【趣味数学】高中数学 第9课时 不等式性质应用趣题-均值不等式的应用教学案 新人教版必修1[范文]

第一篇：【趣味数学】高中数学 第9课时 不等式性质应用趣题-均值不等式的应用教学案 新人教版必修1[范文]

第9课时 不等式性质应用趣题―

均值不等式的应用

教学要求：了解均值不等式在日常生活中的应用

教学过程：

一、情境引入；

日常生活中常用的不等式有：一元一次不等式、一元二次不等式和平均值不等式。前两类不等式的应用与其对应函数及方程的应用如出一辙，而平均值不等式在生产生活中起到了不容忽视的作用。下面，我主要谈一下均值不等式和均值定理的应用。

在生产和建设中，许多与最优化设计相关的实际问题通常可应用平均值不等式来解决。平均值不等式知识在日常生活中的应用，笔者虽未亲身经历，但从电视、报纸等新闻媒体及我们所做的应用题中不难发现，均值不等式和极值定理通常可有如下几方面的极其重要的应用：（表后重点分析“包装罐设计”问题）实践活动 已知条件 最优方案 解决办法

设计花坛绿地 周长或斜边 面积最大 极值定理一

经营成本 各项费用单价及销售量 成本最低 函数、极值定理二 车船票价设计 航行里程、限载人数、票价最低 用极值定理二求出 速度、各项费用及相应 最低成本，再由此 比例关系 计算出最低票价

（票价=最低票价+ +平均利润）例

1、包装罐设计问题

1、“白猫”洗衣粉桶

“白猫”洗衣粉桶的形状是等边圆柱（如右图所示），若容积一定且底面与侧面厚度一样，问高与底面半径是 什么关系时用料最省（即表面积最小）？ 分析：容积一定=>лr h=V（定值）

=>S=2лr +2лrh=2л(r +rh)= 2л(r +rh/2+rh/2)≥2л3(r h)/4 =3 2лV(当且仅当r =rh/2=>h=2r时取等号), ∴应设计为h=d的等边圆柱体.例

2、“易拉罐”问题

圆柱体上下第半径为R,高为h，若体积为定值V,且上下底 厚度为侧面厚度的二倍，问高与底面半径是什么关系时用料最 省（即表面积最小）？

分析：应用均值定理，同理可得h=2d（计算过程请读者自己 写出,本文从略）∴应设计为h=2d的圆柱体.

第二篇：高三数学总复习5.4 不等式的应用教学案 新人教版必修1

§5.4不等式的应用

一、基础知识导学

1.利用均值不等式求最值：如果a1，a2∈R，那么

+

abab.22.求函数定义域、值域、方程的有解性、判断函数单调性及单调区间，确定参数的取值范围等.这些问题一般转化为解不等式或不等式组，或证明不等式.3.涉及不等式知识解决的实际应用问题，这些问题大体分为两类：一是建立不等式解不等式；二是建立函数式求最大值或最小值.二、疑难知识导析

不等式既属数学的基础知识，又是解决数学问题的重要工具，在解决函数定义域、值域、单调性、恒成立问题、方程根的分布、参数范围的确定、曲线位置关系的讨论、解析几何、立体几何中的最值等问题中有广泛的应用，特别是近几年来，高考试题带动了一大批实际应用题问世，其特点是： 1．问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、税收、销售收入、市场信息”等，题目往往篇幅较长.2．函数模型除了常见的“正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数”等标准形式外，又出现了以“函数bbyax,yax2,yk[(ab)x(cax)(dbx)]”

xx为模型的新的形式.三 经典例题导讲 [例1]求y=x25x42的最小值.错解： y=x25x42x241x422x241x42＝2  y的最小值为2.错因：等号取不到，利用均值定理求最值时“正、定、等”这三个条件缺一不可.正解：令t=x24,则t2,于是y=t,(t2)

1t由于当t1时，y=t51是递增的，故当t＝2即x=0时，y取最小值.2t

22[例2]m为何值时，方程x+(2m+1)x+m－3=0有两个正根.2m10错解：由根与系数的关系得2m3，因此当m3时，原方程有两个正根.m30错因：忽视了一元二次方程有实根的条件，即判别式大于等于0.1

13m4(2m1)24(m23)01m正解：由题意：2m10

22m30m3或m31313m3,因此当m3时，原方程有两个正根.44[例3]若正数x，y满足6x5y36，求xy的最大值． 解：由于x，y为正数，则6x，5y也是正数，所以

6x56x5y30xy 2当且仅当6x=5y时，取“=”号．

因6x5y36，则30xy365454，即xy，所以xy的最大值为.255[例4] 已知：长方体的全面积为定值S，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值．

分析：经过审题可以看出，长方体的全面积S是定值．因此最大值一定要用S来表示．首要问题是列出函数关系式．设长方体体积为y，其长、宽、高分别为a，b，c，则y=abc．由于a+b+c不是定值，所以

2肯定要对函数式进行变形．可以利用平均值定理先求出y的最大值，这样y的最大值也就可以求出来了．

解：设长方体的体积为y，长、宽、高分别是为a，b，c，则 y=abc，2ab+2bc+2ac=S． 而 22y=（abc）=（ab）（bc）（ac）

当且仅当ab=bc=ac，即a=b=c时，上式取“=”号，y有最小值

答：长方体的长、宽、高都等于

6ss6s时体积的最大值为.636说明：对应用问题的处理，要把实际问题转化成数学问题，列好函数关系式是求解问题的关健.四、典型习题导练

321.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m,深为3m，如果池底每1m的造价为150元，2池壁每1m的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？

2.证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大.2

3.在四面体P-ABC中，∠APB=∠BPC=∠CPA=90°，各棱长的和为m，求这个四面体体积的最大值． 4.设函数f(x)=ax+bx+c的图象与两直线y=x，y=-x，均不相 交，试证明对一切xR都有|ax2bxc|1.4|a|25．青工小李需制作一批容积为V的圆锥形漏斗，欲使其用料最省，问漏斗高与漏斗底面半径应具有怎样的比例？

6．轮船每小时使用燃料费用(单位：元)和轮船速度(单位：海里／时)的立方成正比．已知某轮船的最大船速是18海里／时，当速度是10海里／时时，它的燃料费用是每小时30元，其余费用(不论速度如何)都是每小时480元，如果甲、乙两地相距1000海里，求轮船从甲地行驶到乙地，所需的总费用与船速的函数关系，并问船速为多少时，总费用最低？

第三篇：九年级数学中考一轮复习教学案：第8课时 一次不等式(组)及其应用

第8课时 一次不等式（组）及其应用

【复习目标】

1．能根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义，探索并掌握不等式的基本性质． 2．能运用不等式的基本性质解一元一次不等式（组），能在数轴上表示一元一次不等式的解集，会用数轴确定一元一次不等式组的解集．

3．能根据具体问题中的数量关系列出一元一次不等式或一元一次不等式组，解决简单的实际问题．

【知识梳理】

1．不等式的相关概念：

(1)用“>”、“<”等不等号表示_______的式子，叫做不等式．(2)使不等式成立的_______的值叫做不等式的解．

(3)使不等式成立的未知数的_______叫做不等式的解集．

(4)求一个不等式的_______的过程或证明不等式无解的过程叫做解不等式． 2．不等式的性质：

3．一元一次不等式：只含有_______个未知数，且未知数的次数是_______的不等式． 4．一元一次不等式组：几个_______合在一起就组成一个一元一次不等式组．

一般地，几个不等式的解集_______，叫做由它们组成的不等式组的解集． 5．解一元一次不等式的基本步骤：(1)去分母．(2)________．(3)_ _______．(4)________．(5)系数化为1．

在(1)、(5)的变形中要注意不等式的性质2、3的正确使用．

6．求一元一次不等式组的解集，应先分别求出_______，再求出它们的_______部分，就得到一元一次不等式组的解集．

7．由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况(a

xa(1)的解集是x>b，即“大大取大”．，xb-1

－2

考点三 一次不等式（组）的解法

例3解不等式：5(x－2)＋8<6(x－1)＋7．

提示 本题是含括号的一元一次不等式，通过去括号、移项、合并同类项、系数化为1等不难求得不等式的解集．

x33x1①  例4解不等式组

2并把解集在数轴上表示出来．

② 13x18x提示 先求出每个不等式的解集，再找出解集的公共部分就是这个不等式组的解集．

考点四 确定不等式（组）的特殊解

x32x 例5解不等式组，并写出不等式组的整数解：

3x112x1提示 先确定不等式组的解集，然后确定整数解．

考点五 利用不等式（组）的解集确定字母的值或取值范围

① ②

1xa 例6 若关于x的不等式组有解，则a的取值范围是()

2x40 A．a≤3 B．a<3 C．a<2 D．a≤2 提示 已知不等式组有解，于是我们就先确定不等式组中每一个不等式的解集，再利用解集的意义确定实数a的取值范围． 考点六 一元一次不等式（组）的应用

例7 为响应市政府“创建国家森林城市”的号召，某小区计划购进A、B两种树苗共17棵，已知A种树苗每棵80元，B种树苗每棵60元．

(1)若购进A、B两种树苗刚好用去1 220元，问购进A、B两种树苗各多少棵？

(2)若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．

提示(1)假设购进A种树苗x棵，则购进B种树苗(17－x)棵，利用购进A、B两种树苗刚好用去1 220元，结合单价，得出方程求解即可；(2)根据购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，可找出最省方案．

2x33x5．解不等式组x3x11并求出它的整数解的和．

623

6．为了抓住梵净山文化艺术节的商机，某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，则需要950元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，则需要800元．

(1)购进A、B两种纪念品每件各需多少元？

(2)若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买100件纪念品的资金不少于7500元，但不超过7650元，则该商店共有几种进货方案？(3)若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第(2)问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？

第四篇：【趣味数学】高中数学 第2课时 函数中的趣题 份购房合同教学案 新人教版必修1

第2课时 函数中的趣题——

一份购房合同

教学要求：能利用一次函数及其图象解决简单的实际问题，发展学生数学应用能力.教学过程：

一、情境引入

最早把“函数”（function）这个词用作数学术语的数学家是莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Le，1646-1716，德国数学家），但其含义和现在不同，他把函数看成是“像曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长度、垂线长度等所有与曲线上的点有关的量”.1718年，瑞士数学家约翰。贝努利（John Bernoulli，1667-1748，欧拉的数学老师）将函数概念公式化，给出了函数的一个定义，同时第一次使用了“变量”这个词。他写到：“变量的函数就是变量和变量以任何方式组成的量。”他的学生，瑞士数学家欧拉（Leonard Euler，1707-1783，被称为历史上最“多产”的数学家）将约翰。贝努利的思想进一步解析化，他在《无限小分析引论》中将函数定义为：“变量的函数是一个由该变量与一些常数以任何方式组成的解析表达式”，欧拉的函数定义在18世纪后期占据了统治地位。

二、实例尝试，探求新知

例

1、陈老师急匆匆的找我看一份合同，是一份下午要签字的购房合同。内容是陈老师购买安居工程2集资房72m,单价为每平方米1000元，一次性国家财政补贴28800元，学校补贴14400元，余款由个人负担。房地产开发公司对教师实行分期付款，每期为一年，等额付款，分付10次，10年后付清，年利率为7.5%, 房地产开发公司要求陈老师每年付款4200元，但陈老师不知这个数是怎样的到的。同学们你们能帮陈老师算一算么？

解析：陈老师说自己到银行咨询，对方说算法是假设每一年付款为a元,那么10年后第一年付款的本利和为1.075a元，同样的方法算得第二年付款的本利和为1.075a元、第三年为1.075a元，…，第十年为a元，然后把这10个本利和加起来等于余额部分按年利率为7.5%计算10年的本利，即987101.075a+1.075a+1.075a+…+a =(72×1000-28800-14400)×1.075,解得的a的值即为每年应付的款额。他不能理解的是自己若按时付款，为何每期的付款还要计算利息？我说银行的算法是正确的。但不妨用这种方法来解释：假设你没有履行合同，即没有按年付每期的款额，且10年中一次都不付款，那么第一年应付的款额a元到第10年付款时，你不仅要付本金a元，还要付a元所产生的利息，共为1.075a元，同

87样，第二年应付的款额a元到第10年付款时应付金额为1.075a元，第三年为1.075a元，…，第十年为a元，而这十年中你一次都没付款，与你应付余款72×1000-28800-14400在10年后一次付清时的本息是98710相等的。仍得到1.075a+1.075a+1.075a+…+a =(72×1000-28800-14400)×1.075．用这种方法计算的a值即为你每年应付的款额。

例

2、经调查得知，若我们把每日租金定价为160元，则可客满；而租金每涨20元，就会失去3位客人。每间住了人的客房每日所需服务、维修等项支出共计40元。我们该如何定价才能赚最多的钱？

解析：日租金360元。虽然比客满价高出200元，因此失去30位客人，但余下的50位客人还是能给我们带来360*50=18000元的收入；扣除50间房的支出40*50=2000元，每日净赚16000元。而客满时净利润只有160*80-40*80=9600元

三、本课小结

通过本课学习我们认识到，生活是多面的，我们在研究一个问题时，可以多角度、多层次的思考，如若正面不行，亦可利用反面思考

四、作业

家用冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层．臭氧含量Q呈指数函数型变化，满足关系式

7QQ0e0.0025t，其中Q0是臭氧的初始量，t是所经过的时间． 1）随时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少？ 2）多少年后将会有一半的臭氧消失？

第五篇：2011年高一数学学案：2.2.3《对数函数及其性质的应用》(新人教A版必修1)

2.2.3对数函数的性质（性质的应用）

A(1)进一步熟练掌握对数函数的概念、图象和性质，设计对数型函数的定义域、值域、单调性等问题。(2)对于反函数，知道同底的对数函数与指数函数互为反函数

B通过问题的探究研讨，体会函数与方程的思想、体会类比的方法解题、体会数形结合的思想、体会对数函数的模型功能。

C进一步增强函数与方程意识，培养运用联系发展、变化的观点认识事物的本质，提高数学思维品质。

一、函数性质应用

例

1、已知函数f(x)loga(x1),g(x)loga(1x)(a0且a1)，（1）求函数f(x)g(x)的定义域；（2）判断f(x)g(x)的奇偶性，并说明理由；（3）探究f(x)g(x)在其定义域内的单调性。

解：

例

2、已知函数f(x)log4(2x3x2)，（1）求f(x)的定义域；（2）求f(x)的单调区间；（3）求f(x)的最大值，并求取得最大值时的x的值。

例3已知log0.7(2m)log0.7(m1)，求m的取值范围

例4求函数ylog2

二、反函数

对数函数ylogax(a0且a1)与指数函数ya(a0且a1)互为反函数，它们的图象关于直线y = x对称。试举例说明哪些函数是互为反函数并画出它们的图像

xxxlog2(x[1,8])的最大值和最小值。2

4三、函数图像的应用

例5：画出y = lg x的图象，作出y = | lg x | 和y = lg | x | 的图象，并解答以下问题： 函数y = lg | x |（）

（A）是偶函数，在区间（0，+∞）上单调递增（B）是偶函数，在区间（0，+∞）上单调递减（C）是奇函数，在区间（0，+∞）上单调递增（D）是奇函数，在区间上（0，+∞）单调递减 练习：将y = 2 x的图象（）

（A）先向左平移1个单位

（B）先向右平移1个单位（C）先向上平移1个单位

（D）先向下平移1个单位 再作关于直线y = x的对称图象，可得到y = log 2(x + 1)的图象。

四自我小结（总结本节课用到的数学方法和思想）