数列、极限、数学归纳法(上)

第一篇：数列、极限、数学归纳法(上)

【考点梳理】

一、考试内容

1.数列，等差数列及其通项公式，等差数列前n项和公式。

2.等比数列及其通项公式，等比数列前n项和公式。

3.数列的极限及其四则运算。

4.数学归纳法及其应用。

二、考试要求

1.理解数列的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前n项和。

2.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能够应用这些知识解决一些问题。

3.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能够运用这些知识解决一些问题。

4.了解数列极限的定义，掌握极限的四则运算法则，会求公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n项和的极限。

5.了解数学归纳法的原理，并能用数学归纳法证明一些简单的问题。

三、考点简析

1.数列及相关知识关系表

2.作用地位

（1）数列是函数概念的继续和延伸，是定义在自然集或它的子集{1,2,„,n}上的函数。对于等差数列而言，可以把它看作自然数n的“一次函数”，前n项和是自然数n的“二次函数”。等比数列可看作自然数n的“指数函数”。因此，学过数列后，一方面对函数概念加深了了解，拓宽了学生的知识范围；另一方面也为今后学习高等数学中的有关级数的知识和解决现实生活中的一些实际问题打下了基础。

（2）数列的极限这部分知识的学习，教给了学生“求极限”这一数学思路，为学习高等数学作好准备。另一方面，从数学方法来看，它是一种与以前学习的数学方法有所不同的全新方法，它有着现代数学思想，它把辩证唯物主义的思想引进了数学领域，因而，学习这部分知识不仅能接受一种新的数学思想方法，同时对培养学生唯物主义的世界观也起了一定的作用。

（3）数学归纳法是一种数学论证方法，学生学习了这部分知识后，又掌握了一种新的数学论证方法，开拓了知识领域，学会了新的技能；同时通过这部分知识的学习又学到一种数学思想。学好这部分知识，对培养学生逻辑思维的能力，计算能力，熟悉归纳、演绎的论证方法，提高分析、综合、抽象、概括等思维能力，都有很好的效果。

（4）数列、极限、数学归纳法这部分知识，在高考中占有相当的比重。这部分知识是必考的内容，而且几乎每年有一道综合题，其中1999年高考有两道综合题。

3.等差数列

（1）定义：an+1－an=d(常数d为公差)

（2）通项公式：an=a1+(n－1)d

（3）前n项和公式：Sn=n(a1an)n(n1)=na1+d 2

2（4）通项公式推广：an=am+(n－m)d

4.等差数列{an}的一些性质

（1）对于任意正整数n，都有an+1－an=a2－a

1（2）{an}的通项公式：an=（a2－a1）n+(2a1－a2)

（3）对于任意正整数p,q,r,s,如果p+q=r+s，则有ap+aq=ar+as

（4）对于任意正整数p,q,r,如果p+r=2q,则有ap+ar=2aq

（5）对于任意正整数n>1，有2an=an－1+an+1

（6）对于任意非零实数b，若数列{ban}是等差数列，则数列{an}也是等差数列

（7）已知数列{bn}是等差数列，则{an±bn}也是等差数列

（8）{a2n}，{a2n－1}，{a3n}，{a3n－1}，{a3n－2}等都是等差数列

（9）S3m=3（S2m－Sm）

（10）若Sn=Sm(m≠n)，则Sm+n=0

（11）若Sp=q,Sq=p，则Sp+q=－(p+q)(p≠q)

（12）Sn=an2+bn，反之亦成立

5.等比数列

（1）定义：an1=q(常数q为公比)an

－（2）通项公式：an=a1qn1

（3）前n项和公式

na1Sn=a1(1qn)1qq1 q1

特别注意q=1时，Sn=na1这一特殊情况。

－（4）通项公式推广：an=am²qnm

6.等比数列{an}的一些性质

（1）对于任意正整数n，均有an1a2= ana1

（2）对于任意正整数p、q、r、s，只要满足p+q=r+s，则ap²aq=ar²as

（3）对于任意正整数p、q、r，如果p+r=2q，则ap²ar=aq

2（4）对任意正整数n>1，有an2=an－1²an+

1（5）对于任意非零实数b,{ban}也是等比数列

（6）已知{an}、{bn}是等比数列，则{anbn}也是等比数列

（7）如果an>0，则{logaan}是等差数列

（8）数列{logaan}成等差数列，则an成等比数列

（9）{a2n}，{a2n－1}，{a3n－1}，{a3n－2}，{a3n}等都是等比数列

7.数列极限

（1）极限的定义“ε—N”

（2）极限的四则运算

若liman=A，lim bn=B，则 nn

lim(an±bn)= liman±limbn=A±B nnn

lim（an²bn）=liman²limbn=A²B nnn

lim（an/bn）=liman/limbn=nnnA(B≠0)B

（3）两个重要极限

c001①limc=1c0 nn不存在c0

|r|10②limrn=1r1 n不存在|r|1或r1

中学数学中数列求极限最终都化成这两类的极限问题。由①我们可以得到多项式除多项式的极限。

a0bpq

0a0npa1np1aplim=0pq nbnqbnq1a01q不存在pq

其中p,q∈N,a0≠0，b0≠0。

（4）无穷递缩等比数列各项和公式

S=limSn=na1（|q|<1）1q

应用：化循环小数为分数。

8.递归数列

数列的连续若干项满足的等量关系an+k=f(an+k－1,an+k－2,„,an)称为数列的递归关系。由递归关系及k个初始值可以确定的一个数列叫做递归数列。如由an+1=2an+1，及a1=1，确定的数列{21}即为递归数列。n

递归数列的通项的求法一般说来有以下几种：

（1）归纳、猜想、数学归纳法证明。

（2）迭代法。

（3）代换法。包括代数代换，对数代数，三角代数。

（4）作新数列法。最常见的是作成等差数列或等比数列来解决问题。

9.数列求通项与和

（1）数列前n项和Sn与通项an的关系式：

an=snsn1n2n1s

1（2）求通项常用方法

①作新数列法。作等差数列与等比数列。

②累差叠加法。最基本的形式是：an=(an－an－1)+(an－1+an－2)+„+(a2－a1)+a1

③归纳、猜想法。

（3）数列前n项和

①重要公式

1n(n+1)

2112+22+„+n2=n(n+1)(2n+1)6

113+23+„+n3=(1+2+„+n)2=n2(n+1)2 41+2+„+n=

②等差数列中，Sm+n=Sm+Sn+mnd

③等比数列中，Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn

④裂项求和

将数列的通项分成两个式子的代数和，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加抵消掉中间的许多项，这种先裂后消的求和法叫裂项求和法。用裂项法求和，需要掌握一些常见的裂项，如：

111=－ n(n1)nn

1n²n！=(n+1)!－n!

1=cotα－cot2α sin2α

Cn－1r1=Cnr－Cn－1r －

1n1=－等。n!(n1)!(n1)!

⑤错项相消法

对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n项和，常用错项相消法。⑥并项求和

把数列的某些项放在一起先求和，然后再求Sn。

数列求通项及和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

10.数学归纳法

（1）数学归纳法的基本形式

设P(n)是关于自然数n的命题，若

1°p(n0)成立（奠基）；

2°假设P(k)成立(k≥n0)，若可以推出P（k+1）成立（归纳），则P(n)对一切大于等于n0的自然数n都成立。

（2）数学归纳法的应用

数学归纳法适用于有关自然数n的命题。具体来讲，数学归纳法常用来证明恒等式，不等式，数的整除性，几可中计数问题，数列的通项与和等。

四、思想方法

数列、极限、数学归纳法中，主要注意如下的基本思想方法：

1.分类讨论思想。如等比数列的求和分公比等于1和不等于1两种情形；已知数列前n项和求通项分n=1和n≥2两种情形；求极限时对两个参数进行大小比较的讨论等。

2.函数思想。将数列视为定义域为自然数或其子集的函数。

3.数形结合思想。如等差数列的通项公式和前n项和公式分别视为直线、二次曲线的方程。

4.转化思想。如将非等差数列、非等比数列转化为等差数列、等比数列。

5.基本量思想。如把首项及公差、公比视为等差数列、等比数列的基本量。

6.构造思想。如由旧数列构造新数列。

7.特殊化思想。为研究一般问题可先退化到特殊问题的研究。在这部分内容中，处处充满了由具体到抽象，由特殊到一般，由有限到无限的辩证法，这就要求我们在思考问题时要用辩证的观点，由具体认识抽象，由特殊窥见一般，由有限逼近无限。其中，我们常用的“归纳——猜想——证明”法就体现了这一点。

8.一般化思想。为研究一个特殊问题，我们先研究一般的情形。我们采用的数学归纳法，就主要体现一般化思想，先证命题对一般值成立，然后再证对每一个特殊的n值也成立。

第二篇：数列极限例题

三、数列的极限

(1)n1}当n时的变化趋势.观察数列{1n问题:

当n无限增大时, xn是否无限接近于某一确定的数值?如果是, 如何确定? 通过上面演示实验的观察:

(1)n1当n无限增大时, xn1无限接近于1.n问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.xn1(1)n1给定

11 nn1111, 由, 只要n100时, 有xn1, 100n10010011,只要n1000时, 有xn1, 给定1000100011,只要n10000时, 有xn1, 给定10000100001给定0,只要nN([])时, 有xn1成立.定义

如果对于任意给定的正数(不论它多么小), 总存在正整数N, 使得对于nN时的一切xn, 不等式xna都成立, 那末就称常数a是数列xn的极限, 或者称数列xn收敛于a, 记为

limxna,或xna(n).n如果数列没有极限, 就说数列是发散的.注意：

N定义:limxna0,N0, 使nN时, 恒有xna.n其中记号:每一个或任给的;:至少有一个或存在.数列收敛的几何解释:

a2axN2x2x1xN1ax3x

当nN时, 所有的点xn都落在(a,a)内, 只有有限个(至多只有N个)落在其外.注意：数列极限的定义未给出求极限的方法.n(1)n11.例1 证明limnnn(1)n111 .证

注意到xn1 nn任给0, 若要xn1, 只要

11,或 n, n所以, 取 N[], 则当nN时, 就有 1n(1)n11.nn(1)n11.即limnn

重要说明：（1）为了保证正整数N，常常对任给的0,给出限制01；

n(1)n11”的详细推理

（2）逻辑“取 N[], 则当nN时, 就有

n1见下，以后不再重复说明或解释，对函数极限同样处理逻辑推理.由于N立.严格写法应该是：任给0, 不妨取01，若要11N1，所以当nN时一定成立nN11，即得

1成nn(1)n11111< ,只要 n,所以, 取 N[], 则当nN时, 由于xn1=nn1111NN1，所以当nN时一定成立nN1，即得成立.也就

n是成立

n(1)n111.xn1=

nnn(1)n11.即limnn小结: 用定义证数列极限存在时, 关键是任意给定0,寻找N, 但不必要求最小的N.例3证明limq0, 其中q1.nn证

任给0(要求ε<1)若q0, 则limqlim00;

nnn若0q1, xn0q, nlnqln，nnlnln, 取N[](1), 则当nN时, 就有qn0, lnqlnqlimqn0.n0, q1,q1,, n

说明：当作公式利用：limq

n1, q1,不存在，q1.

第三篇：数列极限教案

数列的极限教案

授课人：###

一、教材分析

极限思想是高等数学的重要思想。极限概念是从初等数学向高等数学过渡所必须牢固掌握的内容。

二、教学重点和难点

教学重点：数列极限概念的理解及数列极限N语言的刻画。

教学难点：数列极限概念的理解及数列极限N语言的刻画，简单数列的极限进行证明。

三、教学目标

1、通过学习数列以及数列极限的概念，明白极限的思想。

2、通过学习概念，发现不同学科知识的融会贯通，从哲学的量变到质变的思想的角度来看待数列极限概念。

四、授课过程

1、概念引入

例子一：(割圆术)刘徽的割圆术来计算圆的面积。

.........内接正六边形的面积为A1，内接正十二边形的面积为A2......内接正62n1形的面积为An.A1,A2,A3......An......圆的面积S.用圆的内接正六n边形来趋近，随着n的不断增加，内接正六n边形的面积不断

1接近圆的面积。

例子二：庄子曰“一尺之锤，日取其半，万世不竭”。

第一天的长度1第二天的剩余长度 第二天的剩余长度

第四天的剩余长度 8

.....第n天的剩余长度n1.......2

随着天数的增加，木杆剩余的长度越来越短，越来越接近0。

这里蕴含的就是极限的概念。

总结：极限是变量变化趋势结果的预测。例一中，内接正六n边形的边数不断增加，多边形的面积无限接近圆面积；例二中，随着天数的不断增加，木杆的剩余长度无限接近0.在介绍概念之前看几个具体的数列：

1111（1）: 1，,......； 23nn

1n1111:1，，,......；（2）n2345

（3）n2:1,4,9,16,......；

（4）1:1,1,1,1,......,1,......； nn

我们接下来讨论一种数列xn，在它的变化过程中，当n趋近于时，xn不断接近于某一个常数a。如随着n的增大，（1），（2）中的数列越来越接近0；（3）

（4）中的数列却没有这样的特征。

此处“n趋近于时”，“xn无限接近于数a”主要强调的是“一个过程”和一种“接近”程度。

可是只凭定性的描述和观察很难做到准确无误，所以需要精确的，定量的数学语言来刻画数列的概念。本节课的重点就是将数列的这样一个特征用数学语言刻画出来，并引入数列极限的概念。

2、内容讲授

（定义板书）设xn是一个数列，a是实数。如果对于任意给定的数0，总存在一个正整数N，当nN时，都有xna，我们称a是数列x

n的极限，或者说数列xn收敛且收敛于数a。

写作：limxna或xnan。

n

如果数列没有极限，就说数列是发散的。

注意：（1）理解定义中的“任意给定”：是代表某一个正数，但是这个数在选取时是任意的，选定以后就是固定的。不等式xna是表示xn与a的接近程度，所以可以任意的小。

（2）N的选取是与任意给定的有关的。11以数列为例，欲若取，则存在N100，当nNxna； 100n

若取1，则存在N1000，当nN时，xna。1000

数列极限的N语言：

limx

nna0,N,nNxna.数列极限的几何解释：

3、例题讲解

n211。例题1用数列极限的定义证明limnnn

n21证明：设xn，因为 nn

n21212xn1nnnnn

0，欲使xn，只要22即n，n

2我们取N1，当nN时，

n2122.nnNn

n21所以lim1.nnn

2注：N的取法不是唯一的，在此题中，也可取N10等。

例题2 设xnC（C为常数），证明limxnC。n

证明：任给的0，对于一切正整数n，xnCCC0，所以limxnC。n

小结：用定义证数列极限存在时,关键是任意给定寻找N,但不必要求最小的N.五、课后作业

第四篇：数列极限复习

数列极限复习题

姓名

242n1、lim=； n139(3)n

an22n1a2、若lim(2n)1，则=； nbn2b

1an3、如果lim()0，则实数a的取值范围是；n2a

n4、设数列{an}的通项公式为an(14x)，若liman存在，则x的取值范围是n

___；

a5．已知无穷等比数列n的前n项和

穷等比数列各项的和是；

6、数列an满足a1Sn1a(nN*)n3，且a是常数，则此无1，且对任意的正整数m,n都有amnaman，则数列an的3所有项的和为；

7、无穷等比数列an的首项是某个自然数，公比为单位分数（即形如：数，m为正整数），若该数列的各项和为3，则a1a2；

8、无穷等比数列an的各项和为2，则a1的取值范围是

1的分m



9、无穷等比数列an中，为；

lim(a2a3...an)

n

=1，则a1的取值范围

cosnsinn

10、计算： lim,[0,]

ncosnsinn

222na2n111、若lim2n1，则实数a的取值范围是； 2n

12a

23n2n(1)n(3n2n)

12、若数列{an}的通项公式是an=,n=1,2,„,则

lim(a1a2an)__________；

n

1

1n2012n(n1)

13、若an,Sn为数列an的前n项和,求limSn____;

n

31n2013n1

214、等差数列an，bn的前n项和分别为Sn,Tn且

an

 nbn

Sn2n

，则Tn3n

1lim15、设数列an、bn都是公差不为0的等差数列，且lim

lim

b1b2b3n

na4n

an

3，则bn16、已知数

列为等差数列，且，则

a117、设等比数列{an}的公比为q，且lim1qn），则a1的取值范围是

n1q

2__________；

18、已知等比数列{an}的首项a11，公比为q(q0)，前n项和为Sn，若

lim

Sn

11，则公比q的取值范围是.；

nSn19、已知数列{an}的各项均为正数，满足：对于所有nN*，有4Sn(an1)2，n

（）其中Sn表示数列{an}的前n项和．则limnan

A．0B．1C．D．

220、下列命题正确的是 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„()

（A）limanA, limbnB则lim

n

n

anA

(bn0,nN)

nbBn

（B）若数列{an}、{bn}的极限都不存在，则{anbn}的极限也不存在（C）若数列{an}、{anbn}的极限都存在,则{bn}的极限也存在（D）设Sna1a2an，若数列{an}的极限存在,则数列{Sn}的极限也存在21、用记号“○+”表示求两个实数a与b的算术平均数的运算, 即a○+b=已知数列{xn}满足x1=0,x2=1,xn=xn－1○+xn－2(n≥3),则limxn等于（）

n

ab

.2A.2

3B.12

C.0D.122、连结ABC的各边中点得到一个新的A1B1C1，又A1B1C1的各边中点得到一个新的A2B2C2，如此无限继续下去，得到一系列三角形，A1B1C1，A2B2C2，A3B3C3，, 这一系列三角形趋向于一个点M。已知

A0,0,B3,0,C2,2，则点M的坐标是（）

52522Ａ、(,)Ｂ、(,1)Ｃ、(,1)Ｄ、(1,)

3333323、已知数列

lim

{an},{bn}

都是无穷等差数列，其中

a13,b12,b2是a2和a

3的等差中

an1111lim(...)nbn2，求极限a1b1a2b2anbn的值； n项，且

24、设正数数列

lga

lin

1n

an

为一等比数列，且a24,a416，求

lagn2n

2al2ng；

bnlgan，25、数列{an}是由正数组成的数列，其中c为正常数，数列bna1c，成等差数列且公差为lgc（1）求证an是等比数列；（2）an的前n项和为Sn，求lim26、已知f(x)logax(ao且a1)，an

nSn

且2,f(a1),f(a2),f(a3),,f(an),2n1,(nN)成等差数列，（1）求数列an的通项公式；

（2）若数列an的前n项和为Sn，当a1时，求lim

Sn

nan

第五篇：数列极限的证明

例1 设数列xn满足0x1,xn1sinxnn1,2,。（Ⅰ）证明limxn存在，并求该极限；

n

xn1xn（Ⅱ）计算lim。n

xn

解（Ⅰ）用归纳法证明xn单调下降且有下界，由0x1，得

0x2sinx1x1，设0xn，则

0xn1sinxnxn，所以xn单调下降且有下界，故limxn存在。

n

记alimxn，由xn1sinxn得

x

asina，所以a0，即limxn0。

n

（Ⅱ）解法1 因为

sinxlimx0

x

1xlime

x0

1sinxlnx2x

lime

x0

1cosx1



2xsinxx

xsinx6x2

xcosxsinx

lime

x0

2x3

lime

x0

e



又由（Ⅰ）limxn0，所以

n

1xn

xn1sinxnxn2

limlimnnxxnn

sinx

limx0x

解法2 因为

1xxe



sinxx

sinxx



sinxx1x

xsinxx



x3，又因为

limsinxx1sinxx,lim1x0x36x0x

xnxsinxxe，sinx6所以lim，ex0x1

故

11xlimn1nxnxnsinxnlimnxn

sinxlimx0xxn1x e1

6.