1.1.3三个正数的算术-几何平均不等式导学案

第一篇：1.1.3三个正数的算术-几何平均不等式导学案

兰州新区永登县第五中学高二数学（文）导学案

班级：小组名称：姓名：得分：

2．若正数x,y满足xy24,计算x2y的最值

三、拓展探究

1．若ab0,计算a

2．若a2,b3,求ab

3．（参考例6）设0x1,求x(1x)的最大值（思考：根据此题你能得到什么结论？）

导学案 §1.1.3三个正数的算术-几何平均不等式

设计人：薛东梅审核人：梁国栋、赵珍

学习目标：

1．了解三个正数的算术-几何平均不等式；2．会用平均不等式求一些特定函数的最大（小）值。

学习重点：三个正数的算术-几何平均不等式及定理3的应用 学习难点：应用不等式解决应用问题

学习方法：六动感悟法（读，想，记，思，练，悟）

一、自学评价

1．三个正数的算术-几何平均不等式

（1）如果a,b,cR,那么a3b3c33abc，当且仅当，等号成立。（2）定理3：

即：2．基本不等式的推广：

思考：利用平均不等式求最值的要注意条件？

注意：（1）获得定值需要一定的技巧，如配系数、拆项、分离常数、平方变形等；（2）连续多次使用平均不等式定理时，要注意前后等号成立的条件是否一致； 3．思考并完成例54．如果x0,如何求2x

二、检测交流

1．已知a,b,cR,求证（8的最值

b(ab)的最小值。

(a2)(b3)的最小值？ x2

abcbca)()9（思考：根据此题你能得到什么结论？）bcaabc

第二篇：不等式3.2均值不等式导学案

3.2均值不等式

高二数学导学案编撰人：张淑芳 审核人：王爽

一．学习目标

1.知识目标：理解均值不等式及其证明，并能应用它解决相关问题

2.能力目标：整理并建立不等式的知识链

3.情感目标: 通过运用均值不等式解决实际问题，提高用数学手段解决实

际问题的能力与意识

二．学习重点： 重要不等式及其均值不等式的证明及应用，均值不等式的使

用条件为教学重点

三．学习难点：重要不等式及其均值不等式的证明及应用

四．知识链接：不等式的性质

五．自主探究:

一、均值定理：

1．如果a、b∈R+，那么（当且仅当a=b时等号成立）.ab对任意的两个正实数a，b，数叫做a，b的，数ab叫做a，2b的.2.均值定理也可表述为：

两个正数的算术平均值大于或等于它的几何平均值这个不等式，在证明不等 式、求函数的最大值、最小值时有着广泛的应用，因此我们称它为基本不等式.二.常见不等式：

a2b21.（1）若a,bR，则ab2ab(2)若a,bR，则ab（当且仅22

2当ab时取“=”）

2.(1)若a,bR*，则ab*ab(2)若a,bR，则ab2ab（当且2

2仅当ab时取“=”）ab(当且仅当ab时取“=”(3)若a,bR，则ab）2*

112(当且仅当x1时取“=”）;若x0，则x2(当xx

且仅当x1时取“=”）3.若x0，则x

3.若ab0，则ab2(当且仅当ab时取“=”）ba

ab2a2b24.若a,bR，则(（当且仅当ab时取“=”）)22

三、最值定理：

（1）已知x、y都是正数，则：

 如果积xy是定值p，那么当x=y时，x+y有最小值；  如果和x+y是定值s，那么当x=y时，积xy有最大值。

即两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值.（2）利用此公式求最值，必须同时满足以下三个条件：

 各项均为正数;

 其和或积为常数;

 等号必须成立.（3）应用此公式求最值时，还应该注意配凑和一定或积一定，进而用公式求解.六．典例分析：

模块一：配系数

例1.已知0x

模块二：添加项

例2.已知x

32，求yx的最小值.22x33，求yx(32x)的最大值.2模块三：分拆项

x23x6例3.已知x2，求y的最小值.x2

模块四：巧用”1”代换

例4.已知正数x,y满足2xy1,求

cd说明：一般地有,(axby)(acbd)2,其中x,y,a,b,c,d都是正数.这xy12的最小值.xy

里巧妙地利用”1”作出了整体换元,从而使问题获得巧解.例5.已知正数x,y,z满足xyz1，求

模块五：换元

例6.已知abc,求wacac的最小值.abbc149的最小值.xyz

例7.已知x1,求y

模块六：.在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数

af(x)x的单调性.x

例8.求函数y

x1的最大值.2x5x82.七．高考链接：

1、已知0x

1，求函数y的最大值.；

2．0x

2，求函数y.3八．学习反思：

九．自我评价:

你完成本节导学案的情况为（）

A、很好 B、较好 C、一般 D、较差

第三篇：1.3蚂蚁怎样走最近导学案

1.3蚂蚁怎样走最近导学案

主备： 审核： 审批： 班级： 使用人： 【学习目标】

运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题。【学习重点】

探索、发现问题中隐含的勾股定理及其逆定理，并用它们解决实际问题。【学前准备】

1、学具准备：纸制圆柱体一个；长、宽、高各为8cm、8cm、12cm的长方体。

2、若a，b和c分别是直角三角形的两直角边和斜边，则有：。

3、若三角形的三边长a，b，c满足【自学探究与合作交流】 【自学1】

1、有一个圆柱它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米。在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，他想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（参看P.22页图1—18）

⑴利用学具，尝试从A点到B点沿圆柱侧面画出几条线路，你觉得那条线路最短？

由问题⑵及图1—19想一想，此问题是通过怎样的转换得以化简的。预习后，你还有什么问题？你最想与大家交流讨论的问题是什么？，则此三角形为：。

家长签字 【合作1】

立体图形中的两点之间的最短距离（2）如图，将圆柱侧面剪开展开成一个长方形，从A点到B 点的最短路线是什么?你画对了吗?

（3）蚂蚁从A点出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？

解：依题意，把圆柱的侧面展成如图所示的长方形，求最短路线问题就变成了根据 求 三角形边的问题。

【自学2】

2、一个无盖的长方体盒子的长、宽、高分别为8cm、8cm、12cm，一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点，你能帮

蚂蚁设计一条最短的线路吗？蚂蚁要爬行的最短行程是多少？

⑴在你的学具上画出几条线路，你认为将长方体侧面展开

有几种方式？ 【合作2】

反思：此问题是将立体的线路问题先 为平面的线路问题，再利用所学数学制识解决问题。【课堂练习】

应用勾股定理及直角三角形的判定解决简单的实际问题

1、做一做： 李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直底边AB，但他随身只带了卷尺。（参看P.23页雕塑图）

⑴你能替他想办法完成任务吗？

（2）李叔叔量得AD的长是30厘米，AB的长是40厘米，BD长是50厘米.AD边垂直于AB边吗？

（3）小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？BC边与AB边呢？

2、甲、乙两位探险者到沙漠进行探险．某日早晨8∶00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走．1时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进．上午10∶00，甲、乙两人相距多远？

【总结】你学到了什么？

1、勾股定理及直角三角形的判别在实际生活中的应用。

2、【今日作业】

数学方法：构建数学模型解决实际问题。

1、如图，带阴影的矩形面积是多少？

2、如图，一座城墙高11.7米，墙外有一个 宽为9米的护城河，那么一个长为15米 的云梯能否到达墙的顶端？

【巩固练习】

1、如图，有一个高1.5米，半径是1米的圆柱形 油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入 一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是0.5米，问这根铁棒最长应有多长？

2、在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？

【延伸拓展】

正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上的一动点，则DN+MN的最小值为。

【课后记】

第四篇：导学案具体操作和三个关键点

“导学案”教学模式理论培训资料

一、“导学案”教学模式的操作注意事项

1、优化集体备课流程，保障导学案质量。

集体备课效果如何，直接影响到编制的“导学案”的质量和课堂教学的效率，集体备课总结起来有如下方面：

（1）三定：集体备课做到定时间、定地点、定内容（集体备课内容明确）。（2）五备：①个人初备，形成个案。个人初备时，要求教师学习研究课程标准及相关材料，突出抓“八点”（教学重点、难点、弱点、疑点、考点、易错点、易混点和盲点）。同时，教师还要查阅学生档案、了解学生预习情况，以便有的放矢地进行教学设计。初备时每位教师都要尽力提出自己有独到的设计方案和有疑问的地方，以便会诊，排除困难。②集体研讨，形成初案。备课教师在集体备课时，首先由主备人将个人设计的个案，以说课的形式进行交流，备课组其他教师在认真听讲、及时记录的基础上，分别陈述各自的个案，进行比较，把对教材的处理、目标的制定、教法的选用、学法的指导、过程的设计等，调整到最佳程度，形成“初案”。③完善整理，形成定案。主备教师在集体备课的基础上，对形成的初案进一步完善、整理，形成规范的教学设计，完成对定案的编制。④跟踪听课，形成复案。经过备课组研讨过的教案是否可行还有待于考证，因此，有必要进行跟踪听课进行检验，以便得到总结、提高，备课组成员之间要互相听课、取长补短。根据学校听课安排或邀请别人听课指导。把关领导要跟踪听课，了解集体备课落实情况。⑤教后反思，形成补案。课后交流，就是对备课的总结阶段。备课组教师在集体备课情况下授课，要进行交流，对教学进行反思，写出较为翔实的教后记，分析教学过程中的优点和不足，同时对教学设计进一步修订完善，形成补案。促进今后教学的进一步开展。

（3）两个评价：①包组领导对导学案进行质量评价，把关验收；②学校领导现场跟踪集体备课，对集体备课中教师的表现进行现场评价。

2、强化导学预设，提高课时效益。“导学案”形成之后，教师要在学生用的“导学案”基础上对教学中每一个环节的课堂教学行为进行充分预设，这样才能保证教师在课堂观察、参与、指导的紧张度和针对性，以确保课堂每一个环节的效率。预设的内容包括：

（1）自主预习阶段：教师要预设学生的自学方式、自学时间、自学要求、学生自学时可能会遇到的疑难问题，自学巡视需要个别指导的同学。

（2）有效展示阶段：教师要预设展示的方式（自主展示还是提问展示）、展示的时机、展示的策略、展示的学生层次、展示时可能会暴露的问题、展示时的点拨角度方法等。

（3）合作探究阶段：教师要预设探究方式、探究角度、探究可能达到的深度；集体或个别指导的合作小组或个体，点拨讲解的起点、内容。

（4）达标检测阶段：教师要预设不同学生的不同达标度、达标反馈的方法、个别指导帮扶的对象，评价激励的方案，总结梳理的方法、内容等。

3、重视学法指导，使学生主动学习成为习惯。

要让学生的学习方式由以往单一的、机械的“听讲—练习”的被动状态转向“自主学习—合作探究—主动展示”的积极主动学习状态，除了教学模式本身所 起的作用外，教师还应该在课上或课下有意识的教会学生学习、合作、展示、倾听、评价。

（1）教会学生展示：能自然自觉、仪态大方的在组内或班内围绕一个话题或重点发表自己的看法、阐明道理、抒发感情并能跟同学、老师交换意见。

（2）教会学生倾听：一方面，既要会倾听教师的课堂讲解，又要会倾听同学的课堂发言；另一方面，既要听得进，听清楚，听完整，又要听得懂，听出实质，听出问题。

（3）教会学生评价：在合作小组或班级内能公允真诚的评价同学的观点，能质疑、批判、改正、补充、完善别人的意见。

（4）教会学生合作：在合作小组内，能以宽宏大量的心态主动借鉴他人的智慧优势为我所用，也能够积极主动地贡献分享自己的智慧优势。不互相排斥、互相嫉妒、互相拆台、互相封锁信息。

二、导学案教学模式中的三个关键点

（一）、导学案教学难点在“导”

1、要导趣。即激发和培养学生学习的兴趣，能根据教学的内容设计不同类型的导语，创设学习情境，调动学生学习积极性和主动性。或是于漪式的“激情感染”，使师生活动产生共鸣；或是魏书生式的“气功冥想”、“自主选择”，提高学生的注意力；或提问，设计疑点启发思维；或引用诗词、成语、名言警句等，激发兴趣，丰富知识；或用实物、音像等非语言手段，引起好奇，激发求知欲；还可以针对学生的好奇心理，巧妙地在课前或课中设置悬念，创设意境，激发想象，提出疑问，激发学生兴趣，让学生主动去探索原因，使课堂教学活起来。

⑴教师不仅要注重课前导人，更要善于课中的引导。比如一位教师教学《祝福》，指导学生理解祥林嫂的悲剧，先指导学生用第一人称将祥林嫂的故事有层次地叙述出来，学生很快得出了祥林嫂遭遇可悲的结论。学生以为这是最好的理解时，教学程序为之一折，教师又从另一角度引导学生得出祥林嫂的可悲就可悲在想做奴隶而不可得的地位。当学生以为这次一定是标准答案时，该教师又引导学生得出了祥林嫂可悲就可悲在她一心要维护的封建礼教反而害死了她，虽然被害死了却不知凶手是谁的结论。这样一会儿“山重水复疑无路”，一会儿“柳暗花明又一村”的教学引导，较好的激起了学生的探究兴趣，取得了较好的教学效果。

⑵“导学案”，是指以学案为载体，以导学为方法。以教师的指导为主导，学生的自主学习为主体，师生共同合作完成教学任务的一种教学模式。它一改过去老师单纯的讲、学生被动的听的“满堂灌”的教学模式，充分体现教师的主导作用和学生的主体作用，使主导作用和主体作用和谐统一，从而发挥最大效益。高中语文适当运用“导学案教学”，能够有效提高教学效果。

⑶“不愤不启，不悱不发”，课堂教学的实施过程中，教师好比导演，要为学生创设导演舞台，让课堂充满魅力。教师要根据教材内容，灵活使用教学手段，做到寓教于乐，寓教于趣，寓教于情。教师要在抓住重点，凸显“难点”，破解“疑点”上下工夫，在提高学生能力“支撑点”上下工夫，在能激发学生主体意识的“兴奋点”上下工夫，进行有效的教学引导。

2、要导法。即教师引导和指导学生有效的学习，使学生自主地参与到学习过程中去。指导中学生掌握语文学习的方法，实际上是教给学生开启人类知识宝库的钥匙；指导中学生掌握语文学习方法的过程，实际上是培养学生自我学习、创新学习能力的过程。利用导学案进行课堂教学中，可指导学生联系、比较、想象和质疑。将知识与方法综合渗透，实现理论与过程方法的综合，创立语文课堂综合化的方法体系。如可运用比较启发的方法把《荷塘月色》与《荷花淀》语言运用进行比较。朱文把荷叶比作“亭亭的舞女的裙”，把荷花比作“明珠”、“星星”，给人以美感：而孙文把荷叶比作“铜墙铁壁”，把荷花比作监视白洋淀的“哨兵”，给人一种庄严感。为何同一事物有不同的描写呢?一个以美景反衬不平静的心情，一个以庄严之景显示军民同仇敌忾的心情。再如《药》中华大妈在劝儿子吃药时说：“吃下去罢„„病便会好了。”吃下药后却说：“睡一会罢„„便好了。”这两句句式相同，后一句却省了一个“病”字，原因何在?它体现了华大妈坚信吃下去药“病”便没有了。这也看出了作者运用语言的匠心。

3、要导思。即教师引导学生深刻周密思考问题，使学生思维具有创造力。大多数学生对新鲜事物都有敏感性、好奇心，具有强烈的自我表现欲望和好胜心理。因此在教学中，教师应该最大限度地发扬民主，创设能激疑导思的问题情境，调动学生思维活动的积极性，养成学生好问的习惯和探究的精神。如教学《雷雨》《守财奴》时，可提出人性的复杂和多变这一问题让学生思考。教学《祝福》，可设计这样的问题：读了《祝福》，有人认为祥林嫂是一个没有春天的女人，同学们能否通过对课文的研读证实这一观点呢?通过这些问题的设计，可引导学生学会分析，深入思考。

4、要导行。即在教学过程教师要依据教材内容重视和加强情感、态度与价值观的引导。如在《胡同文化》的教学中，在让学生理解胡同建筑的方正特点之后，再让学生体会胡同文化“封闭”、“忍”的精义。正是有了“胡同文化”的这一内涵，才能体会作者对于传统的“胡同文化”复杂的思想感情，品出“再见吧，北京胡同”所蕴涵着的汪曾祺特有的感情。有了这种感悟，再让学生到现实生活中去寻找当地的建筑和生活习惯等所包孕的传统文化内涵，给学生提供研究的课题，如古建筑文化、饮食文化、农家乐文化等，让语文课堂教学延伸到课外，从学校生活延伸到社会生活中，从而有效地对学生进行情感、态度与价值观的引导与创建。

多年来，不少教师习惯了“我讲你听”的教学模式，课堂教学中的信息传递是单向单一的，学生没有真正的参与到课堂教学之中，在课堂上学生只是机械的听、记，是消极被动的适应者。心理学研究表明，唯有当学生能自由参与探究与创新，自主实现知识的个人意义时，身心才处于最佳状态，思维方可被激活。这就要求教师要努力培养学生的自信及兴趣，以鼓励为主，抓住学生的兴趣点所在，因势利导，让学生积极参与到课堂的讨论中来。如在2006年全国语文教学大赛中，江苏的周黎老师教授《病梅馆记》时就十分注重在阅读教学细节设计中有机地融进阅读的方法指导。周老师在课堂上引导学生一起总结了“知人论世法”、“触类旁通法”、“瞻前顾后法”、“明察秋毫法”等读书方法。“知人论世法”的运用，周老师没有一开始先交待，而是穿插在教学过程中，在初步感知的基础上通过介绍背景来深化学生的理解。“触类旁通法”的运用，如联系以前学过的此类“说”、“记”文字，如《爱莲说》等多处借物抒情言志的文章，强化学生的理解。“瞻前顾后法”的运用则让学生理清文脉，理顺关系。“明察秋毫法”的运用，则是让学生于无疑处生疑，于作者不经意处经意，像对文中一些动词和叹词的品赏和推敲。这样，学生在阅读中学会了阅读，并在阅读实践中 内化为学生阅读的素质，使学生获得了多元的阅读经验和方法，有利于学生阅读能力的提升。

（二）、导学案教学关键在“学”

1、教学的核心是学习，指导并促进学生学会学习是教学的本义与最高境界，教学过程应从学生的主体性出发，紧紧围绕学生的学习设计和展开。导学案不仅要明确学什么，更重要的是要教会学生如何学，应教给学生学习的方法，要在课堂中的读、听、思、说、议、做等环节中，让学生去理解掌握学习方法，掌握最佳路径，促使学生不仅“学会”，还要“会学”。

2、导学方案应在学习方法上给学生以指导，在思维方式上给学生以引导，使学生真正完成从“要我学”－“我要学”－“我学会”－“我会学”的过程的重大改变。教师要善于提供思维的杠杆，引导思维的方向，培养学生思维的深刻性和广阔性；鼓励创新，鼓励学生敢于发表自己的意见，提高质疑能力，从而锻炼和发展学生的思维能力。本网站为苏教版小学、初中教案精品网站，欢迎各位老师在此免费下载课件、教学设计、试卷。

（三）、导学案教学重点在“案”

1、导学案设计的重点在“问题导学”上，它包括学习内容剖析、学习过程设计和学法指导。问题导学以三线一面的方法把三维目标贯串起来。

⑴是知识线。根据学生的认知规律，将知识点进行拆分、组合，设计成不同层次的问题。给学生一个自读学习思路导引。

⑵是学法线。在依案自读过程中，指导学生怎样读、怎样思、怎样操作，从而作出培养学生能力的具体设计。这条线或简或繁，或明或暗。

⑶是德育线。在学习过程中，发掘并体现学习内容的感情价值、世界观、方法论价值，在耳濡目染中培养学生正确的价值导向。三条线通过一连串彼此连接的问题体制及其内涵，培养学生的能力，造成一个立体的知识、德育能力面。在呈现方式上有内容前置化、知识问题化、问题层次化、情感潜移化等特点。

2、在设计上要做到“四个吃透”、“四个把握”。

⑴是吃透教材内容所占的地位、整体结构、主要线索、纵横联系，把握住知识点，形成知识链，形成知识网。

⑵是吃透教材编写者的意图，把握住重点、难点、训练点，实现学用结合。⑶是吃透教材中针对不同层次的学生要求，把握住教材内容的深度、广度，以实现“因材施教”、“差别教育”。

⑷是吃透如何让学生真正参与学习的全部过程，把握住知识的停靠点、能力的增长点、思维的激发点，以解决学生思维、探索的问题。

2、叶圣陶曾说过“教是为了不教”，“导学案”的最终目的也是让学生学会学习，终生受益。但导学案是对教材的“翻译”和“二度创作”，是为了让学生更容易掌握教材而产生的辅助工具，“导学案”绝不能替代教材，在学习中，同学们要植根于教材，利用导学案的辅助功能，帮助解决自己学习中的困难。教材是根本，导学案是辅助，两个一定要结合起来使用，既不能本末倒置也不能只用其一。

第五篇：1.1.2不等式的基本性质导学案

兰州新区永登县第五中学高二数学（文）导学案

班级：小组名称：姓名：得分：

导学案 §1.1.2不等式的基本性质

设计人：薛东梅审核人：梁国栋、赵珍

学习目标：

1．了解两个正数的算术平均与几何平均；2．理解定理1和定理2；3．掌握利用基本不等式求一些函数的最值及解决实际的应用问题。学习重点：对两个定理的理解

学习难点：应用基本不等式求最值问题

学习方法：六动感悟法（读，想，记，思，练，悟）

一、自学评价 1．定理1：

2．定理2：（基本不等式）

3．如果a,b都是正数，我们就称为a,b的为a,b的，于是，基本不等式可以表述为：思考：利用基本不等式

ab

ab求最值的条件？

注意：利用基本不等式求最值的方法与步骤：（1）变正：通过提取“负号”变为正数；

（2）凑定：利用拆项、添项的方法，凑出“和”或“乘积”为定值；（3）求最值：利用基本不等式求出最值；（4）验相等：验证等号能否成立；（5）结论：得出最大值或最小值。

4．已知x，yyx

xy



2二、检测交流

1．用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？

2．一段长为36m的篱笆围城一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积时多少？

三、拓展探究

1．设a，bR2ab

，且ab，求证ab

ab

2．当x>0时，x1x存在最值，最值为x<0时，x1

x

存在最

3．设x,y为正数，求(xy)(14

xy)的最小值

4．已知x54，求函数y4x214x5的最值

5．猜想对于3个正数a,b,c,abc3

abc成立吗？