极限的概念 教案

第一篇：极限的概念 教案

【教学课题】：§1.2数列的极限（第一课时）

【教学目的】：使学生逐步建立起数列极限的N定义的清晰概念。会应用数列极限的N定义证明数列收敛及有关命题，并能运用N语言正确表述数列不以某实数为极限等相应陈述。

【教学重点】：数列极限的概念。

【教学难点】：数列极限的N定义及其应用。

【教学方法】：系统讲授，问题教学，多媒体的利用等。

一引言

通过介绍我国数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法——割圆术，来介绍极限思想的最初萌芽。

二、数列极限的定义．定义（数列）：若函数f的定义域为全体正整数集合N，则称

f:NR或f(n),nN 

为数列。因为正整数集可以由小到大排列，故数列f(n)也可以写作

a1,a2,,an,

简记为{an}，其中an称为该数列的通项。

2收敛数列描述性定义：一般地说，对于数列an，若当n无限增大时，an能无限地接近某一个常数a，则称此数列为收敛数列，常数a称为它的极限。不具有这种特性的数列就不是收敛的数列，或称为发散数列。

如何用数学语言把它精确地定义下来。还有待进一步分析。数列极限的数学定义 以111a1n为例，可观察出该数列具以下特性：①随着的无限增大，无限nnn

n地接近1。②随着n的无限增大，1

|1

1n1|无限减少，也就是说|1

n1|1

101n与1的距离无限减少。③随着n的无限增大，1|会任意小，只要n充分大。如：要使|1，只要n10即可；

要使|1

 1n1|1100，只要n100即可；

任给无论多么小的正数，都会存在数列的一项aN，从该项之后(nN)，|1





1

1|。n



1

1|。n

即0,N，当nN时，|1

综上所述，数列1





111的通项随的无限增大，无限接近于1，即是对任11n

nnn

意给定正数，总存在正整数N，当nN时，有|1





11

。此即1|1以1为极

nn

限的精确定义，记作lim1

n



11

或n,11。1

nn

定义 设an为数列，a为实数,，若对0，总NN，使得当nN时有

|ana|

则称数列an收敛于a,a称为数列an的极限。并记作limana或ana(n)。

n

由于n限于取正整数，所以在数列极限的记号中把n写成n。

若数列an没有极限，则称an不收敛，或称an为发散数列。

注意：关于：① 的任意性。刻化an与常数a的接近程度，越小，表示an与a越近；②的固定性。尽管有其任意性，但一经给出，就暂时地被确定下来，以便依靠它



2来求出Ｎ；③的多值性。既是任意小的正数，那么,3,等等，同样也是任意小的正数，因此定义１中的不等式|ana|中的可用“|ana|”可用“|ana|”代替；

,3,等来代替。从而

关于N：相应性。一般地，N随的改变而改变，因此常把N看作N()来强调N是依赖于的，一经给定，就可以找到相应的一个N。当然N并不是唯一的，N之后的任意的项数都可以作为N。举例说明如何用N定义来验证数列极限

例１ 证明 lim

n(1)

n

n

n

1。

n

证0，考察

n(1)

n

1

1n

，可得n

。

n(1)1

于是可取N，则当nN时，便有：1。1n

n

所以lim

n(1)

n

n

n

1。

例2 证明lim

3n

n

n

33。

9n3

证考察

3n

n3

93





9n

(n3)，因此对

0，只要n，n3，上式就小于，故取Nmax{3,，则当nN时，总

9

9n

，即lim

3n

有

3n

n3

3

n3

n

n

n3

3。

例3证明limq0(|q|1)

n

证若q0，则结果显然成立。

1q

现设0q1,记h

10,由qn0qn

1(1h)

n



11nh



1nh

，得

n,因此取N，所以0,当nN时，便有qn0。hh即limq0(|q|1)。

n

n

1

例4证明lim

n

a1(a0)。

证①a=1时,，显然成立。

n

②a1时，令an1(0)，则a(1)1n1n

a1n



所以为了要使an1，只需

a1n

a1

，可取N。



③0a1时，令a

(b1)，则由 an1()n1

bb

1bn

bn1,可得

bn

nlog1b，可取Nlog1b。

总之，当

a0时，总有lim

n

1。

5．数列极限证明的步骤

(１)考察化简ana；

(２)放大ana，通常适当放大或条件放大ana1(n)2(n)k(n)；(３)解k(n)，求出需要的N；(４)用N语言再顺着写下来。

6．数列极限的几何理解

在定义１中，“当nN时有|ana|”“当nN时有aana” “当nN时有” 所有下标大于N的项an都落在邻域U(a;)内；而在U(a;)之外，数列an中的项至多只有N个（有限个）。反之，任给0，若在U(a;)之外数列an中的项只有有限个。

aaa

由此写出数列极限的一种等价定义（邻域定义）：

定义1任给0，若在U(a;)之外数列an中的项只有有限个，则称数列an收敛于极限a.由此可见：１）若存在某个00，使得数列an中有无穷多个项落在U(a;0)之外，则an一定不以a为极限；２）数列是否有极限，只与它从某一项之后的变化趋势有关，而与它前面的有限项无关。所以，在讨论数列极限时，可以添加、去掉或改变它的有限项的数值，对收敛性和极限都不会发生影响。

a为定数。否定定义1 设{an}为数列，若对00，对NN，总存在n0N，且|ana|0，则称数列{an}不收敛于a。

否定定义1' 若存在00，使得数列{an}中有无穷多项落在U(a;0)之外，则

{an}不以a为极限。

例５ 证明n2和(1)n都是发散数列。

证(xn发散aR,00,N，n0N，使得xna0)

aR,取01,则在U(a,0)之外所有满足na1的项有无穷多,显然都落在U(a,0)之外，所以n2不以任何a为极限。即数列n2发散。

例６设limxnlimyna，作数列：求证limzna。zn:x1,y1,x2,y2,,xn,yn,，n

n

n

证 由limxnlimyna，故0，数列xn和yn中落在U(a;)之外的项至多只

n

n

有有限项，所以zn落在U(a;)之外的项也至多只有有限项，故由定义1得limzna。

n

例７ 设an为给定的数列，减少或改变有限项之后得到的数列，bn为对an增加、求证：数列bn与an同时收敛或发散，且在收敛时两者的极限相等。

证 设an为收敛的数列，且limana，按定义1，0，数列an中落在n

U(a;)之外的项最多只有有限项，而数列bn是对an增加、减少、改变有限项之后得

到的。故数列bn与an同时收敛或发散，且在收敛时两者的极限相等。

三 小结

本课时的主要内容要求：

① 使学生逐步建立起数列极限的N定义的清晰概念。② 会应用数列极限的N定义证明数列的有关命题。③ 能运用N语言正确表述数列不以某实数为极限等相应陈述。

第二篇：函数极限概念

一． 函数极限的概念

1.x趋于时函数的极限

设函数f定义在,上，类似于数列情形，我们研究当自变量x趋于+时，对应的函数值能否无线地接近于某个定数A.例如，对于函数fx=，从图象上可见，当无x限增大时，函数值无限地接近于x1

0；而对于函数gx=arctanx则当x趋于+时，函数值无限地接近于.2我们称这两个函数当x趋于+时有极限.一般地，当x趋于+时函数极限的精准定义如下：

定义1 设f为定义在,上的函数，A为定数。若对任给的0，存在正数M，使得当xM时有fxA，则称函数f当x趋于+时以A为极限，记作lim

fxA或f xAx.x

在定义1中正数M的作用与数列极限定义中的N相类似，表明x充分大的程度；但这里所考虑的是比M大的所有实数x，而不仅仅是正整数n。因此，当x时函数f以A为极限意味着：A的任意小邻域内必含有f在+的某邻域内的全部函数值.

第三篇：极限的概念

2-1极限的概念

（1）x口

nlimf（x）的读法，直观含义 xR,nN

f(x)f(x)(x口）

limf(x)limf(x)与xlimf(x)limf(x)当x口x口（2）收敛或极限存在：x口（3）无穷小：x口limf(x)Alimf(x)0，无穷大：x口

极限不存在（4）xx

极限

（5）xx0limf(x)f(x0)0、xxlimf(x)f(x0)0 称为f(x)在点x的左、右limf(x)f(x0)f(x0)；

。x

2-2 函数的连续性 limf(x)f()f()

x(1)定义：f(x)在点0连续 <=> xxlimf(x)f(x0)

当 f(x)在区间 I 上连续 <=> f(x)在 I 上的每一点都连续。

(2)初等函数都是连续的。另外，连续函数的和、差、积、商以及它们的复合函数也都是连续的。

x口（3）有等式

2-3 基本初等函数在开区间端点的极限值

（1）常C=C limf((x))f连续时x口f(lim(x))

（2）幂(0)

正0，()正(),(0)负,()负0；（3）指e

（4）对,e0ln0,ln()

（5）三sin()、cos()不存在arctan()(

2)

（6）反，arccot()0,arccot(-).

2-4 各类函数做四则运算后的极限（注意符号 “”= “存在”）

(1)(或`x)，(非0)，(0的)；

（非不）不；（2）(不）不，非0不不，1

101（3），0，∞×a（a≠0）=∞，∞×∞=∞，∞+a=∞

（±∞）+（±∞）= ∞；

（4）0有界=0，∞+有界=∞ ；

000，0,,以及1,0,(5)不定式：0 ；

0（不）（6）不定式： 不(或``）不。

2-5 洛必达法则

lim

f(x)g(x)

limx口当代值结果为“00时 2xx2

例2—1 求 极限x2x2

分析：此题属于极限计算类题型，由题型3-1所示，只需（1）代值，（2）定型 0

“0”，（3）洛必达法则，（4）再代值，(5)定式结束。即可。

lim2xx2

解：x2x2“00lim(2x)x

(x2)xx2x2= x2lim2ln22x1x=2ln2224ln24

例2-2求极限x0limxlnx

分析：由题型

“”21，第一步，代值，xlnx0ln00;第二步，变形为0“0”或后用洛必达法则，由题型22(2)

有两种变形方法：

xlnxxlnx

①ln1x②xlnx1

x

(ln)'由题型

(12)'2(2)的解释：变形要有利于洛必达法则的求导运算。应算，不应算ln。所以要选上面②的变形方法，最后用洛必达法则，再代值即可得定式结果（注：如选①的变形方法，用洛必达法则，将越算越繁，得不出结果）。

解:

x0limxlnx “0”

x0 x'limlnx

“

”lim(lnx)xx

x1x2x0x0lim

x'lim(x)x0

=0

第四篇：数列极限教案

数列的极限教案

授课人：###

一、教材分析

极限思想是高等数学的重要思想。极限概念是从初等数学向高等数学过渡所必须牢固掌握的内容。

二、教学重点和难点

教学重点：数列极限概念的理解及数列极限N语言的刻画。

教学难点：数列极限概念的理解及数列极限N语言的刻画，简单数列的极限进行证明。

三、教学目标

1、通过学习数列以及数列极限的概念，明白极限的思想。

2、通过学习概念，发现不同学科知识的融会贯通，从哲学的量变到质变的思想的角度来看待数列极限概念。

四、授课过程

1、概念引入

例子一：(割圆术)刘徽的割圆术来计算圆的面积。

.........内接正六边形的面积为A1，内接正十二边形的面积为A2......内接正62n1形的面积为An.A1,A2,A3......An......圆的面积S.用圆的内接正六n边形来趋近，随着n的不断增加，内接正六n边形的面积不断

1接近圆的面积。

例子二：庄子曰“一尺之锤，日取其半，万世不竭”。

第一天的长度1第二天的剩余长度 第二天的剩余长度

第四天的剩余长度 8

.....第n天的剩余长度n1.......2

随着天数的增加，木杆剩余的长度越来越短，越来越接近0。

这里蕴含的就是极限的概念。

总结：极限是变量变化趋势结果的预测。例一中，内接正六n边形的边数不断增加，多边形的面积无限接近圆面积；例二中，随着天数的不断增加，木杆的剩余长度无限接近0.在介绍概念之前看几个具体的数列：

1111（1）: 1，,......； 23nn

1n1111:1，，,......；（2）n2345

（3）n2:1,4,9,16,......；

（4）1:1,1,1,1,......,1,......； nn

我们接下来讨论一种数列xn，在它的变化过程中，当n趋近于时，xn不断接近于某一个常数a。如随着n的增大，（1），（2）中的数列越来越接近0；（3）

（4）中的数列却没有这样的特征。

此处“n趋近于时”，“xn无限接近于数a”主要强调的是“一个过程”和一种“接近”程度。

可是只凭定性的描述和观察很难做到准确无误，所以需要精确的，定量的数学语言来刻画数列的概念。本节课的重点就是将数列的这样一个特征用数学语言刻画出来，并引入数列极限的概念。

2、内容讲授

（定义板书）设xn是一个数列，a是实数。如果对于任意给定的数0，总存在一个正整数N，当nN时，都有xna，我们称a是数列x

n的极限，或者说数列xn收敛且收敛于数a。

写作：limxna或xnan。

n

如果数列没有极限，就说数列是发散的。

注意：（1）理解定义中的“任意给定”：是代表某一个正数，但是这个数在选取时是任意的，选定以后就是固定的。不等式xna是表示xn与a的接近程度，所以可以任意的小。

（2）N的选取是与任意给定的有关的。11以数列为例，欲若取，则存在N100，当nNxna； 100n

若取1，则存在N1000，当nN时，xna。1000

数列极限的N语言：

limx

nna0,N,nNxna.数列极限的几何解释：

3、例题讲解

n211。例题1用数列极限的定义证明limnnn

n21证明：设xn，因为 nn

n21212xn1nnnnn

0，欲使xn，只要22即n，n

2我们取N1，当nN时，

n2122.nnNn

n21所以lim1.nnn

2注：N的取法不是唯一的，在此题中，也可取N10等。

例题2 设xnC（C为常数），证明limxnC。n

证明：任给的0，对于一切正整数n，xnCCC0，所以limxnC。n

小结：用定义证数列极限存在时,关键是任意给定寻找N,但不必要求最小的N.五、课后作业

第五篇：理论真空和极限真空的概念区分

理论真空和极限真空的概念区分

其实这两个概念相差很远，只是有几个同事都问过我同样的问题，所以干脆写几句。

所谓“理论真空”就是指最理想的真空状态，比如，某密闭容器中一个气体分子都没有，气体压力绝对等于零，这种状态就是最理想的真空状态，这就是平常说的“理论真空”，仅在理论上存在，实际上不可能存在。

“极限真空”完整名称是“极限真空度”，是指微型真空泵能达到的最大真空度。比如，某台抽气能力很弱的微型真空泵，它经过无限长的时间也只能把密闭容器内的气体压力由常态的100KPa降到95KPa，那么95KPa就是这台泵的极限真空度，比如成都气海公司生产的PM950.2。再比如，有一台抽气能力很强的微型真空泵，它可以把气压由100KPa降到10 KPa，那么10KPa就是这台泵的极限真空度，比如成都气海公司生产的VCH1028。

“极限真空”是真空泵的一个重要参数，是反应泵抽气能力的特性值，是与真空泵相关的一个数值，不同的真空泵可以有不同的“极限真空”度。而“理论真空”是理论研究时的一个概念，是排除各种实际因素的影响而提炼出的一种最理想的真空状态。