微分方程在数学建模中的应用与教学实践（写写帮整理）

第一篇：微分方程在数学建模中的应用与教学实践（写写帮整理）

微分方程在数学建模中的应用与教学实践

【摘要】 实践表明，各学科的高度融合为经济社会的发展提供了更为广阔的空间.为适应这一发展，数学特别是职业高等数学教育必须发挥好基础性作用，在讲授学理的同时，更注重建立与完善各单元知识间的联系，将微分方程应用于数学建模就是很好的例证.【关键词】 微分方程；数学建模

推动数学理论为生产生活服务是一个繁复的过程，其中教材教学变革是重要环节.在教学中，将微分方程应用于数学建模，融通了数理与实践的联系，有利于学生全面系统思维的确立.一、微分方程与数学建模

微分方程是未知函数的导数及自变量之间的函数方程，与初等数学中的线性方程、指数方程等有着质的差异.初等数学方程以建构已知数和未知数之间的关系为主要目的，而微分方程所含导数的特征，使其在分析与解决生产和建设中的实际问题时更具普遍应用意义，它不仅与自然界中一切事物按其自身规律运动与演变的一般性相适应，更重要是它的形成本身就与物理化学、天文，经济学发展息息相关.例如描述飞机在发动机推动下于空间飞行的轨道，放射性元素衰变规律，预测传染病扩散过程及感染人数，决策如何调价以利于新产品推广等问题时，微分方程的应用须臾不可离开.微分方程的广泛适用性正是源于人们在认识自然过程中对多学科问题的求解.它始于苏格兰数学家耐普尔创立对数时讨论微分方程的近似解，牛顿在建立微积分同时对简单的微分方程用级数求解.而后瑞士数学家雅克布、欧拉和法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等日渐丰富了微分方程理论.特别是随着科学技术日新月异的发展，数学物理计算机不同学科的相互渗透，使常微分方程的数学建模与应用领域不断扩展.二、微分方程与数学建模的融合

在传统的“微分方程”教学中，教师更注重于数理分析与推演，而常常忽视知识的实践意义.这样的教学，只是教会学生如何解题，而很难建立起数学理论与实际问题的联系.因此，在讲授微分方程时，需要将数学建模思想与常微分方程教学有机融合起来.这一融合教学绝不是“两个单元”的硬性拼凑，而是相辅相成的有机构成.微分方程是联系自变量、未知函数及其导数的关系式，是数学学科中最受关注的领域之一，它使得自然科学中用数学不仅能表明状态，而且还展现了过程，在解决实际问题时发挥着重要作用.三、微分方程在数学建模中的应用

实现微分方程与数学建模的有机融合，关键是掌握建立微分方程模型的方法与步骤.主要方法

微分方程模型的特点在于描述现实世界中数量的变化关系，往往是与时间相关的一个动态系统，构建的方法主要有三种.（1）利用已知的基本定律或基本公式建立常微分方程模型

主要利用各学科中已知的定理或定律来建立的.如力学中的牛顿第二运动定律，万有引力定律，热力学定律、放射性问题中的衰变率，以及生物学、电学、经济学问题中的增长率等；

（2）利用导数的定义建立微分方程模型

把导数解释为瞬时变化率在很多领域建模时都会用到.如在生物学、力学、电工学以及人口问题研究中出现的“速率”“增长”；在放射性问题中出现的“衰变”，在经济学中出现的“边际的”等，这些词的出现就是一个信号，要特别关注哪些研究对象在变化，这些变化规律也许可以用在微分方程的表示中.（3）利用微元法建立常微分方程模型

这种方法主要是通过寻求微元之间的关系式，直接对函数运用有关定理建立模型.一般地，如果某一实际问题中所求的变量I符合下列条件：I是与一个自变量x的变化区间[a，b]有关的量；I对于区间[a，b]具有可加性；部分量ΔIi = f（ξi）Δxi.那么就可以考虑利用微元法来建立常微分方程模型.这种方法经常被应用于各种领域，例如求曲线的弧长、平面图形的面积、旋转体的体积、物理上变力做功、压力、静力矩及重心等.基本步骤

（1）建立模型――了解实际背景，明确建模目的，收集所需数据，做出必要合理的简化假设与符号说明；

（2）求解模型――利用常微分方程的知识对所构建的模型正确求解，对于复杂模型可借助数学软件Matlab求解；

（3）模型探讨――对模型求解过程进行数学分析，例如引入系数进行误差分析等，并修正改进模型使之更准确描述实际问题；

（4）分析结论――通过所得数学结果分析实际的问题，给出合理的解决方案，回归实际案例.（5）模型推广――利用数学模型得到的解对研究的实际问题给出分析解释或预报供决策者参考.四、数学建模与常微分方程融合教学的启示

实践告诉我们，常微分方程与数学建模融合教学，有益于数学与实践的链接，有益于破除数学与其他领域的“隔膜”，有益于学生从“要我学”到“我要学”的转变，实践给我们以启示.1.融合教学弥补了传统教学的不足，使数学从理论的殿堂走近人们的生产生活，使刻板的数字公式成为分析解决现实问题的方法.2.融合教学打破了教学一言堂的局面，每个人都去找案例，收集信息，使学生从被灌输的对象成为学习的主人，学习主动性充分迸发.3.融合教学深化了学生对常微分方程建模的理解，经过反复的训练，有效提升了学生解决实际问题的兴趣与能力.4.融合教学促进了教师知识水平的提高与教学模式的变革.要培养创新型人才，一个关键因素就是教师知识体系的更新与教学模式的转变.而这样的变革需要在每个知识点上的创新，需要统合辩证思维，需要锲而不舍.

第二篇：数学建模在小学数学教学中的应用

数学建模在小学数学教学中的应用——“面积和

面积单位”一节的教学案例

新课程的三维目标是知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观。目前在小学数学教学中,教师最重视的是“知识与技能”,而“过程与方法”这一目标的体现和落实仍不尽如人意。以教师的探究代替学生的探究、以教师的思维代替学生的思维的弊端仍然很严重。尤其涉及到实际生活、动手操作、理解想象等问题时,学生的分析处理能力、自主建构能力、解决问题能力都较弱。针对这些问题,在小学数学教学中我们可以尝试数学建模教学,因为它恰恰能弥补目前小学数学课堂教学中的不足。

一、什么是数学建模数学建模是建立数学模型并用它解决问题这一过程的简称。从数学建模的概念中可以发现,数学建模一般是指解决实际问题,要求学生能把实际问题归纳后抽象成数学模型,并加以解决。什么是数学模型呢-根据徐利治先生在《数学方法论选讲》一书中所说,从广义上讲,一切数学概念、数学理论体系、数学公式、数学方程以及由此构成的算法系统都可以称为数学模型;从狭义上解释,只有那些反应特定问题或特定的具体事物系统的数学关系结构才叫做数学模型。小学阶段的数学建模重在让学生体验建模的过程,即通过一定的实际情境,让学生在构建一些简单的数学模型的过程

第三篇：数学建模在导数教学中的应用

数学建模在导数教学中的应用

【摘要】 作为导数教学中的一个重要方法，数学建模有着不可替代的重要的作用。在数学教学的过程中必须保证其建模的准确性。因为建模的准确性直接影响到导数教学的效果。那么对于数学建模来说，其不仅是导数教学的一个重要组成部分，同时也是我国数学发展过程中的一种重要展现方式。随着数学学科的不断发展，在数学教学中出现了很多教学方法，但是事实证明，数学建模是目前为止在导数教学过程中最有效地一种方法。因此，下面重点来谈下数学建模在导数教学中的重要运用。

【关键词】 导数教学 建模 应用 影响 教学方式

一、数学建模在导数教学中的主要表现

1.1数学建模用于生活实践

相对于其他学科来说，数学本就是一个重在实践的学科。那么数学建模在导数教学中的主要目的就是指导实践，通过数学建模的方式，在最大程度上将数学理论用于实践才是数学的根本目的。对于建模来说，将抽象的导数转换成生活实践中的具体数值尤为重要。这种理论指导实践的方式，是我们数学学科区别于文学的重要特点。数学建模的形式可以对我们的生活中的一些问题进行具体的指导，这就是数学建模最大的优势所在。

1.2数学建模的展现方法

对于数学学科来说，一个重要的展现方法就是通过逻辑思维的方式对我们的生活中的具体事件进行数字化的分析。用抽象的导数形式来表示生活中那些具象的事物，并且在不断变化的生活中，用数学建模的方式找到固定的发展规律，用以帮助人类了解日后事物的发展形势。一方面可以有效地掌握事物的发展规律，另一方面还可以节省大量的人力及其物力，对可能出现的危险进行及时的预防和限制。在对经济的发展趋势分析方面，数学建模有着十分广泛的应用。因为其有着良好的预测方法和精准的数据，在预测经济走向的时候，有着举足轻重的作用。

1.3数学建模应用在导数教学中的表现

对于一些抽象的事物来说，数学建模在很大程度上都可以应用在导数教学上。比如对于速度的测算方面，数学建模的作用是显而易见的。对于运动的总长度和平均速度来说，一个数学建模就可以将其非常精准的展现出来。复杂的数据也将不再成为你计算的问题和难题。通过数学建模的方式，在导数教学中可谓是不可多得的重要方法。那么对于我们生活中一些其他的问题同样也可以通过数学建模的方式对其进行解决。比如人口的增长率，人均国土面积甚至于我国经济的走向等等都可以用数学建模的方式来展现。

二、数学建模在导数数学中的问题研究

2.1收集数据的精准化

对于数学建模来说，精准的数据是影响导数教学的重要方面。这就要求数学建模的相关数据一定要准确。因为数据的差距会直接影响到数学建模的效果。我们的生活中是否会出现诸如此类的事件，因为一个小数点的变化而影响到整个数据的巨大差异。这就是要求我们的工作人员在工作的过程中一定要保证数据的精准化，这样也是保证数学建模准确的方式。数据的准确是我们在日常生活中应该追求的重要方面，在整个数学建模的过程中，保证数字的精准化，将会极大限度的发挥数学建模的重要作用。

2.2结合实际情况进行相对应的改变

任何事物都不是一成不变的，导数教学也一样。不同的情况下，导数教学的方式也不尽相同。因为随着我们生活的不断改变，层出不穷的新事物也将不断的涌现出来。随机应变也是数学建模中值得注意的一个问题。随着我们生活的不断发展和进步，越来越多的微信微博视频网站出现在我们的视野前。对于研究这些社交平台和视频的受众来说，我们不能单纯的计算这些视频的浏览率，同时还需要注意的就是在这些平台和视频上的停留时间。这就是结合实际情况进行相对应的改变。

很多具体的事件都不能完全的依靠固定的规律，要通过实践才能得出正确的结论。结合实际情况，进行数学建模是导数教学模式中最为重要的一个环节。也是我们在运用数学建模的过程中需要特别主要的问题。

三、结束语

数学建模作为导数教学过程必不可少的一个重要方式，不仅对我们的生活有着非常深远的意义，同时也是我国的数?W研究史上浓墨重彩的一笔。对于我们目前的生活来说，如何做到精准化，细致化和专业化才是我们应该全力追求的重要目标。

数学建模，不仅是数学上一个重要的方法，也是我国调查，统计相关工作的一个好帮手，它可以让庞大的数据变得简单，也可以让抽象的事物明显的展现出自己的发展趋势。对于我们这些数字模型的研究者来说，在研究的过程中会发现许多十分有趣的东西。这也算是数字模型对我们努力工作的一种嘉奖。

参 考 文 献

[1]赵春燕；；构造函数，利用函数性质证明不等式[J]；河北北方学院学报（自然科学版）；2006年02期

[2]江婧；田芯安；；在数学分析中作辅助函数解题[J]；重庆文理学院学报（自然科学版）；2006年03期

[3]孙祝梧；；函数周期性与对称性之间的关系初探及应用[J]；中学教学参考；2010年07期

第四篇：反思在数学中的实践与应用

反思在数学中的实践与运用

内江市东兴区大治乡中心学校教师：罗良

摘要: 反思不仅仅是对数学学习一般性的回顾或重复，而是数学活动中所涉及的知识、方法、思路、策略等，具有较强的科学研究的性质；反思的目的也不仅仅是为了回顾过去，或培养元认知意识，更重要的是指向未来的活动，是为了更好地提高学习效益。关键词: 激发动力发现新问题掌握方法

数学教学过程中，反思历来具有重要的地位和作用。用荷兰著名数学家和数学教育家费赖登塔尔教授指出“反思是数学思维活动的核心和动力”，“通过反思才能使现实世界数学化”。美籍数学教育家波利亚也说，“如果没有了反思，他们就错过了解题的一次重要而有效益的方面”，“通过回顾所完成的解答，通过重新考虑和重新检查这个结果和得出这一结果的路子，学生们可以巩固他们的知识和发展他们的解题能力” 曹才翰先生也非常重视并倡导培养学生对学习过程的反思习惯，认为“培养学生对学习过程进行反思的习惯，提高学生的思维自我评价水平，这是提高学习效率、培养数学能力的行之有效的方法”

依据新课程的理念，以及弗洛登塔尔的“反思是数学思维活动的核心和动力”理论，结合学生现状，我觉得培养学生反思意识和能力非常迫切。为此，教师在课堂教学中，应重视培养学生反思意识和反思习惯。

一、要让学生有反思的动力。

１．创设情境，促发内需。

有积极情绪支撑的反思过程是一个高效能的学习过程。在教学中，教师要激发学生反思的热情就要营造充满民主色彩的教学情境，让学生觉得宽松、自然，敢于质疑。例如，我在教学《轴对称的性质》一课时，我给学生出了一道这样的趣味数学题：张庄和李庄在河的同侧，要在河边修建一提水站，提水站应建在河的什么地方，才能使所用的水泵最短？学生的思维欲望由此被激发出来了。

２．体味成功，适当鼓励。

在教学探究和交流活动中，教师要让学生有成功的体验。如在讲授《三角形的认识》一课时，我设计了一个游戏化的教学场景，学生兴趣很高。学生对三角形三条边之间的关系认识很模糊。有个学生竟然问：“老师，是不是所有的三根小棒都能围成三角形呢？”我就让学生反思拼的过程，结果经过学生自己的实践、反思得出了结论。使学生获得了成功的情感体验。这时教师对学生的探究与反思要适当给予肯定，学生得到老师的肯定会很开心，其反思意识会更强烈。

３．要把反思的权利还给学生。

把思维的机会、时间和空间留给学生。对于学生的质疑不要采取回避、堵塞、应付和推委的态度，甚至置之不理的处理办法。要让学生遇疑不慌、处疑不惊，不受课堂时空限制，教师要因疑引疑、设疑质疑，引导学生进行反思，使其成为学习中不可替代的一个环节。

二、让学生能够发现新问题。

从本质上讲，感知不是学习产生的根本，产生学习的根本原因是问题。发现问题的途径和方法很多，找问题大致有以下几种方法：在知识的“源头”上找问题；在与什么旧知识相衔接、易混淆的知识点上找问题；在知识“是什么”上找问题；在知识的“为什么”上找问题；在知识的“归类或分类”上找问题；在知识的“拓展延伸”上找问题。如：在教学《反比例函数》时，概念教学中，可以将反比例的形式变形；即y=kx-1(k≠0);xy=k.（k≠0）。

三、让学生掌握反思的方法。

课堂教学是开展反思性数学学习的主渠道。在数学课堂教学中有意识的引导学生从多方位、多角度进行反思性的学习，培养学生反省思维能力，养成反思习惯。

1.引导学生对数学概念进行反思性学习

数学概念一般是以准确而精炼的数学语言运用定义的形式给出的，具有高度抽象的特征。教师引导学生积极反思概念形成的过程，多问几个为什么？例如对“函数”定义的理解，可提出:（1）研究对象是什么？（2）研究对象之间有什么关系？（3）X的值与Y的值如何 1

对应？（4）有了上述对应关系后，Y和X间的这种关系叫做什么关系？经过反思深化学生对初中函数定义的理解，并在头脑中对函数的定义形成较完整的概念，在此基础上总结出“函数定义的本质是自变量在允许范围内取每一个值，因变量都有唯一的值与它对应。”乘势再引导学生对函数进一步的反思，就会对函数定义的内涵有更深刻的认识。如：函数的定义域、值域所涉及的范围，可以是整数集、实数集，可以是平面上点，可以是几何图形等；函数的对应关系，可以是一个统一的解析式，可以是分段式表示，可以是列表的形式等。这样可以提高对函数关系本质属性的认识水平，深化学生的知识建构。

2.引导学生在解题教学中进行反思性学习

对数学解题可划分为四个阶段：弄清问题——〉找到突破口——〉解答问题——〉回顾，其中“回顾”就是解题后的反思，它是解题思维过程中的深化和提高。解题过程的反思，实际是解题学习的信息反馈调控阶段，通过反思，有利于学生深层次的建构。如：解二次函数中，结合图形，让学生明确函数、一元二次方程乃至一元二次不等式三者之间的关系。解完一道题后不能停留在满足所得出的结论上，引导学生反思解题思路，根据题目的基本特征，进行多角度观察、联想，找到更多的思维通道，去探索更好、更简便的解题途径。通过一题多解训练学生的发散性思维，优化思维品质。如：初中数学综合复习中，部分题可以一题多解，鼓励学生寻找多种解法。

其次，在解完一道题后可引导学生反思此类问题有无规律可循，或改变条件或结论，以探索新命题。通过多题一解、一题多变，促使学生反思解题规律，做到举一反三，触类旁通。如：函数y=(m+2)xm2-4+m-3是二次函数，则m=━━━,当m=━━时，此函数是一次函数。

最后，还需引导学生思考：解题结果是否合理？解题过程有没有漏洞？这样，不仅能巩固知识，减少解题的错误，更重要的是发展思维，培养探索能力，引发再创造。如：解分式方程时，一定要对所求的解进行检验。

课堂教学中要创设情景，加强对课本例习题反思，引导学生进行类比和归纳，引发他们的猜想，发展他们发现、探索的解题能力，培养反思习惯。如：多项式的因式分解中，引导学生对本章的例题进行归类，当多项式为二项时，三项时，四项时，分别可采用哪些方法。

3.引导学生在单元小结中进行反思性学习

引导学生对一单元的知识、方法进行反思性总结。让学生自行编制知识网络，使知识更加系统化，而且对单元中隐含的思维特征予以反思，理清思路。反思自己对这一单元中知识的认识是否达到所要求的程度，自己对这些知识是否有了新的认识，原有的认识有什么欠缺之处，这种欠缺是如何造成的，如果需要补救必须及时进行。通过反思沟通新旧知识的联系，挖掘知识之间的内在联系，促进知识的同化和迁移。在单元小结中通过反例方式进行反思训练，诱导学生对自己获得的结论进行反思，“相关结论还有吗？”“这个结论正确吗？”“有无反例？”让学生在反思中将新知识得到“内化”、“顺应”，从而建构新的良好的认知结构。这样有利于促进学生养成反思性学习的习惯。

4.引导学生在数学交流中形成反思性学习习惯

数学课堂是一个小型的数学共同体，它应当成为师生交流数学思想的场所。通过数学交流，启发了学生思维和反思，促使学生思维向纵深发展，变换课堂教学的空间形式。如：我将本班50名学生按男、女生比例、数学基础、认知水平、学习态度、个性心理及学习成绩，分成十个小组。每组选一名组长，按要求程序去操作，布置课前预习，提出要求，看书回答问题，组内循环检查与议论，并确定中心发言人，向全班交流学习结果。在数学交流过程中，教师可采用“因果设问与反思、比较设问与反思、变化设问与反思、正误设问与反思、转化设问与反思”等方法，营造探求、反思的数学交流氛围。使学生在交流中学会反思与推理，以使达到理性交流层次。

数学反思对学习者在数学学习活动中，对数学认知过程的自我意识，有利提高自我监控能力。它以反思的技能和反思的毅力为基础，并在对数学认知过程的评价、控制和调节中显示出来。它对数学认知活动起到指导、支配、决定、监控的作用。

参考文献：

中国教师报 ： 1.《 如何培养学生反思意识和能力》卜 骥

2.《引导学生反思性评价》姜平

第五篇：分层教学在初中数学教学中的应用与实践

分层教学在初中数学教学中的应用与实践

摘 要：对于刚升入初中的学生来说，由于所学知识层次的深入，所以一时难以适应。因此，教师在教学中需要根据学生的实际情况进行教学，将不同层级的学生进行分层式教学，使得每个学生在学习的时候都能够在自己的领域有所突破。

关键词：分层教学；初中数学；实践教学

分层教学即针对学生在学习过程中对知识的学习能力以及掌握情况的不同所进行的有效且分层次的教学。这是一种非常有效的学习方式，能够将学生的学习发挥到最好的状态，使得每个学生的学习都能够取得应有的进步。从以往的教学经验来看，学生在学习伊始较为被动，一来是因为对数学没有太大的兴趣，再有就是在学习中跟不上教师的进度，久而久之落下的东西越来越多。因此，教师在教学中需要引入分层教学的方式，在学习中能够让每一个学生都能有所成就，感受到学习数学的乐趣。

一、根据学习实际情况，进行合理小组划分

对于学生而言，不同学习能力的学生可以集中在一起进行全面学习，我们可以引入小组的模式进行。但是怎样的划分合理？合理的依据又是什么呢？

初中数学知识比较基础，因此我们可以在课堂中融入更多的情景元素，让学生在学习的时候能够融入一定的环境中，教师根据学生对学习的表现进行有效划分。首先，学生的抽象思维各不相同，这两者之间的差异就可以让教师进行分层教学：对逻辑思维较弱的学生用数形结合的方式引导学生进入具体的情境中，让原本比较抽象的思维能够在一个更加具体的画面中展示出来，通过反复的练习和锻炼，加强学生对抽象思维空间的理解，从而可以为数学的学习奠定良好的基础。另外，根据学习态度等多种综合因素的不同，也可以进行有效的分组，这里我们可以初步运用考试的成绩和平时的课堂成绩作为考量。将成绩较好且具有一定的发展思维的学生分为A组，将平时比较努力的且基础知识掌握得比较扎实的学生分为B组，将学习稍弱成绩暂时落后的学生分为C组，这样有针对性地分组，在进行教学的时候也能够更加有效，让学生在学习的时候能够感受到教师的热情，使得自己的学习能够事半功倍。

二、培养学生良好的学习习惯，实施数学课堂分组教学

在课堂学习中，我们可以按照之前既定的分组进行划分学习，让学生在课堂的学习中能够感受到不同层次的学习模式。对于A组的学生来说，教师在进行课堂提问的时候可以选取一些比较有发展性的问题，让学生在学习中能够有自己的思考时间，不断进行思维拓展，以便在学习中能够有更多的见解；而对于B组的学生来说，还是以基础知识巩固为主，要让学生将基础知识的根基打得更加牢固，然后在学习中找到属于自己的学习方式，具备一定的思维能力，朝着A组的学生进行发展，以他们为自己学习的目标，在学习中不断地进行追赶。而对于C组的学生来说，首先需要做的就是端正他们学习的态度，教师可以运用比较丰富有趣的形式引导学生首先对数学感兴趣，认为学习数学是一件非常好玩的事情，对此，教师可以大量地运用生活中的实例，让学生能够从身边的事情着手，感受到学习的重要性，从而对数学的学习不再抗拒，在实施了这一步的计划之后，便可以引导学生在学习中开始着手基本的知识练习，让学生在学习的时候能够更加主动，在学习中能够找到属于自己的学习方式。

三、加强互动交流，创建良好氛围

对于学生来说，在小组内的学习也要进行合理的交流。因为他们在学习中会遇到很多的问题交流的空间比较少，在课堂中我们会以讲解为主，给学生留下的时间是很少的。因此，课后的时间也要充分利用起来，可以组织一些课外的学习小组，让学生在课后进行有效的探讨。学生在课后的时间是比较自由的，气氛活跃，不受课堂的约束，在交流的时候可以更加轻松，在学习的时候能够更有效。同时也可以锻炼他们团队合作的能力，让他们在日后的学习中也能够相互学习，获得共赢。我们发现，在这样一个良好的学习氛围中，对于不同层级的学生而言，都是比较有效的，他们可以自由地进行组织，进行自由的分层，在学习中你追我赶，不断地超越他人，也不断地超越自己。

在我们的初中数学教学中，可以采用分层教学的形式，让学生在学习的时候能够有的放矢，进行合理的计划性的学习。而教师在教学的时候也可以更加轻松，对于每个学生对知识点的掌握情况也能够做到详细的了解，在教学中也能够激发学生的主动

性，使得初中数学课堂变得更加有效。

参考文献：

[1]周俊明.如何在初中数学教学中培养学生的?笛?思维能力[J].语数外学习（初中版中旬），2014（7）.[2]顾友行.在初中数学教学中进行人文教育的方法[J].语数外学习（初中版中旬），2014（7）.编辑 谢尾合