初中数学教学论文：中学数学不等式证明方法新人教A版必修5

第一篇：初中数学教学论文：中学数学不等式证明方法新人教A版必修5

不等式证明方法与技巧

摘要

不等式，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用。因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，对数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用。在解决问题时，要依据题设与结论的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明。而不等式的证明，方法灵活多样，还和很多内容结合，它既是中学数学教学中的难点，也是数学竞赛培训的难点，近年也演变为竞赛命题的热点，因其证明不仅蕴涵了丰富的逻辑推理、非常讲究的恒等和不等变形技巧，而且证明过程千姿百态，极易出错，因此，有必要对不等式的证明方法和技巧进行总结归纳并与大家一起分享交流。本文通过对不等式的进一步研究，同时在前人的基础上对不等式的证明方法进行再探讨，得出了几点新方法，再有就是对于一些题目，很多人都是用一些常用的方法来解决，而笔者则是通过另外的一种方法来解，并且解题过程相对简单，在正文的例题当中，我用方法二给出了我的证明过程，以飨读者。

关键词：不等式；证明方法；证明技巧；换元法；微分法

证明不等式的方法灵活多样，内容丰富、技巧性较强要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．在证明不等式前，要依据题设和待证不等式的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法．通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式得到证明；反之亦可从明显的、熟知的不等式入手，经过一系列的运算而导出待证的不等式，前者是“执果索因”，后者是“由因导果”，为沟通联系的途径，证明时往往联合使用分析综合法，两面夹击，相辅相成，达到欲证的目的．

通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高分析问题解决问题的能力．在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生数学素质及创新意识．

1、比较法

比较法是证明不等式的一种最基本的方法，也是最常用的的方法，基本不等式就是用比较法证明的。其难点在第二步的“变形”上，变形的目的是有利于第三步判断，求差比较法变形的方向主要是分解因式、配方。1）作差比较法的理论依据有：

abab0,abab0,abab0.2）作商比较法的理论依据有：

ab0,ab1.b3）作差（商）比较法的步骤：

作差（商）变形判断符号（与1的大小）例1：求证：12x42x3x2 证明：法一：(12x4)(2x3x2)

2x3(x1)(x1)(x1)(x1)(2x3x1)(x1)(2x32xx1)

(x1)2(2x22x1)11(x1)2[2(x)2]02212x42x3x2

法二：12x4(2x3x2)

x42x3x2x42x2

1(x2x)2(x21)2012x42x3x2

说明：法一的变形主要是因式分解，其难点在于分解2x3x1的因式，判断2x22x1的符号除用配方法外，还可用判别式法（此法我们后面再述）。证法二的变形主要是配方法，难点在于拆项，此法笔者又将其归纳为裂项法。通过本例，可以了解求差比较法的全貌，以及关键的第二步变形。

例2：已知a1,0，求证：loga(a)log(a)(a2)证明：log(a)(a2)loga(a)log(a)(a2)log(a)a

[log(a)(a2)log(a)a2log(a)(a22a)2]2[][2log(a)a(a2)2]21] [log(a)(a)22又loga(a)0,log(a)(a2)loga(a).说明：观察不等式的特点，a充当了真数和底，联想到logaN1，进而用了logNa作商比较法，作商比较法的变形主要是利用某些运算性质和性质，如函数的单调性等，我们再看：

例3：若abc0，求证：（1）aabbbaab

（2）a2ab2bc2cabcbaccab

aabba证明：（1）abc0，ab()ab

bba

又ab0,a1,ab0 baabaabb()1,即ba1,又abba0

babaabbabba（2）由（1）的结果，有

aabbabba0,bbccbccb0,ccaacaac0

两边分别相乘得

aabbbbccccaaabbabccbcaacabc2a2b2cabcbaccab

2、综合法

利用某些证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质，推导出所求证的不等式，这种证明方法叫做综合法，综合法的思考路线是“由因导果”。例4：（1）已知a,b,c为不全相等的正数，求证：

bcacababcabc3

（2）已知a,b,c为不相等正数，且abc1，求证：abc1a1b1c 证明：（1）证法一：左式(bacbacab)(bc)(ca)3

a,b,c为不全相等的正数

baab2baab2 同理：cbbc2,caac

2且上面三个等号不能同时成立，（baab)(cbbc)(acca)3633证法二：左式(abcabcaba2)(b2)(cc2)

(abc)(111abc)6

a,b,c为不全等正数

（abc)(1111abc)633abc33abc696

3得证。

（2）证法一：a,b,c为不等正数，且abc1

abcbc11caab111111

cb2ca2ab1112abc证法二：a,b,c为不正数，且abc1

得证；

111abacabbcacbcbcacababc222

a2bcab2cab2cabc

得证。

说明：（1）题两种方法的差别主要在于对不等式左边施行不同的恒等变形，其目的都是为了有效地利用基本不等式，灵活地运用均值不等式，这也是综合法证明不等式的主要技巧之一；

（2）题是条件不等式的证明，要找出条件与结论之间的内在联系，分析已知与求证，不等式左边与右边的差异与联系，去异求存同，找到证题的切入口，本题合理运用条件abc1的不同变形。

3、分析法

从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为判断这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可判定所求证的不等式成立，这种证明方法叫做分析法，分析法的思路是“执果索因”。

111例5：已知函数f(x)lg(1),x(0,)，若x1,x2(0,)且x1x2.x22xx1求证：[f(x1)f(x2)]f(12)

22证明：要证原不等式成立，只需证明（事实上，0x1x2(1121)(1)(1)2 x1x2x1x21,x1x2 21121)(1)(1)2x1x2x1x211144x1x2x1x2(x1x2)2x1x(x1x2)2(1x1x2)02x1x2(x1x2)即是(lg[(1121)(1)(1)2x1x2x1x21121)(1)]lg(1)2x1x2x1x2

xx21故[f(x1)f(x2)]f(1)22

得证。

4、换元法

换元法是数学中的一个基本方法。在不等式的证明过程中，按照所证不等式的结构特点，将不等式中的变量作适当的代换，可使不等式的结构明朗，从而使不等式变得容易证明，这种方法称为换元法。换元法的目的是把合命题化简、化熟，把复杂的、不熟悉的命题化为简单的、熟悉的命题。

换元法在许多实际问题的解决中可以起到化难为易、化繁为简的作用，有些问题直接证明较为困难，但若通过换元法的思想与方法来解就很方便，换元法多用于条件不等式的证明中，一般有增量换元、三角换元、和差换元、向量换元、利用对称性换元、借助几何图形换元等几种方法。1）增量换元

对对称式（任意互换两个字母，代数式不变）和给定字母顺序的不等式，常用增量换元，换元的目的是通过换元达到减元，使问题化难为易，化繁为简。

114例6：已知abc,求证：.abbcac分析：考虑到ac(ab)(bc)，由此可以令xab0,ybc0,这时问题转114化为“若x,y0,证明”。

xyxy证明：令xab0,ybc0,acxy，下面只要证明：

114即可。

xyxy11yxyxx,y0,()(xy)2224(当且仅当,即xy,2bac取等号）xyxyxy114114,即成立。xyxyabbcac例7：若ab0,求证：2abb2a2b2a.分析：如何利用已知不等式ab0是证明本题的关键，因为ab0ababh(h0)abh(h0)，这样可把已知的不等式关系换成相等关系。

证明：ab0,设abh(h0)，则2abb2a2b22b(bh)b2(bh)2b b22nhh22bhbha2abb2a2b2a.得证。

2）三角换元

三角换元就是根据已知的一些三角等式、三角代换来解决题目中的某些问题，如，问题中2若2已知x2y2a2(a0,)),可设xaco,ysasin；若已知

x2y2x2y2xy1,可x设rco,ysrsi(rn1)；若已知221或221，则条件可

ababxacos,xasec,或设其中的范围取决于x,y的取值范围，等等。

yasin;ytan,acbd1.例8：已知a,b,c,d都是实数，且a2b21,c2d21,求证：分析：由a2b21,c2d21，可以联想到sin2cos21的关系作三角代换。证明：a2b21,c2d21,所以可设asin,bcos,csin,dcos，sincoscoscos(), acbdsin又cos()1,acbd1，即原不等式成立。

3）和差换元

aba2b2a3b3a6b6.例9：对任意实数a,b,求证：2222分析：对于任意实数a与b，都有asabab,t,则有ast,bst。22abababab，令,b2222证明：设ast,bst，下面只需证

s(s2t2)(s33st2)s615s4t215s2t4t6.右边左边11s4t212s2t4t60, s(s2t2)(s33st2)s615s4t215s2t4t6，aba2b2a3b3a6b6即.222

2得证。

4）向量换元

例10：已知a,bR,ab1,求证：2a12b122.分析：将不等式变形为12a112b122a12b1，观察其结构我们可联想到学习两个向量的内积是有这样一个性质：abab及aba1b1a2b2。

证明：设m(1,1),n(2a1,2b1)，则有mn2a12b1,m2,n2a12bab1,n2,由性质mnmn，得2a12a122.5）利用对称性换元

例11：设a,b,cR,求证：abc(bca)(cab)(abc).分析：经过观察，我们发现，把a,b,c中的两个互换，不等式不变，则可令xbca,ycab,zabc,则原不等式可化为：(xy)(yz)(zx)8xyz.证明：令xbca,ycab,zabc

111(yz),b(xz),c(xy)222 a,b,cR,当xyz0时，有 则a(xy)(yz)(zx)8xyz.当xyz0时，有x,y,zR（否则x,y,z中必有两个不为正值，不妨设x0,y0则c0，这与c0矛盾）

因此：xy2xy0,yz2yz0,zx2zx0 则有：(xy)(yz)(zx)8xyz 综上，恒有(xy)(yz)(zx)8xyz，把x,y,z的值代人上式得：abc(bca)(cab)(abc).得证。6）借助几何图形换元

例12：已知a,b,c是ABC三边的长，求证：a3bb3cc3aa2b2b2c2c2a2.分析：如图，作ABC的内切圆，设D,E,F为切点，令xBD,yCD,zAE.（其中x,y,zR），则原不等式可转化为：

y2z2x2(z)(x)(y)2x2y2z

（1）zxy再利用均值不等式：ab2ab。

证明：设D,E,F为切点，令xBD,yCD,zAE.则原不等式可化为（1）的形式，又

y2z2x2因为x,y,zR，则有，z2y,x2z,y2x.所以（1）式成立，故原不

zxy等式成立。得证。

7）代数换元

例13：已知a,b,cR，且abc1,求证：3a13b13c132.分析：引入参数，配凑成二次方程转化为二次不等式 证明：设3a13b13c1k.则可令3a1kkkt1,3b1t2,3c1t3,其中t1t2t30.333kkk所以3a13b13c1(t1)2(t2)2(t3)2

333k22k2222222k(t1t2t3)t1t2t3(t1t2t3)即6333k2所以6，解得

3k32，即3a13b13c132。得证。

8）分式换元

12例14：设x0,y0,xy1,求证：322

xy分析：因为xy1,x0,y0,所以用分式换元，转化为均值不等式证明。证明：设xab,y(a0,b0)，则 abab12ab2(ab)b2a3322，xyabab即12322 xy9）比值换元法

对于在已知条件中含有若干个等比式的问题，往往可先设一个辅助未知数表示这个比值，然后代入求证式即可。

例15：已知x1y2z4,求证：x2y2z210.证明：设x1y2z4k，于是xk1,yk2,zk4

把x,y,z代入x2y2z2得：3k26k133(k22k1)103(k1)21010。得证。

5、放缩法

为了证明不等式，有时需舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性达到证题的目的，这种方法称为放缩法，放缩时主要方法有：

1311）舍去或加上一些项，如：(a)2(a)2.2422）将分子或分母放大（缩小），如：

11111,,22k(k1)kk(k1)kk2kk1,1k2kk1.(kN,k1).n(n1)(n1)2an.例16：设an1223n(n1).(nN).求证：22证明：an1223n(n1)1122nn

n(n1).2k(k1)又kk1,k(k1).(kN).12nan1223n(n1)n22n(n1)222n(n1)(n1)2an。得证。221223n(n1)222

说明：在使用放缩法时，需要注意的是放缩要适度，不能放得过大或太小。

6、反证法

反证法就是从否定结论出发，通过逻辑推理，导出矛盾，从而肯定原命题成立，反证法必须考虑各种与原命题相异的结论，缺少任何一个可能都是不完全的，如，要证不等式AB,先假设AB，根据题设及其他性质推出矛盾，从而肯定AB成立。

1例17：已知f(x)x2axb,求证：f(1),f(2),f(3)不全小于.21111证明：假设f(1),f(2),f(3)全小于，即f(1),f(2),f(3)，2222由于f(1)1ab,f(2)42ab,f(3)93ab，f(1)2f(2)f(3)2f(1)2f(2)f(3)2.另一方面：由假设得

f(1)2f(2)f(3)f(1)f(3)2f(2)11122 222显然，22是错误的

1故f(1),f(2),f(3)不全小于。得证。

2说明：对于存在、不都是、至少（多）、不全小（大）、某个（反面：任意的）等问题，通常从正面难寻突破口，可变换角度，巧用反证法往往会见奇效。

7、判别式法

a2x2b2xc2如果所要证明的不等式可转化为形如：y的函数值域(xR)，或转化2a1xb1xc1为一元二次方程有实数根等问题，则可用判别式法达到证题目的。

12例18：若x,y,zR,且xyza,用x2y2z2a2(a0)求证x,y,z都是不大于a23的非负数。

1证明：由zaxy,代入x2y2z2a2，可得

22x22(ay)xy2(ay)212a021xR，0,即4(ay)28[y2(ay)2a2]02化简得3y22ay0, a0，0y2a322同理可得：0xa，0za。得证。338、构造法

有些不等式可构造函数利用函数性质，或构造复数利用复数向量有关性质，或构造几何图形利用集合知识，还可以构造数列利用数列相关性质来证明不等式。1）利用函数的单调性

例19：求证：ab1aba1ab1b.分析：由不等号两边形式可归纳为f(x)f(x)x在x0时的单调性。1xx.(x0)的形式，因此可考虑函数1x证明：构造函数f(x)xxx1x2x0，设0x1x2，121x11x2(1x1)(1x2)1xf(x)在x0上是增函数，且abab

令x1ab,x2ab，则有

ab1abab1aba1abb1aba1ab1b.得证。

2）构造复数利用复数向量有关性质

例20：求证：a2b2c2d2(ac)2(bd)2.(a与c，b与d不同时相等)证明：设z1abi，z2cdi，那么z1z2(ac)(bd)i

z2c2d2 由于z1z2z1z2，而z1a2b2，则z1z2(ac)2(bd)2

有(ac)2(bd)2a2b2c2d2.得证。

9、用微分法证明不等式

微分在中学时又称为求导，用微分法其实就是用求导的方法来解决问题。

例21：设函数f(x)a1sinxa2sin2xansinnx,其中a1,a2,,an都为实数，n为正整数。已知对于一切实数x，有f(x)sinx，试证：a12a2nan1.分析：问题中的条件与结论不属于一类型的函数，如果能找出它们之间的关系，无疑能帮助解决此题，可以看出：a12a2nanf/(0).于是问题就转化为求证：f/(0)1.证明：因f/(x)a1cosx2a2cos2xnancosnx.则f/(0)a12a2nan.利用导数的定义得：

f/(0)limx0f(x)f(0)x0limx0f(x)f(x)limxxx0sinx1，x由于f(x)sinx,所以f/(0)limx0即a12a2nan1.得证。

第二篇：中学数学不等式证明的常用方法

中学数学不等式证明的常用方法

不等式证明是中学数学的一项基本内容，证明不等式的方法多种多样，但常见的几种方法有：放缩法、判别式、换元法、函数法、数学归纳法等[4].在这里通过学习，总结前人巧妙的证明方法，使中学生可以轻松地理解并掌握进而灵活运用常用的不等式证明方法解决有关不等式的证明问题.下面试图通过一些例子来说明.一、一般思路

不等式证明的总体思路是比较不等式两边式子的大小,一般用比较法证明不等式.比较法证明不等式可分为差比法和商比法，它是不等式证明中最基本思路.明确作差、作商比较法证明不等式的依据，理解转化，使问题简化是比较法证明不等式中所蕴含的重要数学思想，掌握作差、作商后对差式、商式变形以及判断符号的重要方法，并在今后学习中继续积累方法．但比较法证明不等式主要运用了综合法和分析法.利用题设和某些证明过的不等式作为基础，再利用不等式的性质推出欲证的不等式，称为综合法.思路是“由果索因”，即从题设条件或已知证明的结论﹑公式出发，逐步推理，得到欲证的不等式，这种方法条理清楚，易表述．

分析法是从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件,只要使不等式成立的条件已经具备,就断定不等式成立.思路是“执果索因”, 即从要证明的不等式出发,寻找使这个不等式成立的某一“充分”的条件,为此逐步往前追溯,一直追溯到已知便于探求解题思路.二、典型方法分析

(1)放缩法

不等式的传递性，若A＞B，B＞C则A＞C告诉我们要证明A＞C时就可以先把A缩小B，再把B缩小为C，从而证明A＞C；同样A放大为B，再把B放大为C，可以证明A＜C． 例１ 求证：１＋12131n2n(nN)．

分析:注意观察不等式左边的形式,显然左边要比右边复杂,所以我们应选择从左到右来证明.先取有限项进行观察,从它们的规律分析进而得证.一般地,如果是分式就考虑放大(缩小)分子(分母).如本题就是利用放大分母

1n

＝22n2nn12(nn1),每一项都可由此规律放大分母,从而易得证.但值得注意的是放大或缩小要适当.证明:1n＝22n2nn12(nn1)，∴1312＜2（2－１），2(32)，„„

1n11n2(n1n2)，＜2（nn1）．

121n以上各式相加，得１＋所以原不等式成立．

＋„＜2n－１＜2n．

【评注】利用分数的性质，可适当地增项﹑减项，运用放缩法证明[4]，但要注意放缩法要适度，否则不能同向传递．

例2 已知数列an,an=122334Ln(n1)

n(n1)(n1)2an＜.求证：22n(n1)是前ｎ个自然数的和，与an比较只须缩小为１2﹑2﹑3„„n即可．仿此把各项放大2﹑3﹑„„（n+1）所得结论过弱，只能放

n(n1)弃，于是转而联想到关系式n(n1)，右边的不等式证明，由此可证

2得．

证明 由于 分析: 注意到左边的式子an=122334n(n1)>122233n2 =1+2+3+„+n =n(n1)22n1n(n1)＜

22又由n(n1)3572n1有an＝122334n(n1)＜

22221(n1)

2＜[1357(2n1)]22n(n1)(n1)2an＜综上所述． 22

【评注】放缩法的基本思路: ab,bc,ac.[3]技巧与方法:(1)适当添上

131或舍去某些项,例:(a)2(a)2;(2)如果是分式则需放大或缩小分子

242或分母,如:11111 2放大缩小切记适度.k(k1)kk(k1)k1k(2)判别式法

有些要证明的不等式，它的已知条件是一些等式，如果这些条件可以转化为一个含参数的一元二次方程式；或者要证明的不等式可以化为一个一元二次不等式，这时往往可以用判别式求证[2]．

2xyz8x70例 已知x,y,z是实数，且满足条件22

yzyz6x60求证：１x9.证明 由已知等式得：

yz=x28x7

(yz)2yz6x6 x28x7+6x-6=x2-2x+1=(x-1)2 于是y,z是方程t2(x1)t(x28x7)=0的两个实根 △＝(x-1)2－４（x28x7）＞０解得１x9.【评注】本题可以将原方程组变形得到yz和yz的表达式,再把x看作常数写成关于t的一元二次方程，最后用判别式来求解．用判别式证明不等式，常常把要证明的内容通过韦达定理以及其他代数变形手段，放到某个一元二次方程的系数中去．(3)换元法

有些不等式可以把其中一些元素换成另一种元素，从而使条件之间的数量关系明朗化，便于解决问题[2]．

1125例1 设a,bR且a+b=1.求证：(a)2(b)2.ab2 证明： a+b=1可设：a=sin2,b=cos2

x2y2xy 又 则

2211(a)2(b)2

ab111(ab)2 2ab1112)＝(sin2＋cos2＋2

2sincos2142125)(14)2＝(1．

2sin2222例2 设a,b>0，求证：3a3b＋3a3b23a． 证明：设3a3b＝m,3a3bn,则m3n3=2a 于是要证的不等式等价于(mn)3＜4（m3n3）只要证：4（m3n3）－m33m2n3mn2n30 而3m3+3n33m2n3mn2 =3m2(mn)3n2(nm)

=3(m-n)(m2-n2)=3(m-n)2(m+n)>0 ∴(mn)34(m2n2)成立.【评注】本题巧用三角代换,使不等式的证明变得简捷明了.当所给的条件复杂,一个变量不易由另一变量表示时,可考虑三角代换,将两个变量都用一个参数表示.换元法中最常用的是三角代换,三角代换法多用于条件不等式的证明[3].具体代换方法有:(1)若a2b21,可设acos,bsin(为参数）;(2)若a2b21,可设arcos,brsin(为参数）；

(3)对于1x2,x1,由cos1或sin1知，可设xcos或xsin;(4)若xyzxyz,由tanAtanBtanCtanAtanbtanC知,xtanA,y

tanB,ztanC.(ABC)

(4)函数法

有些不等式的证明可以借助于函数的一些性质,如单调性,函数的值域等进行证明.例:求证:|x1x2xn||xn||x1||x2| 1|x1x2xn|1|x1|1|x2|1|xn|xx的形式,于是可以构造函数f(x)= 1x1x分析:要证不等式的每一项结构都是证明: 构造函数f(x)=

x 1xf(x1)f(x2)x1xx1x2 21x11x2(1x1)(1x2)当x1x20时,显然f(x1)f(x2)所以函数f(x)当x0时是增函数

Q|x1x2Lxn||x1||x2|L|xn|

x1x2xn|xn|1 1|x1x2xn|1|x1|x2||xn|1|x1||x2||xn|

|xn||x1||x2|1|x1|1|x2|1|xn|

【评注】本题根据不等式的特点,构造辅助函数，将不等式的证明,转化为利 用函数增减性与极值来研究,是一种极好的方法.在构造函数证明不等式时,可用函数的单调性、微积分中值定理、函数的极值和最值等,将不等式问题转化为函数问题,利用函数性质来研究、解决不等式问题,使学生掌握不等式证明的函数思想方法,从而提高学生的分析问题与解决问题的能力.不等式的证明，方法多种多样，它可以和很多内容相结合，证明时不仅用到不等式的性质，不等式的证明技能、技巧，有时还用到其它数学知识，是高中数学的一个难点.不等式证明综合题是每年高考的必备题，只要我们遵循《考试说明》的要求，以不等式的性质、定理为理论依据，借助变量代换、化归转化、分析综合等数学思想方法，就能很好的“把脉”不等式的证明.但这些方法不是孤立的，而是相互渗透的.因此，在证明不等式时要灵活运用这些方法,以使题目更容易解决.解题时只要充分展开想象，打开思路，选择恰当的的证明方法，问题便可迎刃而解.

第三篇：数学不等式证明方法论文开题报告

湖北大学

本科毕业论文（设计）开题报告 题目高中数学不等式的证明方法

姓名梁艳平学号 ***7 专业年级

2011级数学与应用数学 指导教师付应雄职称副教授

2015年03月03日

本课题的研究目的及意义

现实世界中的量有相等关系，也有不等关系，凡是与比较量的大小有关的问题，都要用到不等式的知识。不等式在解决最优化、最优控制、经济等各类实际问题中有广泛的应用，它是学习和研究现代科学和技术的一个基本工具。

不等式在中学数学中占有重要地位，在历年高考中颇为重视。由于不等式的形式各异，所以证明方法灵活、技巧多样，因此不等式的证明也是中学数学的难点之一。为了突破难点，我认为有必要对一些常见的证明方法和典型例题进行一些思考、研究和总结。

已了解的本课题国内外研究现状。

不等式的证明方法在国内外的研究都趋于高深、复杂、多方向化。不等式的证明方法也大多用于竞赛和考察数学素养。

本课题的研究内容

本课题主要研究不等式一些常见的证明方法：比较法，综合法，分析法，反证法，放缩法，数学归纳法，换元法，构造法和判别式法等。

本课题研究的实施方案、进度安排。

首先通过查阅国内外相关文献资料对不等式的证明方法做一个全面的了解，并了解学生对于不等式的证明方法的掌握程度与思考方式，其次，对于每种方法要举出一个典型的例子来帮助读者理解。

2015年1月——2014年2月：搜集、分析资料，确定题目；

2015年3月初：开题报告；

2015年3月初——3月底：撰写论文初稿；3月31日前提交纸质版初稿；

2015年4月中旬前：修改论文，定稿：外文翻译；

2015年4月底：论文答辩。

已查阅的主要参考文献

[1]胡汉明.不等式证明问题的思考方法.数学通讯.2004（11）.[2]韩京俊.初等不等式的证明方法.哈尔滨工业大学出版社.[3]严镇军.不等式.人民教育出版社.[4]王胜林.卫赛民.证明不等式的几种特殊方法，数学通讯.[5]张联升.名师伴你行.北京光明日报出版社.2006.01.26-27页

[6]马勇.新课标高中基础知识点.北京教育出版社.2007.113-114页

[7]李长明，周焕山.初等数学研究.高等教育出版社（253-262页）

[8]韩京俊.初等不等式的证明方法.哈尔滨工业大学出版社.[9]王胜林.卫赛民.证明不等式的几种特殊方法.数学通讯.[10]华罗庚.数学归纳法.北京科学出版社，2002.[11]南山.柯西不等式与排序不等式.上海教育出版社，2007.[12]E.贝肯巴赫，R.贝尔曼.不等式入门.北京大学出版社，1985.[13]G.H.哈代，J.E.李特伍德，G.波里亚.不等式.北京科学出版社，1965.指导教师意见 签名： 年月日

系或专业审核意见1．通过；

负责人： 年月日

2．完善后通过；

３．不通过

第四篇：证明不等式的方法论文

证明不等式的方法

李婷婷

摘要： 在我们数学学科中，不等式是十分重要的内容。如何证明不等式呢？在本文中，我主要介绍了不等式概念、基本性质和一些从初等数学中总结出的证明不等式的常用方法，分别有比较法、综合法、放缩法、数学归纳法、换元法、判别式法、分解法方法。证明不等式的方法多种多样，在这里我就只例举这些方法。证明不等式方法因题而异，灵活多变，技巧性强。通过学习这些证明方法，使我们进一步掌握不等式证明，可以帮我们解决生活中的许多实际问题。

关键字：不等式；数学归纳法；函数；单调性

不等式作为一个重要的分析工具和分析的手段，在数学中具有举足轻重的地位，不等式的证明可分为推理性问题和探索性问题，推理性问题是指在特定条件下，阐释证明过程，解释内在规律，基本方法有比较法,综合法；探索性问题大多是与自然数有关的证明问题，常采用观察—归纳—猜想—证明的方法思路，以数学归纳法完成证明，不等式证明还有其他方法：换元法，放缩法等。不等式的证明没有固定的程序，证法因题而易，技巧性强。希望通过这些方法的学习。我们可以很好的认识数学的一些特点，从而开扩我们的数学视野。

1不等式概念及基本性质

1.1不等式的概念：表示不相等关系的式子。

实数集内的任意两个数a,b总是可以比较大小的，如果ab是正数，则ab;如果ab是零，则ab；如果ab是负数，则ab。反过来也对。即有 a≧bab0这里符号表示等价于。

这个定义虽然简单，实际它反映不等式的性质。许多不等式的证明，是从这个定义出发。首先，根据不等式的定义，容易证明下述不等式的简单性质，这些性质是证明其他不等式的基本工具。

1.2不等式基本性质

1.2.1abba(对称性)1.2.2若ab,bc,则ac(传递性)1.2.3若ab,则abbc(加法保序性)

1.2.4若ab,c0，则acbc(乘正数保序性)1.2.5若ab,cd,则acbd.若ab,cd,acbd.ab0,cd0,则acbd.11.1.2.6若ab,ab0,则ab

ab.1.2.7若ab0,dc0,则cd

1.2.8若ab0,nN，则anbn,nanb.1.2.9若ab0,m,nN，则a1.2.10含绝对值的不等式

mnb,amnmnb.mn(1)xax2a2axaxbaabxab(2)xaa0x2a2xa或xa.3ababab.4a1a2...ana1....an.1.2.11若a,bR，则a20,ab0.21.2.12若a,bR，则abab.符号当且仅当ab时成立。由这个不等式还可以得到22x2y2xyxyx,yR,22另一些常用的不等式：

ba2a,bR.ababc3abc.符号当且仅当abc时成立。1.2.13若a,b,cR,则

3

2证明不等式的基本策略

2.1比较策略

比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法)。比较证明不等式的一般步骤是：作差——变形——判断——结论。为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以便判断其正负。

2.2分析综合策略

分析综合法是数学中常用的两种直接证明方法，也是不等式证明中的基本方法。两者在证明思路上存在着明显的互逆性。

综合法是由已知条件和已知不等式出发，推导出所要证明的不等式；分析法则要逐步找出使结论成立的充分条件，最后归结为已知不等式或者已知条件。对于条件简单而结论复杂的不等式，往往要通过分析法或者分析法与综合法交替使用来寻找证明的途径。

2.3构造策略 所谓构造，就是当某些数学问题用通常的办法难以奏效时，根据题设条件和结论的特征性质，从新的角度、用新的观点观察分析、解释对象，抓住反映问题的条件与结论之间的内在联系，用已知数学关系为支架，构造出满足条件或结论的数学对象，使原题中隐晦不清的关系和性质在新构造中的数学对象中清楚地展现出来，从而借助该数学对象解决数学问题的 2 方法。

用构造法解题时，被构造的对象是多种多样的，按它的内容，分为某种模型、函数、恒等式、复数等，可以达到简捷、明快、以巧取胜的目的。在运用构造法解题时，一要明确构造的目的，即为什么要构造；二要弄清楚问题的特点，以便依据特点、确立方案、实现构造、达到目的。

3证明不等式的基本方法和技巧

3.1 比较法

比较法是证明不等式的最基本，最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法)。3.1.1 作差法

在比较两个实数a和b的大小时，可借助ab的符号来判断.步骤一般为：作差——变形——判断（正号、负号、零）.变形时常用的方法有：配方、通分、因式分解、和差化积、应用已知定理、公式等.abba [例1] 已知a、bR,求证：abab，等号当且仅只当ab时成立。

[分析] 由于要证的不等式关于a,b对称，且式子不复杂，比较的式子都由字母a，b组成，左右两式存在公因式ab，可考虑用作差法来做，作差判断符号。

[证明] 设ab0.bbab0,aabbabbaabbbaabbab0，从而原不等式得证。显然上面的不等式当且仅aabbabab时等号成立，故原不等式当且仅当ab时成立等号。

[评价] 因为做差法是根据差值的符号来判断，所以在 比较差值的时候容易出错，一定要谨慎。3.1.2 作商法

在证题时，一般在a，b均为正数时，借助

aa1或1来判断其大小，bab步骤一般为：作商——变形——判断（大于1或小于1）.[例2]已知a2，求证：loga1alogaa1 [分析] 先判断不等号两边是否是正数。因为a>2,所以logaa10,logaa10，这时我们可考虑用作商法来比较大小，利用对数函数公式，通过变形化简即可判断了。

[证明] 由原题得：

logaa1loga1a1logaa11 logaa1logaa1logaa12又因为

logaa1logaa1logaa1logaa12logaa214log2aa422

1所以原式＞1，故命题得证。

[评价]首先判断了左右两式均是正数，而且是对数形式，这种常用作商法目的在于好利用公式约分化简，构造容易比较大小的形式得出结论。3.2 综合法

利用某些已经证明过的不等式，例如算术平均数、几何平均数的定理、均值定理等等，利用这些不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这个证明方法就是综合法。

[例3]a,b,c为互不相容的正数，且abc1，求证：

111abc.abc[分析] 因为abc1且a,b,c为互不相容的正数。观察前后的式子联想起我们所学的均值定理a1a2anna1a2an。把1换成abc的形式带入式子，化简之后就得nbc+ac+ba,再根据学过的均值定理来构造式子，变形化简可证。

[证明] 化简过程为：

111bcacacababbcbcacbabcacacababbcabc222abc,所以111abc.故命题得证。这样的方法主要靠平时知识的积累和应用。abc[评价]先化简后我们得到的式子就可把整个不等式看成一个整体，根据不等式定理、性质经过变形、运算，导出欲证的不等式。3.3放缩法

是要证明不等式A

11来做，缩小分母，扩大不等号左边的式子。2n(n1)n 4 [证明] 1111 2nn(n1)n1n11111111151171()().22222123n223n1n42n4[评价]此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。

3.4 数学归纳法

对于含有n(nN)的不等式，当n取第一个值时不等式成立，如果使不等式在nk(nN)时成立的假设下，还能证明不等式在nk1时也成立，那么肯定这个不等式对n取第一个值以后的自然数都能成立.[例5]：证明不等式

111...1nN.n1n23n1[分析]：此题是一个与自然数n有关的命题，首先想到数学归纳法。可分析n=1时，当n=k时，当n=k+1时三种情况来讨论，若在假设下都成立，那么足以说明n在定义内取任何值都使原式成立。

111131.n1n2n3122假设当nk,不等式成立111...11.k1k2k33k4要证当nk1时不等式成立，即[证明] 1当n1,11111112...11.k1k23k13k23k33k4k13k13k23k4 [评价] 对于由不完全归纳法得到的某些与自然数有关的数学命题我们常用数学归纳法来做，在验证命题 n=k(n整数)正确的基础上，证明命题具有传递性，而第二步实际上是一次逻辑的推理代替了无限的验证过程，所以说数学归纳法是一种合理、切实可行的科学证明方法，实现了有限到无限的飞跃。3.5 换元法

在证题过程中，以变量代换的方法，选择适当的辅助未知数，使问题的证明达到简化.主要有两种换元形式。(1)三角代换法：多用于条件不等式的证明，当所给条件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，这时可考虑三角代换，将两个变量都有同一个参数表示。此法如果运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化为三角问题根据具体问题，实施的三角代换方法有：①若xy1，可设xcos,ysin；②若xy1，可设xrcos,yrsin0r1；③对于含有的不等式，由于x1，可设xcos；④若xyzxyz，由tanAtanBtanCtanAtanBtanC知，可设

2222xtanA,ytanB,ztanC其中ABC。(2)增量换元法：在对称式(任意交换 5 两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如abc0等)的不等式，考虑用增量法进行换元，其目的是通过换元达到减元，使问题化难为易，化繁为简。如ab1，可以用a1t,bt进行换元。

2222 [例6] 已知x,yR且xy1.求证x2xyy2.[分析] 在式中有xy≤1不 等式，可联想到上面性质中的第②点：若x2y21，可设xrcos,yrsin0r1，化为三角函数来带入要证明的式子就较为简便。

[证明] 设xrcos,yrsin,r1,则22x22xyy2r2cos22cossinsin2r2cos2sin22r2sin22.4

[评价]这里用的三角代换是换元法的一种。题目形式上比较复杂，但有一定的规律，则可采用变量代换法，通过换元，把生疏的结构转化为重要不等式形式使证题思路自然、简捷。它的基本思路是：按照代数式的结构特点选用适当的三角公式，进行三角代换，把代数题转化为三角题，从而用三角知识去解。3.6 判别式法

根据已知的或构造出来的一元二次方程，一元二次不等式，二次函数的根，解集，函数的性质等特征确定出其判别式应满足的不等式，从而推出欲证的不等式方法。判别式法应用

2f(y)xg(y)x(y)0形极其广泛，它的使用范围是“解答函数的解析式可以转化为

2式的一类函数的最大（小）值或值域问题”，学习时注意对x项系数f(y)0和f(y)0两种情况的讨论。

2f(y)xg(y)(y)0,f(y)0，依据xR,0求出y的范围。方法：①由②讨论f(y)0时的x的值是否是函数y的定义域中的值？若是，则y的范围含f(y)0a1x2b1xc1ab2a2xb2xc2的y值，是否不含这个值.本题解法对证明形如“，a1x2b1xc1cda2xb2”的不等式具有一般性。

1x2x13[例7] 求证:22x12。

[分析] 此题目不等号中间式子可构造成一元二次函数，要注意对x的系数的两种情况讨论 6 x2x1y22(1y)xx1y0，x1证明：设，则

2y1xR,14(1y)0,得（1）当时，由13y,(y1)2 2

2(1y)xx1y0，得x=0（2）当y=1时，由x2x1yx21的定义域中的一个值，所以y=1是它的值域中的一个值.由（1）而x=0是函数131x2x13y2222x12。和（2）知，即[评价] 用判别式法证明不等式，实际上就是求函数的最大（最小）值或值域.它的使用

2f(y)xg(y)(y)0,f(y)0形式的一类函数范围是“解答函数的解析式可以转化

2的最大（小）值或值域问题”，学习时注意对x项系数f(y)0和f(y)0两种情况的讨论。

3.7 分解法

按照一定的法则，把一个数或式分解为几个数或式，使复杂问题转化为简单易解的基本问题，以便分而治之，各个击破，从而达到证明不等式的目的.[例8] 求证：11111111 26122030426[分析] 此题不等号左边为同分子异分母的7个分数和，分母的结构特点是从1开始每相邻两个自然数乘积，符号为加减交替，可利用我们学过的式子使相同式子相消，即可得答案。[证明] 因为

111来做，n(n1)nn1111

n(n1)nn***1=＜原题得2233445566776 所以 原式=1-证。

[评价]只要利用学过的公式来分解式子就更容易了，但这题要注意符号，符号容易出错。3.8函数极值法

在不等式证明中，我们常常构造函数f(x)，而f(x)构造好后，如果在所给函数区间上无法判断f(x)符号，即当函数不具有单调性时，可以考虑用极值与最值的方法进行证明

[例9] 设xR，求证：4cos2x3sinx21.8[分析] 此题可构造成一元二次方程的顶点式进行证明。

31[证明] f(x)cos2x3sinx12sin2x3sinx2sinx2

48当sinx231时，f(x)max2;48当sinx1时，f(x)min4.故 4cos2x3sinx21.8[评价]这题难在于化简f(x)来构造函数，用一元二次方程的顶点式求最值较易。3.9函数单调法

当x属于某区间，有f(x)0，则f(x)单调上升；若f(x)0，则f(x)单调下降.推广之，若证f(x)g(x)，只须证f(a)g(a)及f(x)g(x),(x(a,b))即可.[例10] 证明不等式e1x,x0.[分析] 所求不等式中有e，结构不复杂，求导数是它本身，这样用求导法来做应容易。靠导数求单调性就可把极值求出，即可证明不等式。

[证明]设fxe1x,则f'xe1。xxxx故当x0时，f'x>0,f严格递增； 当x0时，f'x0严格递减。

又由于f在x0处连续，则当x0时fxf00，从而得证。

[评价]此题目具有幂指数函数形式，对不等式进行移项、整理，在此基础上根据函数单调性证明之。利用函数单调性证明不等式，不等式两边必须可导，对所构造的辅助函数f（x）应在某闭区间内连续，开区间内可导，然后通过在开区间f'x的符号判断间上的单调性，根据单调性来解决不等式问题。

f（x）在闭区4小结

不等式的证明方法很多，远远不止以上所述，每一种方法都具有一定的特点和使用性，并有一定的规律可循，只有在多分析多总结的基础上，才能把握问题的实质，熟练运用各种证明技巧，提高解决问题的水平。各种证明方法之间也并不是孤立的，有时一个不等式也可能有好多种证明方法。我们在证明不等式中不必拘泥某种单一的方法，需要因地制宜根据不同的情况选择不同的方法来论证，可根据具体的情况灵活选择最简单、最优化的方法，从而达到最佳的证明效果，体现数学的简洁性和实用性。

经过这段时间的毕业论文设计和对相关资料的收集，我对于不等式的证明有了深刻的了解和认识。学习了这些方法，可以帮助我们解决一些实际问题，培养逻辑推理论证能力和抽 8 象思维能力以及养成勤于思考、善于思考的良好学习习惯。

参考文献: ［1］李长明,周焕山.初等数学研究[M].北京:高等教育出版社,1995,253-263.［2］叶慧萍.反思性教学设计-不等式证明综合法[J].数学教学研究,2005,10(3):89-91 ［3］张顺燕 数学的思想、方法和应用［M］北京：北京大学出版社。2003 ［4］数学分析.华东师范大学数学系(第三版)[M].北京:高等教育出版社,1999,87.［5］李海港，张传法.利用均值不等式求最值的技巧［M］.学术期刊:高中数理化（高二）GAOZHONG SHU-LI-HUA。2007年第1期。

[6]霍连林.著名不等式[M].北京:中国物质出版社,1994,123-124.[7]张卫斌.中学数学不等式证明的常用策略与技巧[M].《新课程（中学）》2010年第12期

第五篇：不等式的证明方法论文

重庆三峡学院毕业设计（论文）

题目：不等式的证明方法

院 系 数学与统计学院 专 业 数学与应用数学（师范类）年 级 2009级 学生姓名 杨家成 学生学号 200906034134 指导教师 向以华

完成毕业设计（论文）时间 2013 年 5 月

目 录

摘要................................................................I Abstract...........................................................II 引言................................................................1

杨家成：不等式的证明方法

2013届数学与应用数学专业（师范类）毕业设计（论文）

例1 已知a1,a2an都是正数，求证：

aii1i1nn1n2． ai证明：构造两个数组：

a1,a2an;2111,a1a2an，由柯西不等式，得

2anii1nn21n1，即 aii1aii1ainanii121n21，i1i1ain2所以aaii1i11in2．

2.2.2 均值不等式

定理1.2设a1,a2,an是n个正数，则HnGnAnQn称为均值不等式.其中

Hnn111a1a2an，Gnna1a2an，Ana1a2an，n222aa2an.Qn1n例2 已知0a1,xy0，求证：logaaxayloga2xy21． 8证明：由0a1，a0,a0，得，axay2axay2axy，从而 logaaxayloga2axyloga2xy2，故只要证明xy11，即xy即可． 2842211111xyxxx，等号在x（这时y）时取得，24244所以logaaxayloga21． 8

杨家成：不等式的证明方法

2.2.3 排序不等式

定理1.3 设a1a2an,b1b2bn则有

a1bna2bn1anb

（倒序积和）

a1br1a2br2anbrn（乱序积和）

a1b1a2b2anbn,（顺序积和）

其中r1,r2,,rn是1,2,,n的一个排列，即

倒序积和≤乱序积和≤顺序积和． 例3 设a1,a2,,an是n个互不相同的自然数，证明：

1an111aa12． 2223n2n证明：设b1,b2,bn是a1,a2,,an的一个排列且b1b2bn，11，所以由排序不等式，得，22n2bnanba2b12a． 122222n2nbnb111又因为b11,b22,,bnn，故b12，22n22nan111a即1a12．

23n22n2说明：排序不等式适用于与数的排列相关的问题.因1从应用中，可看出在利用重要不等式来证明不等式时必须注意重要不等式所需要的条件，以及有时需要变形等适当处理，凑成重要不等式的形式.除了已介绍的二种方法，分析法、综合法、反证法、换元法、构造法、放缩法、数学归纳法等也能解决初等数学中多数不等式证明问题，但对于一些不等式的证明，单靠初等方法是不够的，因此，需要借助高等数学知识微积分来更进一步扩广加深证明不等式的研究.接下来就探讨微积分在证明不等式中的应用.2013届数学与应用数学专业（师范类）毕业设计（论文）

3.1 利用函数的单调性

在证明不等式中最常见，最有用的方法之一就是函数单调性法，先来看相关定理.定理 3.1 设函数fx在区间I上可导，则fx在I上递增(减)的充要条件是：

fx00．

证明:“”若fx为增函数，则对每一个x0I当xx0时有

fxfx00令xx0即得fx0． xx0“” 若fx在区间I上恒有fx0，则对任意的x1,x2Ix1x2应用拉格朗日中值定理，存在x1,x2I，使得fx2fx1fx2x10由此得到fx在I上为增函数．

定理 3.2 设函数yfx在a,b上连续,在a,b内可导，① 若在a,b内，fx0，那么函数yfx在a,b上严格单调增加； ② 若在a,b内，fx0，那么函数yfx在a,b上严格单调递减.例1 求证：当0x证明：设fx

fx由0x2时，sinx2x．

sinx，x0,，x2xcosxsinxxtanxcosx，22xx2，sinxxtanx可知，fx0，即fx在0,上严格递减，2又由于fx在x2处连续，故fxf2． 2nn例2 已知m,n都是正整数，且1mn，证明：不等式1m1n． 证明：原不等式等价于ln1mln1n，令 mn

杨家成：不等式的证明方法

fxfxln1x，x2，则

xx1xln1xxxln1xx1ln1x0,1xx21xx21xx2即fx在2,上严格递减，所以fmfn，即1mn1nm成立．

说明：对幂指式情况，常取对数，作辅助函数来帮助证明.由以上例题可总结出函数的单调性法的证明不等式步骤：

① 移项（或其它等价变形）使不等式一端为0，另一端为所作的辅助函数fx； ②讨论fx 符号来确定fx在指定区间的增减性，③根据函数的单调性及区间端点处的函数值即可得证.其中步骤① 是关键，作出适当辅助函数fx，值得注意的是步骤②讨论fx符号，有时一阶导的符号不能判断，这就需要判断二阶导数的符号，若仍旧不能判断，再求三阶导数，重复上述过程.例3 求证：tanxx,x0,． xsinx2证明：即证明tanxx0，即sinxtanxx2． xsinx2设fxsinxtanxx，则f0f0f00，而

fxsinxsec2x12secxtan3x4sec3xtanx0，fx0，命题得证．

例4 求证：当x0时，x21lnxx1．

2x21x10，故f在0,上递增． 证明：设fxlnx,x0，则fxxx1x1x12，即x21lnxx1； x1x12当x1时，fxf10，得lnx，即x21lnxx1，x1当0x1时，fxf10，得lnx综上，结论命题得证．

利用函数的单调性是证明不等式的一种常用方法，与之类似的是利用函数的极值与最值，但是这里比较的是极值与端点值，而不是0与端点值.2013届数学与应用数学专业（师范类）毕业设计（论文）

3.2 利用微分中值定理

微分中值定理主要有罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理，其中应用最广泛的是拉格朗日中值定理.定理3.3(拉格朗日中值定理)函数f满足如下条件：

(ⅰ)f在区间a,b上连续，(ⅱ)f在区间a,b内可导，fbfa． bafbfaxa． 证明: 作辅助函数Fxfxfaba则在a,b上至少存在一点使得 f显然FaFb0且F在a,b上满足罗尔中值定理的条件，故存在a,b使得Fffbfa0，移项即得 bafbfa． fba

由拉格朗日公式特点看出，拉格拉日中值定理适用于证明含有函数及其导数，且出现函数之差，自变量差及fx的表达式的不等式.例1 证明： 对一切h1,h0成立不等式证明：设fxln(1x),x[1,h]，hln1hh． 1hf(x)在区间[1,h]上满足拉格朗日中值定理，则

ln(1h)ln(1h)ln1h,01，1hhhh，1h1h当h0时，由01可推知，11h1h,hhh，1h1h当h0时，由01可推知，11h1h,从而得到所要证明的结论．

例2 求证：sinxsinyxy.证明：设 f(x)sinx，则sinxsiny(xy)sin(xy)cos，故sinxsiny(xy)cosxy.由以上二例可总结出应用拉格朗日中值定理证明不等式的步骤：

杨家成：不等式的证明方法

①构造函数f(x)，并确定对应区间[a,b]； ②对f(x)在[a,b]上运用拉格朗日中值定理；

③利用与 a、b 之间大小关系，题中所给条件，放大或缩小f()，从而推得不等式.步骤中关键是 2013届数学与应用数学专业（师范类）毕业设计（论文）

故有f(例2求证：2eab1b)f(x)dx． a2ba121212ex2dx2．

11x2x2f(x)e,x,证明：设，则，令f(x)0,x0，f(x)2xe2211而f()f()e2,f(0)1，22121221fmax1,fmine即e12ex1，11111x2e()2edx()，1222221212122eexdx2．

2说明：当证明某积分不等式大于等于或小于等于定数时，往往利用转化为求原函数最值较为简单.除了积分性质，积分中值定理也常用于证明不等式.4.2 利用积分中值定理

积分中值定理包括积分

杨家成：不等式的证明方法

证明：设F(x)F(x)x0f(t)dtxx02，则

xf(x)f(t)dtxf(x)f()(0x)，x依题意，得，f()f(x),F(x)0 ．

在[0,)上单调递减，得，F(a)F(b)，即a0f(x)dxabb0f(x)dxba0，af(x)dxbf(x)dx．

0运用积分中值定理，可将积分不等式转化为函数不等式来证明，同样的思路也应用到变限积分法中.4.3 利用二重积分证明不等式

有时将一元函数的积分问题转化为二元函数的二重积分问题，会给解题带来方便.定理4.2 若f(x)在[a,b]上可积，g(y)在[c,d]上可积，则二元函数f(x)g(y)在平面区域D(x,y)|axb,cyd上可积，且

f(x)g(y)dxdyDbaf(x)dxg(y)dy．

cd例1 设函数f(x)与g(x)在[a,b]上连续，证明Cauchy-Schwarz积分不等式bbb22af(x)g(x)dxaf(x)dxag(x)dx．

2证明：记积分区域D[a,b][a,b]，利用定积分与积分变量符号无关的性质等，有bbbaf(x)g(x)dxaf(x)g(x)dxaf(y)g(y)dyf(x)g(x)f(y)g(y)dxdy D 12222[f(x)g(y)f(y)g(x)]dxdy 2Dbb1b21b222f(x)dxg(y)dyf(y)dyg(x)dx aaaa22

 2013届数学与应用数学专业（师范类）毕业设计（论文）

bb

af2(x)dxg2(y)dy．

a以上就是要介绍的积分在证明不等式的几种方法，从应用中，可看出运用积分与微分证明不等式方法类似，都主要是利用相关的性质，公式.由以上可以看出，微积分对证明不等式起到了重要作用.对于某些初等方法无法证明的不等式，适当地利用微积分知识就可以证明.在具体证明中要依据题设和待证不等式的结构特点，内在联系，选择适当的证明方法.至于如何选择方法，这就得熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点，通过摸清问题本质特征，使得难解性问题转化为可解性问题.

杨家成：不等式的证明方法

从而fn1n1的充要条件为(1Pn)0，n1

现取PKK，K112n1nn

则fn(1)(1)(1，)23nn1n1(n1)!n1n1n1

而(1Pn)(1)0，n1n1n1n1n1

n1，n1(n1)!n1.(n1)!n1N

分析：欲证此不等式，可从考虑相应的级数入手，若能证明级数收敛且

(n1)!1即可.n1n由上可看出要利用概率论的方法对不等式进行证明，关键在于针对不等式的具体形式，构造相应的概率模型，再利用概率论的相关性质、定理加以证明，从而可以使一些不等式的证明大大简化.2013届数学与应用数学专业（师范类）毕业设计（论文）

致谢

论文即将完成，回顾这篇论文的完成，是单单靠自己完成不了的，从选题到研究方法，从资料查询到写稿，从初稿到修改，直至最终定稿，无不受到向以华老师的悉心指导，深深关切.整个书写论文过程中，向老师的治学严谨，平易近人深深地影响了我，让我在收获专业知识的同时，也获得关于治学，关于为师的道理，相信这将对我以后的学习工作带来不小的启迪.因此，借此机会，向尊敬的向老师表达我由衷的谢意!参考文献

[1] 华东师范大学数学系．数学分析．高等教育出版社，2001.6.[2] 陈传理，张同君．竞赛数学教程．高等教育出版社，1996.10.[3] 曹敏谦．数学分析习题集题解(三)．上海交通大学印刷厂，1979.[4] 魏全顺.微分在不等式证明中的应用，湖南