2014届江苏高考数学南通一校四题(汇龙中学)

第一篇：2014届江苏高考数学南通一校四题(汇龙中学)

启东市汇龙中学

x2,13.已知函数f(x)若对于正数kn(nN)，直线yknx与函数f(x2),x2,

yf(x)的图象恰有2n1个不同交点，则数列kn2的前n项和为答案：n 4n4解析：函数yf(x)的图象是一系列

半径为1的半圆，因为直线yknx与

函数yf(x)的图象恰有2n1个不

同交点，所以直线yknx与第n+1个

221,kn1111()，4n(n1)4nn1所以k1k2Lkn22n.4n

417.（函数类应用题）汽车从刹车开始到完全静止所用的时间叫做刹车时间；所经过的距离叫做刹车距离。某型汽车的刹车距离s(单位米)与时间t(单位秒)的关系为s5t3kt2t10,其中k是一个与汽车的速度以及路面状况等情况有关的量。

（1）当k=8时，且刹车时间少于1秒，求汽车刹车距离；

（2）要使汽车的刹车时间不小于1秒钟，且不超过2秒钟，求k的取值范围。解析：（１）当k8时，s5t38t2t10，这时汽车的瞬时速度为V=s'15t216t1，……………….1分

1令s'0，解得t1（舍）或t，……………….3分 1

5当t221时，s10，15675

22米。……………….6分 675所以汽车的刹车距离是10

（２）汽车的瞬时速度为vs'，所以v15t22kt

1汽车静止时v0，故问题转化为15t22kt10在1,2内有解。……………….7分 15t211又2k15t，tt

11.8分

15t

，当且仅当15t,ttt

t

11,2，记f(t)15t，t

f'(t)15

11'

t[1,2]，f(t)150，f(t)单调递增，……….10分 t2t

2616161

f(t)16,，2k16,，即k8,，……………….13分

224

故k的取值范围为k8,61

。……………….14分 4

x2y2

18.（直线、圆、椭圆）.已知椭圆C;1(0b4)的左右顶点分别为A、B，M为椭

4b

圆上的任意一点，A关于M的对称点为P，如图所示，（1）若M的横坐标为，且点P在椭圆的右准线上，求b的值；

（2）若以PM为直径的圆恰好经过坐标原点O，求b的取值范围。解析：（1）M是AP的中点，xM,xA2，xP3…………………………………2分

3，解得bP

在椭圆的右准线上。…………………………………5分

9（2）设点P的坐标为（x0,y0），点M的坐标为（x1,y1）

又因为P关于M的对称点为A，所以

x02y

x1,0y1 2

2即x02x12,y02y1…………………………………7分 PM为直径的圆恰好经过坐标原点O，OMOP，0，即x0x1y0y10所以(2x12)x12y1y10，即y12x12x

1x12y12y124y12x2y2

1，即b又因为点M在椭圆，1(0b4)上，所以224bx4x4b1

11

…………………………………12分

x12x1x4x141

所以b424[11]4[1]4[1]，22

12x14x14(x14)8(x14)12(x14)8x14因为2x12，所以2x146，所以x14

8，…………………………………14分 x1

4所以

(x14)8

x1



(x14)8

x14

(

所以b(,4(1，即b(,2…………………………………15分

又因为0b

4，所以b(0,2…………………………………16分

21．C（极坐标与参数方程）

7

在极坐标系中，点A)，圆O1：4cos，以极点为原点，极轴与x轴的正方向

重合(1)将点A化为直角坐标；圆O1的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)过点A的直线l交圆O1于M、N，且MN求l的直角坐标方程。

xcos3

解析：(1)由，所以A(3,3)；

ysin3

圆O1：ρ＝4cosθ

所以24cos，所以(x2)2y24（5分）

（2）当直线l的斜率不存在时，l方程为x=3,适合。

当直线l的斜率存在时，设直线方程为y3k(x3)，即kxy3k30，因为MN1，1，解得k，所以d

3所以直线l的方程为x=3或4x3y30。（10分）

第二篇：2020年江苏卷数学高考真题（含答案解析）

2020年普通高等学校招生全国统一考试

数学I（江苏卷）

一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上。

1.已知集合，则__________。

2.已知是虚数单位，则复数的实部是__________。

3.已知一组数据4，2a，3-a，5，6的平均数为4，则a的值是__________。

4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数和为5的概率是。

5.右图是一个算法流程图,若输出y的值为-2,则输入x的值为。

6.在平面直角坐标系xOy中,若双曲线的一条渐近线方程为,则该双曲线的离心率是。

7．已知是奇函数，当时，则的值是。

8.已知，则的值是。

9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的，已知螺帽的底面正六边形边长为2cm，高为2cm，内孔半径为0.5cm，则此六角螺帽毛坯的体积是。

10.将函数的图像向右平移个单位长度，则平移后的图像与轴最近的对称轴方程是。

11.设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，已知数列的前项和，则的值是。

12.已知，则的最小值是。

13.在△中，，∠°，在边上，延长，使得，若（为常数），则的长度是。

14.在平面直角坐标系中，已知，、是圆上的两个动点，满足，则△的面积的最大值是。

二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.（本小题满分14分）

在三棱柱平面分别是的中点

（1）

求证：//平面；

（2）

求证：平面平面

16.（本小题满分14分）

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a=3，B=45°.（1）求的值；

（2）在边BC上取一点D，使得∠，求∠DAC的值。

17.(本小题满分14分)

某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底在水平线上，桥与平行，为铅垂线(在上)，经测量，左侧曲线上任--点到的距离(米)与到的距离(米)之间满足关系式；右侧曲线上任一点到的距离

(米)与到的距离

(米)之间满足关系式。已知点到的距离为40米。

（1）求桥的长度；

（2）计划在谷底两侧建造平行于的桥墩和。且为80米，其中在上(不包括端点)。桥墩每米造价

(万元)。桥墩每米造价(万元)，问为多少米时，桥墩与的总造价最低？

18.（本小题满分16分）

在平面直角坐标系中，若椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上且在第一象限内，直线与椭圆相交于另一点。

（1）

求的周长；

（2）

在轴上任取一点，直线与椭圆的右准线相交于点，求的最小值；

（3）

设点在椭圆上，记与的面积分别是，若，求的坐标。

19.（本小题满分16分）

已知关于的函数与在区间上恒有

（1）

若.求的表达式；

（2）

若.求的取值范围；

（3）

若，求证：

20.（本小题满分16分）

已知数列的首项，前项和为，设与是常数，若对一切正整数，均有成立，则称此为数列。

（1）

若等差数列是数列，求的值：

（2）

若数列是数列，且，求数列的通项公式：

（3）

对于给定的，是否存在三个不同的数列为数列，且？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由。

答案解析

1.2.3

3.2

4.5.-3

6.7.-4

8.9.10.11.4

12.13.14.15.16.17.18.19.20.

第三篇：江苏高考数学附加题必做题考点剖析

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江苏高考数学附加题必做题考点剖析

作者：蔡敏柱

来源：《高考进行时·高三数学》2013年第01期

近几年江苏高考数学附加题的必做题考点如下：

第22题第23题2008年考查空间向量基础知识，考查运用空间向量解决问题的能力。考查复合函数导数、二项式定理、组合数性质等基础知识，考查推理论证能力。2009年考查直线、抛物线及两点间的距离公式等基本知识。考查运算求解能力。考查概率的基本知识和计数原理，考查探究能力。2010年考查概率及分布列的有关知识，考查运算求解能力。考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力。2011年考查空间向量基础知识，考查运用空间向量解决问题的能力。考查计数原理，考查探究能力。2012年考查分布列及其数学期望等基础知识，考查运算求解能力考查集合概念和运算，计数原理问题等基础知识，考查探究能力。对近几年江苏高考数学附加题的必做题分析，本专题主要针对考点计数原理、复合函数导数、二项式定理、组合数性质、概率、分布列及其数学期望等有关基础知识应用给出一点指导，希望能给同学们一点帮助。

第四篇：高考卷-高考数学押题卷（一）理科

2017届高考数学押题卷（一）理

本试题卷共6页，23题(含选考题)。全卷满分150分。考试用时120分钟。

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分。

1．已知复数是一元二次方程的一个根，则的值为（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】因为，所以，所以．故选B．

2．已知集合，集合，集合，则集合（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】根据题意可得，则．故选A．

3．已知等差数列，，则的值为（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】因为，所以，因为，所以，所以公差，所以，所以．故选D．

4．世界最大单口径射电望远镜FAST于2016年9月25日在贵州省黔南州落成启用，它被誉为“中国天眼”，从选址到启用历经22年，FAST选址从开始一万多个地方逐一审查．为了加快选址工作进度，将初选地方分配给工作人员．若分配给某个研究员8个地方，其中有三个地方是贵州省的，问：某月该研究员从这8个地方中任选2个地方进行实地研究，则这个月他能到贵州省的概率为（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】．故选D．

5．某几何体的三视图如图所示，则它的表面积是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】此三视图的几何体如图：，，，，，∴．故选B．

6．如图，在三棱锥中，面，，，则（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】根据题意可得，设，则，在中，，由余弦定理得，即：，整理得：，解得或（舍），所以．故选D．

7．已知函数，满足和是偶函数，且，设，则（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】因为为偶函数，所以，所以，所以为偶函数，又是偶函数，所以，当时，．故选B．

8．已知抛物线，过点作抛物线的两条切线，、为切点，若直线经过抛物线的焦点，的面积为，则以直线为准线的抛物线标准方程是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】由抛物线的对称性知，轴，且是焦点弦，故，所以，解得（舍去）或，所以焦点坐标为，直线的方程为，所以以直线为准线的抛物线标准方程是．故选D．

9．根据下列流程图输出的值是（）

A．11

B．31

C．51

D．79

【答案】D

【解析】当时，，当时，，当时，，当时，，输出．故选D．

10．在长方体中，点在线段上运动，当异面直线与所成的角最大时，则三棱锥的体积为（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】

因为A1B∥D1C，所以CP与A1B成角可化为CP与D1C成角，显然当P与A重合时，异面直线CP与BA1所成的角最大，所以．故选B．

11．已知函数的周期为，将函数的图像沿着y轴向上平移一个单位得到函数图像．设，对任意的恒成立，当取得最小值时，的值是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】因为，则，所以，所以，所以函数，所以，所以，；又，所以，所以，所以，又，所以，所以取得最小值时，所以的值是．故选C．

12．已知函数，有下列四个命题；

①函数是奇函数；

②函数在是单调函数；

③当时，函数恒成立；

④当时，函数有一个零点，其中正确的个数是（）

A．1

B．2

C．3

D．4

【答案】B

【解析】①函数的定义域是，不满足函数奇偶性定义，所以函数非奇非偶函数，所以①错误；②取，，所以函数在不是单调函数，所以②错误；③当时，要使，即，即，令，，得，所以在上递减，在上递增，所以，所以③正确；④当时，函数的零点即为的解，也就是，等价于函数与函数图像有交点，在同一坐标系画出这两个函数图像，可知他们只有一个交点，所以④是正确的．故选B．

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22~23题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．共享单车是指企业与政府合作，在公共服务区等地方提供自行车单车共享服务．现从6辆黄色共享单车和4辆蓝色共享单车中任取4辆进行检查，则至少有两个蓝色共享单车的取法种数是_____________．

【答案】115

【解析】分三类，两辆蓝色共享单车，有种，三辆蓝色共享单车，有种，四辆蓝色共享单车，有种，根据分类计数原理可得，至少有两辆蓝色共享单车的取法种数是90+24+1＝115．

14．如图所示，在南海上有两座灯塔，这两座灯塔之间的距离为60千米，有个货船从岛P处出发前往距离120千米岛Q处，行驶致一半路程时刚好到达M处，恰巧M处在灯塔A的正南方，也正好在灯塔B的正西方，向量⊥，则＝_____________．

【答案】－3600

【解析】由题意可知，⊥，⊥，所以＝

15．若，满足约束条件，设的最大值点为，则经过点和的直线方程为_______________．

【答案】

【解析】在直角坐标系中，满足不等式组可行域为：

表示点到可行域的点的距离的平方减4．如图所示，点到点的距离最大，即，则经过，两点直线方程为．

16．已知数列满足（，且为常数），若为等比数列，且首项为，则的通项公式为________________．

【答案】或

【解析】①若，则，由，得，由，得，联立两式，得或，则或，经检验均合题意．

②若，则，由，得，得，则，经检验适合题意．

综上①②，满足条件的的通项公式为或．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）在中，设向量，．

（1）求的值；

（2）求的取值范围．

【答案】（1）＝，（2）．

【解析】（1）由，································1分

由正弦定理，等式可为，∴，····················································3分

由余弦定理可得，∴＝．··························································6分

（2）由（1）可知，所以，······················7分，·····················································10分

∵，∴，∴，∴的取值范围为．··································12分

18．（本小题满分12分）某研究所设计了一款智能机器人，为了检验设计方案中机器人动作完成情况．现委托某工厂生产500个机器人模型，并对生产的机器人进行编号：001，002，……，500，采用系统抽样的方法抽取一给容量为50个机器人样本．试验小组对50个机器人样本的动作个数进行分组，频率分布直方图及频率分布表中的部分数组如图所示，请据此回答如下问题：

分组

机器人数

频率

[50，60)

0.08

[60，70)

[70，80)

[80，90)

[90，100]

（1）补全频率分布表，画出频率分布直方图；

（2）若随机抽的号码为003，这500个机器人分别放在A，B，C三个房间，从001到200在A房间，从201到355在B房间，从356到500在C房间，求B房间被抽中的人数是多少？

（3）从动作个数不低于80的机器人中随机选取2个机器人，该2个机器人中动作个数不低于90的机器人数记为，求的分布列与数学期望．

【答案】（1）见解析，（2）16，（3）．

【解析】（1）频率分布直方图及频率分布表中的部分数组如图所示，请据此回答如下问题：

分组

机器人数

频率

[50，60)

0.08

[60，70)

0.2

[70，80)

0.2

[80，90)

0.4

[90，100]

0.12

·········4分

（2）系统抽样的分段间隔为＝10，在随机抽样中，首次抽到003号，以后每隔10个抽到一个，则被抽中的机器人数构成以3为首项，10为公差的等差数列，故可分别求出在001到200中有20个，在201至355号中共有16个．··························6分

（3）该2个机器人中动作个数不低于90的机器人数记为，的取值为0，1，2，··7分

所以，，所以的分布列

0

P

················11分

数学期望．·····························12分

19．（本小题满分12分）已知正方体的棱长为1，S是的中点，M是SD上的点，且SD⊥MC．

（1）求证：SD⊥面MAC

（2）求平面SAB与平面SCD夹角的余弦值．

【答案】（1）见解析，（2）．

【解析】（1）证明：由题意可知，SA＝SB＝SC＝SD，连BD，设AC交于BD于O，由题意知SO⊥平面ABCD．以O为坐标原点，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立坐标系O-xyz如图，则高SO＝1，于是S(0，0，1)，D(，0，0)，A（0，0），C（0，0），所以，所以，即AC⊥SD，又因为SD⊥MC，所以SD⊥面MAC．··················································5分

（2）根据题意可知，，，则，设平面SAB的法向量为，则，所以，所以解得，令，解得，所以法向量，················································7分

设平面SCD的法向量为，则，所以，所以解得，令，解得，所以法向量，············································9分

所以，所以两个法向量的夹角余弦值为

．···········································11分

所以平面SAB与平面SCD夹角的余弦值为．····························12分

20．（本小题满分12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，其中一个顶点是双曲线的焦点，（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过点的直线与椭圆C相交于不同的两点A，B，过点A，B分别作椭圆的两条切线，求其交点的轨迹方程．

【答案】（1），（2）．

【解析】（1）由题意可知双曲线的焦点，所以椭圆的C：中a＝5，········································1分

根据，解得c＝，所以，·································3分

所以椭圆的标准方程为．·································4分

（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，另设，设在处切线的方程为，与椭圆C：联立：，消去可得：，由，得，化简可得：

由，可得，所以上式可化为：，∴，所以椭圆在点A处的切线方程为：①，··························7分

同理可得椭圆在点B的切线方程为：②，·······················8分

联立方程①②，消去x得：，解得，··········9分

而A，B都在直线上，所以有，所以，所以，即此时的交点的轨迹方程为；······11分

当直线的斜率不存在时，直线的方程为x＝0，则，则椭圆在点A处的切线方程为：①，椭圆在点B的切线方程为：，此时无交点．

综上所述，交点的轨迹方程为．······································12分

21．（本小题满分12分）已知函数（a是常数），（1）求函数的单调区间；

（2）当时，函数有零点，求a的取值范围．

【答案】（1）见解析；（2）或．

【解析】（1）根据题意可得，当a＝0时，函数在上是单调递增的，在上是单调递减的．···········································1分

当a≠0时，因为＞0，令，解得x＝0或．·····························3分

①当a＞0时，函数在，上有，即，函数单调递减；函数在上有，即，函数单调递增；························4分

②当a＜0时，函数在，上有，即，函数单调递增；函数在上有，即，函数单调递减；························5分

综上所述，当a＝0时，函数的单调递增区间，递减区间为；

当a＞0时，函数的单调递减区间为，递增区间为；

当a＜0时，函数的单调递增区间为，递减区间为；·······6分

（2）①当a＝0时，可得，故a＝0可以；·········7分

②当a＞0时，函数的单调递减区间为，递增区间为，（I）若，解得；

可知：时，是增函数，时，是减函数，由，∴在上；

解得，所以；·······································10分

（II）若，解得；

函数在上递增，由，则，解得

由，即此时无解，所以；·····························11分

③当a＜0时，函数在上递增，类似上面时，此时无解．

综上所述，．···········································12分

请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。

22．（本小题满分10分）已知在直角坐标系中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的参数方程为：，曲线C2的极坐标方程：，（1）写出C1和C2的普通方程；

（2）若C1与C2交于两点A，B，求的值．

【答案】（1），；（2）．

【解析】（1）将曲线C2的极坐标方程转化为直角坐标方程；····2分

将曲线C1的方程消去t化为普通方程：；··············4分

（2）若C1与C2交于两点A，B，可设，联立方程组，消去y，可得，··················6分

整理得，所以有，·····························8分

则．·················10分

23．（本小题满分10分）已知函数，（1）若不等式恒成立，求实数的取值范围；

（2）若对于实数x，y，有，求证:．

【答案】（1）；（2）见解析．

【解析】（1）根据题意可得恒成立，即，化简得，而是恒成立的，所以，解得；·········································5分

（2），所以．·····················································10分

第五篇：高考卷-高考数学押题卷（一）文科

2017届高考数学押题卷（一）文

本试题卷共6页，23题(含选考题)。全卷满分150分。考试用时120分钟。

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分。

合题目要求的。

1．集合，集合，则集合＝（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】根据题意，所以集合＝．故选D．

2．已知复数z在复平面对应点为，则＝（）

A．1

B．－1

C．

D．0

【答案】C

【解析】根据题意可得，则＝．故选C．

3．sin2040°＝（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】．故选B．

4．世界最大单口径射电望远镜FAST于2016年9月25日在贵州省黔南州落成启用，它被誉为“中国天眼”，从

选址到启用历经22年．FAST选址从开始一万多个地方逐一审查，最后敲定三个地方：贵州省黔南州、黔西南

州和安顺市境内．现从这三个地方中任选两个地方重点研究其条件状况，则贵州省黔南州被选中的概率为（）

A．1

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】从三个地方中任选两个地方，基本事件总数，贵州省黔南州被选中基本事件个数，∴贵州省黔南州被选中的概率．故选D．

5．《九章算术》中记载了一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），则该几何体的容积为（）立方寸．（π≈3．14）

A．12．656

B．13．667

C．11．414

D．14．354

【答案】A

【解析】由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成．

由题意得：立方寸．故选A．

6．在等差数列中，若，那么等于（）

A．4

B．5

C．9

D．18

【答案】B

【解析】因为，所以，所以，因为，所以，所以公差，所以．故选B．

7．已知函数，则函数的大致图象是（）

A

B

C

D

【答案】C

【解析】因为，所以函数为偶函数，所以排除D，又，所以排除A、B，故选C．

8．根据下列流程图输出的值是（）

A．11

B．31

C．51

D．79

【答案】D

【解析】当n＝2时，，当n＝3时，，当n＝4时，，当n＝5时，，输出．故选D．

9．已知单位向量满足，向量，（t为正实数），则的最小值为（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】由题意可得，而，所以，所以，设，则，所以，因为，所以．故选A．

10．若x，y满足约束条件，设的最大值点为A，则经过点A和B的直线方程为（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】在直角坐标系中，满足不等式组可行域为：

表示点到可行域的点的距离的平方减4．如图所示，点到点的距离最大，即，则经过A，B两点直线方程为．故选A．

11．已知双曲线C的中心在原点O，焦点，点A为左支上一点，满足|OA|＝|OF|且|AF|＝4，则双曲线C的方程为（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】如下图，由题意可得，设右焦点为F′，由|OA|＝|OF|＝|OF′|知，∠AFF′＝∠FAO，∠OF′A＝∠OAF′，所以∠AFF′+

∠OF′A＝∠FAO+∠OAF′，由∠AFF′+∠OF′A+∠FAO+∠OAF′＝180°知，∠FAO+∠OAF′＝90°，即AF⊥AF′．在Rt△AFF′中，由勾股定理，得，由双曲线的定义，得|AF′|－|AF|＝2a＝8－4＝4，从而a＝2，得a2＝4，于是b2＝c2－a2＝16，所以

双曲线的方程为．故选C．

12．已知函数，有下列四个命题，①函数是奇函数；

②函数在是单调函数；

③当时，函数恒成立；

④当时，函数有一个零点，其中正确的个数是（）

A．1

B．2

C．3

D．4

【答案】B

【解析】①函数的定义域是，不满足函数奇偶性定义，所以函数非奇非偶函数，所以①错误；②取，，所以函数在不是单调函数，所以②错误；③当x＞0时，要使，即，即，令，，得，所以在上递减，在上递增，所以，所以③正确；④当时，函数的零点即为的解，也就是，等价于函数与函数图像有交点，在同一坐标系画出这两个函数图像，可知他们只有一个交点，所以④是正确的．故选B．

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作

答。第22~23题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．《九章算术》中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”大意为：有个圆柱形木头，埋在墙壁中（如图所示），不知道其大小，用锯沿着面AB锯掉裸露在外面的木头，锯口CD深1寸，锯道AB长度为1尺，问这块圆柱形木料的直径是__________．（注：1尺＝10寸）

【答案】26寸

【解析】设圆柱形木料的半径是，则，得，所以圆柱形木料的直径是26寸．

14．下图是北方某地区从2010年至2016年患“三高”（即高血压，高血糖，高血脂的统称）人数y（单位：

千人）折线图，如图所示，则y关于t的线性回归方程是______________．（参考公式：，）

【答案】

【解析】根据题意得，，，所求回归方程为．

15．已知一条抛物线的焦点是直线与x轴的交点，若抛物线与直线l交两点A，B，且，则___________．

【答案】

【解析】根据题意设抛物线方程为与直线方程联立方程组，化简整理得，进一步整理，另设，则有，则

①，根据题意，直线l与x轴的焦点为，抛物线焦点为，即，代入到①中，得，解得或（舍），即．

16．已知数列满足（，且为常数），若为等比数列，且首项为，则的通项公式为________________．

【答案】或

【解析】①若，则，由，得，由，得，联立两式，得或，则或，经检验均合题意．

②若，则，由，得，得，则，经检验适合题意．

综上①②，满足条件的的通项公式为或．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．

（1）求角C的大小；

（2）若，且，求△ABC的面积．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由，∴，∴，·················································3分

∴，····························································5分

∴C＝．································································6分

（2）由，∴，∴，∴，·································································8分

根据正弦定理，可得，解得，··················10分

∴．····12分

18．（本小题满分12分）2016年袁隆平的超级杂交水稻再创新亩产量世界纪录．为了测试水稻生长情

况，专家选取了甲、乙两块地，从这两块地中随机各抽取10株水稻样本，测量他们的高度，获得的高度数

据的茎叶图如图所示：

（1）根据茎叶图判断哪块田的平均高度较高；

（2）计算甲乙两块地株高方差；

（3）现从乙地高度不低于133cm的样本中随机抽取两株，求高度为136cm的样本被抽中的概率．

【答案】（1）乙平均高度高于甲；（2），；（3）．

【解析】（1）由茎叶图可知：甲高度集中于122cm～139cm之间，而乙高度集中于130cm～141cm之

间．因此乙平均高度高于甲．····································2分

（2）根据茎叶图给出的数据得到，·······3分，·····4分

；·········6分

．········8分

（3）设高度为136cm的样本被抽中的事件为A，从乙地10株水稻样本中抽中两株高度不低于133cm的样本有：（133，136），（133，138），（133，139），（133，141），（136，138），（136，139），（136，141），（138，139），（138，141），（139，141）共10个基本事件，·······

··········10分

而事件A含有4个基本事件．∴．·····························12分

19．（本小题满分12分）如图，在正四棱柱中，已知，S是的中点．

（1）求证：；

（2）求三棱锥的体积．

【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】（1）证明：在正四棱柱中，底面是正方形，可得，又，所以①，·····2分

由平面，可得②，··································4分

由①②，且，所以平面，而平面，所以．······································6分

（2）由S是的中点，可得，由（1）中平面，可知平面，即平面，所以．

··················12分

20．（本小题满分12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，其中一个顶点是双曲线的焦点，（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过点的直线与椭圆C相交于不同的两点A，B，过点A，B分别作椭圆的两条切线，求其交点的轨迹方程．

【答案】（1），（2）．

【解析】（1）由题意可知双曲线的焦点，所以椭圆的C：中a＝5，········································1分

根据，解得c＝，所以，·································3分

所以椭圆的标准方程为．·································4分

（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，另设，设在处切线的方程为，与椭圆C：联立：，消去可得：，由，得，化简可得：，由，可得，所以上式可化为：，∴，所以椭圆在点A处的切线方程为：①，··························7分

同理可得椭圆在点B的切线方程为：②，·······················8分

联立方程①②，消去x得：，解得，··········9分

而A，B都在直线上，所以有，所以，所以，即此时的交点的轨迹方程为；·····11分

当直线的斜率不存在时，直线的方程为x＝0，则，则椭圆在点A处的切线方程为：①，椭圆在点B的切线方程为：，此时无交点．

综上所述，交点的轨迹方程为．······································12分

21．（本小题满分12分）已知函数（a是常数），（1）求函数的单调区间；

（2）当时，函数有两个零点，求a的取值范围．

【答案】（1）见解析；（2）或．

【解析】（1）根据题意可得，当a＝0时，函数在上是单调递增的，在上是单调递减的．···········································1分

当a≠0时，因为＞0，令，解得x＝0或．·····························3分

①当a＞0时，函数在，上有，即，函数单调递减；函数在上有，即，函数单调递增；························4分

②当a＜0时，函数在，上有，即，函数单调递增；函数在上有，即，函数单调递减；························5分

综上所述，当a＝0时，函数的单调递增区间，递减区间为；

当a＞0时，函数的单调递减区间为，递增区间为；

当a＜0时，函数的单调递增区间为，递减区间为；·······6分

（2）当时，函数有两个零点，所以函数在（0，16）内不是单调函数；而的两个零点为x＝0，所以，解得①；···············8分

又由（1）可知：时，是增函数，时，是减函数，∴在上；

令，解得②；······································10分

又，即，解得③；······················11分

由①②③组成不等式组，解得；

∴实数a的取值范围是．·······································12分

请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。

22．（本小题满分10分）已知在直角坐标系中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的参数方程为：，曲线C2的极坐标方程：，（1）写出C1和C2的普通方程；

（2）若C1与C2交于两点A，B，求的值．

【答案】（1），；（2）．

【解析】（1）将曲线C2的极坐标方程转化为直角坐标方程；·····2分

将曲线C1的方程消去t化为普通方程：；··············4分

（2）若C1与C2交于两点A，B，可设，联立方程组，消去y，可得，··················6分

整理得，所以有，·····························8分

则．·················10分

23．（本小题满分10分）已知函数，（1）若不等式恒成立，求实数的取值范围；

（2）若对于实数x，y，有，求证:．

【答案】（1）；（2）见解析．

【解析】（1）根据题意可得恒成立，即，化简得，而是恒成立的，所以，解得；·········································5分

（2），所以．·····················································10分