第一篇：线性代数教学方法的实践与总结
线性代数教学方法的实践与总结
【摘要】本文给出了线性代数教学体系的设计,及双基教学方法的应用。
【关键词】线性代数 双基教学 实践与总结
一、引言
数学作为最古老的学科之一,对于人类社会的发展、科学的进步起着举足轻重的作用,随着知识的细化,数学领域也有了许多分支,线性代数就是其中的一支。而如今它作为一门基础课在高等学府的各个专业里几乎都有开设,这也足以显示它的重要性。线性代数以其理论上的严谨性、方法上的灵活多样性以及与其它学科之间的渗透性,使得它在自然科学、社会科学及工程技术等许多领域都有广泛的应用。并且线性代数对学生逻辑思维能力、抽象思维能力及对事物认知能力的培养也是至关重要的。另外线性代数可为解决实际问题提供重要方法,因为在现代研究中我们不仅要研究单个变量之间的关系,还要研究多个变量之间的关系,而各种实际问题可以线性化,由于计算机的发展,线性化了的问题又可以计算出来,线性代数正是解决这些问题的有力工具。同时线性代数也是学习其它许多课程不可缺少的基本工具。
因此线性代数这门课对学生今后的发展起着一定的基础性作用。这就需要教师在教这门课时,要给出教好的教学体系的设计,结合适当的教学方法,以达到较好的教学效果。本文就自己对这门课几年的教学实践,总结了一套切实可行的教学方法。
二、课程基本内容及其组织
线性代数反映在大纲的基本内容主要是行列式、矩阵、线性方程组、向量空间、二次型这五块,有关的理论和算法体系纵横交错,形成网络状结构,这就需要在内容的组织上有一定的设计,根据切入点和推进思路,由线性方程组切入,与中学代数直接衔接,学生会比较容易入门。然后渐次提出新问题、引进新工具、克服新困难,这样来延伸思路,将线性关系和线性结构的灵魂渗透其中,引导学生在学习算法的同时体会背后的关系和理论,一步一步登上线性空间、集成思维的新境界,使得他们的思维层次得以提升。围绕这样一个主导思路来组织内容,会更有利于教学效果的提升。
三、教学体系的设计
行列式、矩阵是线性代数最为重要的内容,在整个教学中,以行列式、矩阵作为计算工具,向量空间作为思维工具,用它们去解决多元一次的线性方程组和多元二次的二次型。以下给出对各章的安排。
第一章回顾中学解方程组的方法,由消元法给出二阶三阶行列式的定义,通过对三阶行列式的剖析,结合n级排列的逆序数给出n阶行列式的定义,然后依据n阶行列式的定义推导出行列式的性质,最后引出Cramer法则,指出这是对多元问题作整体处理的新思路,是处理手段和思维方式的提升。
第二章对于不符合Cramer法则条件的方程组,由整体处理思路引出矩阵,主要介绍矩阵的计算、分块矩阵、逆矩阵的求法。
第三章重点学习矩阵的初等变换,矩阵的秩,讲解这些知识的同时结合解方程的方式,体现出整体处理的优势。
第四章这些算法蕴含着怎样的关系?方程组的不同类型、矩阵的不同等价标准形与向量之间的关系又如何?引出向量组的相关性与秩,从向量组上升到向量空间。这样解线性方程组的必要理论都具备了,接着完整讲解线性方程组理论,这时,算法不再重要,重点是理解线性方程组类型的识别及通解和解集的结构。
这是学习线性代数的第一阶段,对矩阵和向量空间的要求以解线性方程组够用为度。这样可使难点分散,也使学生比较容易接受和推进。第一阶段要达到两个目的:第一,基本掌握线性代数中的三大算法(行列式、矩阵、线性方程组),具备整体处理多元一次问题的能力;第二,开始接触向量的线性相关性和线性变换,有了基本概念,尤其是有了秩这个深刻概念,为下一阶段做好铺垫。第二阶段以向量的线性关系和空间的线性结构为主线来推进。
第五章主要是延伸矩阵理论,包括讨论方阵的特征值与特征向量,由初等变换引向相似变换、合同变换、正交变换,讨论四个变换的关系、性质、用途的异同,以及方阵的对角化问题,使学生对线性变换和矩阵的理解再大大前进一步。接着,着手解决多元二次型问题,主要是标准化和正定性两个问题。
学到这个阶段,学生就能教好地领略到线性代数的强大作用,学生的思维能力和逻辑推理、数学表述会有很大提升,这就基本上达到了这门课的教学目的,实现了它的教学理念。
四、双基教学方法的应用
中国数学教育主要以双基教学为主要特征,数学双基教学的定义是:数学基本知识和基本技能。但“数学双基教学”作为特定的名词,其内涵不只限于双基本身,还包括在双基之上的发展。
1.双基教学的理论特征
(1)记忆通向理解。理解是记忆的综合,数学双基强调必要的记忆。例如,行列式性质的记忆,使之成为行列式计算的直觉和条件反射。但理解不能孤立地进行,对一些行列式的计算,能够理解的当然要操练,一时不能理解的也要操练,在操练中逐步加深理解。
(2)速度赢得效率。数学教育理论认为,只有把基本的运算和基础的思考,化为“直觉”,能够不假思索地进行条件反射,才能赢得时间去做更高级的数学思维活动。比如行列式和矩阵的计算是线性代数的基础部分,这个基础打好了我们就能去很快的熟练掌握线性方程组的解法和对称矩阵的对角化等难度较高的知识点。
(3)严谨形成理性。中国的数学学习,则注重理性的思维能力。人的生活和工作都需要这种能力,所以才显出了学习数学的重要性,而要学好数学就必须有严谨的治学态度。
(4)重复依靠变式。中国的数学教育重视“变式练习”,在变化中进行重复,在重复中获取变化,概念变式、过程变式、问题变式等多种方式是数学双基教学的有机组成部分。
2.双基教学的层次
(1)双基基桩建设。行列式的性质和计算、矩阵的运算、逆矩阵的求法、矩阵的初等变换是整个线性代数的“基桩”,必须打得坚实,形成条件反射,熟练得成为直觉。
(2)双基模块教学。双基的基本呈现方式是“模块”。首先是主要知识点经过配套知识点的联结,成为一条“知识链”,然后通过“变式”形成知识网络,再经过数学思想方法的提炼,形成立体的知识模块。
以解线性方程组的模块为例。首先需要具备行列式的性质和计算,矩阵的初等变换的“基桩”技能。然后逐步形成以矩阵的秩为主的知识链,接着通过系数矩阵和增广矩阵的秩来讨论线性方程组是否有解以及有解时是否有唯一解的问题。双基模块教学有很多行之有效的经验，例如使用典型例题，通过变式形成问题串，然后提高到数学思想方法的高度加以总结。(3)双基平台。在掌握了双基的模块之后，必须寻求双基的发展，这便是“双基平台”。双基平台具有以下特征。
基础性：直接根植于双基，是双基模块的组合、深化与发展；
综合性：双基平台跨越多个知识点，综合几个“双基模块”，形成数学知识之间的相互联结。
发展性：双基平台主要为数学解题服务，能够居高望远，看清一些数学问题的来龙去脉，获得解题的策略。
例如，求一个正交变换x=py，把二次型f=-2x1x2+2x1x3+2x2x3化为标准型。就是一个综合性很强的平台，解题过程涉及行列式的计算、方阵的特征值和特征向量、向量的正交化、正交矩阵、矩阵的初等变换等许多知识。双基平台是数学双基教学向前发展的必然结果，许多数学建模课题、研究性学习的课例，都是一种双基平台。
参考文献：
[1]邬学军,唐明.线性代数是蓝色的天[J].大学学报,2008, 24（6）.[2]张奠宙.中国数学双基教学[M].上海教育出版社,2006.[3]同济大学数学系.工程数学线性代数[M].高等教育出版社,2007.
第二篇：浅谈《离散数学》教学方法与实践
摘要：离散数学是计算机科学与技术专业的一门重要的专业基础课，它在计算机科学及相关领域中有着广泛的应用背景．因此，如何提高离散数学课程的教学水平和质量，对学生后续课程的学习和今后的科学研究均具有现实意义．
关键词：离散数学；教学改革；教学方法
0 引言
《离散数学》是计算机科学中重要的基础理论课程之一，它不仅是许多计算机专业课的必备基础，而且对培养学生抽象思维能力和逻辑推理能力有着重要的作用．但这门课程具有概念多、理论性强、高度抽象等特点，这无疑给教师的教学和学生的学习带来一定的难度．因此，如何提高离散数学课程的教学水平，对于计算机相关专业学生后续课程的学习以及提高学生的抽象思维和逻辑推理能力都具有现实的意义．本文结合作者近年来从事离散数学课程教学的实际，从教学内容、教学方法、教学手段等方面进行了一些初步探讨．提高学生对《离散数学》的认识，调动学习积极性
学生在学习离散数学时，往往看不到它在计算机科学中的具体应用，认为该课程对计算机科学的作用不大，因而不重视离散数学的学习，学习兴趣不高，学习效果不甚理想“兴趣是最好的老师”，因此，在上第一堂课时，教师就应该给学生介绍离散数学的重要性，提高学生的学习兴趣事实上，计算机学科的发展近年来与离散数学的主要内容如数理逻辑、抽象代数和图论等有非常紧密的联系 随着计算机科学的快速发展，进行该学科相关的研究与开发的起点在不断提高，无论学生今后从事理论研究，还是应用开发或者是技术管理工作，都应该具有坚实的理论基础，才能适应学科迅速发展和知识更新的需要．当今计算机科学界的权威人士很多都是研究离散数学出身的．美国的软件之所以能领先，其关键就在于在数学基础上他们有很强的实力，有很多杰出的人才，而我国的信息技术的数学基础十分薄弱，这个问题不解决，我们就难成为软件强国 计算机领域最负盛名、最崇高的一个奖项是图灵奖，具有“计算机界的诺贝尔奖”之称．图灵是一位英国的数学家的名字，他所创立的数学模型一一图灵机(离散数学内容之一)．在可计算性理论中起着重要作用，为计算机的诞生奠定了坚实的理论基础．为了纪念他对计算机科学所做的贡献，国际上用他的名字来命名这个奖项．著名的计算机软件大师狄克斯特(Dijkstra)曾经说过：“我现在年纪大了，搞了这么多年软件，错误不知犯了多少，现在觉悟了．我想假如我早年在数理逻辑上好好下点功夫的话，我就不会犯这么多的错误．不少东西逻辑学家早就说了，可我不知道 要是我能年轻20岁．我要回去学逻辑 ”由此可见离散数学在计算机学科中的重要作用教学内容的优化
《离散数学》课程的教学内容一般包括四个部分：数理逻辑、集合论、代数系统、图论．这四部分内容中每一个部分都可以是一门独立的课程，它们分别作为《离散数学》课程的一部分，容易造成教学内容繁多与教学课时数偏少相矛盾，使教学过程具有很大的难度．如果这几部分的内容都要详细讲授，时间上来不及．所以在在教学过程中对讲授内容的设置上应当有所侧重，比如学生对集合论基础的很多内容在中学数学中已经有所了解，所以这部分内容只需要简要介绍一下，重点放在用集台论的方法解决实际应用问题上．对于二元关系这部分，侧重点是加强对与二元关系的几个性质相关问题的论证方法的训练．在数理逻辑上通过将一般命题公式和一阶逻辑公式化成范式，达到强化训练学生逻辑演算能力，并通过逻辑推理理论的学习来提高逻辑推理能力．图论部分重点放在基本概念的理解和实际问题的处理上，通过对相关定理及其证明思路的理解来体会图论的研究方法．代数系统这部分内容重点放在群论上，尤其要在代数系统、群、子群、循环群、变换群、正规子群的概念及相关问题的理解上下功夫，特别要掌握同构和同态的概念及应用，对于其它的代数系统如环、域及布尔代数则可以略讲．
另外，现行大多数教材，主要是集中在从纯数学理论角度教授基本内容，这也是不利于学生的理解学习的．如果选择了这种教材，在教学过程中，应穿插介绍一些知识点在计算机科学中的应用，将之与离散数学理论结合介绍给学生，使学生重视这一课程的学习，产生学习兴趣，主动地进行学习．这将有利于学生理解理论知识，又为后续课程的学习奠定基础．教学方法实践
3．1 注重理论的理解。推行研究型教学
离散数学中有很多定义、定理、规则，几乎每一节课堂上少则十几个多则几十个新的术语或定理，很多学生由于习惯于背诵的方式来掌握概念，很容易产生枯燥甚至畏难情绪．在教学过程中，我们要注重对于问题的完整理解过程，而不是只告诉学生结论．因此，很多概念、定理都不用死记硬背，只需要理解，这样才能掌握得更牢．
比如，在一阶逻辑中有八个关于量词作用域里的扩张与收缩公式，学生刚开始看到这些公式时，可能会觉得太难记了．那么就需要把证明的方法告诉他们，掌握公式的来龙去脉．其实只有以下两个公式是相对特殊的，需要转换量词形式的：
((A x)A(x)→B)甘(3 x)(A(x)→B)
((3 x)A(x)→xB){(A x)(A(x)→B)
这两个公式可以在有限个体域中采用量词消去法把其中一个公式证明给学生看，其它几个公式要求学生课后采用类似的方法自己动手证明，既可以节省时间，又可以加深学生对公式的理解．
因此，需要把过去习惯的填鸭式教学转换为研究型教学，通过对典型问题的描述分析和解决，鼓励和引导学生实现研究为本的学习．对课程、对问题要多问几个为什么，挖掘深层的东西，要有意识地去培养学生踏实的科学态度．
3．2 理论联系实际
离散数学这门课内容比较难，而且相对枯燥，特别是该课程的结构较为松散，内容杂，学生难以接受．因此．在讲解清楚各种基本概念、定理、定理证明、计算方法等基本内容之外，还应多举一些具有代表性的例子，以加深学生对知识的理解，并能随时介绍所学知识的应用背景和发展方向，使学生能感觉到这门课程的必要性，调动学生的积极性．例如在讲授平面图时，可以给出它们在印刷电路板、集成电路等方面的应用．
另外，如果讲课时能结合一些轻松的故事，也可减轻学习的压力．比如离散数学中哥尼斯堡七桥问题、著名的苏哥拉底三段论、土耳其商人和帽子的故事、一笔画问题、地图染色问题等等．但对于这些问题的介绍不能停留在故事的趣味性上，应当从故事人手，提出有思考性的问题，再促进和启发学生思维的积极性，这样就能达到较好的效果．
3．3 具体与抽象相结合．
离散数学中的许多概念都很抽象，如果直接给出定义，学生往往难以理解．如果能从实际的例子出发，再抽象出基本概念，使得学生对这些概念有更深刻的理解．
例如“二元关系”，可以举一个家庭成员之间的关系的例子：假设某家庭有父母兄弟四位成员，在家庭成员这个集合上，常见的二元关系有父子关系、母子关系、兄弟关系、夫妻关系等，然后以数学符号的形式表示出来，最后再把二元关系的数学定义告诉学生．这样学生对“二元关系”这个概念就有比较清楚的认识了．又如在讲解“群”的概念时，可以先给出具体一个代数系统，如(Z，+)，然后得出该代数系统满足群的三个条件：结合律、存在幺元和每个元素有逆元，从而引出群的定义．
3．4 注重归纳与小结
离散数学的内容虽然多且散，但通过归纳，可以用一条主线贯穿始终，这就是离散数学讨论的内容大多包含两个方面：研究一个系统中涉及到的静态(基本概念)与动态(运算、操作、推理)．如集合论中是元素(静态)及其上的运算(动态)；代数系统中是集合(静态)及运算(动态)；数理逻辑中是公式(静态)和推理(动态)．通过归纳总结，学生能够理清头绪，提高学习效率．
在讲课时，应该把重点、难点精讲细讲，对于易懂的内容可以点到为止．此外还要经常归纳小结，尤其对于一些抽象的和难以记忆的重要知识点，更应该辅以有针对性的归纳总结．比如在讲完代数系统这部分内容时，可按照代数系统、半群、含幺半群、群的顺序依次阐述这几个概念，均是在前一个概念的基础上增加一个性质(封闭性、结合性、幺元、逆元)，最后用图示的方式进行小结，使学生更容易掌握这几个容易混淆的概念．教学手段改革
4．1 建设网络课件。注重教学的互动性
随着计算机技术的发展与普及，在教学过程中引入网络课件已逐渐成为一种时尚．离散数学有很多定义、定理、性质等都是比较抽象的内容，如果在教学的过程中，就概念讲概念，就结论讲结论，学生将难予接受．如果能利用网络课件信息量大、生动有趣的特点，将概念、理论提出的背景以及在计算机技术中的应用介绍给学生，势必会加深学生对概念、理论的理解，激发学生进一步学习的积极性．在离散数学网络课件中，可以集成电子讲稿、作业、答疑、讨论、考试、试题库、网络资源、学习跟踪分析、管理等，极大地改变离散数学教学中存在的问题，为学生提供了丰富多彩的网上教学资源．可以在课堂教学的引导下，充分利用网络课件的特点让师生参与讨论，调动学生的主动性，引导学生发现问题和分析问题，让他们能够自由地、充分地、广泛地进行讨论，从而达到解决问题的目的．
网络课件的电子讲稿是教师上课和学生学习的主要资源，因此网络课件的建设一定要注重电子讲稿的质量．电子讲稿要尽量使用具体形象的媒体展示给同学．使其能从中体验形象与抽象的关系．在制作幻灯片画面时．要注意目标明确，使常规教学中要求的基本技能、重要的思想方法、运算能力和分析问题解决问题的能力尽量反映在课件中，各个幻灯片的连接注意衔接合理、自然．利用人工控制时间，使其变化有序，避免给学生产生黑板搬家的感觉．
当然，笔者认为离散数学网络课件并不能完全取代传统的教学方式．仅仅是利用计算机进行辅助教学，它还不能完全代替“黑板、粉笔”方式的教学．教师完全可以根据教学内容的需要，在教学过程中灵活、适当地应用黑板与粉笔，以起到其特有的点睛效果．例如对一些逻辑性较强，难以理解的需要推理、证明的教学内容，应该使用传统的授课方式进行教学．只有采用传统的教学方式与现代多媒体教学方式相结合的办法，才能实现教学过程的最优化．
4．2 重视学生作业，定时测验
大学扩招以后，很多教师课时量都比较饱满，批阅作业的时间相对较少，有些教师甚至因此不布置作业或不批阅作业，这样显然是不利于学生的学习．离散数学的知识不经过学生的独立思考和多做练习是无法牢固掌握的，因此一定要给学生留一定数量的课后习题．但大部分学生不可能把课本上的习题全部做完，教师也不可能完全批阅．这就要求教师布置作业要选其精华，选题必须要有一定的深度和广度，要覆盖所学的内容，尽量选有启发性质的习题．对于学生的作业，要认真仔细批改，将作业中暴露出来的普遍问题，要进行课堂讲评．通过讲评作业，帮助学生澄清模糊和错误的认识．
另外，为了更好地了解学生的学习情况，克服学生的学习惰性，除了布置作业外，可以在讲完每一部分内容之后进行课堂测验，给学生施加一定的学习压力，把测验成绩作为平时成绩的一部分，让学生能及时地对学过的内容进行归纳、总结．由于时间关系，测验时所选的习题数量不宜过多，尽量做到少而精，具备综合性、典型性等特点．其次，要难度适中．例如在数理逻辑部分的测验中，可分别从命题符号化、公式类型判断、主析取范式、前束范式、逻辑推理等方面进行选题，共五道题左右，其中重点突出符号化与推理理论，力求以点带面，考察学生对所学知识的理解程度
4．3 考试改革
笔者认为离散数学教学改革的一个重要环节是考试方法改革，实行教考分离．学生的考核成绩由平时成绩和考试成绩按一定比例组成，任课教师掌握平时成绩的评定，考试则实行教考分离，任课教师事先不知道考试题目，但可以与命题教师一起讨论命题范围、难度及题型．实行教考分离能进一步激发教师的教学热情和学生学习的主动性，对调动教与学的积极性是有促进作用的，同时也提高了考核的科学性．结束语
总之，要把离散数学这一门课教好，教师就要不断研究新的教学方法，认真掌握教学规律，借助于现代化教学手段，摒弃“填鸭式”教学，提倡“启发”式教学．教师只要具有扎实的理论功底，并具有对学生高度负责的精神，就一定能够找到较好的方法调动学生的学习积极性，从而达到良好的教学效果．
参考文献：
[1]赵青杉，孟国艳．关于离散数学教学改革的思考[J]．忻州师范学院学报，2005，21(5)：6 ．
[2]朱文兴．“离散数学”的教学实践和体会[J]．高等理科教育，2003．1：33—35
[3]耿素云，屈婉玲．离散数学[M]．北京：高等教育出版社，2001．
第三篇：线性代数总结
线性代数总结 [转贴 2008-05-04 13:04:49]
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线性代数总结
一、课程特点
特点一：知识点比较细碎。
如矩阵部分涉及到了各种类型的性质和关系，记忆量大而且容易混淆的地方较多。特点二：知识点间的联系性很强。
这种联系不仅仅是指在后面几章中用到前两章行列式和矩阵的相关知识，更重要的是在于不同章节中各种性质、定理、判定法则之间有着相互推导和前后印证的关系。复习线代时，要做到“融会贯通”。
“融会”——设法找到不同知识点之间的内在相通之处； “贯通”——掌握前后知识点之间的顺承关系。
二、行列式与矩阵
第一章《行列式》、第二章《矩阵》是线性代数中的基础章节，有必要熟练掌握。
行列式的核心内容是求行列式，包括具体行列式的计算和抽象行列式的计算，其中具体行列式的计算又有低阶和 阶两种类型；主要方法是应用行列式的性质及按行列展开定理化为上下三角行列式求解。
对于抽象行列式的求值，考点不在求行列式，而在于、、等的相关性质，及性质（其中 为矩阵 的特征值）。
矩阵部分出题很灵活，频繁出现的知识点包括矩阵运算的运算规律、、、的性质、矩阵可逆的判定及求逆、矩阵的秩的性质、初等矩阵的性质等。
三、向量与线性方程组
向量与线性方程组是整个线性代数部分的核心内容。相比之下，行列式和矩阵可视作是为了讨论向量和线性方程组部分的问题而做铺垫的基础性章节；后两章特征值、特征向量、二次型的内容则相对独立，可以看作是对核心内容的扩展。
向量与线性方程组的内容联系很密切，很多知识点相互之间都有或明或暗的相关性。复习这两部分内容最有效的方法就是彻底理顺诸多知识点之间的内在联系，因为这样做首先能够保证做到真正意义上的理解，同时也是熟练掌握和灵活运用的前提。解线性方程组可以看作是出发点和目标。线性方程组（一般式）还具有两种形式：（Ⅰ）矩阵形式，其中，（Ⅱ）向量形式，其中 ，向量就这样被引入了。
1）齐次线性方程组与线性相关、无关的联系
齐次线性方程组 可以直接看出一定有解，因为当 时等式一定成立；印证了向量部分的一条性质“零向量可由任何向量线性表示”。
齐次线性方程组一定有解又可以分为两种情况：①有唯一零解；②有非零解。当齐次线性方程组有唯一零解时，是指等式 中的 只能全为0才能使等式成立，而当齐次线性方程组有非零解时，存在不全为0的 使上式成立；但向量部分中判断向量组 是否线性相关无关的定义也正是由这个等式出发的。故向量与线性方程组在此又产生了联系：齐次线性方程组 是否有非零解对应于系数矩阵 的列向量组是否线性相关。可以设想线性相关无关的概念就是为了更好地讨论线性方程组问题而提出的。2）齐次线性方程组的解与秩和极大无关组的联系
同样可以认为秩是为了更好地讨论线性相关和线性无关而引入的。秩的定义是“极大线性无关组中的向量个数”，向量组 组成的矩阵 有 说明向量组的极大线性无关组中有 个向量，即 线性无关，也即等式 只有零解。所以，经过
“秩 → 线性相关无关 → 线性方程组解的判定” 的逻辑链条，由 就可以判定齐次方程组 只有零解。当 时，的列向量组 线性相关，此时齐次线性方程组 有非零解，且齐次线性方程组 的解向量可以通过 个线性无关的解向量（基础解系）线性表示。
3）非齐次线性方程组与线性表示的联系
非齐次线性方程组 是否有解对应于向量 是否可由 的列向量组 线性表示，即使等式 成立的一组数 就是非齐次线性方程组 的解。当非齐次线性方程组 满足 时，它有唯一解。这一点也正好印证了一个重要定理：“若 线性无关，而 线性相关，则向量 可由向量组 线性表示，且表示方法唯一”。性质1.对于方阵 有：
方阵 可逆ó
ó 的行列向量组均线性无关ó ó 可由克莱姆法则判断有唯一解，而 仅有零解 对于一般矩阵 则有： ó 的列向量组线性无关
ó 仅有零解，有唯一解（如果有解）
性质2．齐次线性方程组 是否有非零解对应于系数矩阵 的列向量组是否线性相关，而非齐次线性方程组 是否有解对应于 是否可以由 的列向量组线性表出。
以上两条性质可视为是将线性相关、行列式、秩、线性方程组几部分知识联系在一起的桥梁。
应记住的一些性质与结论 1．向量组线性相关的有关结论：
1）向量组 线性相关ó向量组中至少存在一个向量可由其余 个向量线性表出。2）向量组线性无关ó向量组中没有一个向量可由其余的向量线性表出。
3）若 线性无关，而 线性相关，则向量 可由向量组 线性表示，且表示法唯一。
2．向量组线性表示与等价的有关结论：
1）一个线性无关的向量组不可能由一个所含向量个数比它少的向量组线性表示。2）如果向量组 可由向量组 线性表示，则有
3）等价的向量组具有相同的秩，但不一定有相同个数的向量； 4）任何一个向量组都与它的极大线性无关组等价。3．常见的线性无关组：
1）齐次线性方程组的一个基础解系； 2）、、这样的单位向量组； 3）不同特征值对应的特征向量。4．关于秩的一些结论： 1）； 2）； 3）； 4）；
5）若有、满足，则 ； 6）若 是可逆矩阵则有 ； 7）若 可逆则有 ； 8）。
4．线性方程组的解：
1）非齐次线性方程组 有唯一解则对应齐次方程组 仅有零解；
2）若 有无穷多解则 有非零解； 3）若 有两个不同的解则 有非零解；
4）若 是 矩阵而 则 一定有解，而且当 时有唯一解，当 时有无穷多解； 5）若 则 没有解或有唯一解。
四、特征值与特征向量
相对于前两章来说，本章不是线性代数这门课的理论重点，但却是一个考试重点。其原因是解决相关题目要用到线代中的大量内容——既有行列式、矩阵又有线性方程组和线性相关，“牵一发而动全身”。本章知识要点如下： 1．特征值和特征向量的定义及计算方法 就是记牢一系列公式如、、和。常用到下列性质：
若 阶矩阵 有 个特征值，则有 ；
若矩阵 有特征值，则、、、、、分别有特征值、、、、、，且对应特征向量等于 所对应的特征向量； 2．相似矩阵及其性质
定义式为，此时满足、、，并且、有相同的特征值。
需要区分矩阵的相似、等价与合同：矩阵 与矩阵 等价（）的定义式是，其中、为可逆矩阵，此时矩阵 可通过初等变换化为矩阵，并有 ；当 中的、互逆时就变成了矩阵相似（）的定义式，即有 ；矩阵合同的定义是，其中 为可逆矩阵。
由以上定义可看出等价、合同、相似三者之间的关系：若 与 合同或相似则 与 必等价，反之不成立；合同与等价之间没有必然联系。3．矩阵可相似对角化的条件
包括两个充要条件和两个充分条件。充要条件1是 阶矩阵 有 个线性无关的特征向量；充要条件2是 的任意 重特征根对应有 个线性无关的特征向量；充分条件1是 有 个互不相同的特征值；充分条件2是 为实对称矩阵。4．实对称矩阵及其相似对角化
阶实对称矩阵 必可正交相似于对角阵，即有正交矩阵 使得，而且正交矩阵 由 对应的 个正交的单位特征向量组成。
可以认为讨论矩阵的相似对角化是为了方便求矩阵的幂：直接相乘来求 比较困难；但如果有矩阵 使得 满足（对角矩阵）的话就简单多了，因为此时
而对角阵 的幂 就等于，代入上式即得。引入特征值和特征向量的概念是为了方便讨论矩阵的相似对角化。因为，不但判断矩阵的相似对角化时要用到特征值和特征向量，而且 中的、也分别是由 的特征向量和特征值决定的。
五、二次型
本章所讲的内容从根本上讲是第五章《特征值和特征向量》的一个延伸，因为化二次型为标准型的核心知识为“对于实对称矩阵 存在正交矩阵 使得 可以相似对角化”，其过程就是上一章相似对角化在 为实对称矩阵时的应用。本章知识要点如下：
1．二次型及其矩阵表示。2．用正交变换化二次型为标准型。3．正负定二次型的判断与证明。
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2009年06月14日 星期日 上午 11:12
学习线性代数总结
线性代数与数理统计已经学完了，但我认为我们的学习并没有因此而结束。我们应该总结一下这门课程的学习的方法，并能为我们以后的学习和工作提供方法。这门课程的学习目标：《线性代数》是物理系等专业的一门重要的基础课，其主要任务是使学生获得线性代数的基本思想方法和行列式、线性方程组、矩阵论、二次型、线性空间、线性变换等方面 的系统知识，它一方面为后继课程（如离散数学、计算方法、等课程）提供一些所需的基础理论和知识；另一方面还对提高学生的思维能力，开发学生智能、加强“三基”（基础知识、基本理论、基本理论）及培养学生创造型能力，培养学生的抽象思维和逻辑推理能力等重要作用。同时随着计算机及其应用技术的飞速发展，很多实际问题得以离散化而得到定量的解决。作为离散化和数值计算理论基础的线性代数，为解决实际问题提供了强有力的数学工具。
我总结了《线性代数》的一些学习方法，可能有的同学会认为这已经为时过晚，但我不这么认为。从这门课程中，我们学会的不仅仅是线性代数的一些相关知识（行列式、线性方程组、矩阵论、二次型、线性空间、线性变换等方面的系统知识），更重要的是，从这门课程中我们应该掌握一种很重要的思想——学习如何去使用工具的方法。这个工具狭隘的讲是线性代数这门数学知识，但从广义地说：这个工具应该是生活中的一切工具（如电脑软件的学习方法、机器的操作方法、科学调查方法等）。在这门课程给我的感触就是：这门课告诉我们如何去学知识的方法。
我认为：学习任何一门知识的方法是：
一、明确我们要学习什么知识或者要掌握哪些方面的技能。
只能我们明白我们自己要学习什么之后，我们才会有动力去学习，在我们的大学里，有些同学不明白学习课本知识有何作用，认为学习与不学习没有什么区别，或者认为学习课本知识没有多大的作用，就干脆不学（当然我在这里没有贬低任何人的意思）。不过我认为学习好自己的专业的知识，掌握专业技能是每个大学生的天职。
二、知道知识是什么，了解相关知识的概念和定义。
这是学习的一切学习的基础，只有把握这个环节，我们的学习实践活动才能得以开展，知识是人类高度概括、总结的经验，不可能像平常说话那么通俗易懂。所以我们要想把知识学好，就得在概念上下功夫。例《线性代数》这门课程中的实二次型，那我们首先得非常清楚的知到，什么叫做实二次型。否则这一块的知识没有办法开展。
三、要知到我们学的知识可以用到何处，或者能帮我们解决什么问题。
其实这一点和第一点有点重复。但是对于我们的课本知识非常得有用，因为我们现在所学的课本知识。说句实在话，我们确实不知到能为我们生活中能解决什么问题，但如果我们知到它能用到何处，相信将来一定会有用。有一句话说得好，书到用时方恨少，说得是这个道理。总之，我们现在要为以后遇到问题而积累解决问题的方法，我们现在是在为以后的人生在打基础。
四、学习相关概念后，要学会如何去操作。
像《线性代数》这门课程，在这一点就体现得很突出。如在我们学习正交矩阵这个概念后，我们得要学会如何去求正交矩阵；再如，当我们认识了矩阵的对角化定义之后，我们得掌握如何去将一个矩阵对角化。其
实，就是学会如何去操作，这是我们掌握数学工具的使用方法的重要途径，所以这部分的工作是我们的学习中心和重点。只有掌握了这部分，我们才能在以后学习或者生活中遇到相似的问题，就有了这个工具去为我们解决实际的问题。
五、将所学习的知识反作用于生活（即将所学的知识用到实处）。
这才是我们学习的真正目的所在。一个人的解决问题的能力应该和他所掌握的知识成正比。学之所用才叫学到实处，才能发挥真正学习的作用。记得这个给我印象最深的是：在我们学C++编程时，有一道题是讲的是用一百元钱去买母鸡、公鸡、小鸡。母鸡5元钱一只，公鸡3元钱一只，小鸡3只一元，并且母鸡、公鸡、小鸡的总数为一百只，求有多少种可能。
这其实就是一道最简单的线性代数题了，设x代表小鸡，y代表公鸡，z代表母鸡：则根据题意有线性方程组
x3+3y+5z=100
x+y+z=100
解此线性方程组得
x=3z/4+75
y=-7z/4+25 z=z
用z作为循环变量控制，这个程序不到十行就可以编出来。这就说明学习知识总会有用的，只要我们去积累，只要我们现在把基础打牢，我相信以后解决问题的方法多了，大脑用活了，我们的竞争力就强了，自然在社会上有一席之地。
总之：我个人觉得学习知识很有用处。虽然就业压力在压着大家，大家为就业而奔波，但至少现在找工作不是我们的重点。把我们手头上的事做好才是最关键，我还是喜欢军训中我的那个“胖胖”所说的话：“一个萝卜，一个坑”，一步一个脚印，脚踏实地。相信我们80年后或90年后的一代能够担任起国家建设的重任和使命。
楼主 大 中 小 发表于 2008-10-10 23:50 只看该作者
线性代数超强总结.√ 关于 ：
①称为 的标准基，中的自然基，单位坐标向量；
② 线性无关；
③ ； ④ ；
⑤任意一个 维向量都可以用 线性表示.√ 行列式的计算：
① 若 都是方阵（不必同阶）,则
②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积.③关于副对角线：
√ 逆矩阵的求法:
① ②
③
④
⑤
√ 方阵的幂的性质：
√ 设，对 阶矩阵 规定： 为 的一个多项式.√ 设的列向量为 , 的列向量为，的列向量为 , √ 用对角矩阵 左乘一个矩阵,相当于用 的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量； 用对角矩阵 右乘一个矩阵,相当于用 的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量.√ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘，与分块对角阵相乘类似,即：
√ 矩阵方程的解法：设法化成当 时，√
和 同解（列向量个数相同）,则： ① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等；
② 它们对应的部分组有一样的线性相关性；
③ 它们有相同的内在线性关系.√ 判断 是 的基础解系的条件：
①
线性无关；
②
是 的解；
③
.①
零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交.②
单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.③
部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关.④
原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关.⑤
两个向量线性相关 对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关.⑥
向量组 中任一向量
≤ ≤ 都是此向量组的线性组合.⑦
向量组 线性相关 向量组中至少有一个向量可由其余 个向量线性表示.向量组 线性无关 向量组中每一个向量 都不能由其余 个向量线性表示.⑧
维列向量组 线性相关 ；
维列向量组 线性无关.⑨
.⑩
若 线性无关，而 线性相关,则 可由 线性表示,且表示法惟一.?
矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩.阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.?
矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系.矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系.向量组等价
和 可以相互线性表示.记作： 矩阵等价
经过有限次初等变换化为.记作：
?
矩阵 与 等价
作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价.矩阵 与 作为向量组等价
矩阵 与 等价.?
向量组 可由向量组 线性表示
≤.?
向量组 可由向量组 线性表示,且，则 线性相关.向量组 线性无关,且可由 线性表示,则 ≤.?
向量组 可由向量组 线性表示,且,则两向量组等价；
?
任一向量组和它的极大无关组等价.?
向量组的任意两个极大无关组等价,且这两个组所含向量的个数相等.?
若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.?
若 是 矩阵,则 ,若，的行向量线性无关；
若，的列向量线性
无关,即： 线性无关.线性方程组的矩阵式
向量
式
矩阵转置的性质：
矩阵可逆的性质：
伴随矩阵的性质：
线性方程组解的性质：
√ 设 为 矩阵,若 ,则 ,从而 一定有解.当 时,一定不是唯一解.,则该向量组线性相关.是 的上限.√ 矩阵的秩的性质：
①
②
≤
③
≤
④
⑤
⑥ ≥ ⑦
≤ ⑧
⑨
⑩
且 在矩阵乘法中有左消去律:
标准正交基
个 维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1..是单位向量
.√ 内积的性质：
① 正定性：
② 对称性：
③ 双线性：
施密特
线性无关，单位化：
正交矩阵
.√
是正交矩阵的充要条件： 的 个行（列）向量构成 的一组标准正交基.√ 正交矩阵的性质：①
；
②
；
③
是正交阵,则（或）也是正交阵；
④ 两个正交阵之积仍是正交阵； ⑤ 正交阵的行列式等于1或-1.的特征矩阵
.的特征多项式
.的特征方程
.√ 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的 各元素.√ 若 ,则 为 的特征值,且 的基础解系即为属于 的线性无关的特征向量.√
√ 若 ,则 一定可分解为 =、,从而 的特征值为： ，.√ 若 的全部特征值，是多项式,则:
①的全部特征值为 ；
② 当 可逆时, 的全部特征值为 , 的全部特征值为.√
√
与 相似
（为可逆阵）
记为：
√
相似于对角阵的充要条件： 恰有 个线性无关的特征向量.这时, 为 的特征向量拼成的矩阵，为对角阵,主对角线上的元素为 的特征值.√
可对角化的充要条件：
为 的重数.√ 若 阶矩阵 有 个互异的特征值,则 与对角阵相似.与 正交相似
（为正交矩阵）√ 相似矩阵的性质：①
若 均可逆
②
③
（为整数）
④,从而 有相同的特征值,但特征向量不一定相同.即: 是 关于 的特征向量, 是 关
于 的特征向量.⑤
从而 同时可逆或不可逆
⑥
⑦
√ 数量矩阵只与自己相似.√ 对称矩阵的性质：
① 特征值全是实数,特征向量是实向量；
② 与对角矩阵合同；
③ 不同特征值的特征向量必定正交； ④
重特征值必定有 个线性无关的特征向量；
⑤ 必可用正交矩阵相似对角化（一定有 个线性无关的特征向量, 可能有重的特征值,重
数=）.可以相似对角化
与对角阵 相似.记为：
（称 是 的相似标准型）
√ 若 为可对角化矩阵,则其非零特征值的个数（重数重复计算）.√ 设 为对应于 的线性无关的特征向量,则有：
.√ 若 , ,则：.√ 若 ,则 ,.二次型
为对称矩阵
与 合同
.记作：
（）
√ 两个矩阵合同的充分必要条件是：它们有相同的正负惯性指数.√ 两个矩阵合同的充分条件是：
√ 两个矩阵合同的必要条件是： √
经过
化为 标准型.√ 二次型的标准型不是惟一的,与所作的正交变换有关,但系数不为零的个数是由
惟
一确定的.√ 当标准型中的系数 为1，-1或0时,则为规范形.√ 实对称矩阵的正（负）惯性指数等于它的正（负）特征值的个数.√ 任一实对称矩阵 与惟一对角阵 合同.√ 用正交变换法化二次型为标准形: ①
求出 的特征值、特征向量； ②
对 个特征向量单位化、正交化；
③
构造（正交矩阵）, ；
④
作变换 ,新的二次型为 , 的主对角上的元素 即为 的特征值.正定二次型
不全为零，.正定矩阵
正定二次型对应的矩阵.√ 合同变换不改变二次型的正定性.√ 成为正定矩阵的充要条件（之一成立）：
①
正惯性指数为 ； ②的特征值全大于 ； ③的所有顺序主子式全大于 ； ④
合同于，即存在可逆矩阵 使 ； ⑤
存在可逆矩阵，使
（从而）； ⑥
存在正交矩阵，使
（大于）.√ 成为正定矩阵的必要条件：；
.b
b s
.k ao
y a n.c o m
内容相互纵横交错 线性代数复习小结
概念多、定理多、符号多、运算规律多、内容相互纵横交错，知识前后紧密联系是线性代数课程的特点，故考生应充分理解概念，掌握定理的条件、结论、应用，熟悉符号意义，掌握各种运算规律、计算方法，并及时进行总结，抓联系，使学知识能融会贯通，举一反三，根据考试大纲的要求，这里再具体指出如下：
行列式的重点是计算，利用性质熟练准确的计算出行列式的值。
矩阵中除可逆阵、伴随阵、分块阵、初等阵等重要概念外，主要也是运算，其运算分两个层次，一是矩阵的符号运算，二是具体矩阵的数值运算。例如在解矩阵方程中，首先进行矩阵的符号运算，将矩阵方程化简，然后再代入数值，算出具体的结果，矩阵的求逆（包括简单的分块阵）（或抽象的，或具体的，或用定义，或是用公式 A-1= 1 A*，或 A用初等行变换），A和A*的关系，矩阵乘积的行列式，方阵的幂等也是常考的内容之一。
关于向量，证明（或判别）向量组的线性相关（无关），线性表出等问题的关键在于深刻理解线性相关（无关）的概念及几个相关定理的掌握，并要注意推证过程中逻辑的正确性及反证法的使用。
向量组的极大无关组，等价向量组，向量组及矩阵的秩的概念，以及它们相互关系也是重点内容之一。用初等行变换是求向量组的极大无关组及向量组和矩阵秩的有效方法。
在 Rn中，基、坐标、基变换公式，坐标变换公式，过渡矩阵，线性无关向量组的标准正交化公式，应该概念清楚，计算熟练，当然在计算中列出关系式后，应先化简，后代入具体的数值进行计算。
行列式、矩阵、向量、方程组是线性代数的基本内容，它们不是孤立隔裂的，而是相互渗透，紧密联系的，例如 ?OA?O≠0〈===〉A是可逆阵〈===〉r（A）=n(满秩阵)〈===〉A的列（行）向量组线性无关〈===〉AX=0唯一零解〈===〉AX=b对任何b均有（唯一）解〈===〉A=P1 P2 „PN，其中PI(I=1,2,„，N)是初等阵〈===〉r(AB)=r(B)<===>A初等行变换
I〈===〉A的列（行）向量组是Rn的一个基〈===〉A可以是某两个基之间的过渡矩阵等等。这种相互之间的联系综合命题创造了条件，故对考生而言，应该认真总结，开拓思路，善于分析，富于联想使得对综合的，有较多弯道的试题也能顺利地到达彼岸。
关于特征值、特征向量。一是要会求特征值、特征向量，对具体给定的数值矩阵，一般用特征方程 ?OλE-A?O=0及（λE-A）ξ=0即可，抽象的由给定矩阵的特征值求其相关矩阵的特征值（的取值范围），可用定义Aξ=λξ，同时还应注意特征值和特征向量的性质及其应用，二是有关相似矩阵和相似对角化的问题，一般矩阵相似对角化的条件。实对称矩阵的相似对角化及正交变换相似于对角阵，反过来，可由A 的特征值，特征向量来确不定期A的参数或确定A，如果A是实对称阵，利用不同特征值对应的特征向量相互正交，有时还可以由已知λ1的特征向量确定出λ2（λ2≠λ1）对应的特征向量，从而确定出A。三是相似对角化以后的应用，在线性代数中至少可用来计算行列式及An.将二次型表示成矩阵形式，用矩阵的方法研究二次型的问题主要有两个：一是化二次型为标准形，这主要是正交变换法（这和实对称阵正交相似对角阵是一个问题的两种提法），在没有其他要求的情况下，用配方法得到标准形可能更方便些；二是二次型的正定性问题，对具体的数值二次型，一般可用顺序主子式是否全部大于零来判别，而抽象的由给定矩阵的正定性，证明相关矩阵的正定性时，可利用标准形，规范形，特征值等到证明，这时应熟悉二次型正定有关的充分条件和必要条件。
一、注重对基本概念的理解与把握，正确熟练运用基本方法及基本运算。
线性代数的概念很多，重要的有：
代数余子式，伴随矩阵，逆矩阵，初等变换与初等矩阵，正交变换与正交矩阵，秩(矩阵、向量组、二次型)，等价(矩阵、向量组)，线性组合与线性表出，线性相关与线性无关，极大线性无关组，基础解系与通解，解的结构与解空间，特征值与特征向量，相似与相似对角化，二次型的标准形与规范形，正定，合同变换与合同矩阵。
往年常有考生没有准确把握住概念的内涵，也没有注意相关概念之间的区别与联系，导致做题时出现错误。
例如，矩阵A＝(α1，α2，„，αm)与B＝(β1，β2„，βm)等价，意味着经过初等变换可由A得到B，要做到这一点，关键是看秩r(A)与r(B)是否相等，而向量组α1，α2，„αm与β1，β2，„βm等价，说明这两个向量组可以互相线性表出，因而它们有相同的秩，但是向量组有相同的秩时，并不能保证它们必能互相线性表现，也就得不出向量组等价的信息，因此，由向量组α1，α2，„αm与β1，β2，„βm等价，可知矩阵A＝(α1，α2，„αm)与B＝(β1，β2，„βm)等价，但矩阵A与B等价并不能保证这两个向量组等价。
又如，实对称矩阵A与B合同，即存在可逆矩阵C使CTAC＝B，要实现这一点，关键是二次型xTAx与xTBx的正、负惯性指数是否相同，而A与B相似是指有可逆矩阵P使P-1AP＝B成立，进而知A与B有相同的特征值，如果特征值相同可知正、负惯性指数相同，但正负惯性指数相同时，并不能保证特征值相同，因此，实对称矩阵A～BAB，即相似是合同的充分条件。
线性代数中运算法则多，应整理清楚不要混淆，基本运算与基本方法要过关，重要的有：
行列式(数字型、字母型)的计算，求逆矩阵，求矩阵的秩，求方阵的幂，求向量组的秩与极大线性无关组，线性相关的判定或求参数，求基础解系，求非齐次线性方程组的通解，求特征值与特征向量(定义法，特征多项式基础解系法)，判断与求相似对角矩阵，用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵(亦即用正交变换化二次型为标准形)。
二、注重知识点的衔接与转换，知识要成网，努力提高综合分析能力。
线性代数从内容上看纵横交错，前后联系紧密，环环相扣，相互渗透，因此解题方法灵活多变，复习时应当常问自己做得对不对？再问做得好不好？只有不断地归纳总结，努力搞清内在联系，使所学知识融会贯通，接口与切入点多了，熟悉了，思路自然就开阔了。
例如：设A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，且AB＝0，那么用分块矩阵可知B的列向量都是齐次方程组Ax＝0的解，再根据基础解系的理论以及矩阵的秩与向量组秩的关系，可以有
r(B)≤n-r(A)即r(A)＋r(B)≤n
进而可求矩阵A或B中的一些参数
再如，若A是n阶矩阵可以相似对角化，那么，用分块矩阵处理P-1AP＝∧可知A有n个线性无关的特征向量，P就是由A的线性无关的特征向量所构成，再由特征向量与基础解系间的联系可知此时若λi是ni重特征值，则齐次方程组(λiE-A)x＝0的基础解系由ni个解向量组成，进而可知秩r(λiE-A)＝n-ni，那么，如果A不能相似对角化，则A的特征值必有重根且有特征值λi使秩r(λiE-A)＜n-ni，若A是实对称矩阵，则因A必能相似对角化而知对每个特征值λi必有r(λiE-A)＝n-ni，此时还可以利用正交性通过正交矩阵来实现相似对角化。
又比如，对于n阶行列式我们知道：
若｜A｜＝0，则Ax＝0必有非零解，而Ax＝b没有惟一解(可能有无穷多解，也可能无解)，而当｜A｜≠0时，可用克莱姆法则求Ax＝b的惟一解；
可用｜A｜证明矩阵A是否可逆，并在可逆时通过伴随矩阵来求A-1；
对于n个n维向量α1，α2，„αn可以利用行列式｜A｜＝｜α1α2„αn｜是否为零来判断向量组的线性相关性；
矩阵A的秩r(A)是用A中非零子式的最高阶数来定义的，若r(A)＜r，则A中r阶子式全为0；
求矩阵A的特征值，可以通过计算行列式｜λE-A｜，若λ＝λ0是A的特征值，则行列式｜λ0E-A｜＝0；
判断二次型xTAx的正定性，可以用顺序主子式全大于零。
凡此种种，正是因为线性代数各知识点之间有着千丝万缕的联系，代数题的综合性与灵活性就较大，同学们整理时要注重串联、衔接与转换。
三、注重逻辑性与叙述表述
线性代数对于抽象性与逻辑性有较高的要求，通过证明题可以了解考生对数学主要原理、定理的理解与掌握程度，考查考生的抽象思维能力、逻辑推理能力。大家复习整理时，应当搞清公式、定理成立的条件，不能张冠李戴，同时还应注意语言的叙述表达应准确、简明。
线性代数中常见的证明题型有：
证｜A｜＝0；证向量组α1，α2，„αt的线性相关性，亦可引伸为证α1，α2„，αt是齐次方程组Ax＝0的基础解系；证秩的等式或不等式；证明矩阵的某种性质，如对称，可逆，正交，正定，可对角化，零矩阵等；证齐次方程组是否有非零解；线性方程组是否有解(亦即β能否由α1，α2„，αs线性表出)；对给出的两个方程组论证其同解性或有无公共解；证二次型的正定性，规范形等。
《线性代数》是一门研究线性问题的数学基础课，线性代数实质上是提供了自己独特的语言和方法，将那些涉及多变量的问题组织起来并进行分析研究，是将中学一元代数推广为处理
大的数组的一门代数。
线性代数有两类基本数学构件.一类是对象：数组；一类是这些对象进行的运算。在此基础之上可以对一系列涉及数组的数学模型进行探讨和研究，从而解决实际问题.既然线性代数有自己独特的内容，我们就要用适当的学习方法面对。这里给出五点建议：
一、线性代数如果注意以下几点是有益的.由易而难 线性代数常常涉及大型数组，故先将容易的问题搞明白，再解决有难度的问题，例如行列式定义，首先将3阶行列式定义理解好，自然可以推广到n阶行列式情形；
由低而高 运用技巧，省时不少，无论是行列式还是矩阵，在低阶状态，找出适合的计算方法，则可自如推广运用到高阶情形；
由简而繁 一些运算法则，先试用于简单情形，进而应用于复杂问题，例如，克莱姆法则，线性方程组解存在性判别，对角化问题等等；
由浅而深线性代数中一些新概念如秩，特征值特征向量，应当先理解好它们的定义，在理解基础之上，才能深刻理解它们与其他概念的联系、它们的作用，一步步达到运用自如境地。
二、注重对基本概念的理解与把握，正确熟练运用基本方法及基本运算。
1、线性代数的概念很多，重要的有：
代数余子式，伴随矩阵，逆矩阵，初等变换与初等矩阵，正交变换与正交矩阵，秩（矩阵、向量组、二次型），等价（矩阵、向量组），线性组合与线性表出，线性相关与线性无关，极大线性无关组，基础解系与通解，解的结构与解空间，特征值与特征向量，相似与相似对角化，二次型的标准形与规范形，正定，合同变换与合同矩阵。
2、线性代数中运算法则多，应整理清楚不要混淆，基本运算与基本方法要过关，重要的有：
行列式（数字型、字母型）的计算，求逆矩阵，求矩阵的秩，求方阵的幂，求向量组的秩与极大线性无关组，线性相关的判定或求参数，求基础解系，求非齐次线性方程组的通解，求特征值与特征向量（定义法，特征多项式基础解系法），判断与求相似对角矩阵，用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵（亦即用正交变换化二次型为标准形）。
三、注重知识点的衔接与转换，知识要成网，努力提高综合分析能力。
线性代数从内容上看纵横交错，前后联系紧密，环环相扣，相互渗透，因此解题方法灵活多变，学习时应当常问自己做得对不对？再问做得好不好？只有不断地归纳总结，努力搞清内在联系，使所学知识融会贯通，接口与切入点多了，熟悉了，思路自然就开阔了。
四、注重逻辑性与叙述表述
线性代数对于抽象性与逻辑性有较高的要求，通过证明题可以了解学生对数学主要原理、定理的理解与掌握程度，考查学生的抽象思维能力、逻辑推理能力。大家学习整理时，应当搞清公式、定理成立的条件，不能张冠李戴，同时还应注意语言的叙述表达应准确、简明。
总之，数学题目千变万化，有各种延伸或变式，同学们要在学习过程中一定要认真仔细地预习和复习，华而不实靠押题碰运气是行不通的，必须要重视三基，多思多议，不断地总结经验与教训，做到融会贯通。
第四篇：德国实践教学方法与手段
德国实践教学方法与手段
一、德国基本情况
1、位置与气候
德国位于欧洲西部，东邻波兰、捷克，南接奥地利、瑞士，西接荷兰、比利时、卢森堡、法国，北与丹麦相连并邻北海和波罗的海与北欧国家隔海相望，是欧洲中部邻国最多的国家。
平均气温7月14～19℃，1月－5～1℃，12月至3月为冬季，阿尔卑斯山区冬季一直到5月，夏季平均在20度。年降水量500～1000毫米，山地则更多。
2、政治体制
国家政体制为议会共和制。联邦总统为国家元首。联邦政府由联邦总理和联邦部长若干人组成，联邦总理为政府首脑。
德国的政党有：德国社会民主党、绿党、基民盟、基督教社会联盟、自由民主党、民主社会主义党、德国共产党、共和党等.3、经济概况
德国是高度发达的工业国家，2008年GDP是38180亿美元，经济总量位居欧洲首位，世界第四，仅次于美国、日本和中国，德国作为西方七大工业国成员，对世界经济和金融形势起着重要作用。德国是商品出口大国，工业产品的一半销往国外。是世界第二大出口国。德国近1／3的就业人员为出口行业工作。主要出口产品有汽车、机械产品、电气、运输设备、化学品和钢铁。主要贸易对象是西方工业国。德国中小企业多，工业结构布局均衡。农业发达，机械化程度很高。农业用地约占德国国土面积的一半。产品可满足本国需要的80％。旅游业、交通运输业发达。德国是啤酒生产 大国，其啤酒产量居世界前列。它还是最早研制成功磁悬浮铁路技术的国家。2002年2月28日24时，德国马克正式停止流通，欧元(EULO)成为德国法定货币。德国是首批使用欧元的11个国家之一。德国教育、医疗全免费，高税收，高福利。小孩的生养及学习均以法律形式固定。
4、人口
截止到2009年3月31日，德国人口数为8190万，是欧盟人口数量最多的国家，主要是德意志人，其中大约有4200万为女性。有少数丹麦人，索布族人，弗里斯兰人和吉普赛人。有725.6万外籍人，占人口总数的８.８％，其中170万是土耳其人。德语为通用语言。德国人口的年龄结构为14%的人小于15岁，20%超过65岁。在德国，男性平均期望寿命为77岁，女性为82岁。平均每位德国妇女生育1.3个子女。德国人：友好、严谨、高大、肥胖、自傲、享受生活（不加班）、老龄化、退休晚、治安好（玻璃门）。
5、宗教信仰
近5300万人信奉基督教（2600万人信奉天主教，2600万人信奉新教，90万人东正教徒）。此外还有330万穆斯林，23万名佛教徒，10万名犹太教徒，9万名印度教教徒。
6、东西柏林
1945年，纳粹德国投降后，根据二战时同盟国的有关协定，柏林被苏美英法四国分区占领，东柏林为苏联占领，西柏林为美英法共同占领。1948年，东西柏林正式分裂。1948年6月至1949年5月，苏联从水陆两路封锁西柏林，后解除封锁。1949年，德意志民主共和国成立，东柏林成为民主德国的首都。但西柏林实际上依然为美英法三国共同控制，虽然联邦德国 基本法和西柏林宪法规定西柏林隶属于联邦德国的一个州，但是，西方三国认为该规定同柏林的现实地位不符，宣布该条款暂不生效，但认为西柏林与联邦德国间有着“特殊关系”，同意西柏林在司法、经济、财政、货币和社会制度方面同联邦德国一体化。1961年，为阻隔东德人迁往西德，东德政府在东柏林自己的一侧修建了闻名的柏林墙，直至柏林墙倒塌，东德合并到西德。1990年10月3日，分裂了41年的德国再次统一。这一天，被确定为德国的国庆节。
7、外交政策
奉行与西方结盟的外交政策，外交政策的重点依次是：推动深化和扩大欧盟，推动欧洲一体化进程，加强以欧洲为核心传统友谊，巩固与北约的关系并致力于建立欧洲独立安全和防务体系。默克尔总理上台以后，加强同美国的紧密联盟，加强跨大西洋两岸经济合作，保持和发展与俄罗斯的关系，在经济上大力开拓中东欧新兴市场，加强与中国，印度等有国际影响力发展中国家的关系，谋求在以联合国为框架国际组织中发挥更积极作用。
8、与中国的关系
1972年10月11日，联邦德国与中国建立外交关系（1949年10月27日，民主德国与中国建交）。近年来，中德两国在各领域的互利友好合作不断取得新进展，在国际事务中的磋商与合作日益加强。但是默克尔总理上台以后，由于两国在西藏问题上认识不同，导致两国关系一度紧张，经过双方努力，两国关系基本恢复正常。
二、德国教育体系
作为联邦制国家，德国的教育政策与教育规划是由联邦形式的国家体 制来决定的。国家的概念涉及联邦及州两个层次。根据德国基本法，各州享有包括教育在内的文化自主权，故各州政府有权自行确定教育机构的形式并有相应立法权。初等、中等和高等教育均由州管理。各级各类学校属于州一级的国家设施。但国家对教育有主导权。所有学校教育，都属于联邦政府的职权范围。
教育体系简况
德国实行12年义务教育。
其教育体系的基本结构：初级阶段教育指学前教育，幼儿园为主要形式，年龄段3-6岁。
然后是第一阶段教育，即初等教育，小学四年（仅柏林州为6年），年龄段6-10岁。
小学后实行第一次分流进入第二阶段教育。
第二阶段I级相当于初中。分为三类学校：第一类，实践能力强的学生进入主体中学（5年）；第二类，文理知识强的学生进入完全中学；第三类，智力类型介于上述两者之间者进入实科中学（6年）。分流后的三类中学在校生比例大致为3：1：2。
另有一种将主体中学、实科中学、完全中学合校的“综合中学”。学生年龄段10-15岁或10-16岁。
第二阶段II级相当高中，初中后进行第二次分流：一部分进入普通类高中，即完全中学高中及综合中学高中，毕业后直升综合大学；一部分进入职业类高中，主要有就业导向的“双元制”职业学校和全日制职业专科学校，以及职业类学校，如专科高中，职业或技术高中，专科、职业或技术完全中学。年龄段为15-18岁或16-19岁。分流后，16岁至19岁年龄组 中普高与职高在校生之比为29：71。
第三阶段教育为高等教育，此时是第三次分流，即高中后分流。18至21岁年龄组中就业者与进入高校学习者的比例约为72：28（2001年）。
高校有3种类型：综合大学（5年），专科大学（又译专科学院、高等专科学校，3-4年），职业学院（3年）。
分流后综合大学与专科大学招生比为2：1。
第四阶段教育为继续教育（成人教育），也有3种主要类型：普通与政治继续教育、职业继续教育、科学继续教育。
三、德国教育成功的原因
1、二战以后德国经济腾飞的原因
二战以后德国经济腾飞的原因，政府、学校、企业之间形成了一种良性循环，成为德国先进的教育体系。
教育的特点：
（1）两种教育机构：学校和企业教育机构（2）两类教学内容：专业理论和技能（3）两种教材：理论教材和实践教材（4）两类教师：理论教师和实践教师
（5）两种身份：学校学生和企业见习生（或学徒）（6）两类考试：资格考试和技能考试（7）两类证书：毕业证书和培训证书
2、德国老师教学方法和责任心
老师注重对学生的学习效果评价，他们认为学习效果取决于学习形式和接收信息的感官。也就是获得知识途径，效果最好的是耳、眼睛、媒体、还是直接动手操作，经过比较分析认为直接动手操作所获得知识最为稳固。
为了使学生所学知识紧跟技术更新和企业所需，老师在授课前要为学生准备学习页，学习页分学生版和老师版，学生版只是围绕学习目标提出问题，要求学生自己去找解决问题方法及途径，自己总结为为什么要这么干及其原理，重点在于解决问题方法上。老师版有解决问题标准答案及方法，并让学生知道为什么这么干。这些资料准备全部由老师来完成，上课时发给学生。值得我们学习的他们仔仔不倦敬业精神和工作责任心、不厌其烦工作态度。
四、实践教学的改革
1、完整行动原理
1987年，德国教育界提出教育全新的指导思想-培养学生的能力，即“独立地制定计划，独立地实施计划，独立地检查计划”的能力。该思想发展为新时期德国教育的培养目标。
计划：既确定完成工作的目标、步骤和所需要的工具材料。在这个阶段，为了弄清楚完成这个工作任务的必要条件和组织保障，必须首先在大脑中模拟想象出具体的工作过程。计划能力是现代生产和服务活动对技术人员新的要求。
实施：即狭义的工作过程本身，其基本组成元素为：工作目的、工作对象、工作材料和工作方法。在实践中，实施的过程常与“计划”有一定的偏差，在此可以调整计划，重新实施。
检查：及对工作过程进行质量控制，保证得出所期望的结果并对结果进行客观评价。
2、行动能力：
1、方法能力
工作方法与学习方法。包括收集信息查找资料的途径、制定工作计划的步骤、解决问题的思路、独立学习新技术的方法和评估工作结果的方式等。例如做一个复杂的工件所涉及的到的设计工艺、选择材料、操作设备和制定标准等方面的具体的工作计划。方法能力是基本发展能力，是经后工作生涯中不断获取新的技能与知识的手段。
2、专业能力
有目的的，按照专业要求和一定方法独立解决任务和问题并评价结果的能力。它包括工作的方式方法，对劳动工具、劳动材料与劳动工艺认识与选择。它包括单项技能（专业外语知识，专业计算，制图与识图等）和综合技能（制作工件，保养机床，商品促销，经营管理等）。专业能力是人们胜任工作与生存的基本能力，它强调专业的特殊性与应用性。
3、个人能力
个人在对家庭、人作与公共生活中的发展机遇、要求与限制做出解释。评价并开发自己的智力与潜力，设计自己的职业生涯，在职业生活与个人生活中判断并评估自己的决策与行为的能力。
4、处理社会关系、理解社会奉献与冲突以及与他人负责任地相处和互相理解的能力。它包括人际交流、公共关系、组织与管理能力、社会责任感与集体团结意识。它强调积极的人生态度与社会的参与意识。
五、实践教学方法与手段：
1、项目教学法；
2、引导教学法；
3、行为导向教学法；
4、任务设计法；
5、四步教学法；
6、六步教学法；
7、沙盘演练法；
8、角色扮演法；
9、头脑风暴法。什么是项目教学法？
项目的成果可以是生产出一个有使用价值的产品，模型，或者安排一个展会，完成一个订单，找到某项任务的解决方案等。他不局限于狭隘的技术领域，一个项目可涉及到不同专业与社会多层面的各个领域。
最重要的是让学生从项目中领悟到完成任务的过程与方法，如何计划和实施对产品的开发与生产。
项目教学的流程：
1、设计项目主题（教师）
项目的发起可来自学生或者教师，也可来自学校外的外界环境。重要的是，通过设置一个与生活环境相关的题目或专业问题，同时要能够充分调动起所有学生兴趣。
教师来激发学生积极性，向学生介绍项目的目标与背景。和学生一起商讨项目的可实施性和可能遇到的问题及可能涉及到的学校外机构，设计大致草图或大致方案。让大家讨论形式收集各种想法，主意。
2、定目标和计划
完全由学生组织，教师监督。
通过定目标，明确不同的的兴趣，确定子题目和任务，确定预期成果。必须注意现实的条件限制（例如资金投入，学校，专业教师设置以及该项目的某些环节是否会触犯相关的制度或法规）
3、项目实施
在这一步，主要进行工作。
学生用不同的组织形式（如个体工作，小组工作）实施计划的工作，老师作为咨询员和矛盾协调员。是一个开放式的，让学生亲自参与学习过程与工作过程。在此过程中，理论、实践和社会学习融合成了一体。
4、项目评估（教师）
项目评估可以检验项目成果，并且对今后项目的质量的继续发展有利。在项目反思阶段，要对参与者的经验和进展过程进行讨论。项目反思是评估必不可少的要素，他由参与者自主进行，教师可以辅助性的指导。
5、成果报告
项目教法有明确的项目结束报告会。
所有参与者都有机会介绍自己的工作成果和工作讨论。
对于选择项目演示起决定作用的是，学生通过他们的工作获得肯定或批评。
六、教学前准备
德国人最不赞同的观点是“摸着石头过河”，认为凡事必须先有计划：
1、以教学计划为出发点阐述您选择此题目的原因
2、最终的情况（分析学员的基础知识以及学习积极性和学习能力）
3、制定目标（从专业上，方法上，社会层面上及个人发展层面上的能力来思考）
4、遵循教学法的基础上对于教学进程的阐述（说明您对此做出选择的原因）
5、对于力争达到的目标的原因阐述
6、对于计划好的教学进程的原因阐述
7、对于计划好的教学成果考核的原因阐述
8、教学计划表
9、参考文献
10、附件
七、德国实践教学考试
考试模式：由“结果导向”转向以“过程为导向”。法律保障：规定了考试内容与方式及负责机构。
考核目标：考察考生在面对最真实的工作任务和工作环境的 情况下完整地完成任务的行动过程能力，即与业务过程与质量管理相联系的工作过程的能力。
考核内容：设计与企业实际生产过程有直接关系的整体工作任务而非单项技术任务。
考核手段（过程导向）：观察工作过程、专业对话、评判笔试结果和实践工作结果。
评价标准：由结果转向过程，并强调与他人协作沟通的能力。工作过程：企业为完成工作任务并获得工作成功型的一个完整的工作程序。工作过程由工作方式，工作内容，劳动工具与主观工作能力决定。
过程能力：完成工作过程中所需要的协作，沟通能力，组织工作流程的能力，灵活地对干扰和意想不到的结果的反应能力，以及优化改善工作过程的能力。
范例：汽车维修的考核
1、交给任务
2、找问题
3、组织分配
4、计划工作任务
5、分析基本情况、确定维修步骤
6、劳动保护、安全性
7、维修汽车
8、书写总结、接受提问
八、对德国实践教学的感悟
德国老师正式上课前，一般会以轻松柔和的语气询问、甚至赞美听课对象的优点，课程中从来不会说谁不行，即使有人打瞌睡也不会骂，而是及时调整教学方法以提起学生的兴趣；
卡片法及幻灯片是他们用的最多的方法；
德国老师一般不知道的东西就说不知道，但都会表示课后查阅资料后给学生答复；
德国同样是按成绩好坏来分学生的；
授课过程中时时会问“有问题吗”，而且教师的角色已转变为教练员； 教学过程中始终坚持学生是学习的主人，学习内容并不是最重要的，关键在于学生探究、自主学习能力的培养，特别强调方法能力与社会能力的培养；
注重培养学生的自信与成就感，教师不会把向学生提的问题设置的太难；
1、突出了教学的实践性
德国实践性教学是由培养目标所决定的。因此，他们在教学中高度重视实践教学环节，侧重培养学生的实践动手能力。主要体现在：
一是入学前的提前实习。没有经过职业教育的文理科高中毕业生，在 进入学校之前应到与所选的专业对口的企业进行实习，主要熟悉工作的基本过程和增加对工作环境的认识（如果入学前未能完成实习，学校规定可在入学后自己安排时间完成，但最晚在第三学期结束前完成）。
二是设置实习学期，德国的教育规定半年以上的实习，大多在第五或第六学期安排一个学期的实习，学生根据所学课程，要在毕业后所从事的类似的岗位上实习。学生在企业的实习主要由企业的技术人员和管理人员指导和管理。实习结束后由企业写出实习鉴定，是学生专业成绩的主要部分。
2、强调在工作过程中学习
近年来德国的各大企业开始探索与生产过程紧密结合的培训方式，强调在工作过程中进行学习。如德国奔驰汽车股份有限公司，为了使学习更好的地与生产过程相结合，他们建立了自己培训学习机构，学生在培训师傅的指导下，共同完成汽车的某一个完整的零部件的生产加工。为了完成这一工作任务，学生们在培训师傅的指导下采取小组工作的方式，共同制定工作计划。完成工作任务。通过质量检测，质量合格的零部件将被组装到汽车上。
这种学习模式：
一是可以使学生置身于企业生产过程之中，体验企业的生产氛围； 二是可以使学生在完成生产任务的同时获得相应的专业知识、专业技能和生产经验；
三是在学生共同完成工作任务的过程中，有助于培养学生的合作能力、协调能力；
四是学生自已加工的产品被组装到汽车上有助于增强学生的质量意识 和责任感，使学生体验到成就感；
五是可以降低成本。
通过这种方式培养出来的学生能更好地满足企业的需求。
接触了德国的教育理念和方法，就会发现我国的教育有许多不足之处。
第五篇：审计学教学方法改革与实践
摘要：本文针对审计学课程的特殊性，从审计学课程框架不明晰、教学过程重教轻学、实践教学法应用不足等方面深入分析传统审计学教学方法存在的不足。并从构建合理的课程框架、创新教学内容、注重实践教学、推动启发式教学、提倡小班上课等方面提出教学方法的改革和创新。
关键词：审计学 教学方法 改革 创新
审计学是高校会计学专业课程教学的难点之一，它必须以会计学其他专业课程学习为基础，如基础会计、中级财务会计、成本会计等。本科教学阶段的学习内容主要涉及注册会计师财务审计的内容，所以基础课的学习特别重要，如果基础知识掌握得不好，那么想较好地完成审计课程的学习是很困难的，因为课程内容抽象，不容易理解。其次，审计本身充满不确定性，很多时候需要学生创新性地思考。你需要对基础知识非常熟练，才能对各种可能性做出预测和判断，再应用审计学的原理去获取相关资料支持你的结论，这也是目前实务界对人才的需求。这对于在校的本科生来讲难度比较大，他们缺乏实践活动，对企业的情况不了解，对审计实务也是空白，而且他们更喜欢计算清晰的财务会计，不习惯于充满不确定性和职业判断的审计分析，致使供求双方存在矛盾。那么，在有限的课时内用较清晰的课程框架将理论知识传授给学生，培养他们的思考能力、创新能力、专业素养，这是授课老师必须要解决的问题。目前，实践教学已经成为高校教学方式改革的发展方向和趋势，日益受到理论界和实务界的重视，培养具备一定实践能力、分析问题解决问题能力的毕业生是当前审计学教学迫切要解决的。本文就是在这一思路基础上，从审计课程框架建设、审计课程内容创新、实验室建设、案例教学等方面着手，对现有高校审计学教学方法与实践进行探究。
一、审计学课程的特殊性
审计学作为会计学专业的一门专业核心课程，专业性和应用性都很强，特别强调培养学生对实际问题的综合分析和解决的能力，而且涉及到会计、统计、经济、法律等相关的知识。因此，也是一门综合性很强的课程。其自身的特殊性主要表现在：审计学课程的抽象概念太多，有时概念中套着其他概念，概念前后又交叉，使得概念难以理解，教学内容的顺序难以把握；课程框架不清晰，内容逻辑性差，不像中级财务会计、高级财务会计那样是基础会计的延伸，比较有条理，框架很明晰；审计本身充满不确定性和职业判断，而且审计课程的职业判断环境依赖性强，仅从理论上很难给予明确的、可操作性的指导，学生学完之后会感觉思路比较混乱，不知道学了什么，不像财务会计那样能够按所学的知识进行相关业务处理，感觉学会了相关的技能；审计学课程逻辑性很强，很严谨，只要一个逻辑不准确就没法理解或在理解上出现偏差，而且理解相关的知识需要特定的环境，有时同样一个名词在不同条件下理解的角度是不一样的，这就使学生在学习过程中觉得审计学太抽象、深奥、难理解。对于教师而言，也很难把课程内容讲得生动。
二、传统教学方法存在的不足
1.课程框架不明晰
审计学科相对于其他学科而言发展相对晚，审计学科体系的框架还不明晰，发展也不均衡，财务信息审计发展相对快些，而非财务信息审计、一般审计、行为审计的发展相对慢。学科体系的发展不均衡，框架不清晰也使审计课程框架不是很清晰，内容比较杂乱，前后的逻辑性比较差。这使得教学内容的逻辑相对欠缺，学生在学习过程的思路也不清晰，影响对相关内容的理解和掌握。
2.教学方法重教轻学
教学方法应该包括教师教的方法和学生学的方法。传统的教学方法更注重教的方法，多数依赖于教材，以教师授课为主，忽视了学生学的方法，缺少教与学之间的互动与相互影响，减弱了教学的整体效能。而且这样的教学方式不仅使教学双方的交流不顺畅，影响教学效率效果；同时学生也懒于思考，依赖性强，不利于创新思维、自学能力、创新能力的培养，影响他们分析问题、解决问题的动力和能力，很难培养出适应社会需要的应用型财务和审计人才。现代教学方法应强调整体性，在教学中注重教师、学生、教材间的相互协调，发挥整体功能。
3.实践教学法应用不足
审计学的实践性强，要学好这门课，必须要求有较多的实践活动，课堂教学的实践活动最主要的是案例教学和课程实训。但是由于审计教学案例较少，案例的获取编写成本高，案例教学就成为教学中的难题之一。再者目前我校的教学班基本都超过150人，很难实行案例教学，或者教学效果较差。
实践基地基本没有发挥作用，基本是挂个牌就了事，没有起到实质性的作用，学生无法到基地实习，基地也不愿意接受大批量学生实习，所以实践教学整个体系是没有跟上步伐，导致审计学的实践教学法应用不理想。
三、审计学教学方法的改革与创新
1.构建合理的审计学课程框架
一直以来，审计学的课程框架比较不清晰，内容比较杂乱，学生在学习过程中会有一定的干扰，应该设计比较合理的课程框架。按照审计的基本工作程序，了解被审计单位基本情况，签订审计业务约定书、计划审计工作、风险评估及风险应对，完成审计工作，出具审计报告。根据课程框架有步骤地学习，特别是业务审计中要加强说明审计方法的应用、审计证据的获取、审计工作底稿的编制。在这一基本程序下，形成比较合理的审计课程框架，并按照这一基本程序讲解相关内容。
审计基本程序图
2.教学内容的创新
从内容上看应该打破原来财务审计的局限性，应该把基础会计、中级财务会计、高级财务会计、税法、税务会计等相关内容融合起来。财务审计属于事后审计，上课的时间安排在第六学期，这个时候其他的专业课程实训基本结束，如果学生能够把原来所完成的实训材料很好的保管下来，到审计实训的时候根据他们自己完成的材料来进行财务审计会弥补软件实训的局限性。这不仅可以检查学生自己过去财务实训完成的情况，还可以促进学生在实训过程思考和创新，而不是根据软件原本设计好的业务根据答案去填列。当然这样做可能需要加强课程之间的延续性和相关性，对教师和学生要提出更高的要求，但能更好地实现实训应有的效果。这些审计主要都是围绕财务信息审计展开，其他类型审计的内容涉及很少，因此，可以在内容上增加一些非财务信息的审计、行为审计、生态审计等等，在内容上加以拓展。在教学管理上也需要安排小班上课，以小班、小组、角色的扮演来共同完成。3.注重实践教学
（1）加强实验室建设，重视模拟实验教学
实验教学是学生在实验室，借助仪器设备，根据已有的教学软件，独立操作、分析，从中获得经验，培养实践技能，掌握技巧的一种教学形式和方法。实验教学必须借助仪器设备和教学软件，软件中资料的设计都是仿真的业务和票据，比较直观，能增强学生的感官认识。审计学本身是一门实践性很强的课程，单纯依靠理论教学是很难让学生理解和掌握复杂的实际审计工作。因此，模拟实训是审计教学必备的环节，实训过程以审计案例为主线，以学生上机实训为主，从审计业务约定书的签订、审计计划的制定、重要性审计风险的评估、控制测试、实质性测试、完成审计工作出具审计报告的整个审计流程，每个环节需要注意的事项，特别是实质性测试环节更是能够让学生把所学的会计知识和审计理论知识很好的结合应用，对学生综合分析能力的培养是十分重要的。
为达到以上目标，必须做好审计模拟实验室的建设。审计模拟实验室的建设应该包括教学软件和教学平台两大类。教学软件现在大部分院校用的都是财务审计的教学软件，只涉及财务审计的内容，而且形式上都是手工账报送审计形式，没有场景虚拟，这有一定的局限性，如果能设计一个多层次的教学软件，大量引入目前的3d动画和虚拟场景，把案例的执行过程以动画和虚拟场景的形式体现在软件中，这样更具有更有现场性。比如工程项目造价审计案例的设计，应该把投资估算审计、设计概算审计、施工图预算审计、工程结算审计、竣工决算审计等工程项目造价审计的基本模块都包含在内，再根据每个模块审计应该包含的内容、需要的材料、注意的要点等作明确的介绍，然后辅以3d动画的形式增加软件的的现场性，让人有亲临现场的感觉，也明白不同的审计对象对审计人员有什么不同的要求，在特定项目的审计中应该注意的事项等。其次是教学平台的建设。由于实验室和学生数不匹配，审计模拟实验不应该仅局限于实验室完成，应该设置平台让学生在宿舍、图书馆、教室都能完成，这样学生可以自己安排学习的时间和学习的进度，也可以随时复习之前的相关内容，有什么问题可以随时与教师取得联系。这样使教与学变得更人性化，能够更好的利用课余的时间。实践基地平台的建设后面阐述。
（2）重视案例教学，积极编写教学案例
审计学是一门非常抽象的课程，课本给予的基本是理论知识，很难理解和记忆，如果能够通过案例的讲解，把复杂的过程和抽象的理论在案例中体现出来，既便于记忆又容易理解理论知识。那么教学案例的取得和质量就成为案例教学成败的关键，案例要有一定的新颖性、复杂性、可理解性，最好是任课老师在实践中亲身体验，获取改编的。目前现成的审计案例相对比较少的，所以案例的收集与编制就成一大难题。案例的编写需要一个强大的团队，不仅需要老师的参与，还需要学生的参与，鼓励学生参与资料的收集，实践活动的参与，共同编写案例。只有不断积累修改才能做好案例教学，使案例真正贴近实际，讲解起来形象逼真，当然这过程需要学校相关部门给予时间和经费上的支持。
（3）加强校企合作，充分利用实践教学基地
除了课堂教学中的多种教学方法外，学校还应与企业、会计师事务所、行政事业单位建立长期的广泛的业务联系，实现校企合作。学生到实际单位，参与他们的日常工作，可以接触到实际工作中的具体业务，课本中的抽象知识能够很好地在实务中体现出来，加深学生对相关理论知识的理解和应用；同时，学生参加现场工作，还能培养和检验与人交流沟通的能力，这也是目前对审计人员能力考核的一项非常重要的指标。这些过程和场景都是学生在课堂或实验室所无法感触得到的，只有与这些实际单位建立好合作关系，把学生送到实际工作的现场，才能弥补课堂教学和实验室仿真教学的局限性，才能真正培养和检验学生的职业判断能力、思辨能力和与人沟通的能力。目前本校的财务处已经为会计专业的学生提供了很好的财务实践平台，应该鼓励审计处也为学生提供学习的平台；虽然我们也与事务所和企业建立合作，但由于学生人数多，实践基地少，只能满足少部分学生的要求，因此要加强校企合作，让学生有更多的真实学习的机会，为他们将来的工作培养必备的技能。
4.推动启发式教学
启发式教学，就是改变传统的教师满堂灌的教学方式，通过教师启发，鼓励学生独立思考，适当地加以引导，最终解决问题。这样学生真正参与到教学环节，使师生的教与学得到很好的配合和协调，改善教学双方的紧张关系，使学生变被动学习为主动学习，将学习变成一种主动获取知识的过程。为了更好实现启发式教学的效果，教师在教学中的主要任务时是课前做好充分的准备，知道如何给学生设计问题，引导学生的学习活动，帮助学生学会正确的思维方式，学会如何思考问题和如何完整表达自己的想法；学生则是教学过程的参与者和主人，通过教师引导，不同学生间的不同观点的碰撞和讨论，使思维更加活跃，视野更加开阔，增强学习的积极性和主动性，真正做到教与学的相辅相成，教师与学生的共同进步。
5.提倡小班上课
目前审计学的上课班级基本都维持在150-200左右，这么大的一个班级，教师把全班同学扫一遍都觉得困难，更不用说互动了，一堂课下来也就满堂灌了，省事，又能完成教学工作量，其实这样做是以牺牲学生为代价了，完全偏离了学校教书育人，培养人才的宗旨。这种大班教学完全是从知识讲授的角度去评价教学，教学效果严重受到影响，很多的教学方法无法在这么一个庞大的教室中使用。当然，小班教学并不是简单的人数减少，也不能是不同学科不同课程一刀切，在适当的人数范围内，应该注重师资的配置。教师应转变教学观念，认真研究课堂教学，学校应该明确目标，把人才培养作为核心工作，并在此基础上合理配置教学资源，激发教师的教学积极性，不能科研至上，只有教师有积极性了，才能激发学生的积极性，让学生真正参与课堂。近年来，清华大学、浙江大学、四川大学等都出台关于小班上课，提高教学效果的相关规定，很多高校也在实践过程中。当然，小班教学有一定的难度，如师资不足、教学条件受限、成本高等。但为能够培养真正具有思辨能力、创新思维和批判思维能力的学生，这些代价都是值得的。
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