高中数学53不等式的证明533反证法知识导航学案苏教版4-5.（写写帮推荐）

第一篇：高中数学53不等式的证明533反证法知识导航学案苏教版4-5.（写写帮推荐）

5.3.3 反证法

自主整理

运用反证法证明不等式的主要步骤: 第一步:作出与所证不等式______________的假设;第二步:从____________出发,应用正确的推理方法,推出____________结论,_____________假设,从而证明原不等式成立.高手笔记

用反证法证明不等式应把握以下几点:(1)必须否定结论,即肯定结论的反面,当结论的反面呈现多样性时,必须罗列出所有情况,做到完全否定,不能遗漏.(2)反证法必须从否定结论进行推理,即应把结论的反面作为条件且必须根据这一条件进行推理,否则,仅否定结论,不从结论的反面出发进行推理,就不是反证法.(3)推导出的矛盾可能多种多样,有的与已知条件矛盾,有的与假设矛盾,有的与已知事实,已知数学公理、定理矛盾,或自相矛盾,推导出的矛盾必须是明显的.(4)在使用反证法时,“否定的结论”在推理论证中往往作为已知条件使用.名师解惑

反证法的理论依据是什么?

剖析:我们知道,互为逆否命题的两个命题,其真假性是一致的,即原命题pq为真命题,则qp也必为真命题.这是因为如果逆否命题qp为假的话,则qp是真的.于是有qpq,即qq,这显然是错误的.所以我们可利用互为逆否命题的两个命题的等价性,证明其逆否命题成立来说明原命题成立.反证法适用于正面不太容易证,而反面易证的情况,“至多”“至少”“存在性”“唯一性”问题常用反证法.讲练互动

【例1】设a、b、c∈R,a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0,求证:a>0,b>0,c>0.分析:本题的条件比较复杂,所要证明的结论比较简单,即证“a、b、c都为正数”,可用反证法.证明:假设a、b、c不全大于0,不妨设a≤0.当a=0时,abc=0与abc>0矛盾.当a<0时,∵abc>0,∴bc<0.∵a+b+c>0,∴b+c>-a>0.∴ab+bc+ca=a(b+c)+bc<0,与ab+bc+ca>0矛盾.∴假设不成立.∴a>0,b>0,c>0成立.绿色通道

“都”的反面是“不都”或“不全”,即“至少有一个”,情况较多.本题中a、b、c同等地位,可不妨设a≤0,要全部否定,注意有“=”.变式训练

1.若x>0,y>0,且x+y>2,求证:

1y1x、中至少有一个小于2.xy 1 证明:假设1y1xx、y都大于等于2, 即1y1x≥2,xy≥2.∵x>0,y>0,∴1+y≥2x,1+x≥2y.∴2+(x+y)≥2(x+y).∴x+y≤2,与x+y>2矛盾.∴假设不成立.∴1yx、1xy中至少有一个小于2成立.【例2】设a、b、c∈(0,1),求证:(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a不能都大于14.分析:本题结论情况较复杂,正面不易证出,可用反证法.证法一:假设(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a都大于14, 即(1-a)b>14,(1-b)c>114,(1-c)a>4.∵00.∵b>0,∴(1-a)b≤(1ab2)

2.∴1ab2≥(1a)b>12.∴1-a+b>1.∴b>a.同理可得c>b,a>c.∴a+b+c>a+b+c,即0>0,矛盾.∴假设不成立.∴(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a不能都大于

14.证法二:假设(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a都大于14, 即有b-ab>1114,c-bc>4,a-ac>4.三式相乘,得(1-a)a(1-b)b(1-c)c>164.∵00.∴0<(1-a)a≤［(1a)a2］2=14.同理0<(1-b)b≤14,0<(1-c)c≤14.1, 641与(1-a)a(1-b)b(1-c)c>矛盾.64∴(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤∴假设不成立,原结论成立.绿色通道

本题为否定性命题,用反证法证明并结合基本不等式完成推理.变式训练

2.设01,(2-b)a>1,(2-c)b>1.∵00.∴1<(2a)c≤(2a)c.2∴2<2-a+c.∴a

21.2分析:本题是判断函数值的大小,但结论包括多种不同的情况,“至少”问题可用反证法.证法一:假设｜f(1)｜、｜f(2)｜、｜f(3)｜都小于

1, 21, 21｜f(2)｜=｜4+2p+q｜<, 21｜f(3)｜=｜9+3p+q｜<.2则｜f(1)｜=｜1+p+q｜<∴｜f(1)｜+2｜f(2)｜+｜f(3)｜<2.而｜f(1)｜+2｜f(2)｜+｜f(3)｜≥｜f(1)+f(3)-2f(2)｜=｜(1+p+q)+(9+3p+q)-(8+4p+2q)｜=2,矛盾.∴假设不成立.∴｜f(1)｜、｜f(2)｜、｜f(3)｜中至少有一个不小于证法二:假设｜f(1)｜、｜f(2)｜、｜f(3)｜都小于即｜f(1)｜<

21.21, 2111,｜f(2)｜<,｜f(3)｜<.222111,｜4+2p+q｜<,｜9+3p+q｜<, 222∵f(x)=x+px+q, ∴｜1+p+q｜< 3 111111<1+p+q<,-<4+2p+q<,-<9+3p+q<.2222223∴-

得

1272172<-(p+q)<, 92192<2p+q<-，<3p+q<-.1232.②④,得-4

得

72<-(2p+q)<

92.⑥ 由③⑥,⑦

由⑤⑦,得矛盾.∴假设不成立.∴｜f(1)｜、｜f(2)｜、｜f(3)｜中至少有一个不小于

得-6

1.2绿色通道

本题利用函数研究函数值,证法一中构造了绝对值不等式,较为简练,但不易想出;证法二中方法比较自然,去掉绝对值号,根据不等式的性质消元得出前后结论矛盾.变式训练

3.已知a、b、c均为实数,a=x-2y+

22

2,b=y-2z+,c=z-2x+,求证:a、b、c中至少有一236个大于0.证明:假设a、b、c都不大于0,即a≤0,b≤0,c≤0, 则a+b+c≤0.又∵a+b+c =(x-2y+2222)+(y-2z+)+(z-2x+)2362=x-2x+y-2y+z-2z+π 222=(x-1)+(y-1)+(z-1)+π-3 ≥π-3>0.∴矛盾.∴假设不成立.∴a、b、c中至少有一个大于0.2 4

第二篇：高中数学53不等式的证明531比较法知识导航学案苏教版4-5!

5.3.1 比较法

自主整理

1.比较法一般分为两种:________________和________________.2.作差比较法

(1)作差比较法的证明依据:________________________________.(2)基本步骤:①作差;②合并化简;③分解因式(或配方);④与0比较大小.3.作商比较法

(1)作商比较法的证明依据:________________________________.(2)基本步骤:①______________;②______________;③______________;④______________.高手笔记

1.比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一,它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用,在其一般步骤中,变形是证明过程中的关键,变形常用的方法有配方法和分解因式法,其目的是要判断差的正负号或商的分子、分母的大小关系,从而进一步作出比较.2.一般地,论证多项式结论的不等式常用作差比较法,而有关幂、指数的不等式常用作商比较法,证明对数不等式常用作差比较法,这与它们的运算性质有关.若“差”或“商”中含有参数时,可对其进行分类讨论,注意分类的标准,做到“不重不漏”.名师解惑

如何正确使用作商法?

剖析:在作商比较两个数的大小时,不要盲目地下结论,如的变形实质上是在不等式

b＜1a＞b是错误的,因为这里ab＜1两边同乘a所得,但不等式的性质中同乘一个正数和同乘一a个负数是不同的,当a＞0时,得b＜a,但当a＜0时,得b＞a,所以应该看分母的符号是否确定,如果不确定要对其正、负进行分类讨论,即不等式的证明要以不等式的性质为依据.使用两个实数具有的性质进行比较.讲练互动

22【例1】求证:a+b＞2(a-b-2).分析:此不等式的两边为多项式结构,通常用作差比较法进行证明.22证明:∵a+b-2(a-b-2)22=a+b-2a+2b+4 22=(a-1)+(b+1)+2＞0, 22∴a+b＞2(a-b-2).绿色通道

不等号两边为多项式结构的不等式,通常用作差比较法证明,通过配方或分解因式变形,判断符号.变式训练

5532231.已知a、b都是正数,且a≠b,求证:a+b＞ab+ab.证***322332222明:a+b-(ab+ab)=(a-ab)+b-ab=a(a-b)-b(a-b)=(a-b)(a-b)=(a-b)(a+b)(a+a2b+b)，22∵a、b都是正数,∴a+b＞0,a+ab+b＞0.2∵a≠b,∴(a-b)＞0.∴(a-b)(a+b)(a+ab+b)＞0,即a+b＞ab+ab成立.2a2b2cb+cc+aa+b【例2】已知a＞b＞c＞0,求证:a·b·c＞a·b·c.分析:不等式的两边都是指数幂的乘积,根据指数的运算法则,可用作商比较法.222553223a2ab2bc2c2a-(b+c)2b-(a+c)2c-(a+b)证明:bc=a·b·c, acababc∵a＞b＞c＞0, ∴2a-b-c＞0,2c-a-b＜0.2a-b-c2a-b-c2c-a-b2c-a-b∴a＞b,c＞b.2a-b-c2b-a-c2c-a-b2a-b-c2b-a-c2c-a-b0∴a·b·c＞b·b·b=b=1.a2ab2bc2c∴bc＞1.acababc∴a·b·c＞a·b·c.绿色通道

指数幂结构的不等式一般用作商比较法证明,并运用指数的运算性质进行适当地放缩,与1比较大小.变式训练

abba2.已知a＞b＞0,求证:ab＞ab.2a2b2cb+ca+c

a+baabba-bb-aaa-b证明:ba=a·b=()，bab∵a＞b＞0,∴∴(a＞1,a-b＞0.baa-b)＞1.baabbabba∴ba＞1.∴ab＞ab成立.ab【例3】已知a≥1,求证:a1aaa1.分析:因不等式两边进行分子有理化相减后,可判断差的符号,故可用作差法进行证明.又∵a≥1,∴不等式两边都大于0,故还可以用作商法进行证明.证法一:∵(a1a)-(aa1)=1a1a1aa1

=a1a1(a1a)(aa1)＜0, ∴a1a＜aa1.2

1证法二:∵a1a1aaa1a1

aa1=aa1a1a＜1, 又∵aa1＞0, ∴a1a＜aa1成立.绿色通道

对于两根式相加或相减,常用平方差公式进行分子或分母有理化变形.变式训练

3.若a＞0,b＞0,求证:ab+

ba≥ab.证明:∵a＞0,b＞0, ∴abba-(a+b)=

abbbaa

=(a-b)(1b-1a)=(ab)(ab)ab

=(ab)(ab)2ab.∵a＞0,b＞0,∴ab＞0,ab＞0,(ab)

2≥0.∴abba-(ab)≥0，即abba≥ab.【例4】已知a、b是两正实数,试比较an

+bn

与an-

1b+abn-1

(n∈N*,n＞1)的大小.解:an+bn-(an-1b+abn-1)=an+bn-an-1b-abn-1=an-1(a-b)-bn-1(a-b)=(a-b)(an-1-bn-1).①当a＞b＞0时,有a-b＞0,an-1-bn-1＞0,得(a-b)(an-1-bn-1)＞0,即an+bn＞an-1b+abn-1

.②当b＞a＞0时,有a-b＜0,an-1-bn-1＜0,得(a-b)(an-1-bn-1)＞0,即an+bn＞an-1b+abn-1

.③当b=a＞0时,(a-b)(an-1-bn-1)=0.∴当a=b时,an+bn=an-1b+abn-1

.综上,当a≠b时,an+bn＞an-1b+abn-1

;当a=b时,an+bn=an-1b+abn-1

.绿色通道

若各因子的符号不确定时,可根据情况进行分类讨论,分类时做到“不重不漏”.变式训练

4.已知a、b∈R+,n∈N*,求证:(a+b)(an+bn)≤2(an+1+bn+

1).证明:∵(a+b)(an+bn)-2(an+1+bn+1)=an+1+abn+ban+bn+1-2an+1-2bn+1

=a(bn-an)+b(an-bn)=(an-bn)(b-a),(1)当b＞a＞0时,bn>an,b-a＞0.∴an-bn<0.∴(an-bn)(b-a)＜0.(2)当a＞b＞0时,an-bn＞0,b-a＜0, ∴(an-bn)(b-a)＜0.(3)若a=b＞0时,(an-bn)(b-a)=0.综上(1)(2)(3),可知对于a、b∈R+,n∈N*,都有(a+b)(an+bn)≤2(an+1+bn+1).4

第三篇：高中数学选修4-5：2.1.5证明不等式的基本方法——反证法

2.1.5证明不等式的基本方法——反证法

【学习目标】

1.掌握反证法证明不等式的方法.2.掌握反证法证明不等式的方法步骤.【自主学习】

1.什么是反证法？

2.反证法证明不等式的理论依据是什么？

3.反证法证明不等式的步骤有哪些？通常什么样的问题的证明用反证法？

【自主检测】

1.设a,b∈R,给出下列条件：①a+b＞1②a+b=2③a+b＞2④＞2⑤ab＞1.其中能给出“a,b中至少有一个大于1”的条件是.2.已知a,b,c是互不相等的非零实数,用反证法证明下列三个方程：

0中至少有一个方程有两

个相异实根.3.已知

（1）证明：函数f(x)在（－1,+∞）上为增函数;

（2）用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.【典型例题】

例1.若x,y都是正实数,且x+y＞2,求证：

例2.已知

为－.求证 ,若a+c=0,f(x)在[－1,1]上的最大值为2,最小值中至少有一个成立.例3.若p＞0,q＞0,且p3+q3=2, 求证：p+q≤

2例4.设a,b,c都是奇数,求证：方程

没有整数根.【课堂检测】

1.用反证法证明质数有无限多个的过程如下：

假设______________．设全体质数为p1、p2、„、pn，令p＝p1p2„pn＋1.显然，p不含因数p1、p2、„、pn.故p要么是质数，要么含有______________的质因数．这表明，除质数p1、p2、„、pn之外，还有质数，因此原假设不成立．于是，质数有无限多个．

2.已知a,b,c＞0,且ab+bc+ca=1.用反证法证明：a+b+c≥

3.若a,b∈N*,ab能被5整除,求证：a,b至少有一个能被5整除.4.已知数列{bn}的通项公式为bn＝

4能成等差数列．

【总结提升】

1.当要证明的结论与条件之间的联系不明显,直接由条件推出结论的线索不够清晰时的不等式的证明常用反证法.2.如果从正面入手证明需分多种情况进行分类讨论,而从反面进行证明,只研究一种或很少的几种情况的不等式证明常用反证法...求证：数列{bn}中的任意三项不可

§2.1.6证明不等式的基本方法——放缩法

（一）【学习目标】

3.理解放缩法证明不等式的原理.4.掌握放缩法证明不等式的方法步骤.【自主学习】

4.什么是放缩法,放缩法证明不等式的理论依据是什么？ 5.放缩法证明不等式时,如何把握放大和缩小？ 【自主检测】 1.求证: 

k1n

15*

（n∈N）k23

2.求证：

111*

2（n∈N）2n2n12n1

6n11

1

(n1)(2n1)49



15*

.(n∈N）

n23

3.求证:

【典型例题】

例1.已知n∈

N*求证：（1



;.（2）21

an1aa

例2.已知an2n1(nN*).求证：12...n(nN*).23a2a3an1

例3．函数f（x）=

例4．已知an=n，求证：∑

k=1

【课堂检测】 1.求证:1

n

4x14x，求证：f（1）+f（2）+„+f（n）>n+

12n1

(nN*)2

k ak

＜3．

11171(n2)222

62(2n1)35(2n1)

2n3

2.已知an42,Tn,求证:T1T2T3Tn

2a1a2an

n

n

6.求证:（1）(11)(1)(1)(1)

352n1

2n1.（2）(1

1111)(1)(1)(1)2462n

12n1

4.已知函数f

x

x0,.对任意正数a,证明：1fx2．

【总结提升】

所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程，在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。

第四篇：高中数学选修4-5：2.1.4证明不等式的基本方法——反证法(一)

2.1.4证明不等式的基本方法——反证法

（一）【学习目标】

1.掌握反证法证明不等式的方法.2.掌握反证法证明不等式的方法步骤.【自主学习】

1.什么是反证法？

2.反证法证明不等式的理论依据是什么？

3.反证法证明不等式的步骤有哪些？通常什么样的问题的证明用反证法？

【自主检测】

1.实数a，b，c不全为0的条件为（）

A.a,b,c均不为有B.a,b,c中至多有一个为0

C.a,b,c中至少有一个为0 D.a,b,c中至少有一个不为0

2.若a,b∈R,|a|+|b|＜1,求证：方程的两根的绝对值都小1.3.已知a,b,c,d∈R,且a+b=c+d=1,ac+bd＞1.求证：a,b,c,d中至少有一个是 负数.【典型例题】

ama.例1.利用反证法证明：若已知a，b，m都是正数，并且ab，则 bmb

例2.若x, y > 0，且x + y >2，则

例3.设a3b32，求证ab2.例4.设0 < a, b, c < 2，求证：(2  a)c,(2  b)a,(2  c)b不可能同时大于1

【课堂检测】

1.否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是()

A．有一个解B．有两个解

C.至少有三个解D．至少有两个解

2.已知a+b+c＞0，ab+bc+ca＞0,abc＞0,求证：a,b,c＞0.1y1x和中至少有一个小于2.xy

3.设二次函数f(x)x2pxq，求证：f(1),f(2),f(3)中至少有一个不小于1.2

4.设0 < a, b, c < 1，求证：(1  a)b,(1  b)c,(1  c)a,不可能同时大1于 4

【总结提升】

1.前面所讲的几种方法，属于不等式的直接证法。也就是说，直接从题设出发，经过一系列的逻辑推理，证明不等式成立。但对于一些较复杂的不等式，有时很难直接入手求证，这时可考虑采用间接证明的方法。所谓间接证明即是指不直接从正面确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假，或转而证明它的等价命题为真，以间接地达到目的。其中，反证法是间接证明的一种基本方法。

2.反证法在于表明：若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾。具体地说，反证法不直接证明命题“若p则q”，而是先肯定命题的条件p，并否定命题的结论q，然后通过合理的逻辑推理，而得到矛盾，从而断定原来的结论是正确的。

3.利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：

第一步分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；

第二步作出与所证不等式相反的假定；

第三步从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；

第四步断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立。

第五篇：高中数学选修4-5：42数学归纳法证明不等式 学案

4.2数学归纳法证明不等式

【学习目标】

1.会用数学归纳法证明贝努利不等式1x1nxx1,x0,nN，了解当n n

为实数时贝努利不等式也成立

2.培养使用数学归纳法证明不等式的基本技能

【自主学习】

1.使用数学归纳法独立完成贝努利不等式1x1nxx1,x0,nN的证n

明

2.自我感悟什么样的不等式易于用数学归纳法证明？

3.用数学归纳法证明不等式时要使用归纳假设进行放缩，如何放缩才能奏效，要积累经验，特别是出现二次式时要注意留心总结.4．对于两个数的大小的探究要提高警惕，一般探究要比较的丰富，才利于做出正确的猜测.【自主检测】

1.用数学归纳法证明1

12131*nnN,n1时，由n=k（k>1）时不等2n1

式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是（）

A.2k1B.2k1C.2kD.2k1

2.用数学归纳法证明11n1n2111nN*时，由n=k到n=k+1时，不nn2

4等式左边应添加的项是＿＿＿＿

3.当n=1，2，3，4，5，6

时，比较2n与n2后，你提出的猜想是＿＿＿＿

【典型例题】

111例1.用数学归纳法证明：nN,n1 111352n1

例2.设数列an满足an1an2nan1nN*

1.a12时，求a2,a3,a4并由此猜想an的一个通项公式

2a13时，证明对所有n1有1ann2

2例3.已知函数gxx22xx1,fxabaxbx，其中a、bR,a1,b1,ab,ab4对于任意的正整数n，指出fn与g2n的大小关系，并证明之

x11 +1a11a211 1an

2【课堂检测】

1.设n为正整数，fn1nN，计算知11231n

357f2,f42,f8,f163,f32，据此可以猜测得出一般性结论为()222

2n1n2n2 A.f2nB.fn2C.f2nD.以上都不对 222

n0为验证的第一个值，2.欲用数学归纳法证明对于足够大的正整数n，总有2nn3，则()A.n01B.n0为大于1小于10的某个整数C.n010D.n02

3.用数学归纳法证明111241127，n的起始值至少应取为n126

44.等比数列an的前n项和为Sn，已知对任意的正整数n，点n,Sn均在函数

ybxr(b0,b1，b、r均为常数）的图像上.(1)求r的值

(2)当b=2时，记bn2log2an1

nN*，证明对所有正整数n，不等式 b11b21b1b2bn1 bn

【总结提升】

1.数学归纳法依然是证明与正整数有关的不等式行之有效的方法.但在证明递推的依据是成立的时候常常需要放缩，故千万要注意不等式的基本性质和函数的单调性的作用.2.数学归纳法证明不等式时有时不能直接进行，常需加强命题，为此难度就比较大，且加强又不易完成.如证明1

为111223211222315nN*,n1，就可以加强2n3152nN*,n1再用数学归纳法.2n32n1

3.不过关于n的不等式的证明不一定要用数学归纳法，有时使用函数的单调性就可以；放缩也是不可忽视的方法.