两条直线的垂直（五篇范文）

第一篇：两条直线的垂直

两条直线的垂直

撰稿：第一组审稿：高二数学组时间;2009/9/2

5一、教学目标：

1.掌握用斜率判定两直线垂直的方法，感受用代数方法研究几何图形性质的思想。

2.通过分类讨论，数形结合等数学思想的运用，培养学生思维的严谨性、辩证性。

二、教学重点：用斜率来判定两直线垂直的方法。

教学难点：数形结合求垂直直线的斜率和方程

三、知识链接:1.直线的倾斜角、斜率的概念

2.直线的方程及各种形式的互化

3.两条直线的平行

四、教学过程：

通过上一节课的学习，我们已经知道与直线Ax+By+C＝0平行的所在直线的方程可以表示为Ax+By+m＝0（m∈R，mC）

那么：与直线Ax+By+C＝0垂直的所有直线的方程又如何表示呢？我们来看：

若l1⊥ l2（l1、l2都不与x轴垂直）

如图：作出两个直角三角形。（直角边分别平行于坐标轴）

STPQ

=k2设l1、l2的斜率为k1、k2，=k1QRPS

由于Rt⊿PST∽Rt⊿PQR（因为∠TPS=∠RPQ）

故ST

PS=QR

PQ

k2从而k1=－即k1k2=－

1反过来，若k1k2=－1，则l1⊥ l2。因此，我们得到：

当两条直线的斜率都存在时，如果它们互相垂直，那么，它们的斜率的乘积等于－1。反之；如果它们的斜率的乘积等于－1，那么它们互相垂直。即：

l1⊥ l

2k1k2=－1（k1、k2均存在）

还有其他的证明方法吗？

思考题：若l1、l2其中一条直线的斜率不存在，那么这两条直线什么时候互相垂直？逆命题成立吗？

若一条直线的斜率不存在，且l1⊥ l2，则另一条直线的斜率为0。逆命题同样成立。

例1：已知四点A(5,3)，B(10,6)，C(3,-4)，D(-6,11)

求证：AB⊥CD

(1)已知直线l1的斜率k1=34，直线l2经过点A(3a，－2)，B（0,a2＋1），且l1⊥ l2，求实数a的值

例2如图：已知三角形的顶点为A(2,4), B（1,-2），C(-2,3),求BC边上的高AD所在的直线方程。

练习：判断两条直线的是否垂直：

（1）2x3y7

3x2y4（2）5x2y

52x5y

3（3）x3

y0（4）2xy5

6x3y

4如果它们垂直，试分别计算A1A2+ B1B2的值

结论：（若两直线斜率存在）对于两直线l1：A1x+B1y+C1＝0和l2：A2x+B2y+C2＝0,若l1⊥ l2，则A1A2+ B1B2＝0

例3在路边安装路灯，路宽23m，灯杆长2.5m，且与灯柱成120°角，路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线与灯杆垂直，当灯柱高h为多少米时，灯罩轴线正好通过道路路面的中线（精确到0.01m）

五、基础达标：

1.过原点O作直线l的垂线，垂足为点N（-2，1），则直线l的方程为.2.直线l1：ax+2y+6=0与直线l2：x+(a-1)y+a2-1=0垂直，则a=.3.已知△ABC顶点坐标为A（1，2），B（-1，1），C（0，3），求BC边上的高所在直线的方程

4.已知直线l1经过点A(2,a),B(a1,3)，直线l2经过点C(2,2),D(2,a2),（1）若l1//l2,求 a的值；（2）若l1l2,求a的值。

今天我的收获。

第二篇：证明两直线垂直的方法

证明两直线垂直的方法

1.矩形四个内角

2.三角形中的两角之和为90°，则另一角必为直角

3.证明两直线中的一条是等腰三角形的底边，另一边是顶角平分线或底边上的中线

4.勾股定理逆定理

5.圆直径所对的圆周角

6.垂径定理的判定

7.利用菱形的对角线互相垂直

8.利用正方形的对角线互相垂直

9.圆的切线垂直于过切点的半径

10.证这两直线中的一直线与第三直线平行，另一直线与第三直线垂直；或证明这两直线各与已知的两垂线平行

11.相交两圆的连心线垂直平分公共弦

12.轴对称那类的图形，对应点垂直于轴

13.到线段两边距离相等的点在这个线段的中垂线上

14.如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形

15.与直角三角形相似的三角形 对应角是直角

16.与直角三角形全等的三角形 对应角是直角

17.利用邻角相等：两直线相交所成的两个邻角相等，可确定两直线垂直

18.点到直线最短的线段

19.45圆周角所对的圆心角

20.等边三角形中，任一顶点与内心所在直线垂直于底边

21.利用已知的直角或其余角：证两直线的夹角等于已知的直角，或证明两直线的夹角是两锐角互余的三角形的第三角

22.矩形中位线垂直他所在的两边

23.利用反证法、同一法

24.平面直角坐标系x、y轴垂直

第三篇：两直线平行与垂直的判定[推荐]

3.1.2 两条直线平行与垂直的判定

授课时间：第八周一、教学目标

1．知识与技能

理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.2．过程与方法

通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用正确知识解决新问题的能力，以及数形结合能力.3．情感、态度与价值观

通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式，激发学生的学习兴趣.二、教学重点、难点

重点：两条直线平行和垂直的条件.难点：启发学生，把研究两条直线的平行或垂直问题，转化为研究两条直线的斜率的关系问题.三、教学方法

尝试指导与合作交流相结合，通过提出问题，观察实例，引导学生理解掌握两条直线平行与垂直的判定方法.教学设想

第四篇：直线和平面垂直教案

直线和平面垂直教案

教学目的

1．进一步理解直线与平面垂直定义的两种用法； 2．理解并掌握直线与平面垂直的判定定理2； 3．理解并掌握直线与平面垂直的性质定理． 教学重点和难点

这节课的重点是使学生进一步理解、掌握直线和平面垂直的定义和判定定理．这节课的难点是直线和平面垂直的性质定理的证明．

教学设计过程

一、复习，讲练上节课所留的作业

师：先请一位同学讲他所做的第32页习题四中的第1题．（教师写出已知、求证并画出直观图）

已知：△ABC，l⊥AB，l⊥AC．（如图1）求证：l⊥BC．

生：因为l⊥AB，l⊥AC，所以 l⊥平面ABC．（线面垂直的判定定理）故 l⊥BC．（线面垂直的定义）

师：对，在上一节我们讲直线和平面垂直的定义时，就强调过在立体几何中这是一个很重要的定义，我们一定要很好地理解、应用．线面垂直的定义既是线面垂直最基本的判定方法，在线面垂直判定定理的证明思路就是回到定义去．关于这一应用在上节课中已经做了详细的说明．线面垂直的定义又是线面垂直的最基本的性质，当我们知道直线和平面垂直后，这平面的垂线就和平面内任何一直线都垂直，所以应用线面垂直的定义是证明两直线垂直常用的方法之一． 师：现在我们来看第32页习题四的第2题．请一个同学回答．（写出已知、求证和根据已知条件而画的直观图，我们叫它为起始图）

已知：直线a∥平面α，直线b⊥平面α．（如图2（1））求证：b⊥a．

生：过a作平面β，设β∩α＝c，因为a∥α，所以a∥c．（线面平行的性质定理）

又因为b⊥α，因此b⊥c，故b⊥a． 师：我们怎样想到要过a作平面β的呢？

生：这是线面平行的性质定理的要求．因为在线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．在图中没有这条交线，所以我们就要作平面β∩α＝c，作出这条交线，以满足定理的要求a平行交线c．

师：这是定理要求我们作辅助面．在立体几何解题过程中，我们经常要作辅助线、辅助面，我们根据什么原则来作辅助线、辅助面呢？有两条原则：一是用概念来指导作图，这在求异面直线所成的角时，我们曾反复强调；二是用定理来指导作图．这就是今天我们在证明这个题时要明确的．这是在立体几何中作辅助线、辅助面的两条基本原则，遵循这两条原则就说明解题的思路是正确的，就使解题的正确性有了基本的保证；反之，如果违背了这两条原则，那就说明了第一步就走错了方向．这一题肯定不可能做对．所以作辅助线、辅助面这两条原则我

们一定要理解、记住，并且在解题过程中应用．当然，以后随着课程内容不断的展开，我们还会反复强调这两条原则．

以前我们还讲过要使直观图有好的视觉效果，还要注意视角的选择，这一题的起始图（根据已知条件所画出的直观图）看起来它的视觉效果并不好，但当我们证完这道题，看到它的终止图（解完题后的直观图）视觉效果就比较好，所以视角选择好与不好要以终止图的视觉效果好与不好为标准．这样在解完一道题后，有时要重新设计起始图的画法，以保证终止图有最好的视觉效果．

二、直线与平面垂直的判定定理2．

师：这是课本第25页的例1，我们把它正式升格为判定定理2．我们来看下面的模型就很容易了解定理的内容．（这时拿出两根小棍平行地放在课桌面上，并使其中一根与桌面垂直，让学生观察另一根与桌面的关系）a∥b，如果a⊥平面α，那么b与平面α是什么关系？

生：b也垂直平面α．

师：这就是线面垂直的判定定理2．

判定定理

2如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面．

已知：a∥b，a⊥α．（如图3）求证：b⊥α．

师：判定定理

1、判定定理2，这里的1，2不是人为的排列，而是有它内在的逻辑关系，也就是说我们可以应用判定定理1来证明判定定理2，那么我们如何用判定定理1来证明判定定理2呢？

生：为了用判定定理1，我们可以首先在平面α内作两条相交直线m，n． 因为 a⊥α，所以 a⊥m，a⊥n．（线面垂直的定义）

又因为 a∥b，所以 b⊥m，b⊥n．（一条直线垂直于平行线中的一条也就垂直于另一条）故 b⊥α．（线面垂直的判定定理1）

三、直线和平面垂直的性质定理

师：现在我们来研究直线和平面垂直的性质定理，先来看模型．（这时教师用两根小棍都垂直于桌面，让学生观察、回答）

生：这两直线平行．

师：这就是直线和平面垂直的性质定理．

直线和平面垂直的性质定理

如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．

已知：a⊥平面α，（如图4）b⊥平面α，求证：a∥b．

师：我们讲过了线面垂直的判定定理1、2．也曾经在讲线面垂直的定义时，把课本中的两句话（第24页）升格为两个定理，即：

定理

过一点有且只有一条直线和一个平面垂直． 定理 过一点有且只有一个平面和一条直线垂直． 现在可以根据上述定理来证明线面垂直的性质定理：

生：可用反证法，假设b a，设b∩α＝O，过O点作b′∥a，因为a⊥α，所以b′⊥α（判定定理2），所以过点O有两条直线b，b′都与平面α垂直，与垂线的唯一性矛盾，所以b

a不能成立，所以b∥a．

师：用反证法证明可以，也可以用同一法，即在证明的开始不做假设b a，证完b′⊥α后，根据垂线的唯一性b′应与b重合，所以b∥a．当然，对反证法和同一法，我们主要要掌握反证法，对同一法只要求有所了解．

四、两个定义

1．点到平面的距离

从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离．

（教师可先用一根小棍垂直于桌面演示，然后给点到平面的距离下定义，下完定义后可指出，点到平面的距离可转化为两点间的距离，即这个点和垂足之间的距离）

2．平行的直线和平面的距离

一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离．

（教师可先用一根小棍和平面平行，演示让学生观察，如何给平行的直线和平面的距离下定义，定义给出后，教师可指出平行的直线和平面的距离可能转化为点到平面的距离，当然也就可转化为两点间的距离）

师：在这定义中，是这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离，那会不会因在直线上所取的点不同，而使距离不同呢？

生：不会，它们之间的距离都相等．

师：对，但为了在理论上说明这个定义的合理性，我们来看下面这个例题． 例

已知：l∥平面α，A∈l，B∈l，AA′⊥α于A′，BB′⊥α于B′．（如图5）

求证：AA′＝BB′．

生：因为AA′⊥α，BB′⊥α，所以AA′∥BB′（性质定理），所以过AA′，BB′作平面β，设β∩α＝A′B′，因为l∥α，所以l∥A′B′，故AA′＝BB′．（平行线间的距离处处相等）

师：通过这个例题的证明，我们就了解了定义的合理性．可以在直线上任意取点．这对于以后我们求平行的直线和平面的距离，提供了很好的思路． 今天我们讲了直线和平面垂直的第2个判定定理，讲了直线和平面垂直的性质定理，在这个基础上还讲了点到平面的距离、平行的直线和平面的距离两个定义．

作业

课本第32页习题四第3，5，8题． 补充题

1．已知：平面α∩平面β＝直线l．A∈α，AB⊥β于B，BC⊥α于C． 求证：AC⊥l．

［提示：证明直线l⊥平面ABC］

2．已知：AB是圆O的直径，C是圆O上不同于A和B的点，PA⊥⊙O所在的平面．

求证：BC⊥PC．

［提示：证明BC⊥平面PAC］

3．已知：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，PB⊥平面ABC，BD⊥PC于D． 求证：（1）AC⊥BD；（2）BD⊥PA．

［提示：（1）证明AB⊥平面PBC：（2）证明BD⊥平面PAC］ 课堂教学设计说明

1．立体几何第一章直线和平面主要研究的是空间两条直线、空间直线和平面、空间两个平面的位置关系，其中以直线与直线的垂直、直线与平面的垂直、平面与平面垂直为重点．而直线与平面的垂直是其中的最重要的一个环节，它是三垂线定理及其逆定理、两平面垂直的判定和性质的基础．所以对直线与平面垂直的定义与判定定理一定要让学生深刻理解、牢固记忆、灵活应用．

2．直线与平面垂直的定义，既是直线与平面垂直的最基本的判定方法，别的判定定理都是根据定义和有关定理经过演绎推理而得，在这个意义上，我们说直线与平面垂直的定义是最基本的判定方法；直线与平面垂直的定义又是直线与平面垂直最基本的性质．别的性质定理是根据定义和有关定理经过演绎推理而得，在这个意义上，我们说直线与平面垂直的定义是直线与平面最基本的性质． 为了使学生理解直线与平面垂直的定义这两种用法，以平面几何中的平行四边形的定义为例．平行四边形的定义既是平行四边形的最基本的判定方法，也是平行四边形的最基本的性质．别的判定定理和性质定理都是根据定义和有关定理经过演绎推理而得．

在这里一定要让学生深刻的理解并掌握应用直线与平面垂直的定义是证明两直线垂直最常用的方法．

3．在课本第24页给直线与平面垂直下定义后的这两句话：“过一点有且只有一条直线和一个平面垂直；过一点有且只有一个平面和一条直线垂直．”是两个定理．关于垂线的唯一性和垂面的唯一性的这两个定理是可以证明的．关于这两个定理的证明可以参看1989年出版的《立体几何全一册（甲种本）教学参考书》第47页第11题（1）、（2）．要让学生了解这两个定理，并会应用这两个定理，在证明直线和平面垂直的性质定理时，用到垂线的唯一性，以后在证课本第38页习题五第4题时还要用到垂线的唯一性和垂面的唯一性．

为什么课本在这里只是提出两个唯一性没有明确是两个定理也没有证明呢？这是课本的编者为了降低学习立体几何的难度而这样处理的．但我以为还是明确垂线的唯一性、垂面的唯一性是两个定理，但可以不予证明而直接应用为好． 4．前面我们提出了“视觉语言”这个概念，既然作为一种“语言”它应该而且必须与思维过程相一致．所以这里我们又提出“起始图”（根据题中的条件而出现的“视觉语言”）和“终止图”（解完题后，或思维过程完结时出现的“视觉语言”）这两个概念．

前面我们也提到过为了使“视觉语言”达到最佳的视觉效果，必须注意视角的选择，我们认为视角的选择要以终止图有最佳的视觉效果为标准，这样有时会出现起始图视觉效果较好而终止图视觉效果并不好；或者起始图视觉并不太好而终止图视觉效果较好这样不一致情况，所以这样就要求教立体几何的教师对于直观图要精心地、反复地设计，务必使终止图有最佳的视觉效果，这样才能使这个“视觉语言”起到它应有正面效应；否则，这个“视觉语言”不但不能起到它应有正面效应，相反，却起到负面效应．增加了学生在学习立体几何中的困难．这是每一个教立体几何的教师务必要理解并切实掌握的基本功．

起始图和终止图不仅仅是形式上的不同，而且它们之间还应该有“时间差”．因为这两个图是与思维过程相一致，思维既然以一个过程而出现，所以与这抽象思维过程相一致，或者说要以具体形象来表现这个抽象思维过程的“视觉语言”当然也要以一个过程而展现．这两个过程当然是一致的，但是“视觉语言”展现的过程应该比思维过程慢“半拍”，而不是同步，也就是说动脑先于动手．我们说以概念指导作图，以定理指导作图，也就是说在我们动手作图前，脑中得先有有关概念和定理．

在一篇文章中，我看到中国画画家在总结他们的创作国画经验时，用“蓄图在胸、意在笔先”这八个字来概括．当我看过这篇文章后，这八个字就牢记在心，感到对于立体几何的教学很有启发、很有教益．我们在脑中所蓄的图应该是由起始图到终止图一个不断的展现过程，而以终止图为主．这里的所谓意，就是思想，就是有关的概念和定理．

最后我还想以江泽民同志在1998年一次讲话中所引用的李白的《春夜宴桃李园序》“夫天地者，万物之逆旅也，光阴者，百代之过客也”．后说李白已经意识到了四维空间．明确指出“视觉语言”是要在二维平面来展现“四维空间”。不论用什么手段进行教学，一定要把这“时间差”表现出来．即展现出一个随时间的变化而变化的有“动感”的空间图形．

当然有的立体几何题的起始图和终止图是同一个图形，不要作任何的辅助线和辅助面，如这节课所讲的课本第32页习题四中的第1题．但伴随着思维过程的进展，作为对起始图的认识到对作为终止的认识（由直线与直线的垂直，到直线与平面的垂直，再到直线与直线的垂直）也同样有一个过程．

科学和艺术在一定条件下是可以统一的．记得在《新华月报》上曾看到有名的华人物理学家请中国有名的美术家用他们的绘画来展现高深抽象的物理内容．因此在立体几何教学中我们有可能也有必要把科学和艺术统一起来，即所画的每一个空间图形既要展示它所包含的数学科学的内涵，又要展示它的形式的艺术的美．把数学中（立体图形）的美渗透在每一节课中，这样可以培养学生对美的感受，可以更好吸引学生的注意力，从而达到更好的教学效果．

每一个听过我的课的人，都表扬我所画的图很美．在上课时有时让学生做练习，我踱步向教室后面走去，回过头来也很自我欣赏所画图的美．因为从某种意义上来说，每一个图都是一幅美术作品——空间图形的素描．当然我们在立体几何画“素描”的方法用的是平行投影中的斜二测画法，而在美术课中画素描的方法用的是中心投影中的透视法．（可参看1989年版，人民教育出版社出版《立体几何（甲种本）全一册教学参考书》第78页）

第五篇：证明两条直线垂直

证明两条直线垂直

根据定义推

线线垂直←→线面垂直←→面面垂直

线线平行←→线面平行←→面面平行

就这样

还是得实际操作

1利用直角三角形中两锐角互余证明

由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90°，即直角三角形的两个锐角互余。

2勾股定理逆定理

3圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，一个三角形的一边中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。

二、高中部分

线线垂直分为共面与不共面。不共面时，两直线经过平移后相交成直角，则称两条直线互相垂直。

1向量法两条直线的方向向量数量积为0

2斜率两条直线斜率积为-1

3线面垂直，则这条直线垂直于该平面内的所有直线

一条直线垂直于三角形的两边，那么它也垂直于另外一边

4三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

5三垂线定理逆定理如果平面内一条直线和平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。

2高中立体几何的证明主要是平行关系与垂直关系的证明。方法如下(难以建立坐标系时再考虑)：

Ⅰ.平行关系：

线线平行：1.在同一平面内无公共点的两条直线平行。2.公理4(平行公理)。3.线面平行的性质。4.面面平行的性质。5.垂直于同一平面的两条直线平行。

线面平行：1.直线与平面无公共点。2.平面外的一条直线与平面内的一条直线平行。3.两平面平行，一个平面内的任一直线与另一平面平行。

面面平行：1.两个平面无公共点。2.一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行。

Ⅱ.垂直关系：

线线垂直：1.直线所成角为90°。2.一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与平面内的任一直线垂直。

线面垂直：1.一条直线与一个平面内的任一直线垂直。2.一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直。3.面面垂直的性质。4.两条平行直线中的一条垂直与一个平面，那么另一直线也与此平面垂直。5.一条直线垂直与两个平行平面中的一个，那么这条直线也与另一平面垂直。

面面垂直：1.面面所成二面角为直二面角。2.一个平面过另一平面的垂线，那么这两个平面垂直

线线垂直分为共面与不共面。不共面时，两直线经过平移后相交成直角，则称两条直线互相垂直。

1向量法两条直线的方向向量数量积为0

2斜率两条直线斜率积为-1

3线面垂直，则这条直线垂直于该平面内的所有直线

一条直线垂直于三角形的两边，那么它也垂直于另外一边

4三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

5三垂线定理逆定理如果平面内一条直线和平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。

3高中立体几何的证明主要是平行关系与垂直关系的证明。方法如下(难以建立坐标系时再考虑)：。