1、6三角函数模型的简单应用

第一篇：1、6三角函数模型的简单应用

1、6三角函数模型的简单应用

讲义编写者：数学教师秦红伟

一、【学习目标】

1．会用三角函数解决一些简单的问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.2．通过对三角函数的应用，发展数学应用意识，求对现实世界中蕴涵的一些数学模型进行思考和作出判断.二、【自学内容和要求及自学过程】

1、阅读教材60—64页内容，回答问题

<1>三角函数应用于那些实际生活，如何解决实际问题？ 结论：<1>精确模型的应用——由图象求解析式，由解析式研究图象及性质，难点：分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型。

【教学效果】主要介绍数学在实际生活中的应用。

三、【综合练习与思考探索】 练习一：教材65页1--3.四、【作业】

1、必做题：习题1.6.2、选做题：整理本节内容.五、【小结】数学中的实际问题的提练.六、【教学反思】今天打印机坏那，没能更好的做学案，希望尽快修好.

第二篇：《三角函数模型的简单应用》教学设计交流

《三角函数模型的简单应用》教学设计交流

镇海中学数学组

钟清

各位专家，各位老师：

大家好！很高兴今天有这么一个机会与大家进行交流。

我们镇海中学在每年的12月份都有一个课堂教学创新周活动，去年的主题是“新课程背景下学科教学的探索”，数学组由我和沈虎跃老师接受了开设公开课的任务，我们根据当时高一新课程的进度，选择了新课程新增内容《三角函数模型的简单应用》开设了两堂公开课，现在我把我们当时的一些想法与做法向大家进行简单的汇报。恳请各位老师的批评指正。

新课程专门设置“三角函数模型的简单应用”一节，目的是加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习，这是以往教学中不太注意的内容。书上选择了4个例题，循序渐进地从四个层次来介绍三角函数模型的应用：

例一：根据图象建立解析式。（研究温度随时间呈周期性变化的问题）； 例二：根据解析式作出图象。（研究与正弦函数有关的简单函数y=|sinx|的图象及其周期）； 例三：将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型。（研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题）；

例四：利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型。（研究港口海水深度随时间呈周期性变化的问题）。

根据教材的安排，我们分两个课时完成这部分内容：例

一、例

二、例三为第一课时，例四为第二课时。在上第一课时时，由于考虑到例二这个内容，在上正弦函数的图象与性质时已提前讲解过，学生也已基本掌握，同时也考虑到本堂课时间的限制，在这里就不再重复。

根据新课程标准，我们将第一课时的教学目标，教学重难点定为：

1、知识目标：a通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图象求解析式的方法；b体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程；c体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．

2、能力目标：让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力．

3、情感目标：让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用，从而激发学生的学习兴趣，培养锲而不舍的钻研精神；培养学生勇于探索、勤于思考的精神。

教学重点：根据已知图象求yAsin(x)b的解析式；将实际问题抽象为三角函数模型。

教学难点：分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型，并调动相关学科的知识来解决问题．

教学过程如下：

首先从同学们比较熟悉的“物理中单摆、弹簧振子对平衡位置的位移与时间的关系”引入，说明在现实世界中存在着不少周而复始，循环不息的现象，包括有物理，地理方面的，也有心理、生理现象以及日常生活现象等，而这些具有周期性变化的现象在数学上有时就可以借助三角函数来描述。这里完全可以让学生举几个例子。学生们的想象是很丰富的，比如说这里的峰谷电，自行车车轮转动，温度变化等就是由学生提出来的。这个界面（幻灯片5）可以体现三角函数应用的广泛性。也可以由这个界面超级链接到各个例题，起到一个提纲挈领的作用。

接下来是例一，已知函数图象求函数解析式，这是老教材就有的内容，只不过套了一个“温度”的外壳。为了体现数学的实用性，即由图象求得解析式后，解析式有什么用，在这里我补充了第三小题“求出8时的近似温度”。这（蓝线）是为了说明如果拿平衡点代入求值时会出现增根，需检验。

接下来是例二（也即书上的例三），为了增加亲切感，我把书中的“北京地区”改为了“宁波地区”，一些数值也进行了相应的改动。本来对这道题我有点担心，觉得“太阳高度角”这个概念自己理解起来都有点费力，学生能理解吗？但实际上我的担心是多余的。学生的地理知识远远超过我，他们很快就能反映过来，“要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡”，只需考虑冬至那天，太阳直射南回归线的情况，因为那一天太阳高度角最小，物体的影子最长。而他们也很快反应到：地球表面某地正午太阳高度角为900减去太阳直射纬度与该地纬度差的绝对值（即900||）。因此解这道题并不是特别困难。我们只需通过这几张幻灯片帮同学们理解一下这个公式的由来，这道题便迎刃而解。

为了进一步拉近数学与我们生活的距离，让学生真实感受到数学来源于生活，生活中就有数学，我们还可以在这里补充这样的反面问题：比如有一天你想买房，某住宅小区楼与楼之间相距15米，你要使所买的楼房一年四季正午的太阳不被前面楼房遮挡，应选择哪几层的房子？

其实我们接触到的三角函数模型的应用有两类：一类是已知模型将其具体化，如例1；另一类是模型未知，需要你根据题目情况选择合适的数学模型加以解决，如例二。当然第二类难度更大。因此为了更好地突破难点，也根据我校学生的实际情况，在做了简单归纳总结后，我补充了例三。

例三的数学模型是未知的，要学生自己寻找合适的数学模型，它对学生思维层次的要求比较高，学生可能会感到困难。因此我借助几何画板加以不停的水轮旋转演示，使学生能够发现角与高度的关系，帮助学生理解题意。经过讨论探究，学生结合正弦函数的定义，给出正确解答。

至于本课的课后体验探究是希望进一步拉近三角函数与学生的距离，激发学生的兴趣。这是可以证明的，留给有兴趣的学生完成。也可以试着让学生自编题目。

以上是第一课时，这堂课通过已知三角函数图象求三角函数解析式，构建三角函数模型解决实际问题，使学生认识到数学原来就来自身边的现实世界，它是认识和解决我们生活工作中问题的有力武器。同时也获得了进行数学探究的切身体验和能力，增强了他们对数学的理解和应用数学的信心。

《三角函数模型的简单应用》的第二课时便是书上的例四“港口海水深度随时间呈周期性变化的问题”，这是继必修1函数这一章节以后，第二次出现的函数拟合问题。但由于陌生的背景，复杂的数据处理，函数思想运用等学生还是会感到困难，我们对它的教学目标定位是：

知识目标：能正确分析收集到的数据，选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴涵的规律，能根据问题的实际意义，利用模型解释有关实际问题，为决策提供依据。

能力目标：体会由现实问题选择数学模型、研究数学模型、解决现实问题的数学建模学习过程，使学生逐步养成运用信息技术工具解决实际问题的意识和习惯； 使学生进一步提升对函数概念的完整认识，培养用函数观点综合运用知识解决问题的能力，培养学生理论与实践相结合，用科学、辩证的眼光观察事物，进而抓住事物的本质。情感目标：体验探索和创造过程，从中获得成功的快乐，体会学习数学知识的重要性，激发对数学的兴趣和树立自信心，渗透数学与现实统一和谐之美。

教学重点：用三角函数模型刻画潮汐变化的规律，用函数思想解决具有周期变化规律的实际问题。

教学难点：对问题实际意义的数学解释，从实际问题中抽象出三角函数模型，并综合运用相关知识解决实际问题。

由于这堂课当时是沈虎跃老师开的公开课，因此在这里我给大家演示的绝大部分也是沈老师的课件，稍做改动。我觉得他是从五个步骤来实现教学过程的。

（一）设置情境，呈现问题

为了增加趣味性，从法国圣米切尔山的涨潮、落潮引入。圣米切尔山是继巴黎铁塔同凡尔赛宫之后，法国第三大景点。它的最大特点是“在水中央”，潮涨时整座山几乎四面环“海”，潮退时则一片荒漠。这个引入大受学生欢迎，激发了他们学习的兴趣。另外也可以这样引入：这是冲浪，依据规定，当海浪高度高于1米时，才对冲浪者开放；这是我们的宁波港。、随后提出问题（幻灯片23）。这两个问题实质上就是本堂课要研究的重点问题，在这里先给学生一个直观感觉，为接下来的例题出现提供背景。

（二）探索实践，寻找模型(1)初步认识

更进一步地提出具体问题（幻灯片24）。

作散点图时，注意引导学生与“五点法”相联系，这样很容易联想到三角函数。我们也完全可以借助计算机exsel来完成作图，由于考虑到潮水涨落的实际情况，我们考虑采用平滑线散点图，而不是折线散点图.根据图象可以考虑用函数yAsin(x)b来刻画水深与时间的关系.由图象求出解析式。求出解析式后便可依赖计算器或计算机求得各整点时的水深的近似值。

(2)深入探索（幻灯片27~30）。问题二也就是说只有当海水深度超过5.5米时，货船才能够安全进出港口，并在港口停留。它的求解如果只利用表格或图象，只能看个大概。要想得到相对精确的数值必须如书上写的依靠计算机或计算器通过函数解析式结合函数周期进行数据运算。

“试试看”是问题二的反面问题，可以借助图象解决，但最快的是利用表格里面的数据。问题三货船的安全水深由一个常量改为了变量，把它抽象为关于时刻x的一个一次函数。我们在列出函数表达式后，也采用数形结合的方法加以解决。可以看到在P点之前必须将船驶向较深水域。书上结合图象用两头逼近的方法非常近似地求得在6点半前驶向较深水域，那么如何比较精确地求得P点的时间值呢？书上注解说用二分法求解，但课堂时间有限，用二分法求解会化费太多的时间，这时我们可以用计算机excel的单变量求解功能来快速求解，以节省时间。

(三)回归现实.提出问题

考虑到问题的实际意义，待问题解决以后，我们要回归现实提问学生：“在货舱的安全水深正好与港口水深相等时停止卸货，行吗？”。事实上这是不行的，因为这样不能保证货船有足够的时间发动螺旋桨。因此虽然我们得出比较精确的时间6.715,但最后我们仍旧要答“为了安全货船最好在6点半之前停止卸货，将船驶向较深水域。”因此书上只求近似值，未求精确解的做法是完全可行。但我们这种求精确点，答近似值的做法可以向学生更好地说明建立数学模型解决实际问题所得的模型是近似的并且得到的解也是近似的，这就需要根据实际背景对问题的解进行具体分析，得出合乎实际的回答。其实刚才的问题二也有同样的情况。

(四)练习反馈,提高能力 在解决好上述问题之后，如时间允许，可进行一些练习，一则可以改编一些问题让学生试着解决；二则也可以让学生就此模型再提出一些其它问题，并加以解决。这里的“练习”是与引入中的“冲浪”相呼应。

(五)总结提炼,延时探究

课后探究：宁波港潮汐与天安门广场国旗的升降时间，并向学生提供网站与信息。将探究活动延续到课后,切实提高学生的数学探究能力与解决问题的能力.以上是我们对<<三角函数模型的简单应用>>这一节知识的肤浅的认识，其中必有很多不足.两堂课上下来之后，我自己也感到有一些困惑，比如说信息技术应用的度的把握，课堂上放手让学生探究与课堂效率的矛盾等等,在此也恳请各位专家老师多提宝贵意见!谢谢大家!

第三篇：《三角函数模型的简单应用》教学设计交流

《三角函数模型的简单应用》教学设计

高一

温欣

新课程专门设置“三角函数模型的简单应用”一节，目的是加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习，这是以往教学中不太注意的内容。书上选择了4个例题，循序渐进地从四个层次来介绍三角函数模型的应用：

例一：根据图象建立解析式。（研究温度随时间呈周期性变化的问题）； 例二：根据解析式作出图象。（研究与正弦函数有关的简单函数y=|sinx|的图象及其周期）；

例三：将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型。（研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题）；

例四：利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型。（研究港口海水深度随时间呈周期性变化的问题）。

根据教材的安排，我们分两个课时完成这部分内容：例

一、例

二、例三为第一课时，例四为第二课时。在上第一课时时，由于考虑到例二这个内容，在上正弦函数的图象与性质时已提前讲解过，学生也已基本掌握，同时也考虑到本堂课时间的限制，在这里就不再重复。

根据新课程标准，我们将第一课时的教学目标，教学重难点定为：

1、知识目标：a通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图象求解析式的方法；b体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程；c体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．

2、能力目标：让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力．

3、情感目标：让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用，从而激发学生的学习兴趣，培养锲而不舍的钻研精神；培养学生勇于探索、勤于思考的精神。

教学重点：根据已知图象求yAsin(x)b的解析式；将实际问题抽象为三角函数模型。

教学难点：分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型，并调动相关学科的知识来解决问题．

教学过程如下：

首先从同学们比较熟悉的“物理中单摆、弹簧振子对平衡位置的位移与时间的关系”引入，说明在现实世界中存在着不少周而复始，循环不息的现象，包括有物理，地理方面的，也有心理、生理现象以及日常生活现象等，而这些具有周期性变化的现象在数学上有时就可以借助三角函数来描述。这里完全可以让学生举几个例子。学生们的想象是很丰富的，比如说这里的峰谷电，自行车车轮转动，温度变化等就是由学生提出来的。这个界面（幻灯片5）可以体现三角函数应用的广泛性。也可以由这个界面超级链接到各个例题，起到一个提纲挈领的作用。

接下来是例一，已知函数图象求函数解析式，这是老教材就有的内容，只不过套了一个“温度”的外壳。为了体现数学的实用性，即由图象求得解析式后，解析式有什么用，在这里我补充了第三小题“求出8时的近似温度”。这（蓝线）是为了说明如果拿平衡点代入求值时会出现增根，需检验。接下来是例二（也即书上的例三），为了增加亲切感，我把书中的“北京地区”改为了“宁波地区”，一些数值也进行了相应的改动。本来对这道题我有点担心，觉得“太阳高度角”这个概念自己理解起来都有点费力，学生能理解吗？但实际上我的担心是多余的。学生的地理知识远远超过我，他们很快就能反映过来，“要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡”，只需考虑冬至那天，太阳直射南回归线的情况，因为那一天太阳高度角最小，物体的影子最长。而他们也很快反应到：地球表面某地正午太阳高度角为900减去太阳直射纬度与该地纬度差的绝对值（即。因此解这道题并不是特别困难。我们只需通过这几张900||）幻灯片帮同学们理解一下这个公式的由来，这道题便迎刃而解。

为了进一步拉近数学与我们生活的距离，让学生真实感受到数学来源于生活，生活中就有数学，我们还可以在这里补充这样的反面问题：比如有一天你想买房，某住宅小区楼与楼之间相距15米，你要使所买的楼房一年四季正午的太阳不被前面楼房遮挡，应选择哪几层的房子？

其实我们接触到的三角函数模型的应用有两类：一类是已知模型将其具体化，如例1；另一类是模型未知，需要你根据题目情况选择合适的数学模型加以解决，如例二。当然第二类难度更大。因此为了更好地突破难点，也根据我校学生的实际情况，在做了简单归纳总结后，我补充了例三。

例三的数学模型是未知的，要学生自己寻找合适的数学模型，它对学生思维层次的要求比较高，学生可能会感到困难。因此我借助几何画板加以不停的水轮旋转演示，使学生能够发现角与高度的关系，帮助学生理解题意。经过讨论探究，学生结合正弦函数的定义，给出正确解答。

至于本课的课后体验探究是希望进一步拉近三角函数与学生的距离，激发学生的兴趣。这是可以证明的，留给有兴趣的学生完成。也可以试着让学生自编题目。

以上是第一课时，这堂课通过已知三角函数图象求三角函数解析式，构建三角函数模型解决实际问题，使学生认识到数学原来就来自身边的现实世界，它是认识和解决我们生活工作中问题的有力武器。同时也获得了进行数学探究的切身体验和能力，增强了他们对数学的理解和应用数学的信心。

《三角函数模型的简单应用》的第二课时便是书上的例四“港口海水深度随时间呈周期性变化的问题”，这是继必修1函数这一章节以后，第二次出现的函数拟合问题。但由于陌生的背景，复杂的数据处理，函数思想运用等学生还是会感到困难，我们对它的教学目标定位是：

知识目标：能正确分析收集到的数据，选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴涵的规律，能根据问题的实际意义，利用模型解释有关实际问题，为决策提供依据。

能力目标：体会由现实问题选择数学模型、研究数学模型、解决现实问题的数学建模学习过程，使学生逐步养成运用信息技术工具解决实际问题的意识和习惯； 使学生进一步提升对函数概念的完整认识，培养用函数观点综合运用知识解决问题的能力，培养学生理论与实践相结合，用科学、辩证的眼光观察事物，进而抓住事物的本质。

情感目标：体验探索和创造过程，从中获得成功的快乐，体会学习数学知识的重要性，激发对数学的兴趣和树立自信心，渗透数学与现实统一和谐之美。

教学重点：用三角函数模型刻画潮汐变化的规律，用函数思想解决具有周期变化规律的实际问题。

教学难点：对问题实际意义的数学解释，从实际问题中抽象出三角函数模型，并综合运用相关知识解决实际问题。

由于这堂课当时是沈虎跃老师开的公开课，因此在这里我给大家演示的绝大部分也是沈老师的课件，稍做改动。我觉得他是从五个步骤来实现教学过程的。

（一）设置情境，呈现问题

为了增加趣味性，从法国圣米切尔山的涨潮、落潮引入。圣米切尔山是继巴黎铁塔同凡尔赛宫之后，法国第三大景点。它的最大特点是“在水中央”，潮涨时整座山几乎四面环“海”，潮退时则一片荒漠。这个引入大受学生欢迎，激发了他们学习的兴趣。另外也可以这样引入：这是冲浪，依据规定，当海浪高度高于1米时，才对冲浪者开放；这是我们的宁波港。、随后提出问题（幻灯片23）。这两个问题实质上就是本堂课要研究的重点问题，在这里先给学生一个直观感觉，为接下来的例题出现提供背景。

（二）探索实践，寻找模型(1)初步认识

更进一步地提出具体问题（幻灯片24）。

作散点图时，注意引导学生与“五点法”相联系，这样很容易联想到三角函数。我们也完全可以借助计算机exsel来完成作图，由于考虑到潮水涨落的实际情况，我们考虑采用平滑线散点图，而不是折线散点图.根据图象可以考虑用函数yAsin(x)b来刻画水深与时间的关系.由图象求出解析式。求出解析式后便可依赖计算器或计算机求得各整点时的水深的近似值。

(2)深入探索（幻灯片27~30）。问题二也就是说只有当海水深度超过5.5米时，货船才能够安全进出港口，并在港口停留。它的求解如果只利用表格或图象，只能看个大概。要想得到相对精确的数值必须如书上写的依靠计算机或计算器通过函数解析式结合函数周期进行数据运算。

“试试看”是问题二的反面问题，可以借助图象解决，但最快的是利用表格里面的数据。

问题三货船的安全水深由一个常量改为了变量，把它抽象为关于时刻x的一个一次函数。我们在列出函数表达式后，也采用数形结合的方法加以解决。可以看到在P点之前必须将船驶向较深水域。书上结合图象用两头逼近的方法非常近似地求得在6点半前驶向较深水域，那么如何比较精确地求得P点的时间值呢？书上注解说用二分法求解，但课堂时间有限，用二分法求解会化费太多的时间，这时我们可以用计算机excel的单变量求解功能来快速求解，以节省时间。

(三)回归现实.提出问题

考虑到问题的实际意义，待问题解决以后，我们要回归现实提问学生：“在货舱的安全水深正好与港口水深相等时停止卸货，行吗？”。事实上这是不行的，因为这样不能保证货船有足够的时间发动螺旋桨。因此虽然我们得出比较精确的时间6.715,但最后我们仍旧要答“为了安全货船最好在6点半之前停止卸货，将船驶向较深水域。”因此书上只求近似值，未求精确解的做法是完全可行。但我们这种求精确点，答近似值的做法可以向学生更好地说明建立数学模型解决实际问题所得的模型是近似的并且得到的解也是近似的，这就需要根据实际背景对问题的解进行具体分析，得出合乎实际的回答。其实刚才的问题二也有同样的情况。

(四)练习反馈,提高能力

在解决好上述问题之后，如时间允许，可进行一些练习，一则可以改编一些问题让学生试着解决；二则也可以让学生就此模型再提出一些其它问题，并加以解决。这里的“练习”是与引入中的“冲浪”相呼应。

(五)总结提炼,延时探究

课后探究：宁波港潮汐与天安门广场国旗的升降时间，并向学生提供网站与信息。将探究活动延续到课后,切实提高学生的数学探究能力与解决问题的能力.

第四篇：《三角函数模型的简单应用》教学设计交流.

苏教版(必修 4 1.3.2 三角函数的应用(第一课时 教材分析

本节选择了 2个例题和 2 个探究案例,循序渐进地从四个层次来介绍三角函数模型的应用 , 素材的选 择上注意了广泛性,新颖性,同时又关注到三角函数的性质的应用。

教学目标

1、体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程;体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模 型.2、让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想 , 从而培养学生的建模、分析 问题、数形结合、抽象概括等能力.3、通过切身感受数学建模的过程,体验数学在解决实际问题中的价值和作用,从而激发学生的学习兴趣;培养学生勇于探索、勤于思考的精神。

教学重难点

教学重点:用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题。教学难点:分析、整理、利用信息,从实际问题中抽取基本的三角函数关系来建立数学模型,并运用 相关学科的知识来解决问题.教法分析

1、数学是一门培养人的思维、发展人的思维的重要学科, 因此, 在教学中, 不仅要使学生“知其然” 而且要使学生“知其所以然”,所以要充分呈现获取知识和方法的思维过程。本节课的特点是三角函数的 应用,所以应让学生多参与,让其自主探究分析问题,然后老师启发、总结、提炼、升华为分析解决问题 的能力。

2、多媒体辅助教学:通过几何画板、动画等技术制作多媒体课件,直观反映生活中的三角函数例子, 并用多媒体反映图形的变化过程。

预习发现、合作交流、讲解点拨、演练提升相结合.教学设计

思路 :我们已经学习了三角函数的概念,图象以及性质,研究了三角函数的周期性,在现实生活中 如果某种变化着的现象具有周期性,那么是否可以借助三角函数来描述呢?对于一个实际问题,如何恰当 选择一个数学模型来刻画它呢?由数学理论巧妙引入到生活中实际问题更易理解接受。

教学过程及设计意图如下: 2

教学设计说明

《标准》把发展学生的数学应用意识和创新意识作为其目标之一 , 在教学中不仅要突出知识的来龙去 脉还要为学生创设应用实践的空间 , 促进学生在学习和实践过程中形成和发展数学应用意识 , 提高学生的 直觉猜想、归纳抽象、数学地提出、分析、解决问题的能力 , 发展学生的数学应用意识和创新意识 , 使其上 升为一种数学意识 , 自觉地对客观事物中蕴涵的一些数学模式作出思考和判断.通过已知三角函数图象求 三角函数解析式,构建三角函数模型解决实际问题.在解答问题的过程中体验到从数学的角度运用学过 的数学思想、数学思维、数学方法去观察生活、分析自然现象、解决实际问题的策略 , 使学生认识到数学 原来就来自身边的现实世界 , 是认识和解决我们生活和工作中问题的有力武器 , 同时也获得了进行数学探 究的切身体验和能力.增进了他们对数学的理解和应用数学的信心.4

第五篇：3、《三角函数模型的简单应用》教学设计.

直线和圆的位置关系 教 学 设 计

课 题: 三角函数模型简单应用 设计者:

学 院: 数学学院 时 间: 2015-9-24 三角函数模型的简单应用

一、教学目标

1、知识与技能:a 通过对三角函数模型的简单应用的学习,使学生初步学会 由图象求解析式的方法;b 根据解析式作出图象并研究性质;c 体验实际 问题抽象为三角函数模型问题的过程;d 体会三角函数是描述周期变化现 象的重要函数模型.2、过程与方法:让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学 “建 模” 思想 , 从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力.3、情感态度价值观:让学生切身感受数学建模的过程,体验数学在解决实 际问题中的价值和作用,让学生切身感受数学建模的过程,体验数学在 解决实际问题中的价值和作用从而激发学生的学习兴趣,培养锲而不舍 的钻研精神;培养学生勇于探索、勤于思考的精神。

二、教学重难点

教学重点:用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题。

教学难点:分析、整理、利用信息,从实际问题中抽取基本的三角函数关系 来建立数学模型,并运用相关学科的知识来解决问题.三、教学过程 1.情景展示,新课导入

【师】 经过前面的学习, 大家知道, 在客观现实世界中存在着大量的周期性变化现象, 而要定量地去刻画这些现象, 我们通常需要借助于三角函数这一重要数学模型。这节课我们 将来学习三角函数模型的简单应用。

【师】 老师想问大家一个问题:若干年后, 如果在座的各位有机会当上船长的话, 当 你的船只要到某个港口去 ,你作为船长,你希望知道关于那个港口的一些什么情况? 【生】水深情况。

【师】 是的, 我们要到一个陌生的港口时, 是非常想得到一张有关那个港口的水深与 时间的对应关系数值表。那么这张表格是如何产生的呢?请同学们看下面这个问题。

问题探究 1:如图所示,下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表: 时刻 水深 /米 时刻 水深 /米 时刻 水深 /米

3:00 7.5 12:00 5.0 21:00 2.5

【师】请同学们仔细观察表格中的数据,你能够从中得到一些什么信息? 【生】(思考中发现水深的最大值是 7.5米,最小值是 2.5米。【师】水的深度变化有什么特点吗? 【生】水的深度开始由 5.0米增加到 7.5米,后逐渐减少一直减少到 2.5,又开始逐渐 变深,增加到 7.5米后,又开始减少。

【师】 大家发现,水深变化并不市杂乱无章, 而是呈现一种周期性变化规律,为了更加 直观明了地观察出这种周期性变化规律,我们需要做什么工作呢? 【生】需要画图。

【师】 非常好, 下面大家拿出一张白纸, 以时间为横坐标,以水深为纵坐标建立平面直 角坐标系,将上面表格中的数据对应点描在平面直角坐标系中去。

(学生活动:作图

【师】(电脑呈现作图结果 大家可以发现如果我们用平滑的曲线将上面所描各点连起 来,得到的图象形状,可以用哪个函数来刻画呢? 【生】跟三角函数模型 sin(y A wx h ϕ=++很象。(师板书 2.5sin 55.50.3(2 6x x π+≥--【师】下面你们能把刚才同学所给的这个函数模型给求出来吗?(学生活动,求解解析式

【生】从数据和图像可以得出:7.52.522.5, 5, 12, 02A h T πϕω-======

【师】这样一来我们就得到了一个近似刻画水深与时间关系的三角函数模型,为 了保 证所选函数的精确性, 通常还需要一个检验过程(因为时间关系, 老师事先已经帮大家检验 过了,这里就不检验,同学们可以下去检验下有了这个模型,我们要制定一张一天 24内 整时刻的水深表,就是件非常容易的事情了.【师】 有了水深关于时间的函数模型以后, 作为船长考虑的问题还没有结束, 因为船只 在进出港时, 每艘船只的吃水深度是不一样, 下面我们就看一看把这两方面的情况都考虑进 去的一个问题: 问题探究 2:一艘货船的吃水深度(船底与水面的距离 为 4米, 安全条例规定至少要有 1.5米的安全间隙(船底与洋底的距离,试问:该船何时能够进入港口?在港口能呆多久? 【师】货船能够进入港口所需要满足的条件是什么?(师生一起分析 【师】只有当“实际水深 吃水深度 +安全间隙”时,船只才可以进去或离开港口。怎 样用数学语言将这一条件给转述出来呢? 【生】 2.5sin 41.56x π≥+,即 sin 0.26x π≥,(师生齐分析解三角不等式,通常我 们是算去边界值,然后再确定解的范围。【师】令 sin 0.26x π=(学生活动:操作计算器计算 0.2014, 0.38486x x π≈=，【师】 我们知道三角方程在实数范围内有解就有无数个, 那么在 [0, 24]范围内 , 其他一 些解该怎么求呢?我们来看图象情况。(电脑呈现图象

发现:在 [0, 24]范围内,方程

0.26x π=的解共有 4个,从小到大依次记为: 那么其他三个值如何求得呢?(学生思考

【师】 得到了 4个交点的横坐标值后, 大家结合图象说说货船应该选择什么时间进港? 什么时间出港呢?(学生讨论,交流

【生】货船可以在 0时 30分钟左右进港,早晨 5时 30分钟左右出港;或者是中午 12时 30分钟左右进港,在傍晚 17时 30分钟左右出港。

【生】货船可以在 0 时 30 分钟左右进港，可以选择早晨 5 时 30 分，中午 12 时 30 分，或者傍晚 17 时 30 分左右出港。【师】上面两位同学分别给出了两种不同的进出港时间方案，同学们说说看，哪一种情 况更符合实际或者说更安全。（学生讨论，最后确定方案 1 为安全方案，因为当实际水深小 于安全深度时，货船尽管没有行驶，但是搁浅后船身完全可以馅入淤泥，即使后来水位上涨，也很可能船身不再上浮）【师】大家看看刚才整个过程，货船在进港，在港口停留，到后来离开港口，货船的吃 深深度一直没有改变，也就是说货船的安全深度一直没有改变，但是实际情况往往是货船载 满货物进港，在港口卸货，在卸货的过程中，由物理学的知识我们知道，随着船身自身重量 的减小，船身会上浮，换句话说，随着货物的卸载，货船的安全深度不再向开始那样一直是 一个常数，现在它

也是一个关于时间的变量，而实际水深也一直在变化，这样一来当两者都 在改变的时候，我们又改如何选择进出港时间呢？请看下面问题： 问题探究 3：一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为 4 米，安全条例规定至少要 有 1.5 米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船在 2：00 开始卸货，吃水深度以每小时 0.3 米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？ 【师】题目中“必须停止卸货”，是在货船即将面临什么危险的时候呢？（学生讨论）【生】当实际水深快要小于或等于安全水深的时候，就必修停止卸货。【师】那么我们先把货船安全需要满足的条件给写出来：安全即需要：实际水深 安全 水深 即： 2.5sin x 6  5  5.5  0.3(x ，2 【师】这样的不等式大家会解吗？ 【生】不会 【师】用代数的方法不会解的时候，我们不妨从几何的角度来考虑这个问题。（电脑作 图并呈现）

通过图象可以看出，当快要到 P 时刻的时候，货船就要停止卸货，驶向深水区。那么 P 点的坐标如何求得呢？（学生思考，讨论，交流）【师】P 点横坐标即为方程 2.5sin x 6  5  5.5  0.3(x 解，很显然，精确解我们是无法求 2 得，我们只能是求得其近似解，同学们回忆回忆，前面我们在求方程的近似解的时候通常采用什么方法？ 【生】二分法，【师】如何用二分法求得近似解呢？（师生一道分析）由图得点 P 在[6，7]，故我们 只需要算出 6，6.5，7 三个时刻的安全水深与实际水深的数值表就可以回答上面的问题。时间 6．0 6．5 7．0 实际水深 5米 4．2 米 3．8 米 安全水深 4．3 米 4．1 米 4．0 米 是否安全 安全 较安全 危险 货船应该在 6 时 30 分驶离港口。（可能有的同学有些异议，可以讨论）【师】从这这个问题可以看出，如果有时候时间控制不当，货船在卸货的过程中，就会 出现货还没有卸完，不得已要暂时驶离港口，进入深水区，等水位上帐后在驶回来。这样对 老板来说就会造成才力、物力上的巨大浪费？这显然不是老板愿意看到的。那改怎么来做 呢？（学生讨论）【生】可以加快卸货速度，也就是加快安全深度下降速度。【师】看下面这个问题： 问题探究 4：若船的吃水深度为 4 米，安全间隙为 1。5 米，该船在 2：00 开始卸货，货物 卸空后吃水深度为 2 米，为了保证进入码头后一次性卸空货物，又能安全驶离码头，那么每 小时吃水深度至少要以多少速度减少？（学生课后探究）

3．课时小结，认识深化（师生一起归纳）3-1 回顾我们整个探究过程，经历了这么几个阶段 第一阶段：收集数据-----画散点图（为了更加直观形象揭示变化规律）第二阶段：根据图象特征---选择适当函数类型，并求得函数类型 第三阶段：函数模型在实际问题中的应用 3-2 在整个探究过程，我们用到数学常见的一些 思想方法：（1）对实际问题处理过程是，首先是挖掘其中的数学本质，将实际问题转化为数学问题； 体现了数学中的转化思想；（2）在对一些数据处理的过程用到了估算的思想；（3）在用代数方法处理困难的一些题目的解决中，用到了数形结合的思想；（4）在方程的求解过程中，用到了算法中“二分法”思想。【师】 这节课我们利用数学中的三角函数处理了实际生活中货船进出港问题，这只是三角函 数在实际生产、生活中应用的“冰山一角”，希望大家在学习的过程做个有心人，学会用数 学的眼光去看待身边的一些自然和社会现象，同时并努力去尝试用学过的数学知识处理一些 实际问题。4．作业布置 P66 A 组第四题