高中数学反证法

第一篇：高中数学反证法

反证法解题

反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”。即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”。应用反证法证明的主要三步是：否定结论 → 推导出矛盾 → 结论成立。实施的具体步骤是：

第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；

第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；

第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。

在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法。用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。

Ⅰ、题组：

1.已知函数f(x)在其定义域内是减函数，则方程f(x)＝0 ______。

A.至多一个实根B.至少一个实根C.一个实根D.无实根

2.已知a<0,－1

A.a>ab> abB.ab>ab>aC.ab>a> abD.ab> ab>a

3.已知α∩β＝l，aα，bβ，若a、b为异面直线，则_____。

A.a、b都与l相交B.a、b中至少一条与l相交

C.a、b中至多有一条与l相交D.a、b都与l相交

4.四面体顶点和各棱的中点共10个，在其中取4个不共面的点，不同的取法有_____。

5.A.150种B.147种C.144种D.141种

S 例1.如图，设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB 上一点。求证：AC与平面SOB不垂直。

2222例2.若下列方程：x＋4ax－4a＋3＝0，x＋(a－1)x＋a＝0, x＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实根。试求实数a的取值范围。

例3.给定实数a，a≠0且a≠1，设函数y＝222221x1(其中x∈R且x≠)，证明：①.经过这个函数ax1a

图像上任意两个不同点的直线不平行于x轴；②.这个函数的图像关于直线y＝x成轴对称图像。练习：

1.已知f(x)＝x，求证：当x1≠x2时，f(x1)≠f(x2)。1|x|

2.已知非零实数a、b、c成等差数列，a≠c，求证：1、1、1不可能成等差数列。abc

3.已知f(x)＝x＋px＋q，求证：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于1。

24.求证：抛物线y＝x－1上不存在关于直线x＋y＝0对称的两点。22

5.已知a、b∈R，且|a|＋|b|<1，求证：方程x＋ax＋b＝0的两个根的绝对值均小于1。2

第二篇：浅谈反证法

浅谈反证法

摘要：在数学的诸多证明方法中,有一种被称为“数学家最精良的武器之一”的间接证明方法,这就是反证法。它与一般证明方法不同，反证法又可分为归谬反证法和穷举反证法两种。只要抓住要领，反证法就能使一些不易直接证明的问题变得简单、易证，它在数学证题中确有奇效。本文阐述反证法的概念、步骤，依据及分类。反证法如何正确的作出反设及导出矛盾，及何时宜用反证法，反证法在中学中最常用的证明的题型展示，反证法的综合思路分析。关键词：反证法数学学习

正文：

一：反证法的概念

一般地，假设原命题不成立,经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误,从而证明了原命题成立.二：反证法的证明过程

① 反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立;

② 归谬：从假设出发，经过正确的推理证明，得出矛盾;

③ 结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确

三：反证法的适用范围

(1)直接证明困难的(2)否定性命题

(3)唯一性问题

(4)至多、至少型命题

四：理论依据

从逻辑角度看，命题“若p则q”的否定，是“p且非q”，由此进行推理，如果发生矛盾，那么“p且非q”为假，因此可知“若 p则q”为真。像这样证明“若p 则q”为真的证明方法，叫做反证法。

五：常用词语

原词语等于大于（>）小于（<）是都是否定词语不等于不大于（≤）不小于（≥）不是不都是原词语至多有一个至少有一个至多有n个

否定词语至少有两个一个也没有至少有n+1个

原词语任意的任意两个所有的能

否定词语某个某两个某些不能

第三篇：高中数学教学论文 中学数学中的反证法

中学数学中的反证法

摘要：对于反证法，人们常常有一种对其功能认识不是的误解。为此本文对反证 法的基本概念、步骤、及其正确使用等方向进行了阐述。关键词：中学数学;反证法;间接证法

引言：

去掉大米中的砂粒，有两种方法。一种是直接从大米中把砂粒一粒一粒地捡出来；一种是用间接的方法——淘洗法，把砂粒残留下来。这两种方法虽然形式不同，但结果却是一样的，都能达到去掉砂粒的目的。但直接方法困难得很，间接方法却容易的多。在数学解题中，也常用间接的方法（即有些命题不易用直接的方法去证明，这时可通过证明它的等价命题真，从而断定原命题真的证明方法）来证题。下面我们就来谈谈数学证明的间接方法之一——反证法。

一、反证法的基本概念

反证法是指“证明某个命题时，现假设它的结论的否定成立，然后从这个假设出发，根据命题的条件和已知的真命题，经过推理，得出与已知事实（条件、公理、定义、定理、法则、公式等）相矛盾的结果。这样，就证明了结论的否定不成立，从而间接地肯定了原命题的结论成立。”这种证明的方法，叫做反证法。

反证法的原理是：假设命题不真，也就是说，我们附加一个与要证明的结论完全相反的假设条件（反正假设）到已知条件中去，利用一系列的推理，得到矛盾的结论（与已知条件矛盾，与已证明过的数学命题矛盾，与刚提出的反证假设矛盾，或是导出两个自相矛盾的结论），依据排中律，附加的条件不真，从而，证得原命题成立。

反证法的基本思想是：将否定结论作为条件就会导致矛盾。这种基本思想可以用下面的公式来表示： “否定推理矛盾肯定”

“否定”——假设所要证明的结论不成立，而结论的反面成立。即首先否定结论。

“推论”——从原条件和新作的假设出发，引用一系列的论据进行推理。

“矛盾”——通过推理，导致矛盾，即得出与已知条件、定义、公理、定理或明显的事实相矛盾的结果。

“肯定”——由于推理过程正确，矛盾产生的原因是由假设所引起，因此假设是错的，从而肯定原结论的正确。

二、反证法的步骤：

用反证法证题一般分为三个步骤：

1.假设原命题的结论不成立；

2.从这个结论出发，经过推理论证，得出矛盾；

3.由矛盾判定假设不成立，从而肯定原命题的结论正确。

即：提出假设例1：已知：求证：直线

推出矛盾

和是异面直线。

肯定结论

证明：【提出假设】假设直线内，那么这个平面一定经过点【推出矛盾】直线，经过点

内 矛盾。

和是异面直线。

和在同一平面 和直线。

和直线只能有一个平面

与应在平面,这与已知【肯定结论】直线在运用反证法证题时，必须认真考察原命题的结论，并找出结论反面的所有情况，因为结论的反面可能只有一种情况，也可能有多种情况。因此，反证法分为归谬法和穷举法两种。当结论的反面只有一种情况时，只要否定这一情况就能证明原命题结论的正确，这种反证法叫归谬法；当结论的反面有多种情况时，必须一一予以否定才能证明原命题的正确，这种反证法叫穷举法。例2：已知：，求证：。

>2，因此用反证法证明时，只要否定了这种情分析：此题的结论的否定只有一种情况况，就能肯定证明：假设>>的这种情况了。>2，则>

==

由此可知：

例3：已知：平面求证：与，这与已知矛盾。

∥平面，直线.也相交。

分析：此题结论的否定有两种情况： 1；2∥.用反证法证明时，只有把这两种情况都否定了，才肯定与相交。

能

证明省略。

三、反证法的正确使用

任何方法都有它成立的条件，都有它适用的范围。离开了条件超越了范围就会犯错误，同样，也会影响解题的成功率。因此，我们应该学会正确使用反证法来解题。

1.注意其适用范围。虽然反证法是一种很积极的证明方法，而且用反证法证题还有很多优点：如适用范围广、思想选择的余地大、推理方便等。但是并不是每一道题都能用反证法来解的。例4：如果对任何正数试证之。

证明：假设>0，则二次函数当增大时，抛物线就沿

轴向上平移，而当的图象是开口向上的抛物线，显然可见，值增大到相当大的正数时，抛物线就上开

>0，这，二次方程的两个根是正实数，则系数，到与轴没有交点，则对这样的一些一假设与已知矛盾。同理，<0，也不合题意。

值，二次方程的实数根就不存在。因此，综上所述，当>0和<0时均不合题意。因此，分析：看了本题的证明过程似乎很合理，但其实第三步，即肯定原结论成立的论证错了。因为，本题的题设条件为对任意正数设条件与结论是矛盾的； 当何正数时，二次方程就变成了一次方程，它只有一个根；在时，仅当，此一次方程在时，对于任，有两个正实数根，结论是，但本题的题

>0的条件下，它有无数个根，否则无根，但总之不会有两个根。题设条件和结论矛盾。因此，本题不能反证法来处理。若原题改为“如果对于任何正数，只存在正实根，则系数

”，就能用反证法证明了。

因此，对于下列命题，较适用反证法来解决。

1对于结论是否定形式的命题；

2对于结论是以“至多”，“至少”或“无限”的形式出现的命题； 3对于结论是以“唯一”或“必然”的形式出现的命题；

4对于可利用的公理定理较少或者较以与已知条件相沟通的命题。

例5：设、都是正数，求证：.证明：反设不成立，便有>，由对称性知：>

相加：>

即：>

这一矛盾说明正确

从而

即

交换、位置：

合并得：

2.提出假设时，要分清结论反面的全部情况，即不能多，也不能少。例6:求证：五个连续自然数的平方和不可能是一个完全平方数。证明：设五个连续自然数是，，则

是一个关于为一个完全平方数，即二次三项式

与

矛盾。的二次三项式，若其

有两个相等的实根，于是有即五个连续自然数的平方和不是一个完全平方数。

分析：本题的证明过程似乎也合理，但其实它的假设发生了错误。原结论是对于任何大于2的自然数，数使是不能推出例如：不是完全平方数，所以结论的反面应是至少存在一个大于2的自然是一个完全平方数，而不是对所有的。当

时是一个完全平方数，但是

是一个完全平方数，于3.推出矛盾时，一般说来，根据条件和假设，通过推理导出与下列矛盾之一即可： 1与题设矛盾； 2与定义相矛盾； 3与定理相矛盾； 4与公理相矛盾； 5与客观事实相矛盾； 6自相矛盾；

例7：设、、>0，求证：，三个数中至少有一个不大于.证明：假设三个数都大于，则

>【1】

另一方面，根据平均值不等式：

5，同理：，于是：【1】与【2】矛盾。所以原命题成立。小结：

【2】

反证法是数学证明中的一种重要方法。牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。它是从否定命题的结论出发，通过正确的逻辑推理导出矛盾，从而证明了原命题的正确性的一种重要方法。反证法之所以有效是因为它对结论的否定实际上增加了论证的条件，这对发现正确的解题思路是有帮助的。对于具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。在现代数学中，反证法已成为最常用和最有效的解决问题的方法之一。参考文献：

反证法初探；数学通讯；2001年13期 浅议反证法；教育实践与研究；2002年02期 反证法；数学通讯；2000年24期 反证法的应用；中等数学；2005年03期

第四篇：北师大版高中数学选修2-2《1.3反证法》教学设计及反思

北师大版高中数学 选修2-2《1.3反证法》教学设计

三维目标：

知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点。

过程与方法: 设计有代表性有梯度的例题，培养他们的辨析能力；逐步培养他们的分析问题和解决问题的能力；

情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。教学重点：了解反证法的思考过程、特点 教学难点：反证法的思考过程、特点

教学准备：与教材内容相关的资料，多媒体教学（例题偏多，省去板演过程）教学设想：通过问题情境的合理设置，让学生跳跳就能够得着了，在课堂内经历知识的发生发展，将体会汇总成理论，应用于实践。

教学过程:

一、复习导入

直接证明方法：综合法与分析法 间接证明方法：反证法

二、新授

1、反证法相关概念形成

反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。

2、典例分析

引入：课本例题P13例题1

2已知a是整数，2能整除a，求证：2能整除a

问题的提出应用了学生比较熟悉又可列举的正整数环境，学生比较容易想到用验证的方法先进行结论的检验，并且在验证的过程中体会整数平方运算的规律，从而寻找一般的并且严谨的证明方式。易于学生思考，同时也很好的激发了学生学习的动机和兴趣.同时严谨的证明对反证法定义的形成提供了强有力的思想支持，学生对一般的证明模式自然易于接受。

数学建构：

一般地，由证明题矛盾.从而判断

转向证明，与假设矛盾，或者与某个真命为假，推出为真的方法，叫做反证法。

反证法的证题步骤：（1）做出否定结论的假设

（2）进行推理，导出矛盾------“矛盾”主要是指： A与假设矛盾；

B与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾； C与公认的简单事实矛盾.（3）否定假设，肯定结论

例题2：求证是无理数

本题是借助有理数的分数表示来处理，有助于加深学生对有理数的认识，思维上也有较高的要求，有利于发散学生思维，同时也和初中数学知识建立了联系，有利于学生建立知识体系，完善思维.本例设计的非常合理.同时在课本P14练习1中设计了一题，P习题1-3中也设计了一题，起到前后呼应、巩固加强理解和应用反证法的效果，同时体现了反证法对“原始”数学概念、公式、定理证明的作用。

例题3：课本例题3 在同一平面内，两条直线a,b都和直线c垂直，求证a与b平行。

本题本以几何知识为背景设计，在回顾初中平面几何知识的同时，又在证明过程中融合数形结合、分类讨论思想于一体，对学生数学思维和分析问题、解决问题能力的培养都有很好的效果,例题大家也容易接受，充分展示反证法对我们一些无从下手，思维跳跃的题型另类解答，让学生进入到证明的另一领域，激起学生学习的兴趣。课本P15习题1-3中设计了两道类似的例题，不过要从平面几何拓展到立体几何加深了难度。

三、巩固练习：课本P14-15练习、习题，优化设计：P5

四、补充例题

例题4 求证三角形中三个内角至少有一个角大于或等于60°

正难则反是“至多”“至少”类命题证明思路，同样是常用反证法，这类命题的证明一定要注意反设要写正确，这也是反证法证题的关键，课本P14例题4，优化设计中也有四道类似题呼应巩固。

五、拓展练习、优化设计：P6

题型二，随堂练习2、3、5

六、课时小结：

1、反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。

2、反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。

3、归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件

矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。

七、教学反思：学生只有亲身经历了知识的发生与发展才能很好的总结升华，才可以将体会汇总成理论，将理论应用于实践.将问题设计的有代表性了、有梯度了，学生能跳跳够得着了，自然有主动有积极，在课堂小结时才能真正有收获。

总结应用反证法证明数学命题的一般步骤： 1.分清命题的条件和结论； 2.做出与命题结论相矛盾的假设；

3.从假设出发，应用演绎推理的方法，推出矛盾的结果；

4.断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真。

虽然使用了多媒体教学，不用板演，但学生预习没有到位，内容还是有点多，时间比较紧凑。

第五篇：反证法教学反思

“反证法”是初中数学学习中一种特殊的证明方法，对于一些证明体它有着独特，简便，实用的方法。故反证法的学习非常重要，在反思本节内容的教学中得出以下几点体会：

1、分清所证命题的条件和结论

如证明命题“一个三角形中不可能有两个角是直角”其中条件是“一个三角形”（）结论是“不能有两个角是直角”（）

2、熟记步骤

第一步：假设即假设命题的结论的反面为正确的。如引用上述命题即“假设能有两个叫是直角不妨设”

第二步：推理后发现矛盾。一般利用假设进行推理如继上可知发现这与三角形内角和定理相矛盾，所以假设不成立，故一个三角形中不能有两个角是直角，即为第三步：推翻假设，证明原命题成立。

3、抓住重点，突破难点

反证法的重点是能写出结论的反面，同时也是难点。如“写出线段AB,CD互相平分的反面”，线段AB,CD互相平分具体指：“AB平分CD且CD平分AB”。他的反面应包括以下三种情况：

（1）AB平分CD但CD不平分AB；

（2）CD平分AB但AB不平分CD；

（3）AB不平分CD且CD不平分AB.统称为“AB，CD不互相平分”，而学生往往只考虑第（3）种情况，即AB，CD互相不平分。

4、注重规范

在用反证法证明的命题中经常会出现文字命题。如证明命题“梯形的对角线不能互相平分”时切记一定要先用数学语言写出“已知”和“求证”即已知：梯形ABCD中，AC，BD是对角线；求证：AC，BD不能互相平分。然后再按一般步骤证明。

反证法不仅能提高学生的演绎推理能力，而且在后继的学习中有着不可忽视的作用，虽然在初中教材中所占篇幅很少，但本人认为不应轻视，应让学生掌握其精髓，合理的去运用。