110909用向量的方法来证明线线垂直（精选合集）

第一篇：110909用向量的方法来证明线线垂直

广州艺术学校美术绘画专业3708855611-09-09

用向量的方法来处理线线垂直

异面的线线垂直通常都要化成线线垂直，但是很多学生不清楚应该找哪一个线面垂直，用向量的方法就避免了找的过程。

1、在三棱锥V-ABC中，VA=VC，AB=BC，求证VB⊥AC

证明：（1）建立向量：设ABa，ACb，AVc

1VA=VC：（2）翻译条件：○VCVAACcb，得

|c||cb|化简得：___________________________________

AB=BC：BCBAACba，得○

_____________，化简得_______________________________________

（3）翻译结论：VB⊥AC：VBVAABca，要证明：(ca)b0

计算过程：

2、（同上题）在三棱锥V-ABC中，VA=VC，AB=BC，求证VB⊥AC

证明：设BAa，BCb，BVc3、在三棱锥A—BCD中，AB⊥平面BCD，DC=DB，E为BC中点，求证：AC⊥DE；

证明：（1）建立向量：设BDa，BCb，BAcAB⊥平面翻译条件：○BCD：ca,cb，得ca0,cb0DC=DB：○DCDBBCab，得：|ab||a|

化简得：_______________________________E○11为BC中点：BEECBCb 2

2翻译结论：AC⊥DE：ACABBCcb

1DEDBBEab 21要证明：(cb)(ab)0 2

计算过程：

4、如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB60，AB2AD，PD底面ABCD．证明：PABD；

证明：设设DAa，DCb，DPc

1底面翻译条件：○ABCD为平行四边形：ABDCb

02DAB60：ADAB|AD||AB|cos60= ○

3○AB2AD：|b|2|a|

4PD底面ABCD：_________________________________________ ○

翻译结论：

5、如图，在三棱锥PABC中，⊿PAB是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90 º

证明：AB⊥PC6、如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA。OC⊥OB，∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1，P为AC的中点，Q在AB上且AB=3AQ，证明：PQ⊥OA；

7、如图5.在椎体P-ABCD中，ABCD是边长为1的棱形，且∠DAB=60，PAPDE是BCC的中点.证明：（1）AD⊥DE（2）AD⊥PB8、已知在三棱锥S--ABC中，BC⊥平面SAC，AD⊥SC于D，求证：AD⊥SB

证明：（1）建立向量：设CAa，CBb，CScBC⊥平面SAC：_______________________________ 翻译条件：○



2AD⊥SC：ADACCDakc（不知道D点位于SC什么位置）○

得：___________________________________

翻译结论：AD⊥SB：SBSCCBcb

要证明： ______________________________________

第二篇：第二节用空间向量证明线线垂直与线面垂直

第二节用空间向量证明线线垂直与线面垂直

一、空间向量及其数量积

1、在空间，既有大小又有方向的量称为空间向量。用AB或a表示，其中向量的大小称为向量的长度或

或a。正如平面向量可用坐标(x,y.)表示，空间向量也可用坐标(x,y,z)表示。若已知点A坐标为（x1，y1，z1）,点B坐标为（x2，y2，z2）则向量AB=（x2-x1，y2-y1，z2-z1）即是终点坐标减起点坐标。222在空间，知道向量=（x，y，z

xyz 

2、空间向量数量积

① 已知两个非零向量a、b，在空间任取一点O，作OA=a，OB=b，则角∠AOB叫向量a与b的夹角，记作＜a，b＞规定，若0≤＜a，b＞≤，若＜a，b＞=

⊥。

② 已知空间两个向量a、b

COS＜a，b＞叫向量a、b的数量积，记作ab

COS＜，＞若⊥a＝０

③ 若已知空间向量a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2）则ab＝x1x2+y1y2+z1z2，COS＜a，，称a与b垂直，记作a2

x1x2y1y2z1z

2x1y1z1x2y2z2222222

例１ 如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=900,D1、E1分别为A1B1、A1C1中点，若BC=CA=CC1，求向BD1与AE1所成角的余弦值。

B

D1 1Ｃ

6练习：已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，B1E1=D1F1=

F

C1B

1C

DB

二、利用向量证线线垂直与线面垂直

A1B

1，求向量BE1与DF1所成角的余弦值。

4例2 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求证A1C⊥平面AB1D1

CC

练习：在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P为DD1的中点，求证：B1O⊥平面PAC。

A

例3 如图，PA⊥矩形ABCD所在平面，M, N分别是AB ,PC中点（1）求证：MN⊥CD

（2）若∠PDA=45，求证：MN⊥平面PCD

6N M

B

C

练习：正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是棱D1D中点，N是AD中点，P为棱A1B1上任一点。求证：NP⊥AM

作业：

A1

C1

M C 1.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是BB1中点，O是底面ABCD中心，求证：OE⊥平面D1AC.2.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，O ,M分别是BD1, AA1中点，求证：OM是异面直线AA1和BD1的公垂线.DA13、如图，直三棱柱ABC-—A1B1C1中，∠ACB=90，AC=1，CB=2，侧棱AA1=1，侧面AA1B1B的两

条对角线交点为D，B1C1的中点为M。求证：CD⊥平面BDM

6AB B1

4在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB和BC的中点，M为棱B1B

上任一点，当

B1M

值为多少时能使D1M⊥平面EFB1 MB

A

E5、如图，ABC为正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2a，CD=a，F为BE中点，求证：AF⊥BD

C

A6、如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中B1C1=A1C1，A1B⊥AC1。求证：A1B⊥B1C

Ａ

Ａ111

第三篇：A 证明线线平行的方法

A 证明线线平行的方法：

①面面平行的判定：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

②线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和两平面的交线平行。③平行线的定义：在同一平面内不相交的两条直线。

④基本性质四：平行于同一直线的两直线互相平行。

B 证明线面平行的方法：

①面面平行的性质：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

②线面平行的性质：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

③定义：直线a与平面ａ没有公共点，则直线与平面平行。

C 证明面面平行的方法：

①定义：如果两个平面没有公共点，则这两个平面互相平行。②面面平行的判定：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

③面面平行的性质：如果一个平面内有两条直线分别平行于另一个平面的两条直线，则这两个平面平行。

第四篇：《用向量讨论垂直与平行》说课稿

作为一名默默奉献的教育工作者，可能需要进行说课稿编写工作，编写说课稿助于积累教学经验，不断提高教学质量。那么优秀的说课稿是什么样的呢？下面是小编为大家收集的《用向量讨论垂直与平行》说课稿，仅供参考，大家一起来看看吧。

一、教材分析

1.在教材中的地位与作用

本章内容《空间向量与立体几何》是在学习了立体几何的基本理论（必修2）和空间向量知识（必修4）的基础上提出的，本章的前三节已经将平面向量中的相关知识推广到了空间，为本节的学习和研究奠定了基础.本节主要是利用向量工具研究空间中的线线、线面、面面的位置关系，是立体几何的重要方向，是向量工具应用的重要方面，更是向量法解决立体几何问题的重要课题，是本章的核心内容.2.教学目标分析

根据《新课程标准》的理念，基于对教材的理解和分析，考虑到学生已有的认知结构及心理特征，制定如下三维教学目标：

（1）知识与技能目标

能用向量语言表述空间中线线、线面、面面的垂直与平行的位置关系；

掌握平面的法向量的求法.（2）过程与方法目标

结合已有的立体几何知识，运用向量方法，解决立体几何中垂直与平行的问题.（3）情感态度与价值观目标

体验科学探索的曲折过程，感受在探索问题的过程中的挫折感和成就感，培养合作意识和创新精神，激发学习兴趣.

3.教学重难点分析

根据以上教学目标，教学重难点确定如下：

教学重点：能用向量方法判断垂直与平行的位置关系；会求平面的法向量.教学难点：结合已有的立体几何知识，运用向量方法，用向量语言证明垂直与平行的问题.二、学情分析

学生已经学习了立体几何中线线、线面、面面的.位置关系，具备有关知识储备，对坐标法解决几何问题也有了初步的认识.但是利用向量工具解决空间中垂直与平行的问题还没有系统的学习过，需要老师循序渐进的引导.三、教法学法分析

1．教学：启发引导、数形结合、案例分析、构建模型.2.学法：观察分析、自主探究、合作交流、讨论归纳.四、教学过程展示

本节课主要分五个环节来完成：复习引入、自主探究、知识运用、课堂小结及布置作业.

(一)复习引入

给出三个问题，让学生思考：什么是直线的方向向量？什么是平面的法向量？如何利用向量知识判断直线与平面间的平行或垂直问题？

设计意图:1.个问题是引导学生复习已有的知识，为本节课的学习起到铺垫作用；2.个问题是引导学生思考与本节课有关的问题.(二)自主探究

观察图形，并用向量语言表述以下位置关系：

设计意图：1.本节课本给出的三个例题都是证明题，起点相对较高，考虑到学生的认知结构及心理特征，先给出两个例题（非证明题）作为铺垫.2.引导学生用向量方法思考问题，让学生体会利用向量判断垂直与平行的方法，突破重点.3.由例1体会到判断线面位置关系时，平面法向量的重要性.如何求平面的法向量？引出例2.总结：求平面法向量的基本步骤.

设计意图：1.掌握平面法向量的求法.至此突破重点.2.本题用到的理论依据是线面垂直的判定定理，这个定理用向量方法如何证明？引出例3.例3.（线面垂直判定定理）若一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则该直线与此平面垂直.设计意图：让学生从理论上学会用向量方法证明几何问题，从另一个侧面体现了利用向量方法研究垂直与平行的重要性，至此突破难点.【方法归纳】：用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”

（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）

（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系等问题；（进行向量运算）

（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.（回到图形问题）

设计意图：由例3归纳解题步骤，帮助学生梳理解题思路，构建知识体系.学生练习：完成课本41页练习：1.2.3.(以上三道题目考察的知识点依次是：线线位置关系，线面位置关系，面面位置关系)

设计意图：学生自己检验是否掌握了所学知识，并对所学方法加深理解.（四）课堂小结(讨论归纳)

(1)用向量表示线线、线面、面面垂直与平行的关系；

(2)求法向量的步骤；

(3)用向量方法解决立体几何问题的步骤.设计意图：引导学生对本节知识进行回顾，同时检验学生对本节知识的掌握程度，有利于教师更好的根据学生的情况进行针对性的辅导.（五）布置作业(反馈提升)

1.课本42页第2、3题；2.学有余力的同学完成课本41页的思考交流

(第2、3题考察的知识点依次是：线线位置关系，面面位置关系；思考交流是对“面面垂直的判定定理”的证明)

设计意图：分层布置作业，尽可能适应不同层次学生的需要.通过完成作业，学生可以巩固所学知识，反馈学习效果，同时也起到了复习的作用.在做作业的同时，可以加深对知识的理解，提升思维能力.五、教学反思

（1）以属性结合的思想方法贯穿于整节课，有助于学生更好的理解；

（2）根据学生已有的知识水平合理设计本节课的例题，体现了以学定教，以学生为主体，合作探究的新课程理念；

（3）题目梯度设置合理，有效学生突破重难点；

（4）在知识的巩固练习部分还有待加强，更好的提升学生思维水平和能力。

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第五篇：§2.4用向量讨论垂直与平行

一、学习目标

1、理解用向量方法解决立体几何问题的思想；

2、掌握用向量方法解决立体几何中的垂直与平行问题

二、学习重、难点

1、重点: 用向量方法解决立体几何中的垂直与平行问题；

2、难点：怎样用向量方法解决立体几何中的垂直与平行问题。

三、提炼精要，理清脉络

（一）温故

1、复习必修2回答问题：

①线线平行判定方法：

②线面平行判定方法：

③面面平行判定方法：

④线线垂直判定方法：

⑤线面垂直判定方法 ：

⑥面面垂直判定方法：

2、怎样证明两个空间向量平行和垂直？

（二）知新

阅读课本P40—41，回答问题：



3、若两条直线l1、l2的方向向量分别为a1、a2，怎样用向量的方法证明两条直线垂直

和平行？



4、若两个平面

1、2的法向量向量分别为n1、n2，怎样用向量的方法证明两个平面

垂直和平行？



5、若直线l1的方向向量分别为a1，平面1的法向量向量分别为n1，怎样用向量的方法

证明直线和平面垂直和平行？

四、典例探究，深化理解

例

1、（P40）用向量证明线面垂直判定定理

若一条直线垂直于平面内的两条相交直线，则该直线与此平面垂直。

例

2、（P40）用向量证明面面平行判定定理

pc

a

若一个平面内两条相交直线都平行另一个平面，则这两个平面平行。

例

3、(P41)用向量证明三垂线定理

若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线在该平面上的投影，则这两条直线垂直。

思考与交流：

1、用向量证明三垂线定理的逆定理（P42 A组1）

2、借助向量知识证明面面垂直判定定理

练习：P4112

3总结归纳：

1、用向量方法解决立体几何的垂直与平行问题的本质是什么？

2、注意将常规方法与向量法相结合3、建立恰当的空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量坐标

作业：P42 A组23B组

五、题型分析

（一）线线垂直或平行问题：

1、在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC900，CB1，CA

2，AA1中点，求证：AMBA

1CB1，点M是CC1的M

C

（二）线面垂直或平行问题：

如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC,EF∥

CE=EF=1.（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE；

A

（三）面面垂直或平行问题：

1、P57A组132、金太阳导学案P27例

3的探究拓展u,v

六、练习



1、若两条直线l1、l2的方向向量分别为a11,0,1、a22,0,2，则两条直线l1、l

2的位置关系（）

A平行B相交C垂直D不能确定



2、若两平面

1、2的法向量分别为n11,0,2、n21,0,2，则两平面

1、2的位置关系（）

A平行B相交C垂直D不能确定

1

3、若直线l的方向向量为a2,1,m，平面的法向量为n1，2，且l，则

2

m_______

4、在长方体ABCDA1B1C1D1中，DA=3，DC=4，DD12，AP2PA1，C1S2SC，R、Q分别是AB、D1C1中点，求证：PQRS

R

S C

A

5．如图，E,F,G,H分别为正方体AC1A1B1,A1D1,B1C1,D1C1的中点，求证：（1）E,F,D,B四点共面；（2）平面AEF//平面BDHG．

FA

1E

B1

D1H

G

C1

DA

B

C

七、小结：

设两不同直线，则

的方向向量分别为a,b，两不同平面

，的法向量分别为u,v，

①线线平行：l//ma//bab,R



②线线垂直：lmabab0；



③线面平行：在平面外，l//auau0；



④线面垂直：la//uau,R；



⑤面面平行：//u//vuv,R；



⑥面面垂直：uvuv0.八、作业P42A组4P56A组101112