操作上的错误。③ 操作整合阶段，④ 操作熟练阶段。

20.数学问题包括三个基本成分：① 条件。即问题的一组已知信息的描述，也就是问题的初始状态。② 目标。即问题所要求的答案或结论的描述，也就是问题的目标状态。③ 障碍。即问题解决过程中所遇到的困难，也就是初始状态和目标状态之间的关系不是很明显，必须通过一定的思维活动才能找到答案。

21.问题解决是指个人运用一系列的认知操作，实现从初始状态到目标状态的顺利过渡，即将问题从初始状态转变为目标状态的过程。具有的基本的特点：① 目的性。② 认知性。③ 系列性。

22.小学数学问题解决的过程：① 了解问题情境，解决问题的前提。② 明确问题的条件和目标，解决问题的关键。③ 寻求解决方法，解决问题的核心。④ 求得解答并检验，解决问题的最后一环。

23.影响数学问题解决的因素：①问题情境因素。② 学生个人因素。学生 的知识经验和数学基础是数学问题解决的核心。③ 解题策略因素。解决数学问题的策略，突出的特点是“如何探索”或“怎样思考”。

24.小学数学学习评价的含义，就是对小学生数学学习行为的价值作出判断。

25.小学数学学习评价的主要目的，是为了全面了解小学生数学学习的过程和结果，激励小学生的学习和改进教师的教学。

26.小学数学学习评价的主要内容，是以课程目标和课程内容为依据，全面评价小学生在知识技能、数学思考、问题解决、情感态度及数学学习过程等方面的表现。

27.小学数学学习评价的主要方式，通过教师评价、学生自我评价、学生互相评价、家长评价等方式进行，即评价的主体应多元化。

28.小学数学学习评价的主要方法，可以采取书面测试、口头测试、活动报告、课堂观察、课后访谈、课内外作业、成长记录等方法。

29.小学数学学习评价结果的呈现，应采用定性和定量相结合的方式。

第三章

1.教师、学生、教材和教学方法就是小学数学教学过程系统的四个要素。四个要素中教师是关键，① 如果教师的数学知识欠缺，就会导致课堂上常犯知识性的错误，严重影响学生良好认知结构的形成。② 如果教师的数学知识欠缺，就会导致课堂上不敢放开，严重束缚学生的思维。因此在教学过程中处于主导地位的教师，必须具有雄厚的数学基础知识。学生是教学活动的主体，学生的学习活动不但是从外向内的传导过程（即内化），也是由内向外主动作用的过程（即反馈）

2.小学数学教学组织，就是指小学数学课堂教学组织，它是教师顺利实施和完成教学任务、达到教学目标的重要保证。它包括：① 创设良好课堂氛围。创设一个愉快、民主、平等、和谐、合作的良好学习氛围，是课堂教学组织的关键。② 及时反馈教学信息。教学过程中的信息反馈是双边的，可分为对教师教的反馈和对学生学的反馈，反馈的主要目的就是调控并组织教学过程。③ 合理控制教学时间。④ 灵活处理课堂“生成”

3.灵活处理课堂“生成”的方法： ① 化解法：

针对：学生情绪异常、教师动作失误及外来因素的干扰等偶发事件。

方法：教师可采取比喻、夸张、双关、模拟等手段，用风趣幽默的语言予以化解。

目的：可使师生感情融洽如常。

② 讨论法

针对：学生出乎意料的答问、教师便错题或解错题等偶发事件。方法；教师可采取共同探究、相互切磋的办法。

目的：可使学生积极思考、师生相互启发，并能为教师思考赢得时间。③ 转移法

针对教师教学疏误、室内窜进小动物等偶发事件，教师可围绕教学目标和教学内容，把其中的情境或材料很自然地引用到教学中。它可使学生注意力从意外事件处无意识的转移到学习上来。

④ 臵换法

针对教师教学上疏误，学生发现了而教师自己却一时找不着失误点时，教师可采取角色换位的方法来解决。它可使教师很自然地从失误中走出来。

⑤ 延缓法

针对学生突然提出一个与教学无关的问题或所提的问题当堂解决必定影响预定的教学任务的完成而得不偿失时，教师可采取课堂回避﹙当然不是臵之不理，而是酌情予以交待﹚课后探究的办法，它可避免节外生枝。

4.处理课堂“生成”问或偶发事件除了遵循教学过程的一般原则外，还必须遵循:① 目的性原则；②教育性原则；③ 及时性原则；④ 协调性原则；⑤情感性原则

5．教学方法是教学思想的反映，是教学原则的具体化和行为化，它随着教学思想的更新、教学目标和教学内容的变化而变化。在新课程理念的影响下，教学内容突出于学生生活的联系，强调让学生学习现实的、有意义的、富有挑战性的数学。所以在教学方法的改革上，强调学生动手实践、自主探索与合作交流，重视教师教法与学生学法的有机统一，突出对学生学习方法的指导。

6.小学数学教学的基本方法主要有讲解法、谈话法、练习法、演示法、实验法、阅读法、参观法、讨论法、实习法和复习法十种。

讲解法，是教师运用口头语言结合适当的板书或版画，想学生说明、解释或论证数学概念、计算法则和规律性知识的一种教学方法。对学生的要求：①要有一定的听讲和理解的能力；② 要能够保持较长时间的集中注意力；③ 要能够从教师的讲述中记下要点。对教师的要求：① 要有较强的语言表达能力；② 要充分发挥学生的主体作用；③ 要因材施教；④ 要指导学生学会听讲；⑤要正确地运用分析；⑥ 要适当地运用辅助教学手段。

7．谈话法，是教师使用谈话、问答及对话的方式，根据学生已有的知识和经验提出问题，启发学生对所提问题积极思考，从而使学生自己得出结论，活动新知识的一种教学方法。讨论法，是师生共同研讨或辩论，通过从不同角度理解问题，接受和确立比自己理解更好的问题方案或思维方式，同时满足学生自我表达的需要，增进教师与学生、学生与学生相互间的了解。

8.谈话法，讨论法。对学生的要求：学生要能对教师或其他学生提出的问题，积极思考，参与并努力应答，开动脑筋不怕答错。对教师的要求：① 要精心设问；② 要循循善诱；③ 要善于应变；④ 要鼓励质疑；⑤ 要耐心倾听。

9.练习法，是学生在教师的指导下，为巩固知识或形成技能、技巧而反复地完成一定动作或活动方式的一种教学方法。对学生的要求：学生要独立思考完成练习，不要抄袭，不可马虎、敷衍了事，要认真审题、抄题，对解答的过程和结果进行必要的检查和验证，还有注意总结归类，注意解题后的反思，合理安排练习时间，保持一种积极的心态。对教师的要求：① 设计铺垫练习要重在“架桥”；② 设计尝试练习要重在“诱导”；③ 设计基本练习要重在“明理”；④设计对比练习要重在“思辨”；⑤设计发展练习要注重“层次”；⑥ 设计综合练习要重抓“联系”。

10.演示法，是教师通过展示实物和模型等直观教具，引导学生通过观察获得感性知识的方法。实验法，是指在教师的指导下，学生运用某些具体材料或学具进行实验，找出对象的性质或问题的答案的一种教学方法。

11.演示法对教师的要求：①.要正确选用演示的教具；②.教具演示的时机要恰当；③.演示要讲求实效；④要一边演示教具一边讲解；⑤.演示要引导学生把注意力集中于事物的主要特征及其变化过程，避免次要特征的干扰。

12.实验法，对学生的要求：学生要准备好实验用品工具，要勤于动手，乐于动脑找出和发现规律及问题的答案。对教师的要求：①.教师要根据教学内容设计相关实验；② 教师在实验前一定要讲清实验的方法和要求。

13.阅读法，是在教师的指导下，学生通过阅读数学课本来获取数学知识的教学方法。这种教学方法一般在中、高年级应用。其特点是能够提高学生阅读和自学数学的能力。

14.阅读法对学生的要求：学生会按照教师的指导认真阅读，对不懂的地方要多读几遍，仍不理解的地方或内容要记下来，以便向老师和同学询问。对教师的要求：①.教师在学生阅读前，要向学生提出阅读要求，②.教师要重视对学生进行阅读方法的指导；③.教师要根据教学内容指导学生适当的阅读形式

15.小学数学课堂教学评价的主要目的在于，总结教师在课堂教学中的成功举措和优秀的教学经验，诊断课堂教学中的不足，以便更有效地改进教学。

16.小学数学课堂教学评价的基本原则：① 注重目标达成原则；② 注重行为表现原则；③ 注重效果全面原则。

17.小学数学课堂教学评价主要是从教学目标、教学内容、教学过程‘极爱教学方法、教师基本素质、教学效果等。

18.评价中药注意的几个问题：

①要注意评价的整体性，坚持全面评价 ②要注意评价的客观性，坚持实事求是 ③要注意定性分析与定量评价相结合

第三篇：小学数学教学论复习资料

《小学数学教学论》考试资料

第七章 问答题

1试分析小学校本课程开发存在的问题？

答案：

（一）课程理论体系系统不完善。首先，课程理论研究尚不成熟，理论的本土化尚需进一步的探索。其次，学校对理论的把握停留于表面。对于校本课程的发展的意义和需要什么教育理念知之不多。对理论的误解所引导开发的校本课程必然影响其品质。最后，课程专家缺乏。我国长期以来重视教学忽视课程，造成对课程专家培养的忽视。

（二）教师缺乏课程理论知识，课程开发能力薄弱。校本课程开发真正落实到使出的关键在于老师。由于缺乏老师课程设计、实施和评价等方面的专业知识，往往导致校本课程开发产生偏差，偏离了正确的轨道。没有教师发展就没有课程发展，教师课程专业知识缺乏和课程开发的能力的薄弱以及课程专业自主权的薄弱是实施这个的最大阻力和障碍。

（三）学校管理层课程改革意识薄弱。我国小学普遍存在班级过大的问题，学校的大班制教学也无法保证学生个性得到充分发展，其优势会受到影响。

（四）缺乏家长与社会的支持。家长都十分关注学生的学校生活，但几乎不关注学校的课程设置，校本课程的开发不仅需要校内资源，更加需要校外资源。

（五）城乡发展不平衡，农村学校处于“边缘区”。我国的教育存在地区发展不平衡的问题，主要表现为城乡差异悬殊，农村学校处于弱势地位。2.试述小学校本课程开发的主要策略？ 答案：1.明确理念（校本课程开发首先需要有明确的理念，有助于确定开发的方向，凝聚教育合力，形成学校特色）2.需求分析（分析的对象是学生需求，地区需求和社会需求）3.资源评估（对信息资源、能力资源和物质资源进行评估，还要对社区可利用的资源进行评估，以期在学校和社区之间形成一个良好的校本课程开发的资源环境）4.优势评价（包括管理优势 教师优势和学生优势）5.课程开发与教学改革一体化。

3，校本课程开发需要哪些条件保障？

答案：1.提供校级支持2.更新教师的教育观念（教师应该要尽快转换角色意识和教学观念）3.加强教师培训（课程开发要求老师具有课程问题意识、课程改革意识、课程开发意识和课程建设的基础知识）4.保障课程开发资源（保证课程开发资源也就成了落实校本课程开发的一个重要的物质条件）5.建设课程指导和咨询机构（以提供开发的理论，资源和创意等方面的服务）

第八章 简答题

1.小学课程与教学管理目标是什么？

答案：1.帮助师生树立新的课程理念和教学观念2.促进课程改革和建立良好的教学秩序3.充分调动师生的积极性，提高教学质量

2题：简述我国新课程三级管理模式的基本内容和方法？ 答案：它的基本框架是国家制定课程与教学发展总体规划，确定国家课程与教学标准，宏观指导课程与教学实施，为了实现目标，本次课程与教学改革重新划分了国家、地方、学校课程与教学在整个课程与教学计划中所占得比重，收缩了国家硬性规定的成分，在课程与教学内容和课时的安排上，体现了一定程度的弹性。3题：加强教学质量管理应该从哪几个方面开展工作？

答案：1.树立全面的教学质量观2.制定科学的教学质量标准3.开展教学质量检查4.进行教学质量分析5.实行教学质量控制。

第九章

简答题1题：简述教学提问艺术的基本原则？

答案;1.提问应该有目的性2.应有针对性3.应有思考性4.应有序列性5.提问要有预测性6.时机性7.要面向全班，同时鼓励学生提问。

2题：简述教学板书艺术的基本原则？

答案：1.板书要合理布局，书写规范2.板书要深入浅出3.板书要简明概括，美观醒目

3题：简述结课艺术的基本原则？

答案：1.由博返约，画龙点睛2.承前启后、形成链锁3.首尾呼应、脉络贯通4.严控时间、按时下课.第十章

简答题1.：简述课程与教学评价的原则？

答案：1.发展性原则2.科学性原则3.客观性原则4.过程性原则

2题：简述课程与教学评价的方法？

答案：1.量化评价法（指评价主题对评价对象简化为数量，对其进行数量的分析的比较，并据此进行价值判断）2.质性评价法（指评价主体对评价对性进行自然状态下的调查，全面充分的解释评价对象的各种本质特点，描述教育结果与教学目标相一致的程度，以彰显其中的意义。）

问答题1.课程与教学评价有哪些功能？结合实际谈谈如何科学地发挥评价的功能？

答案：1.导向功能（标准的确定总带有一定的倾向性）2.诊断功能（指通过课程与教学评价对课程与教学活动中存在的问题和现象进行分析，揭示其本质属性和根本原因，对课程与教学活动提出整改和补充的建议）3.激励功能（指通过课程与教学评价让被评价者客观正确的认识自己，在正确了解自己的优势和不足的情况下，从正反两方面受到鼓励和鞭策，以增强自身发展的积极性和主动性）4.调节功能（在分析、判断与评估的过程中，评价主体也会发现一些问题，并据此对课程与教学的相关因素进行调节）5.筛选功能（主要供管理部门鉴定和选拔人才之用）

2题：课程与教学评价的基本环节有哪些？如何组织与教学评价的实施？

答案：一准备环节（1.思想准备2.方案和文件的位置）二操作环节（1自评环节2.他评环节）三结果处理环节（1.分析判断2.综合评价3.信息反馈4.评价总结）

第四篇：小学数学最新《课程标准》复习资料

小学数学新《课程标准》复习资料

1.自然数是一类等价的有限集合的标记。

2.由全体自然数依次排列的一列数叫做自然数列。

3.自然数列的性质：

（1）有始性：自然数列最前面的一个自然数是零。

（2）有序性。

（３）无限性。

4.数数的特点：

（1）数数的结果总是唯一的，与所数事物的次序无关。

（2）数一种事物可以用另一种事物代替，然后再数，数得的结果是相同的。

（3）只要继续有事物可数，数数是永远数不完的。

5.自然数作为一类等价的非空有限集合的标记，可以表示集合中元素的个数，通常称为基数。

6.表示某个有序集合中每个元素所占的位置，通常称为序数。

7.我们让一队学生从排头开始报数，那么报出的“十二”用的是自然数基数和序数的意义。

8.两个数的和不小于每一个加数。

9.某数减去一个数，再加上同一个数，仍得原数。

10.解答应用题的步骤：

（1）理解题意；（２）分析；（３）列式计算；（４）检验作答。

11.零可以被任何非零自然数整除。

12.如果两个数都能被同一个自然数整除，那么它们的和（或差）也能被这个自然数整除。

13.如果两个数中的一个数能被一个自然数整除，那么这两个数的和（或差）能被这个自然数整除的充要条件是：另一个数也能被这个自然数整除。

14.如果一个自然数a能整除自然数b，b又能整除自然数c，那么a能整除c。（整除的传递性）

15.若干个数相乘，如果其中的一个因数能被某一个自然数整除，那么它们的积也能被这个自然数整除。

16.能被2或５整除的数的特征是：这个数的末一位数能被２或５整除。

17.能被４或２５整除的数的特征是：这个数的末二位数能被４或２５整除。

18.能被８或１２５整除的数的特征是：这个数的末三位数能被８或１２５整除。

19.能被７、１１或１３整除的数的特征是：这个数的末三位数与末三位数以前的数字组成的数之差（或反过来）能被７、１１或１３整除。

20.几个自然数公有的约数，叫做几个数的公约数。

21.几个自然数的公约数中最大的一个数，叫做这几个数的最大公约数。

22.两个数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。

23.两个数的最大公约数的约数，都是这两个数的公约数。

24.几个自然数公有的倍数，叫做这几个自然数的最小公倍数。

25.除０以外最小的一个公倍数叫做这几个数的最小公倍数。

26.两个自然数的任意一个公倍数都是它们的最小公倍数的倍数。

27.两个自然数的最小公倍数与最大公约数的乘积等于这两个自然数的乘积。

28.如果两个数a、b互质，那么a、b的最小公倍数等于a与b的积。

29.如果一个数d与ab的一个因数a互质，那么数d能整除这个积的充要条件是：数d能整除这个积的另一个因数b。

30.如果一个数m能被互质的两个数a、b整除，那么m也能被a、b的积整除。

31.一个大于１的整数，如果只能被１和它本身整除，就叫做质数，也叫做素数。32.大于１的任何整数，至少有一个约数是质数。

33.一个质数如果不能整除一个自然数，那么就与这个自然数素质。

34.如果几个自然数的积能被一个质数整除，那么这几个数里至少有一个数能被这个质数整除。

35.任何一个大于１的整数都可以分解质因数。

36.算术基本定理：一个大于１的整数，如果不管质因数的次序，那么分解质因数的结果是唯一的。

37.分数的单位是：把单位“１”平均分成n份，表示m个这样的一份的数。

38.分数含义：表示两个数相除的结果。

39.一个数除以分数的含义：计算就是已知一个数的是，求这个数。

40.计算就是求是的几分之几。

41.在小数的末尾添上或去掉几个零，小数的大小不变。

42.移动小点的位置。如把小数点向移动n 位，小数就扩大

倍；把小数点向左移动n位，小数就缩小n倍。

43.近似数截取方法：（１）四舍五入法。（２）进一法。（３）去尾法。

44.能化为有限小数的充要条件是：分母b 只含有质因数２、５。

45.只有大小的量，叫做标量（也叫做数量）。

46.既有大小又有方向的量，叫做向量（也叫做矢量）。

47.公元年数能被４整除的是闰年；但公元年数是整百的，必须能被４００整除才是闰年。

48.国际计量大会于一九六０年通过了国际单位制，它的国际简称是ＳＩ。

49.七个国际基本单位是：长度单位“米”；质量单位“千克”；时间单位“秒”；电流单位“安培”；热力学温度单位“开尔文”；物质的量单位“摩尔”；发光强度单位“坎德拉”。

50.一九九一年一月一日起我国正式实行国家法定的计量单位。

51.小学数学教学的作用：

让小学生学习数学最基础的知识，掌握一些基本技能，激发学生学习数学的兴趣，养成良好的学习习惯，有利于发展学生的智力和能力，为进一步学习创造了有利的条件。

52.确定小学数学教学目的的主要依据是小学教育培养目标，同时还应结合数学的学科特点，考虑到我国社会主义现代化建设的需要并照顾到小学生的年龄特征。

53.小学数学教学的培养目标：

初步具有爱祖国、爱人民、爱劳动、爱科学、爱社会主义等思想感情，初步养成关心他人、关心集体、认真负责、诚实、勤俭、勇敢、正直、合群、活泼向上等良好品德和个性品质，养成讲文明、讲礼貌、守纪律的行为习惯，初步具有自我管理以及分辨是非的能力。具有阅读、书写、表达、计算的基本知识的基本技能，了解一些生活、自然和社会常识，初步具有基本的观察、思维、动手操作和自学能力，养成良好的学习习惯。初步养成锻炼身体和讲究卫生的习惯，具有健康的身体。具有较广泛的兴趣和健康的爱美的情趣。初步学会生活自理，会使用简单的劳动工具，养成爱劳动的习惯。54.小学数学教学目的:

（1）使学生理解、掌握数量关系和几何图形的最基础知识。

（2）使学生具有进行整数、小数、分数四则计算的能力，培养初步的逻辑思维能力和空间观念，能够运用所学知识解决简单实际问题。

（3）使学生受思想品德教育。

55.小学数学教应完成的三项任务：

（1）使学生理解、掌握数量关系和几何图形的最基础知识。

小学数学的基础知识包括算术知识、几何初步知识、代数初步知识和统计初步知识等。

（2）培养一定的能力：

①计算能力。②初步的逻辑思维能力。③初步空间观念。④解决简单实际问题的能力。

（3）重视对学进行思想品德教育。56.选择小学数学教学内容的原则：

（1）要选择日常生活和进一步学习所必须需的数学最基础知识。

（2）要适应我国社会主义现代化建设和技术发展的需要。（3）要符合小学生的认识能力和接受能力。

57.小学数学教学内容编排的原则：

（1）由浅入深，循序渐进，适当分段，螺旋上升。

（2）突出基础概念和基本规律，注意各部分知识间纵、横两方面的联系。

（3）符合小学生的认识能力和思维发展规律。

58.整数及其四则运算教学内容的编排：

（1）由简单到复杂，按照我国计数习惯适当分段。

（2）口算、笔算和珠算适当配合。

（3）对有关整数方面的最基础的理论知识，采取提前孕伏，逐步引入，先具体说明、运用，后抽象、概括的编排方法。

（4）注意跟几何、代数初步知识的配合。

（5）用直观的方法，有机地渗透一些数学思想和方法。

59.小数及其四则运算教学内容的编排特点：

（1）小数安排在分数前面。

（2）小数教学内容应分段。

（3）小数及其四则运算内容的编排基本上与整数类似。

60.分数及其四则运算教学内容的编排特点：

（1）分数的教学内容一般分为两段教学。

（2）分数的概念都要从实际引入，及时进行抽象和概括。

（3）关于带分数问题（假分数不一定要化成带分数）。61.量的计量教学内容的编排特点：

（1）由具体到抽象，由近及远。

（2）注意和数与形的知识相配合。

（3）注意将计量知识和实际测量相结合。

（4）注意系统整理。

62.应用题教学内容的编排特点：

（1）在认数和１０以内加减法中去孕伏和渗透有关简单应用题的知识。

（2）简单应用题的编排重视让学生熟悉应用题的结构，初步学会分析数量关系，掌握解应用题的方法。

（3）复合应用以两三步应用题为主，其中首先要突破两步应用题这一关键。

63.几何初知识教学内容的编排特点：

（1）既要根据几何知识的内在联系，双要遵循小学生的认识规律。

（2）要恰当地处理数和形之间的关系。

（3）加强操作活动，使学生在实践活动中理解和掌握几何图形的特征和求积方法。

（4）注意几何图形之间的联系促使几何知识的系统化。

（5）练习的安排既要注意巩固和加深对几何概念的理解，又要注意培养空间观念和综合运用知识的能力。

64.代数初步知识教学内容的编排特点：

（1）代数知识和算术知识交替编排，使二者相互配合、相互促进。

（2）代数知识采取早期孕伏，逐步渗透的编排方法，有助于学生对代数概念和简易方程的理解和掌握。

（3）代数初步知识的教学，促进了教学内容的改革。

（4）比和比例教学内容改革了传统的概念。65.统计初步知识教学内容的编排：

（1）在四则运算、应用题、百分率的教学中渗透了有关统计的思想和方法。

（2）通过求平均数应用题渗透统计思想。

66.小学数学教学必须符合的两个基本特点：

（1）小学数学教学要符合数学学科本身的特点。

（2）小学数学教学要符合小学生的特点。

67.可以从以下几方面发展学生的思维能力：

（1）结合教学内容，引导学生初步学会观察、比较、分析、综合、抽象、概括、判断、推理等思想方法。

（2）结合教学注意培养学生的思维品质。①敏捷性； ②灵活性 ；③独创性。

68.小学数学教学原则：

（1）科学性与思想性相结合的原则。

（2）教师的主导作用和学生的自觉性、积极性相结合的原则。

（3）理论联系实际的原则。

（4）注重直观与发展抽象思维相结合的原则。

（5）传授知识和发展智力相结合的原则。69.小学数学教学的几种方法：

（1）讲解法；（２）谈话法；（３）练习法；（４）演示法；（5）实验法；70.几种综合教学方法：

（1）引导发现法

（2）尝试教学法

（3）自学辅导法

71.六因素单元教学法：程序教学法

72.备课的基本要求：

（1）认真学习小学数学教学大纲（备大纲）。

（2）认真钻研教材（备教材）。

（3）了解学生（备学生）。

（4）组织教材，选择教法（备教法）。

（5）备自己。

（6）教具学具的准备。

73.学期授课计划的拟定的内容：

（1）提出全学期总的要求。

（2）对学生情况作简单分析。

（3）提出提高教学质量的措施。

（4）确定本学期的重点研究课题。

（5）安排本学期的教学进度表。

74.课时授课计划的内容：

（1）教学内容或课题。

（2）教学目的要求。

（3）教具、学具及现代化教学手段的准备。

（4）拟定教学过程。

75.新授课的组织方法：

（1）检查复习。

（2）导入新课。

（3）传授新知识。

（4）巩固练习。

阅读法。（６）（5）课堂作业。

（6）课堂小结并布置课外作业。76.练习课的组织方法：

（1）宣布练习的内容和要求。

（2）作练习前的指导。

（3）课堂练习。

（4）练习评讲。

（5）布置课外作业。

77.复习课的组织方法。

（1）宣布复习的内容与要求。

（2）复习。

（3）练习。

（4）评讲。

（5）布置作业。

78.检查课的组织方法：

（1）提出检查要求。

（2）检查。

（3）收集检查结果。

79.讲评课的组织方法：

（1）检查情况小结。

（2）阅看试卷。

（3）重点错误分析。

（4）订正错误。

（5）布置作业。

80.上课的基本要求：

（1）有明确切的教学目标。

（2）恰当地组织教材。

（3）教学方法得当、教学手段先进。

（4）注意调动全班学生的学习积极性。

（5）重视发展学生的智力。

（6）课堂教学组织严密、紧凑，效率高。

81.常用的导入设计法有：

（1）创设情境，激发动机。

（2）巧设悬念，启迪思维。

（3）开门见山，简捷明快。

（4）操作实验，建立表象。

82.新授知识的教学设计应注意：

（1）抓教材重点，突破难点。

（2）精心设计提问，优化课堂教学。

（3）培养学生的学习能力。

（4）调动学生学习的主动性。

（5）灵活运用教学方法。

83.练习课的教学设计应注意：

（1）针对性

（2）层次性

（3）思考性（4）趣味性

（5）多样性

84.小学数学的整体知识结构：

（1）认数与计算

①整数的认识及其四则运算（分成四个阶段）；

②小数的认识及其四则运算（分成四个阶段）；

③分数的认识及其四则运算（分成四个阶段）；

④百分数的认识。

（2）量的计量

①长度单位：米、分米、厘米、毫米、千米；

②重量单位：千克、克、吨；

③容量单位：升、毫升（包括体积单位）；

④时间单位：时、分、秒、年、月、日。

（3）几何初步知识

①认识平面上最基本的图形及其面积计算；

②认识长方体、正方体、圆柱、圆锥及其体积计算；

③球的初步认识。

（4）代数初步知识

①用字母表示数；

②简易方程（ax±b=c，ax±bx=c）；

③列方程解应用题。

（5）统计初步知识

①简单的统计表；

②数据的收集和分类处理；

③条形统计图、折线统计图、扇形统计图。

（6）应用题

①基本应用题（也就是简单应用题）；

②复合应用题（以三步计算为主）；

③分数应用题（包括工程问题）； ④百分数应用题。

（7）比和比例

①比的意义和性质；

②比例的意义和基本性质；

③解比例，比例应用题。

85.小学数学的部分知识结构：

（1）比和比例的知识结构

比 → | 比例 → | 正反比例 →

86.统计的初步知识的知识结构：

（1）统计的初步知识

（2）数据的收集和分类处理

87.小学数学的部分的分支知识结构：

整数知识结构

整数 → 数与计算的知识结构

88.数的整除知识结构的几种分法：

（１）数的整除知识结构

①侧重知识内在的逻辑关系来划分 ②侧重知识出现的顺序来划分

（２）小数知识结构

（３）平面图形知识结构

（４）分数知识结构

89.小学数学教学评价的原则：

（1）科学性原则

（2）整体性原则

（3）鲜明性原则

（4）实效性原则

（5）实用性原则

90.小学数学评价的内容：

（1）对学生的评价内容

①学习状态的评价

②学习心理的评价

③学习成果的评价

④思维品德的评价

（2）对教师评价的内容

A.教师素质的评价

①政治素质、思想素质

②文化科学素质、业务理论素质

③心理素质和身体素质

④教态、板书

B.工作能力的评价

C.教学过程的评价

D.教学成果的评价

（3）对教学过程的评价

A.教学目标

B.教学内容

C.教学组织

①课堂结构安排

②教学密度

③驾驭课堂能力

D.教学方法

E.学习方式

F.学习态度

G.教学手段

H.教学效果

第五篇：毕业班小学数学总复习资料

毕业班小学数学总复习资料

常用的数量关系式

1、每份数×份数＝总数

总数÷每份数＝份数

总数÷份数＝每份数 2、1倍数×倍数＝几倍数

几倍数÷1倍数＝倍数

几倍数÷倍数＝1倍数

3、速度×时间＝路程

路程÷速度＝时间

路程÷时间＝速度

4、单价×数量＝总价

总价÷单价＝数量

总价÷数量＝单价

5、工作效率×工作时间＝工作总量

工作总量÷工作效率＝工作时间

工作总量÷工作时间＝工作效率

6、加数＋加数＝和

和－一个加数＝另一个加数

7、被减数－减数＝差

被减数－差＝减数

差＋减数＝被减数

8、因数×因数＝积

积÷一个因数＝另一个因数

9、被除数÷除数＝商

被除数÷商＝除数

商×除数＝被除数

小学数学图形计算公式

1、正方形（C：周长

S：面积

a：边长）

周长＝边长×C=4a

面积=边长×边长

S=a×a

2、正方体（V:体积

a:棱长）

表面积=棱长×棱长×6

S表=a×a×6

体积=棱长×棱长×棱长

V=a×a×a

3、长方形（C：周长

S：面积

a：边长）

周长=(长+宽)×C=2(a+b)

面积=长×宽

S=ab

4、长方体（V:体积

s:面积

a:长

b: 宽

h:高）

(1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×S=2(ab+ah+bh)

(2)体积=长×宽×高

V=abh

5、三角形（s：面积

a：底

h：高）

面积=底×高÷

2s=ah÷2

三角形高=面积 ×2÷底

三角形底=面积 ×2÷高

6、平行四边形（s：面积

a：底

h：高）

面积=底×高

s=ah

7、梯形（s：面积

a：上底

b：下底

h：高）

面积=(上底+下底)×高÷

2s=(a+b)× h÷2

8、圆形（S：面积

C：周长 л

d=直径

r=半径）

(1)周长=直径×л=2×л×半径

C=лd=2лr

(2)面积=半径×半径×л

9、圆柱体（v:体积

h:高

s：底面积

r:底面半径

c:底面周长）

(1)侧面积=底面周长×高=ch(2лr或лd)(2)表面积=侧面积+底面积×2

(3)体积=底面积×高

（4）体积＝侧面积÷2×半径

圆锥体（v:体积

h:高

s：底面积

r:底面半径）

体积=底面积×高÷3

11、总数÷总份数＝平均数

15、相遇问题

相遇路程＝速度和×相遇时间 相遇时间＝相遇路程÷速度和 速度和＝相遇路程÷相遇时间

17、利润与折扣问题 利润＝售出价－成本 利息＝本金×利率×时间

第二章 度量衡

一 长度

单位之间的换算

1厘米 ＝10 毫米

1分米 ＝10 厘米

1米 ＝1000 毫米

1千米＝1000 米

二 面积

（一）什么是面积

面积，就是物体所占平面的大小。对立体物体的表面的多少的测量一般称表面积。

（二）常用的面积单位

平方毫米、平方厘米、平方分米、平方米、平方千米

（三）面积单位的换算

1平方厘米 ＝100平方毫米

1平方分米=100平方厘米

1平方米 ＝100平方分米

1公倾 ＝10000平方米

1平方公里 ＝100 公顷

三 体积和容积

（一）什么是体积、容积

体积，就是物体所占空间的大小。

容积，箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做它们的容积。

（二）常用单位 体积单位: 立方米、立方分米、立方厘米 容积单位: 升、毫升

（三）单位换算 体积单位：

1立方米=1000立方分米

1立方分米=1000立方厘米 容积单位：

1升=1000毫升

1升=1立方米

1毫升=1立方厘米

四 质量

（二）常用单位

吨

t、千克 kg、克 g

（三）常用换算： 1吨=1000千克

1千克=1000克

五 时间

（二）常用单位

世纪、年、月、日、时、分、秒

（三）单位换算： 1世纪=100年

1年=365天

平年

一年=366天

闰年 一、三、五、七、八、十、十二是大月

大月有31 天 四、六、九、十一是小月小月

小月有30天

平年2月有28天

闰年2月有29天

1天= 24小时

1小时=60分

1分=60秒

第三章 代数初步知识

一、用字母表示数

2用字母表示常见的数量关系、运算定律和性质、几何形体的计算公式

（1）常见的数量关系

路程用s表示，速度v用表示，时间用t表示，三者之间的关系：

s=vt

v=s/t

t=s/v

总价用a表示，单价用b表示，数量用c表示，三者之间的关系:

a=bc

b=a/c

c=a/b

（2）运算定律和性质

加法交换律：a+b=b+a

加法结合律：（a+b)+c=a+(b+c)

乘法交换律：ab=ba

乘法结合律：（ab)c=a(bc)

乘法分配律：（a+b)c=ac+bc

减法的性质：a-(b+c)=a-b-c

（3）用字母表示几何形体的公式

长方形的长用a表示，宽用b表示，周长用c表示，面积用s表示。

c=2(a+b)

s=ab

正方形的边长a用表示，周长用c表示，面积用s表示。

c=4a

平行四边形的底a用表示，高用h表示，面积用s表示。

s=ah

三角形的底用a表示，高用h表示，面积用s表示。

s=ah/2

梯形的上底用a表示，下底b用表示，高用h表示，中位线用m表示，面积用s表示。

s=(a+b)h/2

s=mh

圆的半径用r表示，直径用d表示，周长用c表示，面积用s表示。

c=∏d=2∏r

长方体的长用a表示，宽用b表示，高用h表示，表面积用s表示，体积用v表示。

v=sh

s=2(ab+ah+bh)

v=abh

正方体的棱长用a表示，底面周长c用表示，底面积用s表示，体积用v表示.圆柱的高用h表示，底面周长用c表示，底面积用s表示，体积用v表示.s侧=ch

s表=s侧+2s底

v=sh

圆锥的高用h表示，底面积用s表示，体积用v表示.v=sh/3 用字母表示数的写法

数字和字母、字母和字母相乘时，乘号可以记作“.”，或者省略不写，数字要写在字母的前面。

当“1”与任何字母相乘时，“1”省略不写。

在一个问题中，同一个字母表示同一个量，不同的量用不同的字母表示。

用含有字母的式子表示问题的答案时，除数一般写成分母，如果式子中有加号或者减号，要先用括号把含字母的式子括起来，再在括号后面写上单位的名称。

五

比和比例

1比的意义和性质

（1）比的意义

两个数相除又叫做两个数的比。

“：”是比号，读作“比”。比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。

同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商。

比值通常用分数表示，也可以用小数表示，有时也可能是整数。

比的后项不能是零。

根据分数与除法的关系，可知比的前项相当于分子，后项相当于分母，比值相当于分数值。

（2）比的性质

比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数（0除外），比值不变，这叫做比的基本性质。

（3）

求比值和化简比

求比值的方法：用比的前项除以后项，它的结果是一个数值可以是整数，也可以是小数或分数。

根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。它的结果必须是一个最简比，即前、后项是互质的数。

（4）比例尺

图上距离：实际距离=比例尺

要求会求比例尺；已知图上距离和比例尺求实际距离；已知实际距离和比例尺求图上距离。

线段比例尺：在图上附有一条注有数目的线段，用来表示和地面上相对应的实际距离。

（5）按比例分配

在农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。这种分配的方法通常叫做按比例分配。

方法：首先求出各部分占总量的几分之几，然后求出总数的几分之几是多少。比例的意义和性质

（1）比例的意义

表示两个比相等的式子叫做比例。

组成比例的四个数，叫做比例的项。

两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。

（2）比例的性质

在比例里，两个外项的积等于两个两个内向的积。这叫做比例的基本性质。

（3）解比例

根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个数比例中的另外一个未知项。求比例中的未知项，叫做解比例。正比例和反比例

（1）成正比例的量

两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。

用字母表示y/x=k(一定）

（2）成反比例的量

两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。

用字母表示x×y=k(一定)

第四章 几何的初步知识

一 线和角

（1）线

* 直线

直线没有端点；长度无限；过一点可以画无数条，过两点只能画一条直线。

*

射线

射线只有一个端点；长度无限。

* 线段

线段有两个端点，它是直线的一部分；长度有限；两点的连线中，线段为最短。

*平行线

在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

两条平行线之间的垂线长度都相等。

* 垂线

两条直线相交成直角时，这两条直线叫做互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线,相交的点叫做垂足。

从直线外一点到这条直线所画的垂线的长叫做这点到直线的距离。

（2）角

（1）从一点引出两条射线，所组成的图形叫做角。这个点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。

（2）角的分类

锐角：小于90°的角叫做锐角。

直角：等于90°的角叫做直角。

钝角：大于90°而小于180°的角叫做钝角。

平角：角的两边成一条直线，这时所组成的角叫做平角。平角180°。

周角：角的一边旋转一周，与另一边重合。周角是360°。

二平面图形

1长方形

（1）特征

对边相等，4个角都是直角的四边形。有两条对称轴。

（2）计算公式

c=2(a+b)

s=ab

2正方形

（1）特征：

四条边都相等，四个角都是直角的四边形。有4条对称轴。

（2）计算公式

c=4a

3三角形

（1）特征

由三条线段围成的图形。内角和是180度。三角形具有稳定性。三角形有三条高。

（2）计算公式

s=ah/2

（3）分类

按角分

锐角三角形 ：三个角都是锐角。

直角三角形 ：有一个角是直角。等腰三角形的两个锐角各为45度，它有一条对称轴。

钝角三角形：有一个角是钝角。

按边分

不等边三角形：三条边长度不相等。

等腰三角形：有两条边长度相等；两个底角相等；有一条对称轴。

等边三角形：三条边长度都相等；三个内角都是60度；有三条对称轴。

4平行四边形

（1）

特征

两组对边分别平行的四边形。

相对的边平行且相等。对角相等，相邻的两个角的度数之和为180度。平行四边形容易变形。

（2）计算公式

s=ah 梯形

（1）特征

只有一组对边平行的四边形。

中位线等于上下底和的一半。

等腰梯形有一条对称轴。

（2）公式

s=(a+b)h/2 圆

（1）圆的认识

平面上的一种曲线图形。

圆中心的一点叫做圆心。一般用字母o表示。

半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。一般用r表示。

在同一个圆里，有无数条半径，每条半径的长度都相等。

通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用d表示。

同一个圆里有无数条直径，所有的直径都相等。

同一个圆里，直径等于两个半径的长度，即d=2r。

圆的大小由半径决定。圆有无数条对称轴。

（3）圆的周长

围成圆的曲线的长叫做圆的周长。

把圆的周长和直径的比值叫做圆周率。用字母∏表示。

（4）圆的面积

圆所占平面的大小叫做圆的面积。

（5）计算公式

d=2r

r=d/

2c=∏d

c=2∏r

8环形

(1)特征

由两个半径不相等的同心圆相减而成，有无数条对称轴。

(2)

计算公式：

9轴对称图形

(1)

特征

如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。

正方形有4条对称轴，长方形有2条对称轴。

等腰三角形有2条对称轴，等边三角形有3条对称轴。

等腰梯形有一条对称轴，圆有无数条对称轴。

菱形有4条对称轴，扇形有一条对称轴。

三 立体图形

（一）长方体 特征

六个面都是长方形（有时有两个相对的面是正方形）。

相对的面面积相等，12条棱相对的4条棱长度相等。

有8个顶点。

相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长、宽、高。

两个面相交的边叫做棱。

三条棱相交的点叫做顶点。

把长方体放在桌面上，最多只能看到三个面。

长方体或者正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。计算公式

s=2(ab+ah+bh)

V=sh

V=abh

（二）正方体 特征

六个面都是正方形

六个面的面积相等

12条棱，棱长都相等

有8个顶点

正方体可以看作特殊的长方体

（三）圆柱

1圆柱的认识

圆柱的上下两个面叫做底面。

圆柱有一个曲面叫做侧面。

圆柱两个底面之间的距离叫做高。

进一法：实际中，使用的材料都要比计算的结果多一些，因此，要保留数的时候，省略的位上的是4或者比4小，都要向前一位进1。这种取近似值的方法叫做进一法。

2计算公式

s侧=ch

s表=s侧+s底×2

v=sh

（四）圆锥 圆锥的认识

圆锥的底面是个圆，圆锥的侧面是个曲面。

从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。

测量圆锥的高：先把圆锥的底面放平，用一块平板水平地放在圆锥的顶点上面，竖直地量出平板和底面之间的距离。

把圆锥的侧面展开得到一个扇形。2计算公式

v= sh/3

第五章 简单的统计

一

数和数的运算

（一）整数 整数的意义

自然数和0都是整数。自然数

我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3……叫做自然数。

一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。

3计数单位

一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。

每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这样的计数法叫做十进制计数法。数位

计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。

5数的整除

整数a除以整数b(b ≠ 0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。

如果数a能被数b（b ≠ 0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数（或a的因数）。倍数和约数是相互依存的。

因为35能被7整除，所以35是7的倍数，7是35的约数。

一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的约数是它本身。例如：10的约数有1、2、5、10，其中最小的约数是1，最大的约数是10。

一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。3的倍数有：3、6、9、12……其中最小的倍数是3，没有最大的倍数。

个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，例如：202、480、304，都能被2整除。

个位上是0或5的数，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整除。

一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除，例如：12、108、204都能被3整除。

一个数各位数上的和能被9整除，这个数就能被9整除。

能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。

一个数的末两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。例如：16、404、1256都能被4整除，50、325、500、1675都能被25整除。

一个数的末三位数能被8（或125）整除，这个数就能被8（或125）整除。例如：1168、4600、5000、12344都能被8整除，1125、13375、5000都能被125整除。

能被2整除的数叫做偶数。

不能被2整除的数叫做奇数。

0也是偶数。自然数按能否被2 整除的特征可分为奇数和偶数。

一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数（或素数），100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。

一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数，例如 4、6、8、9、12都是合数。

1不是质数也不是合数，自然数除了1外，不是质数就是合数。如果把自然数按其约数的个数的不同分类，可分为质数、合数和1。

每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数，例如15=3×5，3和5 叫做15的质因数。

把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

例如把28分解质因数

几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数，例如12的约数有1、2、3、4、6、12；18的约数有1、2、3、6、9、18。其中，1、2、3、6是12和1 8的公约数，6是它们的最大公约数。

公约数只有1的两个数，叫做互质数，成互质关系的两个数，有下列几种情况：

1和任何自然数互质。

相邻的两个自然数互质。

两个不同的质数互质。

当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质。

两个合数的公约数只有1时，这两个合数互质，如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质。

如果较小数是较大数的约数，那么较小数就是这两个数的最大公约数。

如果两个数是互质数，它们的最大公约数就是1。

几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数，如2的倍数有2、4、6、8、10、12、14、16、18 ……

3的倍数有3、6、9、12、15、18 …… 其中6、12、18……是2、3的公倍数，6是它们的最小公倍数。

如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。

如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。

几个数的公约数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。

（二）小数 小数的意义

把整数1平均分成10份、100份、1000份„„ 得到的十分之几、百分之几、千分之几„„ 可以用小数表示。

一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几„„

一个小数由整数部分、小数部分和小数点部分组成。数中的圆点叫做小数点，小数点左边的数叫做整数部分，小数点左边的数叫做整数部分，小数点右边的数叫做小数部分。

在小数里，每相邻两个计数单位之间的进率都是10。小数部分的最高分数单位“十分之一”和整数部分的最低单位“一”之间的进率也是10。

2小数的分类

纯小数：整数部分是零的小数，叫做纯小数。例如： 0.25、0.368 都是纯小数。

带小数：整数部分不是零的小数，叫做带小数。例如： 3.25、5.26 都是带小数。

有限小数：小数部分的数位是有限的小数，叫做有限小数。例如： 41.7、25.3、0.23 都是有限小数。

无限小数：小数部分的数位是无限的小数，叫做无限小数。例如： 4.33 „„ 3.1415926 „„

无限不循环小数：一个数的小数部分，数字排列无规律且位数无限，这样的小数叫做无限不循环小数。例如：∏

循环小数：一个数的小数部分，有一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这个数叫做循环小数。例如： 3.555 „„ 0.0333 „„ 12.109109 „„

一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。例如： 3.99 „„的循环节是“ 9 ”，0.5454 „„的循环节是“ 54 ”。

纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的，叫做纯循环小数。例如： 3.111 „„ 0.5656 „„

混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的，叫做混循环小数。3.1222 „„ 0.03333 „„

写循环小数的时候，为了简便，小数的循环部分只需写出一个循环节，并在这个循环节的首、末位数字上各点一个圆点。如果循环节只有一个数字，就只在它的上面点一个点。例如： 3.777 „„ 简写作

0.5302302 „„ 简写作。

（三）分数 分数的意义

把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。

在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数，叫做分母，表示把单位“1”平均分成多少份；分数线下面的数叫做分子，表示有这样的多少份。

把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的数，叫做分数单位。分数的分类

真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1。

假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数。假分数大于或等于1。

带分数：假分数可以写成整数与真分数合成的数，通常叫做带分数。约分和通分

把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数，叫做约分。

分子分母是互质数的分数，叫做最简分数。

把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。

（四）百分数 表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数,也叫做百分率或百分比。百分数通常用'%'来表示。百分号是表示百分数的符号。

二

方法

（一）数的读法和写法

1.整数的读法：从高位到低位，一级一级地读。读亿级、万级时，先按照个级的读法去读，再在后面加一个“亿”或“万”字。每一级末尾的0都不读出来，其它数位连续有几个0都只读一个零。

2.整数的写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。

3.小数的读法：读小数的时候，整数部分按照整数的读法读，小数点读作“点”，小数部分从左向右顺次读出每一位数位上的数字。

4.小数的写法：写小数的时候，整数部分按照整数的写法来写，小数点写在个位右下角，小数部分顺次写出每一个数位上的数字。

5.分数的读法：读分数时，先读分母再读“分之”然后读分子，分子和分母按照整数的读法来读。

6.分数的写法：先写分数线，再写分母，最后写分子，按照整数的写法来写。

7.百分数的读法：读百分数时，先读百分之，再读百分号前面的数，读数时按照整数的读法来读。

8.百分数的写法：百分数通常不写成分数形式，而在原来的分子后面加上百分号“%”来表示。

（二）数的改写

一个较大的多位数，为了读写方便，常常把它改写成用“万”或“亿”作单位的数。有时还可以根据需要，省略这个数某一位后面的数，写成近似数。

1.准确数：在实际生活中，为了计数的简便，可以把一个较大的数改写成以万或亿为单位的数。改写后的数是原数的准确数。例如把 1254300000 改写成以万做单位的数是 125430 万；改写成 以亿做单位 的数 12.543 亿。

2.近似数：根据实际需要，我们还可以把一个较大的数，省略某一位后面的尾数，用一个近似数来表示。例如： 1302490015 省略亿后面的尾数是 13 亿。

3.四舍五入法：要省略的尾数的最高位上的数是4 或者比4小，就把尾数去掉；如果尾数的最高位上的数是5或者比5大，就把尾数舍去，并向它的前一位进1。例如：省略 345900 万后面的尾数约是 35 万。省略 4725097420 亿后面的尾数约是 47 亿。

4.大小比较

1.比较整数大小：比较整数的大小，位数多的那个数就大，如果位数相同，就看最高位，最高位上的数大，那个数就大；最高位上的数相同，就看下一位，哪一位上的数大那个数就大。

2.比较小数的大小：先看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大„„

3.比较分数的大小:分母相同的分数，分子大的分数比较大；分子相同的数，分母小的分数大。分数的分母和分子都不相同的，先通分，再比较两个数的大小。

（三）数的互化

1.小数化成分数：原来有几位小数，就在1的后面写几个零作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分。

2.分数化成小数：用分母去除分子。能除尽的就化成有限小数，有的不能除尽，不能化成有限小数的，一般保留三位小数。

3.一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2和5 以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。

4.小数化成百分数：只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。

5.百分数化成小数：把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。

6.分数化成百分数：通常先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数)，再把小数化成百分数。

7.百分数化成小数：先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。

（四）数的整除

1.把一个合数分解质因数，通常用短除法。先用能整除这个合数的质数去除，一直除到商是质数为止，再把除数和商写成连乘的形式。

2.求几个数的最大公约数的方法是：先用这几个数的公约数连续去除，一直除到所得的商只有公约数1为止，然后把所有的除数连乘求积，这个积就是这几个数的的最大公约数。

3.求几个数的最小公倍数的方法是：先用这几个数（或其中的部分数）的公约数去除，一直除到互质（或两两互质）为止，然后把所有的除数和商连乘求积，这个积就是这几个数的最小公倍数。

4.成为互质关系的两个数：1和任何自然数互质；相邻的两个自然数互质；

当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质；两个合数的公约数只有1时，这两个合数互质。

（五）约分和通分

约分的方法：用分子和分母的公约数（1除外）去除分子、分母；通常要除到得出最简分数为止。

通分的方法：先求出原来的几个分数分母的最小公倍数，然后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。

三

性质和规律

（一）商不变的规律

商不变的规律：在除法里，被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍，商不变。

（二）小数的性质

小数的性质：在小数的末尾添上零或者去掉零小数的大小不变。

（三）小数点位置的移动引起小数大小的变化

1.小数点向右移动一位，原来的数就扩大10倍；小数点向右移动两位，原来的数就扩大100倍；小数点向右移动三位，原来的数就扩大1000倍„„

2.小数点向左移动一位，原来的数就缩小10倍；小数点向左移动两位，原来的数就缩小100倍；小数点向左移动三位，原来的数就缩小1000倍„„

3.小数点向左移或者向右移位数不够时，要用“0'补足位。

（四）分数的基本性质

分数的基本性质：分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数（零除外），分数的大小不变。

（五）分数与除法的关系

1.被除数÷除数=

被除数/除数

2.因为零不能作除数，所以分数的分母不能为零。

3.被除数相当于分子，除数相当于分母。

四

运算的意义

（一）整数四则运算

1整数加法：

把两个数合并成一个数的运算叫做加法。

在加法里，相加的数叫做加数，加得的数叫做和。加数是部分数，和是总数。

加数+加数=和

一个加数=和－另一个加数

2整数减法：

已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算叫做减法。

在减法里，已知的和叫做被减数，已知的加数叫做减数，未知的加数叫做差。被减数是总数，减数和差分别是部分数。

加法和减法互为逆运算。

3整数乘法：

求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法。

在乘法里，相同的加数和相同加数的个数都叫做因数。相同加数的和叫做积。

在乘法里，0和任何数相乘都得0.1和任何数相乘都的任何数。

一个因数× 一个因数 =积

一个因数=积÷另一个因数

4整数除法：

已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做除法。

在除法里，已知的积叫做被除数，已知的一个因数叫做除数，所求的因数叫做商。

乘法和除法互为逆运算。

在除法里，0不能做除数。因为0和任何数相乘都得0，所以任何一个数除以0，均得不到一个确定的商。

被除数÷除数=商

除数=被除数÷商

被除数=商×除数

（二）小数四则运算

1.小数加法：

小数加法的意义与整数加法的意义相同。是把两个数合并成一个数的运算。

2.小数减法：

小数减法的意义与整数减法的意义相同。已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算.3.小数乘法：

小数乘整数的意义和整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算；一个数乘纯小数的意义是求这个数的十分之几、百分之几、千分之几„„是多少。

4.小数除法：

小数除法的意义与整数除法的意义相同，就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。

5.乘方:

求几个相同因数的积的运算叫做乘方。例如 3 × 3 =32

（三）分数四则运算

1.分数加法：

分数加法的意义与整数加法的意义相同。是把两个数合并成一个数的运算。

2.分数减法：

分数减法的意义与整数减法的意义相同。已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算。

3.分数乘法：

分数乘法的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算。

4.乘积是1的两个数叫做互为倒数。

5.分数除法：

分数除法的意义与整数除法的意义相同。就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。

（四）运算定律

1.加法交换律：

两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变，即a+b=b+a。

2.加法结合律：

三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再和第一个数相加它们的和不变，即（a+b)+c=a+(b+c)。

3.乘法交换律：

两个数相乘，交换因数的位置它们的积不变，即a×b=b×a。

4.乘法结合律：

三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘以第三个数；或者先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，它们的积不变，即(a×b)×c=a×(b×c)。

5.乘法分配律：

两个数的和与一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘再把两个积相加，即(a+b)×c=a×c+b×c。

6.减法的性质：

从一个数里连续减去几个数，可以从这个数里减去所有减数的和，差不变，即a-b-c=a-(b+c)。

（五）运算法则

1.整数加法计算法则：

相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数相加满十，就向前一位进一。

2.整数减法计算法则：

相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数不够减，就从它的前一位退一作十，和本位上的数合并在一起，再减。

3.整数乘法计算法则：

先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数各个数位上的数，用因数哪一位上的数去乘，乘得的数的末尾就对齐哪一位，然后把各次乘得的数加起来。

4.整数除法计算法则：

先从被除数的高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位；如果不够除，就多看一位，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面。如果哪一位上不够商1，要补“0”占位。每次除得的余数要小于除数。

5.小数乘法法则：

先按照整数乘法的计算法则算出积，再看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果位数不够，就用“0”补足。

6.除数是整数的小数除法计算法则：

先按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添“0”，再继续除。

7.除数是小数的除法计算法则：

先移动除数的小数点，使它变成整数，除数的小数点也向右移动几位（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法法则进行计算。

8.同分母分数加减法计算方法:

同分母分数相加减，只把分子相加减，分母不变。

9.异分母分数加减法计算方法:

先通分，然后按照同分母分数加减法的的法则进行计算。

10.带分数加减法的计算方法:

整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的数合并起来。

11.分数乘法的计算法则:

分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变；分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。

12.分数除法的计算法则:

甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。

（六）运算顺序

1.小数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。

2.分数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。

3.没有括号的混合运算:

同级运算从左往右依次运算；两级运算先算乘、除法，后算加减法。

4.有括号的混合运算:

先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。

5.第一级运算：

加法和减法叫做第一级运算。

6.第二级运算：

乘法和除法叫做第二级运算。

五

应用

（一）整数和小数的应用 简单应用题

（1）简单应用题：只含有一种基本数量关系，或用一步运算解答的应用题，通常叫做简单应用题。

（2）解题步骤：

a 审题理解题意：了解应用题的内容，知道应用题的条件和问题。读题时，不丢字不添字边读边思考，弄明白题中每句话的意思。也可以复述条件和问题，帮助理解题意。

b选择算法和列式计算：这是解答应用题的中心工作。从题目中告诉什么，要求什么着手，逐步根据所给的条件和问题，联系四则运算的含义，分析数量关系，确定算法，进行解答并标明正确的单位名称。

C检验：就是根据应用题的条件和问题进行检查看所列算式和计算过程是否正确，是否符合题意。如果发现错误，马上改正。复合应用题

（1）有两个或两个以上的基本数量关系组成的，用两步或两步以上运算解答的应用题，通常叫做复合应用题。

（2）含有三个已知条件的两步计算的应用题。

求比两个数的和多（少）几个数的应用题。

比较两数差与倍数关系的应用题。

（3）含有两个已知条件的两步计算的应用题。

已知两数相差多少（或倍数关系）与其中一个数，求两个数的和（或差）。

已知两数之和与其中一个数，求两个数相差多少（或倍数关系）。

（4）解答连乘连除应用题。

（5）解答三步计算的应用题。

（6）解答小数计算的应用题：小数计算的加法、减法、乘法和除法的应用题，他们的数量关系、结构、和解题方式都与正式应用题基本相同，只是在已知数或未知数中间含有小数。

d答案：根据计算的结果，先口答，逐步过渡到笔答。

(3)解答加法应用题：

a求总数的应用题：已知甲数是多少，乙数是多少，求甲乙两数的和是多少。

b求比一个数多几的数应用题：已知甲数是多少和乙数比甲数多多少，求乙数是多少。

(4)

解答减法应用题：

a求剩余的应用题：从已知数中去掉一部分，求剩下的部分。

-b求两个数相差的多少的应用题：已知甲乙两数各是多少，求甲数比乙数多多少，或乙数比甲数少多少。

c求比一个数少几的数的应用题：已知甲数是多少，乙数比甲数少多少，求乙数是多少。

(5)解答乘法应用题：

a求相同加数和的应用题：已知相同的加数和相同加数的个数，求总数。

b求一个数的几倍是多少的应用题：已知一个数是多少，另一个数是它的几倍，求另一个数是多少。

(6)解答除法应用题：

a把一个数平均分成几份，求每一份是多少的应用题：已知一个数和把这个数平均分成几份的，求每一份是多少。

b求一个数里包含几个另一个数的应用题：已知一个数和每份是多少，求可以分成几份。

C 求一个数是另一个数的的几倍的应用题：已知甲数乙数各是多少，求较大数是较小数的几倍。

d已知一个数的几倍是多少，求这个数的应用题。

（7）常见的数量关系：

总价= 单价×数量

路程= 速度×时间

工作总量=工作时间×工效

总产量=单产量×数量 3典型应用题

具有独特的结构特征的和特定的解题规律的复合应用题，通常叫做典型应用题。

（1）平均数问题：平均数是等分除法的发展。

解题关键：在于确定总数量和与之相对应的总份数。

算术平均数：已知几个不相等的同类量和与之相对应的份数，求平均每份是多少。数量关系式：数量之和÷数量的个数=算术平均数。

加权平均数：已知两个以上若干份的平均数，求总平均数是多少。

数量关系式（部分平均数×权数）的总和÷（权数的和）=加权平均数。

差额平均数：是把各个大于或小于标准数的部分之和被总份数均分，求的是标准数与各数相差之和的平均数。

数量关系式：（大数－小数）÷2=小数应得数

最大数与各数之差的和÷总份数=最大数应给数

最大数与个数之差的和÷总份数=最小数应得数。

例：一辆汽车以每小时 100 千米 的速度从甲地开往乙地，又以每小时 60 千米的速度从乙地开往甲地。求这辆车的平均速度。

分析：求汽车的平均速度同样可以利用公式。此题可以把甲地到乙地的路程设为“ 1 ”，则汽车行驶的总路程为“ 2 ”，从甲地到乙地的速度为 100，所用的时间为，汽车从乙地到甲地速度为 60 千米，所用的时间是，汽车共行的时间为

+

=, 汽车的平均速度为 2 ÷

=75（千米）

（2）归一问题：已知相互关联的两个量，其中一种量改变，另一种量也随之而改变，其变化的规律是相同的，这种问题称之为归一问题。

根据求“单一量”的步骤的多少，归一问题可以分为一次归一问题，两次归一问题。

根据求出单一量之后，解题采用乘法还是除法，归一问题可以分为正归一问题，反归一问题。

一次归一问题，用一步运算就能求出“单一量”的归一问题。又称“单归一。”

两次归一问题，用两步运算就能求出“单一量”的归一问题。又称“双归一。”

正归一问题：用等分除法求出“单一量”之后，再用乘法计算结果的归一问题。

反归一问题：用等分除法求出“单一量”之后，再用除法计算结果的归一问题。

解题关键：从已知的一组对应量中用等分除法求出一份的数量（单一量），然后以它为标准，根据题目的要求算出结果。

数量关系式：单一量×份数=总数量（正归一）

总数量÷单一量=份数（反归一）

例 一个织布工人，在七月份织布 4774 米，照这样计算，织布 6930 米，需要多少天？

分析：必须先求出平均每天织布多少米，就是单一量。693 0 ÷（477 4 ÷ 31）=45（天）

（3）归总问题：是已知单位数量和计量单位数量的个数，以及不同的单位数量（或单位数量的个数），通过求总数量求得单位数量的个数（或单位数量）。

特点：两种相关联的量，其中一种量变化，另一种量也跟着变化，不过变化的规律相反，和反比例算法彼此相通。

数量关系式：单位数量×单位个数÷另一个单位数量 = 另一个单位数量

单位数量×单位个数÷另一个单位数量= 另一个单位数量。

例 修一条水渠，原计划每天修 800 米，6 天修完。实际 4 天修完，每天修了多少米？

分析：因为要求出每天修的长度，就必须先求出水渠的长度。所以也把这类应用题叫做“归总问题”。不同之处是“归一”先求出单一量，再求总量，归总问题是先求出总量，再求单一量。80 0 × 6 ÷ 4=1200（米）

（4）和差问题：已知大小两个数的和，以及他们的差，求这两个数各是多少的应用题叫做和差问题。

解题关键：是把大小两个数的和转化成两个大数的和（或两个小数的和），然后再求另一个数。

解题规律：（和＋差）÷2 = 大数

大数－差=小数

（和－差）÷2=小数

和－小数= 大数

例 某加工厂甲班和乙班共有工人 94 人，因工作需要临时从乙班调 46 人到甲班工作，这时乙班比甲班人数少 12 人，求原来甲班和乙班各有多少人？

分析：从乙班调 46 人到甲班，对于总数没有变化，现在把乙数转化成 2 个乙班，即 9 4 － 12，由此得到现在的乙班是（9 4 － 12）÷ 2=41（人），乙班在调出 46 人之前应该为 41+46=87（人），甲班为 9 4 － 87=7（人）

（5）和倍问题：已知两个数的和及它们之间的倍数关系，求两个数各是多少的应用题，叫做和倍问题。

解题关键：找准标准数（即1倍数）一般说来，题中说是“谁”的几倍，把谁就确定为标准数。求出倍数和之后，再求出标准的数量是多少。根据另一个数（也可能是几个数）与标准数的倍数关系，再去求另一个数（或几个数）的数量。

解题规律：和÷倍数和=标准数

标准数×倍数=另一个数

例:汽车运输场有大小货车 115 辆，大货车比小货车的 5 倍多 7 辆，运输场有大货车和小汽车各有多少辆？

分析：大货车比小货车的 5 倍还多 7 辆，这 7 辆也在总数 115 辆内，为了使总数与（5+1）倍对应，总车辆数应（115-7）辆。

列式为（115-7）÷（5+1）=18（辆），18 × 5+7=97（辆）

（6）差倍问题：已知两个数的差，及两个数的倍数关系，求两个数各是多少的应用题。

解题规律：两个数的差÷（倍数－1）= 标准数

标准数×倍数=另一个数。

例 甲乙两根绳子，甲绳长 63 米，乙绳长 29 米，两根绳剪去同样的长度，结果甲所剩的长度是乙绳 长的 3 倍，甲乙两绳所剩长度各多少米？各减去多少米？

分析：两根绳子剪去相同的一段，长度差没变，甲绳所剩的长度是乙绳的 3 倍，实比乙绳多（3-1）倍，以乙绳的长度为标准数。列式（63-29）÷（3-1）=17（米）„乙绳剩下的长度，17 × 3=51（米）„甲绳剩下的长度，29-17=12（米）„剪去的长度。

（7）行程问题：关于走路、行车等问题，一般都是计算路程、时间、速度，叫做行程问题。解答这类问题首先要搞清楚速度、时间、路程、方向、杜速度和、速度差等概念，了解他们之间的关系，再根据这类问题的规律解答。

解题关键及规律：

同时同地相背而行：路程=速度和×时间。

同时相向而行：相遇时间=速度和×时间

同时同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追及时间=路程速度差。

同时同地同向而行（速度慢的在后，快的在前）：路程=速度差×时间。

例 甲在乙的后面 28 千米，两人同时同向而行，甲每小时行 16 千米，乙每小时行 9 千米，甲几小时追上乙？

分析：甲每小时比乙多行（16-9）千米，也就是甲每小时可以追近乙（16-9）千米，这是速度差。

已知甲在乙的后面 28 千米（追击路程），28 千米里包含着几个（16-9）千米，也就是追击所需要的时间。列式 2 8 ÷（16-9）=4（小时）

（8）流水问题：一般是研究船在“流水”中航行的问题。它是行程问题中比较特殊的一种类型，它也是一种和差问题。它的特点主要是考虑水速在逆行和顺行中的不同作用。

船速：船在静水中航行的速度。

水速：水流动的速度。

顺水速度：船顺流航行的速度。

逆水速度：船逆流航行的速度。

顺速=船速＋水速

逆速=船速－水速

解题关键：因为顺流速度是船速与水速的和，逆流速度是船速与水速的差，所以流水问题当作和差问题解答。解题时要以水流为线索。

解题规律：船行速度=（顺水速度+ 逆流速度）÷2

流水速度=（顺流速度逆流速度）÷2

路程=顺流速度× 顺流航行所需时间

路程=逆流速度×逆流航行所需时间

例 一只轮船从甲地开往乙地顺水而行，每小时行 28 千米，到乙地后，又逆水 航行，回到甲地。逆水比顺水多行 2 小时，已知水速每小时 4 千米。求甲乙两地相距多少千米？

分析：此题必须先知道顺水的速度和顺水所需要的时间，或者逆水速度和逆水的时间。已知顺水速度和水流速度，因此不难算出逆水的速度，但顺水所用的时间，逆水所用的时间不知道，只知道顺水比逆水少用 2 小时，抓住这一点，就可以就能算出顺水从甲地到乙地的所用的时间，这样就能算出甲乙两地的路程。列式为 284 × 2=20（千米）2 0 × 2 =40（千米）40 ÷（4 × 2）=5（小时）28 × 5=140（千米）。

（9）还原问题：已知某未知数，经过一定的四则运算后所得的结果，求这个未知数的应用题，我们叫做还原问题。

解题关键：要弄清每一步变化与未知数的关系。

解题规律：从最后结果出发，采用与原题中相反的运算（逆运算）方法，逐步推导出原数。

根据原题的运算顺序列出数量关系，然后采用逆运算的方法计算推导出原数。

解答还原问题时注意观察运算的顺序。若需要先算加减法，后算乘除法时别忘记写括号。

例 某小学三年级四个班共有学生 168 人，如果四班调 3 人到三班，三班调 6 人到二班，二班调 6 人到一班，一班调 2 人到四班，则四个班的人数相等，四个班原有学生多少人？

分析：当四个班人数相等时，应为 168 ÷ 4，以四班为例，它调给三班 3 人，又从一班调入 2 人，所以四班原有的人数减去 3 再加上 2 等于平均数。四班原有人数列式为 168 ÷ 4-2+3=43（人）

一班原有人数列式为 168 ÷ 4-6+2=38（人）；二班原有人数列式为 168 ÷ 4-6+6=42（人）三班原有人数列式为 168 ÷ 4-3+6=45（人）。

（10）植树问题：这类应用题是以“植树”为内容。凡是研究总路程、株距、段数、棵树四种数量关系的应用题，叫做植树问题。

解题关键：解答植树问题首先要判断地形，分清是否封闭图形，从而确定是沿线段植树还是沿周长植树，然后按基本公式进行计算。

解题规律：沿线段植树

棵树=段数+

1棵树=总路程÷株距+1

株距=总路程÷（棵树-1）

总路程=株距×（棵树-1）

沿周长植树

棵树=总路程÷株距

株距=总路程÷棵树

总路程=株距×棵树

例 沿公路一旁埋电线杆 301 根，每相邻的两根的间距是 50 米。后来全部改装，只埋了201 根。求改装后每相邻两根的间距。

分析：本题是沿线段埋电线杆，要把电线杆的根数减掉一。列式为 50 ×（301-1）÷（201-1）=75（米）

（11）盈亏问题：是在等分除法的基础上发展起来的。他的特点是把一定数量的物品，平均分配给一定数量的人，在两次分配中，一次有余，一次不足（或两次都有余），或两次都不足），已知所余和不足的数量，求物品适量和参加分配人数的问题，叫做盈亏问题。

解题关键：盈亏问题的解法要点是先求两次分配中分配者没份所得物品数量的差，再求两次分配中各次共分物品的差（也称总差额），用前一个差去除后一个差，就得到分配者的数，进而再求得物品数。

解题规律：总差额÷每人差额=人数

总差额的求法可以分为以下四种情况：

第一次多余，第二次不足，总差额=多余+ 不足

第一次正好，第二次多余或不足，总差额=多余或不足

第一次多余，第二次也多余，总差额=大多余-小多余

第一次不足，第二次也不足，总差额= 大不足-小不足

例 参加美术小组的同学，每个人分的相同的支数的色笔，如果小组 10 人，则多 25 支，如果小组有 12 人，色笔多余 5 支。求每人分得几支？共有多少支色铅笔？

分析：每个同学分到的色笔相等。这个活动小组有 12 人，比 10 人多 2 人，而色笔多出了（25-5）=20 支，2 个人多出 20 支，一个人分得 10 支。列式为（25-5）÷（12-10）=10（支）10 × 12+5=125（支）。

（12）年龄问题：将差为一定值的两个数作为题中的一个条件，这种应用题被称为“年龄问题”。

解题关键：年龄问题与和差、和倍、差倍问题类似，主要特点是随着时间的变化，年岁不断增长，但大小两个不同年龄的差是不会改变的，因此，年龄问题是一种“差不变”的问题，解题时，要善于利用差不变的特点。

例 父亲 48 岁，儿子 21 岁。问几年前父亲的年龄是儿子的 4 倍？

分析：父子的年龄差为 48-21=27（岁）。由于几年前父亲年龄是儿子的 4 倍，可知父子年龄的倍数差是（4-1）倍。这样可以算出几年前父子的年龄，从而可以求出几年前父亲的年龄是儿子的 4 倍。列式为： 21（48-21）÷（4-1）=12（年）

（13）鸡兔问题：已知“鸡兔”的总头数和总腿数。求“鸡”和“兔”各多少只的一类应用题。通常称为“鸡兔问题”又称鸡兔同笼问题

解题关键：解答鸡兔问题一般采用假设法，假设全是一种动物（如全是“鸡”或全是“兔”，然后根据出现的腿数差，可推算出某一种的头数。

解题规律：（总腿数－鸡腿数×总头数）÷一只鸡兔腿数的差=兔子只数

兔子只数=（总腿数-2×总头数）÷2

如果假设全是兔子，可以有下面的式子：

鸡的只数=（4×总头数-总腿数）÷2

兔的头数=总头数-鸡的只数

例 鸡兔同笼共 50 个头，170 条腿。问鸡兔各有多少只？

兔子只数（170-2 × 50）÷ 2 =35（只）

鸡的只数 50-35=15（只）

（二）分数和百分数的应用

1分数加减法应用题：

分数加减法的应用题与整数加减法的应用题的结构、数量关系和解题方法基本相同，所不同的只是在已知数或未知数中含有分数。

2分数乘法应用题：

是指已知一个数，求它的几分之几是多少的应用题。

特征：已知单位“1”的量和分率，求与分率所对应的实际数量。

解题关键：准确判断单位“1”的量。找准要求问题所对应的分率，然后根据一个数乘分数的意义正确列式。分数除法应用题：

求一个数是另一个数的几分之几（或百分之几）是多少。

特征：已知一个数和另一个数，求一个数是另一个数的几分之几或百分之几。“一个数”是比较量，“另一个数”是标准量。求分率或百分率，也就是求他们的倍数关系。

解题关键：从问题入手，搞清把谁看作标准的数也就是把谁看作了“单位一”，谁和单位一的量作比较，谁就作被除数。

甲是乙的几分之几（百分之几）:甲是比较量，乙是标准量，用甲除以乙。

甲比乙多（或少）几分之几（百分之几）：甲减乙比乙多（或少几分之几）或（百分之几）。关系式（甲数减乙数）/乙数或（甲数减乙数）/甲数。

已知一个数的几分之几（或百分之几),求这个数。

特征：已知一个实际数量和它相对应的分率，求单位“1”的量。

解题关键：准确判断单位“1”的量把单位“1”的量看成x根据分数乘法的意义列方程，或者根据分数除法的意义列算式，但必须找准和分率相对应的已知实际

数量。

4出勤率

发芽率=发芽种子数/试验种子数×100%

小麦的出粉率= 面粉的重量/小麦的重量×100%

产品的合格率=合格的产品数/产品总数×100%

职工的出勤率=实际出勤人数/应出勤人数×100%

5工程问题：

是分数应用题的特例，它与整数的工作问题有着密切的联系。它是探讨工作总量、工作效率和工作时间三个数量之间相互关系的一种应用题。

解题关键：把工作总量看作单位“1”，工作效率就是工作时间的倒数，然后根据题目的具体情况，灵活运用公式。

数量关系式：

工作总量=工作效率×工作时间

工作效率=工作总量÷工作时间

工作时间=工作总量÷工作效率

工作总量÷工作效率和=合作时间

6纳税

纳税就是把根据国家各种税法的有关规定，按照一定的比率把集体或个人收入的一部分缴纳给国家。

缴纳的税款叫应纳税款。

应纳税额与各种收入的（销售额、营业额、应纳税所得额 „„）的比率叫做税率。* 利息

存入银行的钱叫做本金。

取款时银行多支付的钱叫做利息。利息与本金的比值叫做利率。利息=本金×利率×时间