【趣味数学】高中数学 第2课时 函数中的趣题 份购房合同教学案 新人教版必修1

第一篇：【趣味数学】高中数学 第2课时 函数中的趣题 份购房合同教学案 新人教版必修1

第2课时 函数中的趣题——

一份购房合同

教学要求：能利用一次函数及其图象解决简单的实际问题，发展学生数学应用能力.教学过程：

一、情境引入

最早把“函数”（function）这个词用作数学术语的数学家是莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Le，1646-1716，德国数学家），但其含义和现在不同，他把函数看成是“像曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长度、垂线长度等所有与曲线上的点有关的量”.1718年，瑞士数学家约翰。贝努利（John Bernoulli，1667-1748，欧拉的数学老师）将函数概念公式化，给出了函数的一个定义，同时第一次使用了“变量”这个词。他写到：“变量的函数就是变量和变量以任何方式组成的量。”他的学生，瑞士数学家欧拉（Leonard Euler，1707-1783，被称为历史上最“多产”的数学家）将约翰。贝努利的思想进一步解析化，他在《无限小分析引论》中将函数定义为：“变量的函数是一个由该变量与一些常数以任何方式组成的解析表达式”，欧拉的函数定义在18世纪后期占据了统治地位。

二、实例尝试，探求新知

例

1、陈老师急匆匆的找我看一份合同，是一份下午要签字的购房合同。内容是陈老师购买安居工程2集资房72m,单价为每平方米1000元，一次性国家财政补贴28800元，学校补贴14400元，余款由个人负担。房地产开发公司对教师实行分期付款，每期为一年，等额付款，分付10次，10年后付清，年利率为7.5%, 房地产开发公司要求陈老师每年付款4200元，但陈老师不知这个数是怎样的到的。同学们你们能帮陈老师算一算么？

解析：陈老师说自己到银行咨询，对方说算法是假设每一年付款为a元,那么10年后第一年付款的本利和为1.075a元，同样的方法算得第二年付款的本利和为1.075a元、第三年为1.075a元，…，第十年为a元，然后把这10个本利和加起来等于余额部分按年利率为7.5%计算10年的本利，即987101.075a+1.075a+1.075a+…+a =(72×1000-28800-14400)×1.075,解得的a的值即为每年应付的款额。他不能理解的是自己若按时付款，为何每期的付款还要计算利息？我说银行的算法是正确的。但不妨用这种方法来解释：假设你没有履行合同，即没有按年付每期的款额，且10年中一次都不付款，那么第一年应付的款额a元到第10年付款时，你不仅要付本金a元，还要付a元所产生的利息，共为1.075a元，同

87样，第二年应付的款额a元到第10年付款时应付金额为1.075a元，第三年为1.075a元，…，第十年为a元，而这十年中你一次都没付款，与你应付余款72×1000-28800-14400在10年后一次付清时的本息是98710相等的。仍得到1.075a+1.075a+1.075a+…+a =(72×1000-28800-14400)×1.075．用这种方法计算的a值即为你每年应付的款额。

例

2、经调查得知，若我们把每日租金定价为160元，则可客满；而租金每涨20元，就会失去3位客人。每间住了人的客房每日所需服务、维修等项支出共计40元。我们该如何定价才能赚最多的钱？

解析：日租金360元。虽然比客满价高出200元，因此失去30位客人，但余下的50位客人还是能给我们带来360*50=18000元的收入；扣除50间房的支出40*50=2000元，每日净赚16000元。而客满时净利润只有160*80-40*80=9600元

三、本课小结

通过本课学习我们认识到，生活是多面的，我们在研究一个问题时，可以多角度、多层次的思考，如若正面不行，亦可利用反面思考

四、作业

家用冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层．臭氧含量Q呈指数函数型变化，满足关系式

7QQ0e0.0025t，其中Q0是臭氧的初始量，t是所经过的时间． 1）随时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少？ 2）多少年后将会有一半的臭氧消失？

第二篇：【趣味数学】高中数学 第9课时 不等式性质应用趣题-均值不等式的应用教学案 新人教版必修1[范文]

第9课时 不等式性质应用趣题―

均值不等式的应用

教学要求：了解均值不等式在日常生活中的应用

教学过程：

一、情境引入；

日常生活中常用的不等式有：一元一次不等式、一元二次不等式和平均值不等式。前两类不等式的应用与其对应函数及方程的应用如出一辙，而平均值不等式在生产生活中起到了不容忽视的作用。下面，我主要谈一下均值不等式和均值定理的应用。

在生产和建设中，许多与最优化设计相关的实际问题通常可应用平均值不等式来解决。平均值不等式知识在日常生活中的应用，笔者虽未亲身经历，但从电视、报纸等新闻媒体及我们所做的应用题中不难发现，均值不等式和极值定理通常可有如下几方面的极其重要的应用：（表后重点分析“包装罐设计”问题）实践活动 已知条件 最优方案 解决办法

设计花坛绿地 周长或斜边 面积最大 极值定理一

经营成本 各项费用单价及销售量 成本最低 函数、极值定理二 车船票价设计 航行里程、限载人数、票价最低 用极值定理二求出 速度、各项费用及相应 最低成本，再由此 比例关系 计算出最低票价

（票价=最低票价+ +平均利润）例

1、包装罐设计问题

1、“白猫”洗衣粉桶

“白猫”洗衣粉桶的形状是等边圆柱（如右图所示），若容积一定且底面与侧面厚度一样，问高与底面半径是 什么关系时用料最省（即表面积最小）？ 分析：容积一定=>лr h=V（定值）

=>S=2лr +2лrh=2л(r +rh)= 2л(r +rh/2+rh/2)≥2л3(r h)/4 =3 2лV(当且仅当r =rh/2=>h=2r时取等号), ∴应设计为h=d的等边圆柱体.例

2、“易拉罐”问题

圆柱体上下第半径为R,高为h，若体积为定值V,且上下底 厚度为侧面厚度的二倍，问高与底面半径是什么关系时用料最 省（即表面积最小）？

分析：应用均值定理，同理可得h=2d（计算过程请读者自己 写出,本文从略）∴应设计为h=2d的圆柱体.

第三篇：【趣味数学】高中数学 第11课时 立体几何趣题 球在平面上的投影教学案 新人教版必修1

第11课时 立体几何趣题——

球在平面上的投影

教学要求：明白球在不同光照下的投影 教学过程：

放在水平面上的球与水平面切于点A，一束光线投射到球上，那么球的影子的轮廓是什么曲线?切点A与轮廓曲线的关系又是什么?

一、平行光线下球的投影

放在水平面上的半径为R的球与水平面切于点止，与水平面所成角为(90)的太阳光投射到球上，则球在水平面上的投影是以A为 一个焦点的椭圆．

分析：显然，当太阳光垂直于水平面，即90时，球在水平面上的投影是以为A圆心，R为半径的圆；当090时，球在水平面上的投影是以A为一个焦点的椭圆，如图1．

如图l所示，与球面相切的光线构成一个圆柱面，与球切于圆O，则光线在水平面上的投影，可以看成圆柱面与水平面的交线l1，设与水平面平行且与球相切的平面与球相切于点D，与圆柱面的交线为l2；P为l1上的任意一点，经过点P的光线为PP，(P，为光线

’

’

00PP与平面的交点)，且与球相切于点C，过点D作与光线平行的直线交水平面于点B，连’结PB,易知，PB=P'D=PC，PA=PC,即知PA+PB=PP’’，又PP

’ =

2Rsin为一定值，则知点P在以2RA,B为焦点，长轴长为sin的椭圆上，二、点光源下的球的投影

放在水平面上的半径为R的球与水平面切于点A，与水平面距离为h的点光源S(S在球面外)投射到球上，则球在水平面上的投影是以A为一个焦点的圆锥曲线或以A为圆心的圆，且其形状与大小与光源到水平面的距离h及SA与水平面所成角有关．

1．当过点S，球心O的直线与水平面垂时，此时必有h>2R．球在水平面上的投影是以球与水平面的切点为圆心的圆(图略)，2．当过点S、球心O的直线与水平面不垂直时．

①若h>2R，则球在水平面上的投影是以A为一个焦点的椭圆，如图2．

如图2所示，与球O相切的光线构成一个圆锥面．设切点的集合为圆O3；球O1与圆锥面及水平面都相切，与圆锥面的切点的集合为圆O2，与水平面的切点为B；P为球在水平面的投影线上的任意一点，过P的光线与球O、O1的切点分别为D，C，则有PC=PB、PD=PA，易知CD为两圆锥母线之差(为一定值)．即PA+PB=CD(定值)，所以，球在水平面上的投影是

以A、B为焦点的椭圆.②若h=2R,则球在水平面上的投影是以A为焦点的抛物线，如图3．

如图3所示，与球O相切的光线构成一个圆锥面．设切点的集合为圆Ol；

过S、O，A的平面与水平面交于AG；圆Ol所在的平面与水平面的交

线为L；P为球在水平面的投影线上的任意一点，过P与平行的平面与圆锥面交于圆O2所以，球在水平面上的投影是以A为焦点，L为准线的抛物线．

3若h<2R，则球在水平面上的投影是○以A为一个焦点的双曲线的一支，如图4．

如图4所示，与球O相切的光线构成一个圆 锥面．设切点的集合为圆02；球Ol与圆锥面及

水平面都相切，与圆锥面的切点的集合为圆03，与水平面的切点为月；户为球在水平面的投影线上的任意一点，过户的光线与球O、Ol的切点分 别为G、打，则有PH二PB、PG二PA，且易知GH为两圆锥母线之和(为一定值)．即PB-PA=CH(定值)，所以，球在水平面上的投影是以A,B为焦点的双曲线的一支．

三、小结：当平行光线与水平面垂直时，球 在光线的投射下的轮廓线是一个圆，且球与水平面的切点为这个圆的圆心，当平行光线与水平面不垂直时，球在光线下的投影是以球与 2

水平面的切点为一个焦点的椭圆．

当点光源S与球心的连线与水平面垂直时，球在光线下的投影是以球与水平面的切点为圆心的圆，当点光源与球心的连线与水平面不垂直时，球在光线下的投影是以球与水平面的切点为一个焦点的圆锥曲线．

第四篇：【趣味数学】高中数学 第11课时 立体几何趣题 球在平面上的投影教学案 新人教版必修1

第11课时 立体几何趣题—— 球在平面上的投影 教学要求：明白球在不同光照下的投影 教学过程： 放在水平面上的球与水平面切于点A，一束光线投射到球上，那么球的影子的轮廓是什么曲线?切点A与轮廓曲线的关系又是什么?

一、平行光线下球的投影 放在水平面上的半径为R的球与水平面切于点止，与水平面所成角为()的太阳光投射到球上，则球在水平面上的投影是以A为 一个焦点的椭圆． 分析：显然，当太阳光垂直于水平面，即时，球在00水平面上的投影是以为A圆心，R为半径的圆；当时，球在水平面上的投影是以A为一个焦点的椭圆，如图1． 如图l所示，与球面相切的光线构成一个圆柱面，与球切于圆O，则光线在水平面上的l投影，可以看成圆柱面与水平面的交线，设与水平面平行且与球相切的平面与球相切1ll’’于点D，与圆柱面的交线为；P为上的任意一点，经过点P的光线为PP，(P，为光线21’PP与平面的交点)，且与球相切于点C，过点D作与光线平行的直线交水平面于点B，连2R’’, ’ =结PB,易知，PB=P'D=PC，PA=PC,即知PA+PB=PP又PP为一定值，则知点P在以 sin2R A,B为焦点，长轴长为的椭圆上，二、点光源下的球的投影 放在水平面上的半径为R的球与水平面切于点A，与水平面距离为h的点光源S(S在球面外)投射到球上，则球在水平面上的投影是以A为一个焦点的圆锥曲线或以A为圆心的圆，且其形状与大小与光源到水平面的距离h及SA与水平面所成角有关． 1．当过点S，球心O的直线与水平面垂时，此时必有h>2R．球在水平面上的投影是以球与 水平面的切点为圆心的圆(图略)，2．当过点S、球心O的直线与水平面不垂直时．

①若h>2R，则球在水平面上的投影是以A为一个焦点的椭圆，如图2． 1

OOO如图2所示，与球相切的光线构成一个圆锥面．设切点的集合为圆；球与圆13O锥面及水平面都相切，与圆锥面的切点的集合为圆，与水平面的切点为B；P为球在水平2O面的投影线上的任意一点，过P的光线与球O、的切点分别为D，C，则有PC=PB、PD=PA，1易知CD为两圆锥母线之差(为一定值)．即PA+PB=CD(定值)，所以，球在水平面上的投影是以A、B为焦点的椭圆.②若h=2R,则球在水平面上的投影是以A为焦点的抛物线，如图3． 如图3所示，与球O相切的光线构成一个圆锥面．设切点的集合为圆Ol； 过S、O，A的平面与水平面交于AG；圆Ol所在的平面与水平面的交线为L；P为球在水平面的投影线上的任意一点，过P与平行的平面与圆圆O锥面交于所以，球在水平面上的2投影是以A为焦点，L为准线的抛物线．

3若h<2R，则球在水平面上的投影是○以A为一个焦点的双曲线的一支，如图4． 如图4所示，与球O相切的光线构成一个圆 锥面．设切点的集合为圆02；球Ol与圆锥面及

水平面都相切，与圆锥面的切点的集合为圆03，与水平面的切点为月；户为球在水平面的投影线上的任意一点，过户的光线与球O、Ol的切点分 别为G、打，则有PH二PB、PG二PA，且易知GH为两圆锥母线之和(为一定值)．即PB-PA=CH(定值)，所以，球在水平面上的投影是以A,B为焦点的双曲线的一支．

三、小结：当平行光线与水平面垂直时，球 在光线的投射下的轮廓线是一个圆，且球与水平面的切点为这个圆的圆心，当平行光线与水平面不垂直时，球在光线下的投影是以球与 2 水平面的切点为一个焦点的椭圆．

当点光源S与球心的连线与水平面垂直时，球在光线下的投影是以球与水平面的切点为圆心的圆，当点光源与球心的连线与水平面不垂直时，球在光线下的投影是以球与水平面的切点为一个焦点的圆锥曲线． 3

第五篇：高中数学：2.1.4《函数的奇偶性》教案(新人教B必修1)

2.1.4 函数的奇偶性 学案

【预习要点及要求】 1.函数奇偶性的概念；

2.由函数图象研究函数的奇偶性； 3.函数奇偶性的判断；

4.能运用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性； 5.理解函数的奇偶性。【知识再现】

1.轴对称图形：

2中心对称图形： 【概念探究】

1、画出函数f(x)x，与g(x)x的图像；并观察两个函数图像的对称性。

2、求出x3，x2，x

结论：f(x)f(x)，g(x)g(x)。

3、奇函数：___________________________________________________

4、偶函数：______________________________________________________ 【概念深化】（1）、强调定义中“任意”二字，奇偶性是函数在定义域上的整体性质。（2）、奇函数偶函数的定义域关于原点对称。

5、奇函数与偶函数图像的对称性：

如果一个函数是奇函数，则这个函数的图像是以坐标原点为对称中心的__________。反之，如果一个函数的图像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是___________。

如果一个函数是偶函数，则这个函数的图像是以y轴为对称轴的__________。反之，如果一个函数的图像是关于y轴对称，则这个函数是___________。

6.根据函数的奇偶性，函数可以分为____________________________________.【例题解析】

例1．已知f(x)是奇函数，且当x0时，f(x)x2x，求当x0时f(x)的表达式

例2．设为实数，函数f(x)x|xa|1,xR，讨论f(x)的奇偶性

参考答案：

例1．解：设x0,则x0，f(x)(x)2(x)x2x，又因为f(x)为奇函数，2222321时的函数值，写出f(x)，g(x)。2 f(x)f(x)，f(x)(x2x)x2x

当x0时f(x)x2x

评析：在哪个区间上求解析式，x就设在哪个区间上，然后要利用已知区间的解析式进行代入，利用f(x)的奇偶性，把f(x)写成f(x)或f(x)，从而解出f(x)

例2．解：当a0时，f(x)(x)|x|1x|x|1f(x)，所以f(x)为偶函数

当a0时，f(a)a1,f(a)a2|a|

1此时函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数

评析：对于参数的不同取值函数的奇偶性不同，因而需对参数进行讨论 达标练习：

一、选择题

1、函数f(x)x22222222x的奇偶性是（）

A．奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数

2、函数yf(x)是奇函数，图象上有一点为(a,f(a))，则图象必过点（）

A．(a,f(a))B.(a,f(a))C.(a,f(a))D.(a,二、填空题：

1)f(a)

3、f(x)为R上的偶函数，且当x(,0)时，f(x)x(x1)，则当x(0,)时，f(x)___________.4、函数f(x)为偶函数，那么f(x)与f(|x|)的大小关系为 __.三、解答题：

5、已知函数f(x)是定义在R上的不恒为0的函数，且对于任意的a,bR，都有f(ab)af(b)bf(a)

（1）、求f(0),f(1)的值；

（2）、判断函数f(x)的奇偶性，并加以证明。= 参考答案：

1、C；

2、C；

3、x(x+1)；

4、相等； 5.(1)f(0)f(00)0f(0)0f(0)0f(1)f(11)f(1)f(1),f(1)0(2)f(1)f[(1)2]f(1)f(1)0f(1)0,f(x)f(1x)f(x)f(1)f(x)f(x)为奇函数.课堂练习：教材第49页 练习A、第50页 练习B 小结：本节课学习了那些内容？ 请同学们自己总结一下。课后作业：第52页习题2-1A第6、7题