近世代数课程总结

第一篇：近世代数课程总结

近世代数基础Ⅱ学习报告

现代数学

现代数学的主要研究方向为结构数学,结构反映事物构成部分之间的关系，部分与整体的关系,或几种事物间的相互组成联系。现代数学的基础是集合，在集合上附加代数结构、分析结构和拓扑结构或集合结构得到数学的各种分支。本门课程的主要学习内容就是以集合理论为基础而逐步展开的。群论是在集合上赋予运算法则，形成群、环、域等基本的运算系统；流形同样是在集合上赋予相应的结构而形成具有独特性质的数学研究对象。这些抽象的理论往往会在实际系统中得到应用，用集合的思想去解决问题往往会提升效率。

一 抽象代数

1.1 群

定义

群是特殊的集合，它是一个包含了二元运算法则并满足一定条件的集合。一般说来，群G是指对于某种运算法则满足以下四个条件的集合：

(1)封闭性：若a,bG，则存在唯一确定的cG使得abc；

(2)结合律成立：任意a,b,cG，有(ab)ca(bc)；

(3)单位元存在：存在eG对任意aG，满足aeeaa；

(4)逆元存在：对任意aG，存在唯一确定的bG使得abbae；若群还满足交换律，则成为交换群或者阿贝尔群。

若群G中元素个数有限，则G为有限群；否则称为无限群。有限群的元素个数称为有限群的阶。

子群

对于群G，若集合HG对于群G上定义的二元运算构成一个群，则称H是G的子群，记做HG。

小结

在群论的研究中，我们需要关心的是个元素之间的运算关系，即群的结构，而不用去管某个元素的具体含义是什么。

1.2 环

当在一个集合上附加两种代数运算，而这两种运算是有机集合，可得到所谓的环。

定义

设R是一个非空集合，其上定义了两种二元运算，通常表示为加法+和乘法，若(1)(R,)是交换群

(2)(R,)是半群

(3)乘法对加法满足分配律

则称R为一个环。环也是一种群。

子环

环R的一个非空子集S，若对于R的两种运算构成一个环，则称S为R的子环。

整环

设R为含单位的环，且10。若R为没有零因子的交换环，则称R为整环。

1.3 域

域也是一种环，要求要满足交换律，除了有+的单位元还要有的单位元(二者不等)，除了+的单位元外其他元素都有的逆元。

1.4 群的应用

群是刻画事物对称性的有效工具，比如图形的对称、函数的对称等。

二 微分几何

微分几何学是运用数学分析的理论研究曲线或曲面上一点的邻域的性质，即研究一般曲线或曲面在小范围上的性质。它主要包含曲线论和曲面论。曲线论主要就是Frenet公式，曲面论主要是从曲面上曲线的弧长公式推出曲面的第一基本形式（等距变换，保角变换，内蕴量的性质），从曲面与切平面间的有向距离推出第二基本形式，而曲率的推导顺序是：曲面上曲线的曲率、法曲率、主曲率、高斯曲率和平均曲率。微分几何有两个十分重要的基础：坐标变换和求导的技巧。在学习微分几何之前需要熟练运用这两个部分。

标架

标架，这一概念在张量分析的学习中曾经涉及到。张量可以看作一个实体（几何体，几何量），这个实体由这组分量和分量所对应的基共同构成。通常说的张量是不依赖于坐标系的，而观察者和标架是等同的。用一个坐标系来充当观察者，再配上时间坐标，标架成为四维的。坐标系和标架（或者观察者）是不同的，同

一个标架下可以观察到多个“坐标系”。

测地线

曲面上测地曲率恒等于零的曲线，称为测地线。平面上的测地线就是直线； 测地线的概念就是平面上直线的概念在曲面上的推广。曲面上的曲线，当且仅当它是直线或者它的主法向量处处是曲线的法向量时，它才是测地线。旋转面上的经线是测地线，球面上的大圆周是测地线。

距离最短的曲线在相对论中的专业术语是测地线，事实上，相应于速度小于

C、等于c、大于c 的三种测地线分别称为类时测地线，类光测地线和类空测地线。

三 微分流形

3.1微分流形的数学定义

n 维流形就是一个Hausdorff 空间，它的每一点有开邻域与n 维欧式空间的开集同胚。微分流形是一类重要的拓扑空间，它除了具有通常的拓扑结构外，还添加上了微分结构，因而可以应用微积分学，从而就能建立一些微分几何的性质。

3.2流形描述

流形（Manifold），是局部具有欧几里得空间性质的空间。流形在数学中用于描述几何形体，它们提供了研究可微性的自然的舞台。物理上，经典力学的相空间和构造广义相对论的时空模型的四维伪黎曼流形都是流形的实例。

3.3 流形的应用

可以把经典数学分析中的几个著名公式，如格林公式、高斯公式、斯托克司公式等在高维的流形上，利用外微分，统一为一个形式。

空间最最本质的东西就是有关测度的概念。测度不同，导致空间定义，空间结构和形式的不同。欧氏空间和黎曼空间的区别也在于此，有了测度的概念，任何空间的构型就可以被决定，对空间的研究也就不再成问题。那么我们怎样来度量空间，显然欧氏空间已经不再十分凑效，我们只能选择黎曼流形。这就是光在宇宙中为什么沿着一条测地线前进，而不是直线。

第二篇：近世代数第一章小结

第一章小结

本章主要研究群的有关问题：定义性质、子群及不变子群、三类重要的群——变换群、置换群、循环群、同态与同构，主要内容有：

一、基本概念

子集--相等集合交集集合集合运算并集积集（笛卡儿积）单射映射满射 预备知识

双射映射变换代数运算等价关系与分类交换群（阿贝尔群Abel),（a,bG,有abba）非交换群（a,bG，使abba)群定义有限群G—阶Gn无限群G—阶G子群子群正规子群 群陪集--商群变换群——由一个非空集合的若干一一变换构成的群三种重要群置换群——由n元有限集合的若干一一变换（置换）构成的群循环群——每个元素都是某个元的幂存在保运算的映射同态两个群的关系同构存在保运算的一一映射单位元、逆元、元素的阶、子群在群中的指数

.二、主要结论

1.群的基本性质： 1）——5），定理1.2.1，1.2.2； 2.元素阶的性质：定理1.2.3---1.2.4 3．子群的判别条件（重点）

为群(1)任给（2）任给（3）任给 的非空子集.则 , 有 , 有 , 有 为 的子群的充分必要条件是: , 有

.，任给

.（只适合有限子集）

子群的性质：子群的交集仍是子群 4．陪集、商群性质

设 是 的子群, 则

（1）aH=Ha=H当且仅当 a∈H

（2）（3）

（4）集之并.（5）(拉格朗日定理)有限群 的任一元素a 的阶都是群（7）设 为有限群.的任一子群 的阶数是群 的阶数的因子.且|G|=|H|[G：H]（6）有限群 当且仅当 当且仅当 , ，;;

可以表示成一些不相交的左(右)陪 的任何两个左(右)陪集或者完全相同, 或者无公共元素.因此 的阶数的因子.即|a|||G| , 则对任意的 ，.5.正规（不变）子群的判别条件

N是群 的子群，则N是G的不变子群的充要条件是（1）任意的（2）, 都有 aN=Na , ,;，.（3）6.变换群、置换群、循环群的结论

（1）一个集合A的所有一一变换作成一个变换群。(2)(凯莱定理)任一群都同构于一个变换群.推论：任一个有限群都同构于一个置换群.(3)

个元素的全体置换关于置换的乘法构成群.(4)每一置换可唯一表为若干个不相交轮换(循环置换)的乘积(5)每一循环置换都可以表为若干个对换的乘积.(6)

每一置换都可表为若干个对换的乘积

(7)设 为群, , 则|a|=|a-1|（8）设（9）设（10）设 为群, 为群, ,ΙaΙ=n且 , 则., 如果 |a|=n,则

|ar|=n/d(d=(r,n))

.则 为 阶循环群，为 的生成元的充分必要条件是

（11）循环群必是交换群.（12）循环群的子群必是循环群

（13）设 为循环群, 且G=（a）则

如果

如果

7.同态、同构性质 , 则 , 则

;(1)设G是一个群，G 是一个非空集合，若G与G对于它们的乘法来说同态，则G也是一个群

(2)定理1.8.2 设 与G是群, 是 到G的同态映满射.1)如果 是 的单位元, 则 ，是

是G的单位元;

在G中的逆元.即

2)对于任意的

(3)定理1.8.3-----满射、单射的条件

(4)定理1.8.4——同态映射保子群、正规子群.(5)定理1.8.5------同态基本定理

三、基本方法与题型

1、群的判别----定义法

2、子群的判别方法（四种方法）：定义法； 定理1；定理2；定理3（有限）；

3、正规子群的判别方法（四种方法）：定义法； 定理1）-3）；

4、求有限群的子群方法：（重点掌握循环群的子群求法）

1）确定子群的可能阶数； 2）按阶数确定可能的子集；3）判断哪个是子群。

5、求正规子群方法：1）求子群； 2）判别哪些子群是正规子群（交换群的子群都是正规子群）

6、求陪集：定义法

7、求商群方法：按定义

8、计算置换的乘积、逆、阶----定义方法

9、把置换表成不相连的循环置换的乘积或对换的乘积

10、求元素的阶：1）定义方法 2）有关性质

11、判别循环群方法：定义法

12、同态、同构映射的判断：定义方法

13、群同态、同构的证明：构造同态或同构映射 14.单、满、双射的判断----定义法 15.等价关系的判断----定义法，传递性

第三篇：近世代数期末考试试卷及答案

近世代数模拟试题三

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、6阶有限群的任何子群一定不是（）。A、2阶

B、3 阶 C、4 阶 D、6 阶

2、设G是群，G有（）个元素，则不能肯定G是交换群。A、4个 B、5个 C、6个 D、7个

3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（）。

A、偶数 B、奇数 C、4的倍数 D、2的正整数次幂

4、下列哪个偏序集构成有界格（）

A、（N,）B、（Z,）C、（{2,3,4,6,12},|（整除关系））D、(P(A),)

5、设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（）

A、(1)，(123)，(132)B、12)，(13)，(23)C、(1)，(123)D、S3中的所有元素

二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

1、群的单位元是--------的，每个元素的逆元素是--------的。

2、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则f1fa----------。

3、区间[1，2]上的运算ab{mina,b}的单位元是-------。

4、可换群G中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——————————。

5、环Z8的零因子有-----------------------。

6、一个子群H的右、左陪集的个数----------。

7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的---------。

8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的-----------。

n9、设群G中元素a的阶为m，如果ae，那么m与n存在整除关系为--------。

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？

2、S1，S2是A的子环，则S1∩S2也是子环。S1+S2也是子环吗？

3、设有置换(1345)(1245)，(234)(456)S6。

1．求和1；

2．确定置换和1的奇偶性。

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）

1、一个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想。

2、M为含幺半群，证明b=a-1的充分必要条件是aba=a和ab2a=e。

近世代数模拟试题三

参考答案

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1、C；

2、C；

3、D；

4、D；

5、A；

二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

1、唯

一、唯一；

2、a；

3、2；

4、24；

5、9、mn；

6、相等；

7、商群；

8、特征；；

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

1、解 在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只1种，四白一黑1种，三白二黑2种，…等等，可得总共8种。

2、证 由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,b∈S1∩S2 有a-b, ab∈S1∩S2：

因为S1，S2是A的子环，故a-b, ab∈S1和a-b, ab∈S2，因而a-b, ab∈S1∩S2，所以S1∩S2是子环。S1+S2不一定是子环。在矩阵环中很容易找到反例：

1(1243)(56)

3、解： 1．，(16524)；

2．两个都是偶置换。

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）

1、证明：假定是R的一个理想而不是零理想，那么a0，由理想的定 3

1a义a1，因而R的任意元bb1

这就是说=R，证毕。

2、证 必要性：将b代入即可得。充分性：利用结合律作以下运算： ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e，ba=(ab2a)ba=ab2(aba)=ab2a=e，所以b=a-1。

—————————————————————————————————————— 一．判断题(每小题2分,共20分)

1.实数集R关于数的乘法成群.（）2.若H是群G的一个非空有限子集，且a,bH都有abH成立，则H是G的一个子群.（）3.循环群一定是交换群.（）4.素数阶循环群是单群.（）

5.设G是有限群，aG，n是a的阶，若ake，则n|k.（）

6.设f是群G到群G的同态映射，H是G的子群，则fH是G的子群.（）7.交换群的子群是正规子群.（）8.设G是有限群，H是G的子群，则GH|G|.（）|H|9.有限域的特征是合数.（）10.整数环Z的全部理想为形如nZ的理想.（）二．选择题(每小题3分,共15分)11.下面的代数系统G,中，（）不是群.A.G为整数集合，为加法； B.G为偶数集合，为加法； C.G为有理数集合，为加法； D.G为整数集合，为乘法.12.设H是G的子群，且G有左陪集分类H,aH,bH,cH.如果H的阶为6，那么G 的阶G（）

A.6；

B.24；

C.10；

D.12.4

13.设S31,12,13,23,123,132,，则S B.2；

C.3；

3中与元123不能交换的元的个数是

A.1；

D.4.14.从同构的观点看，循环群有且只有两种，分别是（）

A.G=（a）与G的子群；

B.整数加法群与模n的剩余类的加法群； C.变换群与置换群；

D.有理数加法群与模n的剩余类的加法群.15.整数环Z中，可逆元的个数是()。

A.1个

B.2个

C.4个

D.无限个 三．填空题(每小题3分,共15分)

16.如果G是全体非零有理数的集合，对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是.17.n次对称群Sn的阶是____________.18.整数加法群Z关于子群nZ的陪集为.19.设N是G的正规子群，商群GN中的单位元是。

20.若R是交换环, aR则主理想a____________.四．计算题(第21小题8分, 第22小题12分，共20分)21.令6123456123456，543212315641621354，计算,.123456

22.设H{(1),(123),(132)}是3次对称群S3的子群，求H的所有左陪集和右陪集，并说明H是否是S3的正规子群.五．证明题(每题10分,共30分)

23.设G是群，H是G的子群，证明：aG，则aHa1也是子群

24.设G是群，H是G的正规子群.G关于H的陪集的集合为

GH{gH|gG}，证明：G/H对于陪集的乘法成为一个群，称为G对H的商群.25.证明：域F上全体nn矩阵的集合MnF在矩阵的加法和乘法下成为环.一．判断题(每小题2分,共20分)

1-10 ××√√√ √√√×√ 二．选择题(每小题3分,共15分)11.D；12.B；13.C；14.B；15.B.三．填空题(每小题3分,共15分)16.1； 17.n!；18.nZ,nZ1,,nZn1；

19.N；20.aR.四．计算下列各题(第21小题8分, 第22小题12分，共20分)

21.解：123456546213，4分 6

1123456.8分

31264522.解：H的所有左陪集为

H{(1),(123),(132)}，(23)}4分

12H{(12),(13),；H的所有右陪集为

H{(1),(123),(132)}，H12{(12),(13),(23)}.对S3，有HH，即H是正规子群.12分 五．证明题(每题10分,共30分)

23.证明：因为H是G的子群，对任意x,yH，有xyH.4分 由题意，对任意

1,ax,yH，有ax11ay1aa，a从H而

axaay111aaxy11aaHa1，即aHa1也是子群.10分

24.证明：首先G3分 H对于上述乘法是封闭的，且乘法满足结合律.陪集HeH是它的单位元，eHgHegHgH,gH.7分 又任意gH，有gHgHeHgHgH，即gH是gH的逆元.10分

25.证明：MnF关于加法是封闭的，且满足结合律， 3分 零元是0nn，对任意AnnMnF，有AnnAnn0nn，即Ann的负元是Ann.111MnF关于乘法是封闭的，且满足结合律，单位元是Enn. 8分

乘法关于加法的分配律成立.10分

第四篇：近世代数学习心得论文(中文英文对照)

近世代数学习心得

《抽象代数》是一门比较抽象的学科，作为初学者的我感到虚无飘渺，困难重重。我本来英语学的就不好，看到全英的《近世代数》我似乎傻眼了。通过两个月的学习，发现它还是有规律有方法的。

针对“近世代数”课程的概念抽象、难于理解的特点，我认为理解概念的一种有效方法是多举已学过的典型例子。多看多做，举一反三。比如群论里面有一个最基本的问题就是n阶有限群的同构类型有多少。围绕这个问题可以引出很多抽象的概念，比如元素的阶数，abel群，正规子群，商群，Sylow定理等，同时也会学到如何把这些理论应用到具体的例子分析中学习“近世代数”时，就仅仅背下来一些命题、性质和定理，并不意味着真正地理解。要想真正理解，需要清楚这些命题、性质和定理的前提条件为什么是必要的？而达到这个目的的最有效的方法就是构造反例。

其次是通过变换角度寻求问题的解法，通常是将已知或未知较复杂的问题变换为等价的较简单的问题，或者是将新问题变换为已经解决的问题，或者是将未知与已知关系较少的问题变为已知与未知关系较多的问题等等

先参考着答案做题，然后自己总结方法思路，自己就开始会做了。问题在是否善于总结归纳。

以前学代数的时候从来没有意识到代数是门很抽象的学科，总在练习的过程中靠点小聪明学过来，也由于这段路一直走得非常平坦，我从来没停下来去想想其本身的理论体系的问题。现在想想，也许这就是我一直停留在考试成绩一般，却难以有所作为的原因吧。所以有时走得太快可能未必时间好事。很可惜现在才了解到这一点，同时也还算幸运，毕竟人还在青年，还来得及改正

Modern Algebra learning experience “Abstract Algebra” is a more abstract subjects, as a beginner , I feel vague , difficult.I had to learn English is not good to see the UK 's “Modern Algebra” I seem dumbfounded.Through two months of the study, it is found that there is a regular method.For the “ Modern Algebra ” course abstract concept , difficult to understand the characteristics , I believe that an effective way to understand the concept is to have learned to cite a typical example.See more and more , by analogy.Such as group theory which has a fundamental problem is a finite group of order n is isomorphic to type numbers.Around this problem can lead to many abstract concepts , such as the order of elements , abel group , normal subgroups , quotient groups , Sylow theorems , etc., but also learn how to put these theories to the analysis of specific examples to learn “ Modern Algebra ”, it is just back down a number of propositions , properties and theorems , does not mean that truly understand.To truly understand the need to clear these propositions , properties and theorems prerequisite Why is necessary ? To achieve this purpose the most effective way is to construct counterexample.Followed by changing the angle seek a solution, usually known or unknown to the more complex problem is converted into an equivalent simpler problem , or is transformed into a new problem has been solved , or is unknown with the known relations fewer problems become more known and unknown relationship problems, etc.Do question the answer to the first reference , and then summarize their way thinking that he began to do it.Whether good at summarizing the problem.Previously learned algebra algebra is never realized when the door is very abstract subject , always in the process of practice by learning a little smarter over, but also because this section has gone very flat , I never stopped to think about their own theoretical system problems.Now think about it , maybe this is what I have been stuck in test scores in general, but the reason it is difficult to make a difference.So sometimes a good thing going too fast may not be time.Unfortunately now I understand this, but also lucky , after all, people are still young , still have time to correct

第五篇：近世代数 第三章小结

第三章 环与域总结

第一节

加群、环的定义

定义：一个交换群叫做一个加群。

⑴一个加群的唯一的单位元叫做零元，记作0。

⑵元a的唯一的逆元叫做a的负元，记作-a，简称负a。环的定义：（R,,）

①（R+）是交换群（R对+封闭）；

②· ：RRR满足结合律，即a,b,cR,abcabc ③+和·都满足分配律：即对a,b,cR满足

abcabac

bcabaca

称R在+和·运算下是环。①.R是一个加群；

②.R对于另一个叫做乘法的代数运算来说是闭的；

③.这个乘法适合结合律：

abcabc，不管a,b,c是R的哪三个元；

④.两个分配律都成立：

abcabac,bcababc，不管a,b,c是R的哪三个元。

环满足如下运算： ①0aa0,对aR ②abcabac

abcacbc

③acacac,acac

mnmn④a1a2anb1b2bnaibjaibj

i1j1i1j1定义：（R,,），若对a,bR,有abba,即满足交换律的环是交换环。

（R,,），若eR,对aR,eaaea则称e为R的一个单位元。一般地，一个环不一定有单位元。

（R,,），含有单位元e，,aR若bR，使得abbae,则称b是a的逆元。

（R,,），ab,b0，若ab0,则称a为左零因子，b为右零因子。既是左零因子又是右零因子的元叫做零因子。在交换群中无左右零因子，只有零因子。

定理：无零因子环里两个消去律都成立： a0,abacbc（左消去）

a0,bacabc（右消去）

在一个环里如果有一个消去律成立，那么这个环没有零因子。

推论：在一个环里如果有一个消去律成立，那么另一个消去律也成立。整环的定义：一个环R叫做一个整环，假如满足： ①R是交换环：

abba

②R是单位环，有单位元1：1aa1a

③R是无零因子环（满足消去律）：ab0a0或b0

这里a,b可以是R中的任意元。

第二节 除环、域

除环的定义：一个环R叫做一个除环，假如满足：

①R中至少包含一个不等于零的元

②R中有一个单位元

③R的每一个不等于零的元都有一个逆元 域的定义：一个交换除环叫做一个域。除环和域的几个重要性质：

⑴除环没有零因子（满足消去律）

⑵一个除环的不等于零的元对于乘法来说作成的群RR0，叫做R的乘群。因为 ① 封闭性a0,b0,则ab0R

② 满足结合律

③ 有单位元10R

④ 有逆元a0,a10R

第三节 环的特征

定理：在无零因子环中，所有非零元在加法运算下的阶是一致的，称此阶是环的特征。定理：无零因子环的特征要么是无穷，要么是素数。第四节 子环

子环的定义：一个环R的一个子集S叫做R的一个子环，假如S本身对于R的代数运算来说作成一个环。

一个环R的一个子集S叫做R的一个子除环，假如S本身对于R的代数运算来说作成一个除环。

第五节、同态 同态的定义：（R,,）（R,,）环，f：RR映射，若满足下列条件：

①a,bR,fabfafb ②a,bR,fabfafb 若f是同态满射，则称R和R同态。

定理：（R,,），（R,,）,R与R同态，则f00,fafa,fa1fa。

1 若R是交换环，则R是交换环。

定理：如果环R与R同构，则有：若R是整环，则R是整环；若R是除环，则R是除环；若R是域，则R是域。

定理：假定R和R是两个环，且同态。那么R的零元的象是R的零元，R的元a的负元的象是a的象的负元。并且，假如R是交换环，那么R也是交换环；假如R有单位元1，那么R也有单位元1，而且1是1的象。

定理：假定S是环R的一个子环，S在R里的补足集合（这就是所有不属于S的R的元作成的集合）与另一个环S没有公共元，并且SS,那么存在一个与R同构的环R，并且S是R的子环。

第六节 多项式环

多项式定义：一个可以写成a0a1annaiR,n是0的数形式的R0的元叫做

R上的的一个多项式，ai叫做多项式的系数。

多项式环的定义：R叫做R上的的多项式环。

未定元的定义：R0的一个元x叫做R上的一个未定元，假如在R里找不到不都等于零的元a0,a1,,an，使得a0a1xanxn0

多项式次数的定义：令a0a1xanx,an0是环R上一个一元多项式。那么非负整数n叫做这个多项式的次数。多项式0没有次数。对于给定的R0来说，R0未必含有R上的未定元。

定理1：给了一个有单位元的交换环R，一定有R上的未定元x存在，因此也就有R上的n多项式环Rx存在。

无关未定元的定义：R0的n个元x1,x2,,xn叫做R上的无关未定元，假如任何一个R上的x1,x2,,xn的多项式都不会等于零，除非这个多项式的所有系数都等于零。

定理2：给了一个有单位元的交换环R同一个正整数n，一定有R上的无关未定元x1,x2,,xn存在，因此也就有R上的多项式环Rx1,x2,,xn存在。

定理3：假如Rx1,x2,,xn和R1,2,,n都是有单位元的交换环R上的多项式环，那么Rx1,x2,,xn与x1,x2,,xn是R上的无关未定元，1,2,,n是R上的任意元，R1,2,,n同态。

第七节 理想

理想的定义：环R的一个非空子集叫做一个理想子环，简称理想。假如

①a,b,则ab

②a,rR,ra,ar

注：理想是子环，但子环不一定是理想。

一个环至少有两个理想：①只包含零元的集合，这个理想叫做R的零理想②R本身，称单位理想。

定理1：除环只有两个理想，即零理想和单位理想。

主理想的定义：aR，由a生成的理想（即包含a的所有理想的交或包含a的最小理想）称为主理想，记为（a）。第八节 剩余类环

剩余类的定义：对于给定的环R及其一个理想，若只就加法来看，R作成一个群，作成R的一个不变子群。这样的陪集a,b,c,作成R的一个分类。我们把这些类叫做模的剩余类。

定理1：假定R是一个环，是它的一个理想，R是所有模的剩余类作成的集合，那么R本身也是一个环，并且R与R同态。

剩余类环的定义：R叫做环R的模的剩余类环，用符号R/来表示。

定理2：假定R和R是两个环，并且R和R同态，那么这个同态满射的核是R的一个理想，并且R/R。

定理3：在环R到环R的一个同态满射下，有 ①R的一个子环S的象S是R的一个子环； ②R的一个理想的象是R的一个理想； ③R的一个子环S的逆象S是R的一个子环； ④R的一个理想的逆象是R的一个理想。

第九节 最大理想 最大理想的定义：一个环R的一个不等于R的理想叫作一个最大理想，假如除了R同自己以外，没有包含的理想。

注：除环的最大理想是零理想（除环包括域）定理：是R的理想（R），R/只有平凡理想是R的最大理想。引理：R是含有单位元的交换环，若R只有平凡理想，则R是域。

定理：R是有单位元的交换环，是环R的理想，则R/是域是最大理想。第十节 商域

定理1：每一个没有零因子的交换环R都是一个域Q的子环。定理2：Q是所有元aa,bR,b0所作成的，这里aab1b1a bb商域的定义：一个域Q叫做环R的一个商域，假如Q包含R，并且Q刚好是由所有元aa,bR,b0所作成的。b定理3：假定R是一个有两个以上的元的环，F是一个包含R的域，那么F包含R的一个商域。

定理4：同构的环的商域也同构。一个环最多只有一个商域。

总结：

本章定理，推理及引理：

⒈在一个没有零因子的环里两个消去律都成立：

a0,abacbca0,bacabc

反过来，在一个环里如果有一个消去律成立，那么这个环没有零因子。

推论：在一个环里如果有一个消去律成立，那么另一个消去律也成立。2.在一个没有零因子的环R里所有不等于零的元对于加法来说的阶都是一样的。3.如果无零因子环R的特征是有限整数n，那么n是一个素数。

推论：整环，除环以及域的特征或是无限大，或是一个素数p。

4.若是存在一个R到R的满射，使得R与R对于一对加法以及一对乘法来说都同态，那么R也是一个环。

5.假如R和R是两个环，并且R和R同态。那么R的零元的象是R的零元，R的元a的负元的象是a的象的负元。并且，假如R是交换环，那么R也是交换环；假如R有单位元1，那么R也有单位元1，并且1是1的象。

6.假定R同R是两个环，并且RR。那么，若R是整环，R也是整环；R是除环，R也是除环；R是域，R也是域。

7.假定S是环R的一个子环，S在R里的补足集合与另一个环S没有共同元，并且SS。那么存在一个与R同构的环R，并且S是R的子环。

8.给了一个有单位元的交换环R，一定有R上的未定元x存在，因此也就有R上的多项式环Rx存在。

9.给了一个有单位元的交换环R同一个正整数n，一定有R上的无关未定元x1,x2,,xn存在，因此也就有R上的多项式环Rx1,x2,,xn存在。

10.假如Rx1,x2,,xn和R1,2,,n都是有单位元的交换环R上的多项式环，x1,x2,,xn是R上的无关未定元，1,2,,n是R上的任意元，那么

Rx1,x2,,xn与R1,2,,n同态。11.一个除环R只有两个理想，就是零理想和单位理想。12.假如R是一个环，u是它的一个理想，R是所有模u的剩余类作成的集合，那么R本身也是一个环，并且R与R同态。

13.假定R同R是两个环，并且R与R同态，那么这个同态满射的核并且Ru是R的一个理想，uR。

14.在环R到环R的一个同态满射之下，i.R的一个子环S的象S是R的一个子环；

ii.R的一个理想u的象u是R的一个理想；

iii.R的一个子环S的逆象S是R的一个子环；

iv.R的一个理想

u的逆象u是R的一个理想； 15.假定R是一个有单位元的交换环，u是R的一个理想。Ru是一个域，当而且只当u是一个最大理想的时候。

16.每一个没有零因子的交换环R都是一个域Q的子环。

aa(a,bR,b0)所作成的，这里ab1b1a。bb 18.假定R是一个有两个以上的元的环，F是一个包含R的域，那么F包含R的一个商 17.Q刚好是由所有元域。

19.同构的环的商域也同构。

常用的计算规则：

⑴.0aa0a

⑵.aaaa0

⑶.aa

⑷.acbcba

⑸.abab,abab

⑹.mnamna,nabnanb ⑺.abcacbccabcacb

⑻.0aa00（这里的0都是R的零元）⑼.ababab ⑽.abab

⑾.ab1b2bnab1ab2abn

b1b2bnab1ab2abna

⑿.a1a2amb1b2bna1b1a1bnamb1ambn

⒀.nabanbnab

⒁.amanamn

amnamn

数学与信息学院 09级数本（1）班 段 秀 宽 20092111869 2012.5.25