第一篇：【趣味数学】高中数学 第11课时 立体几何趣题 球在平面上的投影教学案 新人教版必修1
第11课时 立体几何趣题——
球在平面上的投影
教学要求：明白球在不同光照下的投影 教学过程：
放在水平面上的球与水平面切于点A，一束光线投射到球上，那么球的影子的轮廓是什么曲线?切点A与轮廓曲线的关系又是什么?
一、平行光线下球的投影
放在水平面上的半径为R的球与水平面切于点止，与水平面所成角为(90)的太阳光投射到球上，则球在水平面上的投影是以A为 一个焦点的椭圆．
分析：显然，当太阳光垂直于水平面，即90时，球在水平面上的投影是以为A圆心，R为半径的圆；当090时，球在水平面上的投影是以A为一个焦点的椭圆，如图1．
如图l所示，与球面相切的光线构成一个圆柱面，与球切于圆O，则光线在水平面上的投影，可以看成圆柱面与水平面的交线l1，设与水平面平行且与球相切的平面与球相切于点D，与圆柱面的交线为l2；P为l1上的任意一点，经过点P的光线为PP，(P，为光线
’
’
00PP与平面的交点)，且与球相切于点C，过点D作与光线平行的直线交水平面于点B，连’结PB,易知，PB=P'D=PC，PA=PC,即知PA+PB=PP’’，又PP
’ =
2Rsin为一定值，则知点P在以2RA,B为焦点，长轴长为sin的椭圆上，二、点光源下的球的投影
放在水平面上的半径为R的球与水平面切于点A，与水平面距离为h的点光源S(S在球面外)投射到球上，则球在水平面上的投影是以A为一个焦点的圆锥曲线或以A为圆心的圆，且其形状与大小与光源到水平面的距离h及SA与水平面所成角有关．
1．当过点S，球心O的直线与水平面垂时，此时必有h>2R．球在水平面上的投影是以球与水平面的切点为圆心的圆(图略)，2．当过点S、球心O的直线与水平面不垂直时．
①若h>2R，则球在水平面上的投影是以A为一个焦点的椭圆，如图2．
如图2所示，与球O相切的光线构成一个圆锥面．设切点的集合为圆O3；球O1与圆锥面及水平面都相切，与圆锥面的切点的集合为圆O2，与水平面的切点为B；P为球在水平面的投影线上的任意一点，过P的光线与球O、O1的切点分别为D，C，则有PC=PB、PD=PA，易知CD为两圆锥母线之差(为一定值)．即PA+PB=CD(定值)，所以，球在水平面上的投影是
以A、B为焦点的椭圆.②若h=2R,则球在水平面上的投影是以A为焦点的抛物线，如图3．
如图3所示，与球O相切的光线构成一个圆锥面．设切点的集合为圆Ol；
过S、O，A的平面与水平面交于AG；圆Ol所在的平面与水平面的交
线为L；P为球在水平面的投影线上的任意一点，过P与平行的平面与圆锥面交于圆O2所以，球在水平面上的投影是以A为焦点，L为准线的抛物线．
3若h<2R，则球在水平面上的投影是○以A为一个焦点的双曲线的一支，如图4．
如图4所示，与球O相切的光线构成一个圆 锥面．设切点的集合为圆02；球Ol与圆锥面及
水平面都相切，与圆锥面的切点的集合为圆03，与水平面的切点为月；户为球在水平面的投影线上的任意一点，过户的光线与球O、Ol的切点分 别为G、打，则有PH二PB、PG二PA，且易知GH为两圆锥母线之和(为一定值)．即PB-PA=CH(定值)，所以，球在水平面上的投影是以A,B为焦点的双曲线的一支．
三、小结：当平行光线与水平面垂直时，球 在光线的投射下的轮廓线是一个圆，且球与水平面的切点为这个圆的圆心，当平行光线与水平面不垂直时，球在光线下的投影是以球与 2
水平面的切点为一个焦点的椭圆．
当点光源S与球心的连线与水平面垂直时，球在光线下的投影是以球与水平面的切点为圆心的圆，当点光源与球心的连线与水平面不垂直时，球在光线下的投影是以球与水平面的切点为一个焦点的圆锥曲线．
第二篇：【趣味数学】高中数学 第11课时 立体几何趣题 球在平面上的投影教学案 新人教版必修1
第11课时 立体几何趣题—— 球在平面上的投影 教学要求：明白球在不同光照下的投影 教学过程： 放在水平面上的球与水平面切于点A，一束光线投射到球上，那么球的影子的轮廓是什么曲线?切点A与轮廓曲线的关系又是什么?
一、平行光线下球的投影 放在水平面上的半径为R的球与水平面切于点止，与水平面所成角为()的太阳光投射到球上，则球在水平面上的投影是以A为 一个焦点的椭圆． 分析：显然，当太阳光垂直于水平面，即时，球在00水平面上的投影是以为A圆心，R为半径的圆；当时，球在水平面上的投影是以A为一个焦点的椭圆，如图1． 如图l所示，与球面相切的光线构成一个圆柱面，与球切于圆O，则光线在水平面上的l投影，可以看成圆柱面与水平面的交线，设与水平面平行且与球相切的平面与球相切1ll’’于点D，与圆柱面的交线为；P为上的任意一点，经过点P的光线为PP，(P，为光线21’PP与平面的交点)，且与球相切于点C，过点D作与光线平行的直线交水平面于点B，连2R’’, ’ =结PB,易知，PB=P'D=PC，PA=PC,即知PA+PB=PP又PP为一定值，则知点P在以 sin2R A,B为焦点，长轴长为的椭圆上，二、点光源下的球的投影 放在水平面上的半径为R的球与水平面切于点A，与水平面距离为h的点光源S(S在球面外)投射到球上，则球在水平面上的投影是以A为一个焦点的圆锥曲线或以A为圆心的圆，且其形状与大小与光源到水平面的距离h及SA与水平面所成角有关． 1．当过点S，球心O的直线与水平面垂时，此时必有h>2R．球在水平面上的投影是以球与 水平面的切点为圆心的圆(图略)，2．当过点S、球心O的直线与水平面不垂直时．
①若h>2R，则球在水平面上的投影是以A为一个焦点的椭圆，如图2． 1
OOO如图2所示，与球相切的光线构成一个圆锥面．设切点的集合为圆；球与圆13O锥面及水平面都相切，与圆锥面的切点的集合为圆，与水平面的切点为B；P为球在水平2O面的投影线上的任意一点，过P的光线与球O、的切点分别为D，C，则有PC=PB、PD=PA，1易知CD为两圆锥母线之差(为一定值)．即PA+PB=CD(定值)，所以，球在水平面上的投影是以A、B为焦点的椭圆.②若h=2R,则球在水平面上的投影是以A为焦点的抛物线，如图3． 如图3所示，与球O相切的光线构成一个圆锥面．设切点的集合为圆Ol； 过S、O，A的平面与水平面交于AG；圆Ol所在的平面与水平面的交线为L；P为球在水平面的投影线上的任意一点，过P与平行的平面与圆圆O锥面交于所以，球在水平面上的2投影是以A为焦点，L为准线的抛物线．
3若h<2R，则球在水平面上的投影是○以A为一个焦点的双曲线的一支，如图4． 如图4所示，与球O相切的光线构成一个圆 锥面．设切点的集合为圆02；球Ol与圆锥面及
水平面都相切，与圆锥面的切点的集合为圆03，与水平面的切点为月；户为球在水平面的投影线上的任意一点，过户的光线与球O、Ol的切点分 别为G、打，则有PH二PB、PG二PA，且易知GH为两圆锥母线之和(为一定值)．即PB-PA=CH(定值)，所以，球在水平面上的投影是以A,B为焦点的双曲线的一支．
三、小结：当平行光线与水平面垂直时，球 在光线的投射下的轮廓线是一个圆，且球与水平面的切点为这个圆的圆心，当平行光线与水平面不垂直时，球在光线下的投影是以球与 2 水平面的切点为一个焦点的椭圆．
当点光源S与球心的连线与水平面垂直时，球在光线下的投影是以球与水平面的切点为圆心的圆，当点光源与球心的连线与水平面不垂直时，球在光线下的投影是以球与水平面的切点为一个焦点的圆锥曲线． 3
第三篇：高中数学《指数函数》教案1 新人教A版必修1
3.1.2指数函数
（二）教学目标：巩固指数函数的概念和性质 教学重点：指数函数的概念和性质 教学过程：
本节课为习题课,可分以下几个方面加以练习: 备选题如下:
1、关于定义域
x（1）求函数f(x)=11的定义域
9（2）求函数y=1x的定义域
51x1（3）函数f(x)=3－x－1的定义域、值域是……()
A.定义域是R，值域是R
B.定义域是R，值域是(0，+∞) C.定义域是R，值域是(－1，+∞) D.以上都不对（4）函数y=1x的定义域是______ 5x11(5)求函数y=ax1的定义域(其中a＞0且a≠1)
2、关于值域
（1）当x∈［－2,0］时，函数y=3x+1－2的值域是______（2）求函数y=4x+2x+1+1的值域.（3）已知函数y=4x－3·2x+3的值域为［7,43］，试确定x的取值范围.(4).函数y=3x3x1的值域是() A.(0，+∞)
B.(－∞,1) C.(0,1)
D.(1,+∞)
(5)函数y=0.25x22x12的值域是______,单调递增区间是______.3、关于图像
用心 爱心 专心 1
（1）要得到函数y=8·2－x的图象，只需将函数y=(12)x的图象()
A.向右平移3个单位
B.向左平移3个单位 C.向右平移8个单位
D.向左平移8个单位
（2）函数y=|2x－2|的图象是()
（3）当a≠0时，函数y=ax+b和y=bax的图象只可能是()
（4）当0 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 （5）若函数y=a2x+b+1(a>0且a≠1,b为实数)的图象恒过定点(1，2)，则b=______.（6）已知函数y=(12)|x+2|. ①画出函数的图象； ②由图象指出函数的单调区间并利用定义证明.(7)设a、b均为大于零且不等于1的常数，下列命题不是真命题的是() 用心 爱心 专心 A.y=a的图象与y=a的图象关于y轴对称 B.若y=a的图象和y=b的图象关于y轴对称，则ab=1 C.若a2x－xxx>a22－1,则a>1 ,则a>b D.若a>b 24、关于单调性 （1）若－1 A.5－x<5x<0.5x C.5<5<0.5x－xx B.5x<0.5x<5－x D.0.5<5<5 x－xx（2）下列各不等式中正确的是() A.()3()3()3 252C.()3()3()3 52212121211 B.()3()3()3 225 D.()3()3()3 *** 1211(x+1)(3－x)（3）.函数y=(2－1)的单调递增区间是() A.(1，+∞)C.(1，3) B.(－∞，1) D.(－1，1) (4).函数y=()2xxx2为增函数的区间是() (5)函数f(x)=a－3a+2(a>0且a≠1)的最值为______.(6)已知y=(数.(7)比较52x12x12)xx22+1，求其单调区间并说明在每一单调区间上是增函数还是减函与5x22的大小 5、关于奇偶性 （1）已知函数f(x)= m21x2x为奇函数，则m的值等于_____ 11（1）如果82 x2x=4，则x=____ 用心 爱心 专心 3 6阶段检测题: 可以作为课后作业: 1.如果函数y=ax(a>0,a≠1)的图象与函数y=bx(b>0,b≠1)的图象关于y轴对称，则有 A.a>b B.a 3(3x－1)(2x+1) ≥1}，则集合M、N的关系是 B.MN D.MN 3.下列说法中，正确的是 ①任取x∈R都有3x>2x ②当a>1时，任取x∈R都有ax>a－x ③y=(3)－x是增函数 ④y=2|x|的最小值为1 ⑤在同一坐标系中，y=2x与y=2－x的图象对称于y轴 A.①②④ C.②③④ B.④⑤ D.①⑤ 4.下列函数中，值域是(0,+∞)的共有 ①y=31 ②y=(A.1个 x1)③y=1()④y=3x B.2个 x11xC.3个 D.4个 5.已知函数f(x)=a1－x(a>0,a≠1)，当x>1时恒有f(x)<1,则f(x)在R上是 A.增函数 B.减函数 C.非单调函数 D.以上答案均不对 二、填空题(每小题2分，共10分)6.在同一坐标系下，函数y=ax,y=bx,y=cx,y=dx的图象如下图，则a、b、c、d、1之间从小到大的顺序是__________.用心 爱心 专心 4 7.函数y=ax1的定义域是(－∞,0］，则a的取值范围是__________.8.函数y=2x+k－1(a>0,a≠1)的图象不经过第四象限的充要条件是__________.9.若点(2，14)既在函数y=2ax+b的图象上，又在它的反函数的图象上，a=________,b=________.10.已知集合M={x|2x2+x≤(14) x－ 2,x∈R}，则函数y=2x的值域是__________.三、解答题(共30分)11.(9分)设A=am+a－m，B=an+a－n(m＞n＞0，a＞0且a≠1)，判断A，B的大小.12.(10分)已知函数f(x)=a－ 22x1(a∈R)，求证：对任何a∈R,f(x)为增函数.x1213.(11分)设0≤x≤2，求函数y=42a2xa21的最大值和最小值.课堂练习：（略）小结： 课后作业：（略） 用心 爱心 专心 则 数学归纳法的典型例题分析 例1 用数学归纳法证明等式 时所有自然数 都成立。 证明（1）当 （2）假设当 时，左式，右式 时等式成立，等式成立。 即 则 则 时，等式也成立。 均成立。 时等式成立时，注意分析 与的两 由（1）（2）可知，等式对 评述 在利用归纳假设论证 个等式的差别。 变到 时，等式左边增加两项，右边增加一项，而且右式的首项由 应与 合并，才能得到所证式。因而，因此在证明中，右式中的在论证之前，把 时等式的左右两边的结构先作一分析是有效的。 用心爱心专心 1 由例1可以看出，在数学归纳法证明过程中，要把握好两个关键之外：一是 系；二是 与的关系。 与 的关 例2 用数学归纳法证明 对任意自然数，证明（ⅰ）当 时，能被17整除，命题成立。 （ⅱ）设 则 时，由归纳假设，能被17整除，也能被17整除，所以 都能被17整除。 用 表示。上例中的能被17整除。 时，能被17整除。 都能被17整除。 由（ⅰ）（ⅱ）可知，对任意 评述 用数学归纳法证明整除问题，常常把 还可写成，易知它能被17整除。例3 用数学归纳法证明 … 用心爱心专心 2 证明（ⅰ）当 时，左式 右式 ∵ ∴ 即 时，原不等式成立。 （ⅱ）假设 （）时，不等式成立，即 则 时，左边 右边 要证左边 右边 只要证 只要证 只要证 而上式显然成立，所以原不等式成立。即 时，左式 右式 由（ⅰ）（ⅱ）可知，原不等式对大于1的自然数均成立。用心爱心专心 3 评述 用数学归纳法证明不等式时，应分析 与的两个不等式，找出证明的关键点（一般要利用不等式的传递性），然后再综合运用不等式的方法。如上题，关键是证明不等式 。除了分析法，还可以用比较法和放缩法来解决。 例4 在数列 中，若它的前 项和 （） 1）计算，，； 2）猜想的表达式，并用数学归纳法证明你的结论。 解（1）由题意，即 ∴ 即 ∴ 即 ∴ ∴ （2）猜想 证明 ⅰ） 时，命题成立。 ⅱ）假设 时，命题成立，即 当 时，∴ 用心爱心专心 4 又 因而 解得 即 时，命题也成立。 由ⅰ）ⅱ）可知，命题对 均成立。 用心爱心 专心5 第9课时 不等式性质应用趣题― 均值不等式的应用 教学要求：了解均值不等式在日常生活中的应用 教学过程： 一、情境引入； 日常生活中常用的不等式有：一元一次不等式、一元二次不等式和平均值不等式。前两类不等式的应用与其对应函数及方程的应用如出一辙，而平均值不等式在生产生活中起到了不容忽视的作用。下面，我主要谈一下均值不等式和均值定理的应用。 在生产和建设中，许多与最优化设计相关的实际问题通常可应用平均值不等式来解决。平均值不等式知识在日常生活中的应用，笔者虽未亲身经历，但从电视、报纸等新闻媒体及我们所做的应用题中不难发现，均值不等式和极值定理通常可有如下几方面的极其重要的应用：（表后重点分析“包装罐设计”问题）实践活动 已知条件 最优方案 解决办法 设计花坛绿地 周长或斜边 面积最大 极值定理一 经营成本 各项费用单价及销售量 成本最低 函数、极值定理二 车船票价设计 航行里程、限载人数、票价最低 用极值定理二求出 速度、各项费用及相应 最低成本，再由此 比例关系 计算出最低票价 （票价=最低票价+ +平均利润）例 1、包装罐设计问题 1、“白猫”洗衣粉桶 “白猫”洗衣粉桶的形状是等边圆柱（如右图所示），若容积一定且底面与侧面厚度一样，问高与底面半径是 什么关系时用料最省（即表面积最小）？ 分析：容积一定=>лr h=V（定值） =>S=2лr +2лrh=2л(r +rh)= 2л(r +rh/2+rh/2)≥2л3(r h)/4 =3 2лV(当且仅当r =rh/2=>h=2r时取等号), ∴应设计为h=d的等边圆柱体.例 2、“易拉罐”问题 圆柱体上下第半径为R,高为h，若体积为定值V,且上下底 厚度为侧面厚度的二倍，问高与底面半径是什么关系时用料最 省（即表面积最小）？ 分析：应用均值定理，同理可得h=2d（计算过程请读者自己 写出,本文从略）∴应设计为h=2d的圆柱体.第四篇：高中数学《数学归纳法》学案1 新人教A版选修2-2
第五篇：【趣味数学】高中数学 第9课时 不等式性质应用趣题-均值不等式的应用教学案 新人教版必修1[范文]
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