与三角形有关的角

第一篇：与三角形有关的角

与三角形有关的角

一．填空题（共8小题）

1．（2013•威海）将一副直角三角板如图摆放，点C在EF上，AC经过点D．已知∠A=∠EDF=90°，AB=AC．∠E=30°，∠BCE=40°，则∠CDF=．

2．（2013•上海）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为 _________ ．

3．（2013•黔西南州）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=

4．（2013•荆门）若等腰三角形的一个角为50°，则它的顶角为．

5．（2013•葫芦岛）三个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=°．

6．（2013•河北）如图，四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B= _________ °．

7．（2013•达州）如图，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…∠A2012BC和∠A2012CD的平分线交于点A2013，则∠A2013=

8．（2012•呼和浩特）如图，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC= _________ ．

二．解答题（共13小题）

9．（2011•青海）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．

探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90°+，理由如下：

∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线

∴

∴

又∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A

∴

∴∠BOC=180°﹣（∠1+∠2）=180°﹣（90°﹣∠A）

=

探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．

探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（只写结论，不需证明）

结论： _________ ．

10．（2010•玉溪）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系

（1）如图a，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B=∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD=∠BPD+∠D，得∠BPD=∠B﹣∠D．将点P移到AB、CD内部，如图b，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；

（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）

（3）根据（2）的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．

11．如图，CB∥OA，∠B=∠A=100°，E、F在CB上，且满足∠FOC=∠AOC，OE平分∠BOF．

（1）求∠EOC的度数；

（2）若平行移动AC，那么∠OCB：∠OFB的值是否随之发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值；

（3）在平行移动AC的过程中，是否存在某种情况，使∠OEB=∠OCA？若存在，求出∠OCA度数；若不存在，说明理由．

12．实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．

（1）如图，一束光线m射到平面镜上，被a反射到平面镜b上，又被b镜反射，若被b反射出的光线n与光线m平行，且∠1=50°，则∠2= _________ °，∠3= _________ °；

（2）在（1）中，若∠1=55°，则∠3= _________ °，若∠1=40°，则∠3= _________ °；

（3）由（1）、（2）请你猜想：当两平面镜a、b的夹角∠3= _________ °时，可以使任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行，请说明理由．

13．已知：△ABC中，记∠BAC=α，∠ACB=β．

（1）如图1，若AP平分∠BAC，BP，CP分别平分△ABC的外角∠CBM和∠BCN，BD⊥AP于点D，用α的代数式表示∠BPC的度数，用β的代数式表示∠PBD的度数

（2）如图2，若点P为△ABC的三条内角平分线的交点，BD⊥AP于点D，猜想（1）中的两个结论是否发生变化，补全图形并直接写出你的结论．

14．已知：△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，请根据题中所给的条件，解答下列问题：

（1）如图1，若∠BAD=60°，∠EAD=15°，求∠ACB的度数．

（2）通过以上的计算你发现∠EAD和∠ACB﹣∠B之间的关系应为： _________ ．

（3）在图2的△ABC中，∠ACB＞90°，那么（2）中的结论仍然成立吗？为什么？

15．如图1，在平面直角坐标系中，A、B两点同时从原点O出发，点A以每秒m个单位长度沿x轴的正方向运动，点B以每秒n个单位长度沿y轴正方向运动．

（1）已知运动1秒时，B点比A点多运动1个单位；运动2秒时，B点与A点运动的路程和为6个单位，求m、n；

（2）如图2，设∠OBA的邻补角的平分线、∠OAB的邻补角的平分线相交于点P，∠P的大小是否发生改变？若不变，求其值；若变化，说明理由．

（3）若∠OBA的平分线与∠OAB的邻补角的平分线的反向延长线相交于点Q，∠Q的大小是否发生改变？如不发生改变，求其值；若发生改变，请说明理由．

16．生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如图两幅图都是由同一副三角板拼凑得到的：

（1）请你计算出图1中的∠ABC的度数．

（2）图2中AE∥BC，请你计算出∠AFD的度数．

17．如图，在△ABC中，∠A=40°，∠B=72°，CD是AB边上的高；CE是∠ACB的平分线，DF⊥CE于F，求∠BCE和∠CDF的度数．

18．已知如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：

（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系： _________ ；

（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数： _________ 个；

（3）在图2中，若∠D=40°，∠B=36°，试求∠P的度数；

19．（1）如图①∵∠B+∠D+∠1=180°

又∵∠1=∠A+∠2

∠2=∠C+∠E

∴∠A+∠C+∠E+∠B+∠D=180°

（2）将图①变形成图②，∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E仍然为180°，请证明这个结论．

（3）将图①变形成图③，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E还为180°，请继续证明这个结

论．

20．如图

（1）如图（1），∠ADC=100°，试求∠A+∠B+∠C的度数；

（2）如图（2）所示，DO平分∠CDA，BO平分∠CBA，∠A=20°，∠C=30°，试求∠O的度数．

21．在小学学习中，我们已经知道三角形的三个角之和等于180°，如图，在三角形ABC中，∠C=70°，∠B=38°，AE是∠BAC的平分线，AD⊥BC于D．

（1）求∠DAE的度数；

（2）判定AD是∠EAC的平分线吗？说明理由．

（3）若∠C=α°，∠B=β°，求∠DAE的度数．（∠C＞∠B）

第二篇：《与三角形有关的角》教案设计

与三角形有关的角教案

李天明

从容说课

三角形是最常见的几何图形之一，在工农业生产和日常生活中都有广泛的应用．又因为三角形是多边形的一种，而且是最简单的多边形．在几何里，常常把多边形分割成若干个三角形，利用三角形的性质去研究多边形，也可以利用一系列的三角形去逼近它，从而利用三角形的性质去研究他们．因此对三角形性质的研究就显得十分重要．

在小学已学习过三角形的内角的有关知识，知道三角形的内角和为180°，•但是为什么是180°而不去研究．•在这里要求学生掌握“三角形内角和定理”的证明及其简单应用，掌握三角形内角和定理的两个推论及其证明．在证明过程中通过一题多解、一题多变，初步体会思维的多向性，引导学生的个性化发展；由内角中的等量关系和外角中的不等关系，让学生体会相等与不等关系的简单证明．引导学生从内和外，相等和不等的不同角度对三角形作更全面的思考．

在教学中，首先让学生动手操作，把三角形的三个内角拼合在一起，探索它们的和及其原因，然后互相交流各自的想法，并归纳总结出结论．再寻求多渠道、不同途径的解决问题的方法，使学生经历实验──思考──交流──总结──运用的过程．让他们不仅掌握知识点，还要知道为什么、做什么用，使学到的数学知识与实际生活联系起来．避免了数学的枯燥无味和脱离实际的现象，使数学真正运用到实际中去．

教学课时 三维目标

一、知识与技能

1．掌握“三角形内角和定理”的证明及其简单运用．

2．掌握三角形的外角的定义，三角形内角和定理的两个推论及其证明； 3．体会几何中不等关系的简单证明．

二、过程与方法

1．通过探索“三角形内角和定理”及其推论，•培养学生的探索能力和实践操作能力； 2．在学习了三角形的内角和外角后，能运用所学知识解决简单的问题，•训练学生对所学知识的运用能力．

三、情感态度与价值观

1．通过让学生积极参与数学学习活动，培养学生对数学的好奇心与求知欲；

2．由具体实例的引导，•让学生初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，体验数学活动充满着探索与研究．

教学重点三角形内角和定理及推论．

教学难点三角形内角和定理及推论的证明和运用． 教具准备投影片三张：

第一张（记作7．2A）；第二张（7．2B）；第三张（7．2C）． 教学过程

一、创设问题情境，导入新课

在小学我们已经知道三角形的内角和为180°，但究竟为什么是180°，我们没有去研究，本节课我们来回答这个问题．

二、动手试一试，你会有收获 活动1 问题：

在纸上画一个三角形，并将它的内角剪下，试着拼拼看，三个内角的和是否为180°？ 设计意图：

旨在让学生亲身实验一下，对所研究的问题产生兴趣，激发好奇心和求知欲．通过亲身经历，体会从具体情景中发现教学问题．

师生活动：

让学生人人画一个三角形，并把三个角裁下来，拼在一起，让他们自己得出结论． 生：三个角拼在一起，会得到一个180°的角． 师：为什么是180°呢？

生：因为三个角合起来形成一个平角，而平角等于180°，•所以三个角的和为180°． 师：大家得出的结论相同吗？你们画的三角形都一样吗？如果不一样，你能得出什么结论呢？ 生：我们互相交流一下，结论都是一样的，但所画的三角形并不完全一样，所以说明三角形三个内角的和与形状没有关系，•只要是三角形，•其内角和就一定为180°．

师：大家回答得非常棒．但这只是实验，由观察与实验得到的结论，并不一定正确、可靠，这样就需要通过数学证明来验证，那么怎样证明呢？请同学们看投影片．

（出示投影片7．2A）

在图7．2-1（1）中，∠B和∠C分别拼在∠A的左右两侧，•三个角合起来形成一个平角，出现一条过点A的直线L，移动后的∠B和∠C各有一条边在L上．想一想，L•与△ABC的边BC有什么关系？由这个图你能想出说明三角形内角和等于180°这个结论正确的方法吗？

请大家思考后再互相交流．

生：因为移动后的∠C与未移动时的∠C相等，而他们又是内错角，由平行线的裁定可知，直线L与边BC平行，所以可以过△ABC的顶点A作直线L平行于△ABC的边BC，由平行线的性质与平角的定义可知∠A+∠B+∠C=180°．

师：大家能写出证明过程吗？

这是一个文字命题，证明时应先干什么呢？

生：需要先画出图形，根据命题的条件和结论，结合图形写出已知、求证． 师：下面请一位同学完整地写出过程．

生：如图7．2-2，已知△ABC,求证：∠A+∠B+∠C=180°

证明：过A作直线DE∥BC，∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C． ∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°，∴∠B+∠BAC+∠C=180°，即∠A+∠B+∠C=180°．

师：再观察图7．2-2（2）．辅助线的作法与图7．2-1（1）一样吗？证明方法相同吗？ 生：辅助线的作法不同．移动前的∠A和移动后的∠A相等，•且是内错角的位置关系，可知直线L与边AB平行，同时移动前和移动后的∠B是同位角也应相等，•所以三个角拼在一起构成了平角，故∠A+∠B+∠C=180°．

师：能写出证明过程吗？ 生：已知、求证和上面相同．

证明：如图7．2-3延长BC到D，过C作CE∥AB．

∴∠A=∠ACE；∠B=∠ECD． ∵∠ACE+∠ACB+∠ECD=180°，∴∠A+∠ACB+∠B=180°，即∠A+∠B+∠C=180°．

师：利用两直线平行，同旁内角互补怎样？课下讨论．从上面的两种证明方法中，•大家能否找到它们的异同点？它们的思路是否一致呢？

生：相同点是：都是把三角形的三个内角拼到一起，根据平角的定义，证明三角形的内角和是180°；不同的是：辅助线的作法不同，前者是过A点作边BC的平行线，后者是过C点作边AB的平行线．但不管是过三角形的哪一个顶点，作另一边的平行线，它们的思路基本一致，就是通过平行线，利用平行线的性质，通过同位角或内错角相等，把三个角都拼到一起，构成一个平角，从而得证．

师：很好．大家的证明过程写的非常好，分析的非常棒，找到了解决问题的思路．•根据思路，大家还能找到其他的证明方法吗？

生：还可以这样作辅助线，如图7．2-4作CA的延长线AD，过点A作∠DAE=∠C，•则AE∥BC，所以∠EAB=∠B．因为∠DAE+∠EAB+∠BAC=180°，故C+∠B+∠BAC=180°，•即∠A+∠B+∠C=180°．

师：大家做的非常好，前三种方法都是把三个角转移到三角形的一个顶点处．•只要把它们拼到一起成为平角即可，那么是否可以转移到其他地方呢？请大家讨论．

生：如图7．2-5，在BC上任取一点D，过点D作DE∥AB交AC于E，再过点D作DF∥AC•交AB于F．

∵DE∥AB，∴∠1=∠B，∠2=∠4． ∵DF∥AC，∴∠3=∠C，∠4=∠A． ∴∠2=∠A．

∵∠1+∠2+∠3=180°． ∴∠A+∠B+∠C=180°．

师：大家讨论的非常棒．可见大家已掌握了三角形内角和定理的证明，•并能根据思路拓展，由于时间关系，我们不再继续了，在课后大家可以继续讨论有关问题，比如点在△ABC的内部？外部呢？

活动2 出示投影片7．2B．

例：如图7．2-6，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向，从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？

师生活动：

师：请大家先观察思考，题中出现的这些方位角，在图上分别指出．

生：C岛在A岛的北偏东50°方向，指∠DAC=50°；B岛在A岛的北偏东80°方向，指∠DAB=80°；C岛在A岛的北偏西40°方向，指∠CBE=40°；要求的是∠AOB的度数．

师：下面再讨论一下根据已知角，如果求出∠ACB的度数．

生：要求∠ACB的度数，根据三角形内角和定理，需求出∠CAB和∠CBA的度数．•而∠CAB=∠DAB-∠DAC=80°-50°=30°，∠CBA=90°-∠CBE=90°-40°=50°．•所以∠ACB=180°-∠CAB-∠CBA=180°-30°-50°=100°．

生：他做的不对，∠CBA不等于50°．因为∠EBA不是90°而是因为AD∥BE，∠DAB+∠ABE=180°． ∴∠ABE=180°-∠DAB=100°． ∴∠ABC=∠ABE-∠CBE=60°． ∴∠ACB=180°-30°-60°=90°． 师：哪一位同学能把过程完整地写一下呢？ 生：解：∠CAB=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°． ∵AD∥BE，∴∠BAD+∠ABE=180°．

∴∠ABE=180°-∠BAD=180°-80°=100°． ∴∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60°． 在△ABC中．

∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=180°-60°-30°=90°． 答：从C岛看A、B两岛的视角∠ACB=90°．

师：大家看，过C点作AD的平行线CF，则AD∥CF∥BE，„„往后课下完成． 尝试反馈巩固练习（出示投影片7．2C）

1．△ABC中，∠A=40°，∠B-∠C=30°． 求∠B，∠C．

2．△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：2． 求∠A，∠B，∠C．

3．在△ABC中，∠A+∠B=90°，∠C=2∠A． 求∠A，∠B，∠C．

4．如图7．2-7，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AB边上的高． 求∠DBC的度数． 设计意图：

利用三角形内角和定理求某些角的度数．

师生活动：

生：1．解：∵∠A=40°，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B+∠C=180°-∠A=140°． ∵∠B-∠C=30°，∴∠B=∠C+30°，∴∠C+30°+∠C=140°． ∴∠C=55°，∠B=85°．

2．解：∵∠A：∠B：∠C=1：2：2，∴设∠A=x°，∠B=∠C=2x°． ∵∠A+∠B+∠C=180°，∴5x°=180°，∴x=36°．

∴∠A=36°，∠B=∠C=72°． 3．解：∵∠A+∠B=80°，∴∠C=180°-80°=100°． ∵∠C=2∠A，∴∠A=1∠C=50°，2∴∠B=180°-∠A-∠B=30°． 4．解：∵∠C=∠ABC=2∠A． ∴∠A=36°，∠C=72°． ∵BD⊥DC，∴∠BDC=90°．

∴∠DBC=180°-∠BDC-∠C=180°-90°-72°=18°． 活动3 问题：

探究三角形外角的定义，外角与不相邻内角间的关系． 设计意图：

旨在掌握三角形外角的定义的基础上，利用三角形内角和定理，推导出外角与不相邻内角间的关系．

师生活动：

师：前面我们学习了三角形的内角，也称为三角形的角，还掌握了内角和定理，下面我们来探究一下三角形的外角．

生：顾名思义，三角形的内角是三角形内部的角，那角形的外角就是三角形外部的角．如图7．2-8，∠BAC、∠C是三角形的内角，∠BAE、∠CAD•、•∠EAD是三角形的角，称为三角形的外角．

师：这位同学的分析似乎有道理，大家认为怎么样？讨论后交流．

生：不正确，不能这样想当然．外角不是外部的角，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，如∠DAC、∠∠DAE虽然在三角形的外部，•但它的两边都是三角形的延不符合外角的定义，所以它不是外角．

么三∠B、外部

小组

而是EAB、长线，师：这位同学说出了外角应具备的条件：①角的顶点是三角形的顶点；②角的一边是三角形的一边；③另一边是三角形中一边的延长线，那么在上面的图7．2-•8中，满足条件的角（外角）是否只有∠DAC和∠EAB呢？请大家思考后作答．

生：不是．在三角形每个顶点处都有两个外角，所以一个三角形有6个外角，•而且同一顶点处的两个外角是对顶角，应该相等．

师：大家的分析很详细．那么这些外角与内角之间有没有关系，如果有，存在什么关系呢？将是下面我们要解决的问题．

如图7．2-9，△ABC中，∠A=70°，∠B=60°．∠ACD是△ABC的一个外角．能由∠A，∠B求出∠ACD吗？如果能，∠ACD与∠A，∠B有什么关系？你能进一步说明任意一个三角形的一个外角与它不相邻的两个内角有什么关系吗？

生：∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠ACB+∠ACD=180°． ∴∠ACD=∠A+∠B=130°．

所以三角形的一个外角等于两个内角的和． 师：根据刚才这位同学的逻辑，那么∠ACD=∠A+∠ACD=∠B+∠ACB成立吗？

生：不成立．

∠ACB，再如图7．2-10，∠A=30°，∠B=40°．则∠ACB=110°．因为∠ACB+∠ACD=180°，•所以∠ACD=70°．那么∠ACD=∠A+∠ACB成立吗？

生：不成立．

师：为什么呢？那刚才的结论成立吗？

生：不成立．在上图中有结论∠ACD=∠A+∠B，本题中有∠ACD=∠A+∠B．而∠A，∠B与∠ACD不相邻，所以上面的结论应改为：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．

师：那么外角与其中一个不相邻的内角之间的关系呢？

生：因为两个角的和等于外角，所以外角应大于其中任何一个内角． 师：由此可知三角形内角和定理的推论．

1．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 2．三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角． 尝试反馈巩固练习

1．已知：如图7．2-11，∠BAF，∠CBD，∠ACE是△ABC的三个外角． 求证：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°．

设计意图：

巩固三角形内角和及其推论． 师生活动：

生：证明：∵∠BAF=∠2+∠3，∠CBD=∠1+∠3，∠ACE=∠1+∠2，∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2（∠1+∠2+∠3）． ∵∠1+∠2+∠3=180°．

∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°．

2．已知：如图7．2-12，在△ABC中，∠1是它的一个外角，E为边AC上一点，延长BC到D，连结DE．求证：∠1>∠2．

设计意图：

体会几何中不等关系的简单证明． 师生活动：

证明：∵∠1是△ABC的外角，∴∠1>∠3．

∵∠3是△DCE的外角，∴∠3>∠2，∴∠1>∠2．

三、课时小结

本节课共同探索了三角形内角和定理及推论的证明，基本思想是：把三个内角拼在一起，拼成一个平角；熟练掌握三角形内角和及外角和定理；理解三角形外角的性质，并能解简单问题．

板书设计

7．2与三角形有关的角 活动一（探究三角形内角和）活动二（例题讲解）

活动三（探究三角形的外角与不相邻的内角间的关系）活动与探究

在前面讨论三角形内角和定理的证明时，证明的思路是把三角形的三个角拼到一起，构成一个平角，根据平角的定义得证．可以把三个角“凑”到一个顶点处，也可以把三角形“凑”到一边上，那么能否把三个角“凑”到三角形的内部和外部呢？

如下图：

过P点分别作三边的平行线ST、MN、QR．

在左上图中，∠A=∠QST=∠SPN，∠B=∠SQP=∠NPR，∠C=∠NRP=∠SPQ，∵∠SPN+∠NPR+∠SPQ=180°，∴∠A+∠B+∠C=180°．

在右上图中，∠A+∠ATS=∠SPN，∠B=∠1=∠NPR，∠C=∠2=∠SPQ． ∵∠SPN+∠NPR+∠SPQ=180°，∴∠A+∠B+∠C=180°．

以上几种证法，都是在把三角形的三个内角剪下拼在一起，构成一个平角的实验基础上产生的．特别是添加了辅助线，构造出了新图形，形成了新的关系，把未知数化成已知．下面这一种证法十分有趣，不直接从内角的角度考虑问题，而是从外角入手，应用了运动的观点来解决问题． 一个人沿着一个三角形广场绕圈跑步，设他站在AB边上任意一点P处，面向B点前进，到达B点向左移动一个角度∠1，面向C点前面，到达C•点后向左再转动一个角度∠2，再面向A点前进，到达A点后再向左转动一个角度∠3，最后又回到P点，仍面向B点站立，则他在这个过程中共转了一周，即∠1+∠2+∠3=360°．

证明：∵∠1=180°-∠ABC，∠2=180°-∠ACB，∠3=180°-∠BAC，∴∠1+∠2+∠3=540°-（∠ABC+∠ACB+∠BAC）=360°． ∴∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°．

第三篇：三角形的线与角练习

1.(本小题7分)下列说法正确的是()A.三角形的三条角平分线有可能在三角形内，也可能在三角形外 B.三角形的三条高都在三角形内 C.三角形的三条高交于一点 D.三角形的三条中线交于一点

2.(本小题7分)如图所示，D，E分别是△ABC的边AC，BC的中点，则下列说法不正确的是()A.DE是△BCD的中线

B.BD是△ABC的中线 C.AD=DC，BE=EC

D.DE是△ABC的中线)如图，△ABC中，AD⊥BC交BC的延长线于D，BE⊥AC交AC的延长线于E，CF⊥BC交AB于F，下列说法错误的是()A.FC是△ABC的高

B.FC是△BCF的高 C.BE是△ABC的高

D.BE是△ABE的高 4.(本小题7分)如图，在△ABC中，作BC边上的高，下列

选项中正确的是

()

A.B

.C.D.5.(本小题7分)如图，在△ABC中，∠1=∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于E，F为AB上的一点，CF⊥AD于H．则下列判断正确的个数是()①AD是△ABE的角平分线；②BG是△ABD的中线；③CH为△ACD中AD边上的高.A.1个

B.2个

C.3个

D.0个

6.(本小题7分)如图，AD是△ABC的角平分线，点O在AD上，且OE⊥BC于E，∠BAC=60°，∠C=80°，则∠EOD的度数为()

A.20°

B.30°

C.10°

D.15°

五题图

7.(本小题7分)有3cm，6cm，8cm，9cm的四条线段，任选其中的三条线段组成一个三角形，则最多能组成三角形的个数为()A.1

B.2

C.3

D.4 8.(本小题7分)已知三角形的三边长分别是3，8，x；若x的值为偶数，则x的值有()A.6个

B.5个

C.4个

D.3个

六题图

9.(本小题7分)三角形两边长为2和9，周长为偶数，则第三边长为()A.7

B.8

C.9

D.10 10.(本小题7分)已知三角形的两边分别为3和8，且周长为偶数，则周长为()A.大于5，小于11

B.18

C.20

D.18或20 11.(本小题7分)一个三角形的两边分别是5和11，若第三边是整数，则这个三角形的 最小周长是()A.21

B.22

C.23

D.24 12.(本小题8分)已知等腰三角形的周长为16，其中一边长为3，则该等腰三角形的腰长为()A.3

B.10

C.6.5

D.3或6.5 14.(本小题8分)已知等腰三角形的周长为13，其中一边长为5，则该等腰三角形的底边为()A.5

B.3

C.5或3

D.9

三角形的线与角

一、知识点睛

三角形的定义：由________________________________首尾顺次相连组成的平面图形叫做三角形． 三角形三边关系：

①______________________________________________； ②______________________________________________． 三角形相关的线：

①三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的_________叫做三角形的角平分线．

②三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的________，叫做这个三角形的中线． 三角形的三条中线_____________交于一点，这点称为三角形的__________． ③三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的________叫做三角形的高线（简称三角形的高）．

三角形具有稳定性；四边形具有不稳定性． 三角形相关的角：

（1）三角形的内角和等于__________．

（2）直角三角形两锐角_____________．有两个角_________的三角形是直角三角形．（3）______________________组成的角，叫做三角形的外角．（4）三角形外角定理：三角形的一个外角等于_____________ C_________________________________．

二、精讲精练

作出下图三角形的三条高线．

如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高． BA填空：

（1）BE=_________12__________； 12__________；

BA（2）∠BAD=__________

EDFC（3）∠AFB=__________=90°；（4）S△ABC=_______________．

EA如图，在△ABC中，AB=2，BC=4．△ABC的高AD与CE的比是______________．

下面设计的原理不是利用三角形稳定性的是（）

BDCA．三角形的房架

B．自行车的三角形车架 C．长方形门框的斜拉条

D．由四边形组成的伸缩门 如图，为估计池塘岸边A，B两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA=15米，OB=10米，A，B间

O的距离不可能是（）

A．5米

B．10米

C．15米

D．20米 下列长度的三条线段能组成三角形的是（）

BA．1 cm，2 cm，5 cm B．4 cm，5 cm，9 cm AC．5 cm，8 cm，15 cm

D．6 cm，8 cm，9 cm 一个等腰三角形的一边长为6 cm，周长为20 cm，则底边长为_________． 一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为_____．

若一个三角形的三边长是三个连续的自然数，其周长m满足10＜m＜22，则这样的三角形有_________个．

A满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（）

A．∠B+∠A=∠C

B．∠A:∠B:∠C=2:3:5

北C．∠A=2∠B=3∠C

D．∠B+∠C=90°

如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，则∠ACB=________． B

已知：如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E．若∠A=75°，D∠ADE=35°，则∠EDC=____________．

AB如图，△ABC中，∠B=∠C，E是AC上一点，ED⊥BC，DF⊥AB，垂足分别为D，F，若∠AED=140°，则∠C=______，∠BDF=__________，∠A=__________． F

如果三角形的一个外角与它的一个内角相等，那么这个三角形只能是________三角形．

B

已知：如图，在△ABE中，D是BE上一点，C是AE延长线上一点，连接CD．若∠BDC=140°，∠B=35°，∠C=25°，则∠A=_____________．

D B如图，D是AB上一点，E是AC上一点，BE，CD相交于点F，∠A=60°，∠ACD=35°，∠ABE=20°，则∠BDC=_______，∠BEC=________，∠BFC=________．

ACAECECDECAEDFADFBECBCGH

第17题图

17、已知：如图，在△ABC中，DE∥BC，F是AB上一点，FE的延长线交BC的延长线于点G，∠A=45°，∠ADE=60°，∠CEG=40°，则∠EGH=______．

已知，如图△ABC中，∠B=65°，∠C=45°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线．求∠DAE的度数． AB

DEC

7.(本小题7分)如图，已知BD是△ABC的中线，AB=5，BC=3，△ABD和△BCD的周长的差是()A.2 B.3 C.6 D.不能确定

【参考答案】

一、知识点睛

由不在同一条直线上的三条线段

三角形两边的和大于第三边

三角形两边的差小于第三边 线段 线段 在三角形的内部 重心 线段（1）180°

（2）互余 互余

（3）三角形的一边与另一边延长线（4）和它不相邻的两个内角的和

二、精讲精练 作图略

1BCAFCE，BC；∠DAC，∠BAC；∠AFC；2

1:2 D A D 8 cm或6 cm 12 4 C 85° 35° 50°

40°

80° 直角 80° 95°

80°

115° 145°

解：如图，∵∠B=60°，∠C=45° ∴∠∠∠C =70°

∵AE是∠BAC的平分线

1∴∠EAC=2∠BAC=35°

∵AD是BC边上的高 ∴∠ADC=90° ∵∠C=45° ∴∠∠C=45° ∴∠DAE=∠∠EAC

=10°

第四篇：11.2与三角形有关的角 教案

11.2.1三角形的内角

教学目标 经历实验活动的过程，得出三角形的内角和定理，能用平行线的性质推出这一定理 2 能应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题 重点：三角形内角和定理

难点：三角形内角和定理的推理的过程 课前准备

每个学生准备好二个由硬纸片剪出的三角形 教学过程 做一做

1在所准备的三角形硬纸片上标出三个内角的编码 让学生动手把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，用量角器量出BCD的度数，可得到ABACB180 剪下A，按图（2）拼在一起，从而还可得到ABACB180



图2 4 把B和C剪下按图（3）拼在一起，用量角器量一量MAN的度数，会得到什么结果。

二想一想

如果我们不用剪、拼办法，可不可以用推理论证的方法来说明上面的结论的正确性呢？

已知ABC，说明ABC180，你有几种方法？结合图（1）、图（2）、图（3）能不能用图（4）也可以说明这个结论成立

一、例题如图，C岛在A岛的北偏东50方向，B岛在A岛的北偏东80方向，C岛在B岛的北偏西40方向，从C岛看A、B两岛的视角ACB是多少度？ 

练习：课本P80，练习1，11.2.2三角形的外角

教学目标

1使学生在操作活动中，探索并了解三角形的外角的两条性质 2利用学过的定理论证这些性质 3能利用三角形的外角性质解决实际问题

重点：（1）三角形的外角的性质；（2）三角形外角和定理 难点：三角形外角的定义及定理的论证过程 想一想

1三角形的内角和定理是什么？ 做一做

CD，把ABC的一边AB延长到D，得A它不是三角形的内角，那它是三角形的什么角？

它是三角形的外角。

定义：三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角 想一想：三角形的外角有几个？

每个顶点处有两个外角，但这两个是对顶角 议一议

ACD与ABC的内角有什么关系？（1）ACDAB

（2）ACDA，ACDB

再画三角形ABC的外角试一试，还会得到这个性质吗？ 同学用几何语言叙述这个性质：

三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和； 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。你能用学过的定理说明这些定理的成立吗？ 已知：ACD是ABC的外角 说明：

（1）ACDAB

（2）ACDA，ACDB 结合下面图形给予说明

第五篇：角与三角形的认识 教案

三、繁忙的工地——角与三角形的认识

信息窗１：角

教学内容

义务教育课程标准实验教科书青岛版小学数学四年级上册第３２～３３页。

教材分析

本课是在学生初步认识角和三角形的基础上进行教学的，是今后进一步学习几何初步知识的基础。该信息窗呈现的是一幅工地上挖掘机繁忙的作业景象。观看的小朋友看到正在隆隆作业的机器，兴奋地交谈。拟借此情境引导学生通过讨论“铲斗臂在工作中可能形成什么样的角”的问题，引入对角的知识的系统学习。

教学目标

1.经历从具体物体中抽象出角的过程，认识平角、周角，知道平角和它们之间的关系，并能按一定标准分类。

2.培养学生动手操作、合作学习与探究学习能力。发展学生的空间观念。３、体会身边处处有数学，感受数学与生活的密切联系，提高学习数学的兴趣，进一步体会通过探索解决问题的乐趣。

教学过程

一、创设情境，激趣导课

（课件）播放：繁忙的工地上，五台挖掘机在紧张的工作着，铲斗臂形成了各种各样的角„„

师：仔细观察，你发现了什么？ 生1：画面上有5台挖掘机。

生2：工人叔叔工作非常繁忙，非常辛苦。生3：铲斗臂上形成了很多角。生4：铲斗臂上的角不一样大。……

师：我非常欣赏这位同学，她已经学会用数学的眼光来观察生活了！（课件演示：铲斗臂上形成的各种角）师：铲斗臂在工作的时候，能形成什么样的角呢？今天我们就来研究这个问题。

（板书课题：角的认识）

【设计意图】本课的教学，从挖掘机工作的生活场境入手，发现生活中的数学问题---角，从而来复习角的知识，进一步研究角的相关知识，让学生感到数学知识与生活紧密相连，养成注意观察挖掘生活中的数学现象的习惯。

二、探索新知

（一）认识平角、周角

1、学生做各种活动角。

师：老师课前让大家准备了活动角，请大家把活动角的两边重合，一边不动，另一条边开始转动，就可以得到一个角。然后把你得到的角沿边画下来。小组同学说一说，你折的是什么角。（小组交流）：

师：哪组的同学愿意上台给大家展示一下你们小组折的角？

2、小组汇报交流

师：展示你们折的角，并告诉同学们它的名称。（实物投影展示，再把角贴在黑板上）

（学生已经认识了直角、锐角和钝角，很容易说出名称。个别学生可能还会说出平角和周角。）

【设计意图】这是一节概念课，所有角的定义都是规定的，如果只是告诉学生这些角的定义，学生有可能记得很牢，但是缺乏必要的体验，肯定没有深刻的印象。这里以操作体验为主让学生在复习直角、锐角和钝角的基础上认识平角和周角，经历知识产生的过程。

3.分类。

师：这么多角，看起来太乱了，能不能把他们分类整理一下呢？（小组活动）：

师：把你们小组折的角放在一起，分分看。（一组同学在台上分）师：你们是怎么分的？为什么？（学生上台展示）

生1：我们把直角分为一类，把锐角分为一类，把钝角分为一类。师：这位同学分的非常合理，有不同意见吗？（个别学生可能会按平角和周角分类，如果说不出，教师再启发、演示。）【设计意图】先让学生作出各种活动角，把剪下来的角贴在黑板上，故意给学生造成一种“视觉混乱”的局面，激发学生探究新知。

4、认识平角。

师：手拿一个活动角，从两边重合开始，一边不动，另一条边怎样转动，当两条边成一条直线时问：

师：这是角吗？为什么？

生1：是，因为他仍有一个顶点两条边。

生2：我认为不是角，因这里是平平的，不尖了。生3：我也认为不是角，因为它看上去是一条直线。生4：我反驳他们的意见，请问两位同学，角是怎样形成的？ 生5：角是由一点引出的两条射线组成的图形。

生6：那么请问你看到从一点引出的两条射线了吗？角还可以怎样形成？ 师：我非常欣赏这位同学，他能自觉运用已经学过的角的定义来解决今天的问题。还有不同意见吗？

师：（演示平角的形成过程）同学们请看，这个角的两边成一条直线了，我们给它起个名字叫平角。（板书）

（画平角）：

师：好，跟着老师画平角。（示范平角的画法）。

5、认识周角。

师：我们轻松一下，一起来做个游戏：

⑴老师先说出一种角，你们利用活动角转出这种角：开始！锐角！直角！钝角！

⑵老师转动活动角，你们说出它的名称。开始！师：（老师转动一周，两条射线重合），这是角吗？为什么？

生1：我认为是，从刚才的讨论中我发现这个图形也是一条射线绕着它的端点旋转形成的，而且是旋转了一周，所以，我认为是角。

生2：我认为不是，角是由一点引出的两条射线组成的图形，而这里只有一条射线，所以不是角。生3：我补充，因为这两条射线重合了，其实是有两条射线的。

师：同学们的回答都很精彩！请看大屏幕（课件演示周角的形成过程），这是一条射线绕端点旋转一周组成的图形，我们给它叫周角。（板书）（画周角）：

师：好，跟着老师画周角。（示范周角的画法）。

【设计意图】为了突破难点，认识平角和周角，我精心设计了两场辩论赛，力图在学生辩论的过程中，使学生的思维形成相互碰撞，使整个辩论过程成为学生认真思辨、积极探索和自我建构的过程，也力图教给学生从角的定义出发分析问题的方法。

（二）角的表示方法：

师：我们认识了这么多角，角应该怎样表示呢？谁有好方法？（两生上台板演）

师：角可以这样表示：从一点起，画两条射线，就组成一个角。通常用符号“∠”表示。记作“∠1”（或“∠2”等）。读作“角一”

【设计意图】学习角的表示方法，放手让学生先动脑想，给学生留下一定的空间。教师再演示角的表示方法，学生印象很深刻。

（三）探索三种角的关系

师：直角、平角、周角这三种角之间有什么关系呢？请小组合作利用手中的材料研究一下。（小组汇报）：

师：哪个小组来汇报一下：你们发现了什么结论？ 生1：我们发现：平角是直角的2倍 生2：周角是直角的4倍 生3：周角还是平角的2倍

师：同意吗？（学生都点头同意，师板书）

【设计意图】在研究学习中对于平角、周角的认识充分利用知识的迁移和对活动角的操作来感受两种特殊角的形成，我感觉对于学生来说知识的形成过程比较自然，并变抽象为具体，有利于学生的很好把握。

三、回归生活 1.解决情境中的问题 师：现在我们来看看铲斗臂在工作时都形成了哪种角？（课件播放，学生回答）2.找出身边的各种角

师：同学们，你在生活中见过这些角吗？（生举例）3.播放生活中的各种角

师：其实，我们的生活中到处都有角，请看大屏幕（播放：生活中的角画面：斜拉桥、路灯、篮球架、滑梯、起重机、各种扇子、自行车等等）师：看到生活中这么多的角，你想说什么？