高等数学部分的重点难点

第一篇：高等数学部分的重点难点

高等数学部分的重点难点

转眼间，暑假已过将近一半，对于广大备战2013考研的考生来说，无疑得暑假者得天下。在考研的各门科目中，数学考试综合性强、知识覆盖面广、难度大，提醒广大考生一定要及早复习。高等数学是考研数学内容最多的一部分，在数一和数三中，高数部分占总分的56%，在数二中，高数部分占78%，所以高等数学对总体成绩的高低也就显得尤为重要了。下面就如何复习考研数学中的高等数学部分给广大考生以下建议：

第一：要明确考试重点，充分把握重点。比如高数第一章的不定式的极限，我们要充分把握求不定式极限的各种方法，比如利用极限的四则运算、洛必达法则等等，另外两个重要极限也是重点内容；对函数的连续性的探讨也是考试的重点，这要求我们充分理解函数连续的定义和掌握判定连续性的方法。

第二：关于导数和微分。其实考试的重点并不是给一个函数求其导数，而是导数的定义，也就是抽象函数的可导性。还要熟练掌握各类多元函数求偏导的方法以及极值与最值的求解与应用问题。

第三：关于积分部分，定积分、分段函数的积分、带绝对值的函数的积分等各种积分的求法都是重要的题型。而且求积分的过程中，特别要留意积分的对称性，利用分段积分去掉绝对值把积分求出来。二重积分的计算，当然数学一里面还包括了三重积分，这里面每年都要考一个题目。另外曲线和曲面积分，这也是必考的重点内容。

第四：微分方程，无穷级数，无穷级数的求和等这两部分内容相对比较孤立，也是难点，需要记忆的公式、定理比较多。微分方程中需要熟练掌握变量可分离的方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法，以及二阶常系数线性微分方程的求解，对于这些方程要能够判断方程类型，利用对应的求解方法、求解公式，能很快的求解。对于无穷级数，要会判断级数的敛散性，重点掌握幂级数的收敛半径与收敛域的求解，以及求数项级数与幂级数的和函数等。

充分把握住这些重点，根据自己的情况有针对性的复习会达到很不错的效果。相信经过有计划有目标的复习，每个考生都可以使自己的综合解题能力有一个质的提高，从而在最后的考试中考出好的成绩。

（摘自恩波考研）

第二篇：担保法重点难点详解(保证部分)

担保法重点难点详解（保证部分）

一、保证合同的概念分析

保证合同，是指保证人与债权人订立的在主债务人不履行其债务时，由保证人来承担保证债务的协议。

1、保证合同是单务合同（或称片务合同）、无偿合同，由于保证合同的当事人是保证人和债权人，保证人单方承担保证债务，而债权人无需支付对价便可请求获得债权实现的利益，因而具有单务性，无偿性，有的著作把保证合同错误的认为可以是有偿合同，原因在于把保证的基础关系与保证合同相提并论（参见总论部分第4目），前者可以是一个有偿的法律行为（如委托），但基础关系与保证关系不属于相同的因果链条。

2、保证合同为诺成合同，因保证人与债权人协商一致而成立，不以交付标的物为要件。

3、保证合同为要式合同。《担保法》13条规定：“保证人与债权人应当以书面形式订立保证合同》。”所以，以口头订立的保证合同，除非保证人已实际履行，保证合同不得成立。但主合同中虽然没有保证条款，只要保证人在主合同上以保证人的身份签字或者盖章的，保证合同也可以成立。（解释22条第2款）

二、保证合同的法律性质

1、保证合同具有附从性

保证合同是依附于主债权合同而存在的，随主合同消灭而消灭，其附从性具体表现在：

首先，在成立上保证以主合同的成立为前提。

其次，受目的所限，保证债务的强度和范围不得强于或大于主合同债务，如有超过应缩减至主合同债务的程度。如，约定保证债务的利息高于主合同债务的利息的，应缩减至主合同债务的利息；约定主合同债务人仅就其重大过失负责的，保证人也就只就其重大过失负责；约定免除债务人部分债务的，保证人的债务也相应降低；约定主债务为附条件的，只成立附条件的保证。

再次，移转上的附从性，债权人依法将主债权转让给第三人的，保证人在原保证范围内继续承担保证责任。但是保证人与债权人事先约定仅对特定的债权人承担保证责任或者禁止债权转让的，保证人不再承担保证责任。（担保法解释28条）

最后，变更消灭之附从性。（1）所谓变更，非指主债务范围之变更，而是主债务性质之变更。前者即如主合同数量、价款、币种、利率等内容变更，保证债务原则上不随之变更，除非是如减轻主债务人的责任，否则需经保证人书面同意方继续承担保证责任（担保法解释30条第1款）；后者指主债务体态之变更，如主债务变为损害赔偿债务时，保证债务也变为损害赔偿债务之保证，例如花月梧向戏院保证名角西门吹吹于某日前往献艺，而后西门毁约，花月技穷而无代西门履行之能力，故此时主债务转化为损害赔偿之金钱债务，花月之保证债务亦随之变更。对此担保法解释13条予以了肯定。（2）主债务消灭时，保证债务也随之消灭（主合同解除除外，参见总论部分第7目）。

2、保证合同具有相对独立性

保证债务虽附从于主债务，但并非主债务之一部分，而是一个独立的债务，因此在附从范围内其强度和范围可以不同于主债务。例如，可以就无条件之主债务成立附条件之保证；关于保证合同发生的抗辩权（先诉抗辩权），保证人可以单独行使；保证人死亡，继承人原则上需继承该保证债务等。

另需要指出，在国家贸易中运用的“不可撤消保函”、“见索即付的保函”等，则纯粹为独立于主债务的保证合同，不因主合同无效、被撤消受到影响，称

为“独立保证”。但在我国司法实践，是严格区分国内和国家两种情况的，对于国内企业、银行之间约定的独立保证，均采取否定态度。

3、保证合同具有补充性

保证债务之履行，需有两个前提要件：

1、主债务之不履行，一般保证中尚需强制执行主债务人财产而无效果；

2、债权人提出请求。因此，保证类似于附停止条件之债务（并非相当于），这是由其担保功能决定的。

三、保证能力

保证能力是一种特殊的权利能力，保证人除需具有民事主体资格这种一般的权利能力外，尚需特殊的条件方可为保证行为，并非任何民事主体都可以充当保证人。值得注意的是，有的著作把保证能力理解为一种行为能力，这是不恰当的，因为如果此为行为能力的话，则无保证能力的民事主体（如国家机关）完全可以通过代理制度来进行自己的保证行为。现依据担保法及相关规定，分析如下：

1、国家机关为公务而设立，因此原则上无保证能力，但经国务院批准为使用外国政府或者国际经济组织贷款进行转贷的除外。（担保法第8条）值得注意的是，由计划经济体制残留下来的某些国家机关既是管理部门，又是经营者，有一定的营业收入，如号称计划经济最后堡垒的铁道部门、邮政部门，是否可以担任保证人呢？从字面理解当然不行，但从实务角度看此类机关充当保证人的情况不少，不宜一律认定无效，至少应允许其以国家拨款以外的财产进行保证行为（应对法条作目的性扩充解释）。

2、学校学校、幼儿园、医院等以公益为目的的事业单位、社会团体不得为保证人（担保法第9条）。公益乃不特定之多数人的利益，法律为防止减损公益财产故限制其权利能力。但对于一些已经独立核算、从事经营活动的事业单位、社会团体，可以作为保证人（担保法解释16条）。

3、公司是否可以作为保证人，理解上有分歧，一些国家和地区的法律均对公司的保证能力进行限制，如台湾公司法规定除专门经营保证业务的公司外，不

得为任何保证人。有人认为，我国公司法60条规定的董事经理不得以公司资产为本公司股东或其他个人提供担保，因此公司也不具备保证能力。但实际上，我国立法并没有禁止公司的保证能力，而只是禁止董事或经理绕过董事会任意处分公司财产。因此，公司可以作为保证人。

4、公司的分支机构与职能部门。担保法第10条明文规定，企业法人的分支机构、职能部门不得对外保证，分支机构只有在法人书面授权的情况下才能进行保证，这是因为它们均不具有独立的民事主体资格。而担保法解释17条进一步规定，法人有授权但授权不明的，视为无限授权，保证有效，由分支机构的财产承担保证责任，不足部分由法人承担。解释18条又规定，职能部门在任何情况下以自己名义签定的保证合同统归无效。

5、保证人的代偿能力。《担保法》第7条规定，具有代为清偿债务能力的法人、其他组织或者公民，可以作保证人。据此，有学者认为代偿能力是对保证人行为能力的限制，无代偿能力者为保证人的，该保证无效。先不说这种理解到底有没有弄清“可以”与“应当”的区别，就好比“女人可以进女厕所”就推论出“进女厕所的必然是女人”一样荒谬；单从法理上分析这种观点也是站不住脚的：其一，清偿能力不属于民事行为能力的范畴，任何一个文明国家都不会因为穷人没有钱而限制其行为能力，其二，清偿能力本身具有不确定性，而作为法定资格的“能力”必须是稳定的，就好比我们不能把一时性丧失神智的人视为无行为能力人。对此，解释14条明确规定，不具有完全代偿能力的法人、其他组织或者自然人，以保证人身份订立保证合同后，又以自己没有代偿能力要求免除保证责任的，人民法院不予支持。

四、保证合同的范围和种类

1、保证合同的范围

保证合同的范围依当事人的约定，没有约定则按《担保法》21条处理，即包括主债权及利息、违约金、损害赔偿金和实现债权的费用。

2、被保证的主债权种类

（1）主债权的种类既可以是种类之债也可以是特定之债，可以是专属性的债务也可以是非专属性的债务，如果被保证的债务是非金钱债务，可以由保证人代替履行，如果不能代替履行，则由保证人承担赔偿责任。（解释第13条）

（2）自然债务也可以作为保证的对象，解释35条规定，保证人对保证人对已经超过诉讼时效期间的债务提供保证的，又以超过诉讼时效为由抗辩的，人民法院不予支持。也就是说，无论保证人是否得知该债务为自然之债，只要承诺保证，就必须承担保证责任（这也体现了保证合同的独立性）。不过，如果是在保证成立后主债务因时效完成而变为自然债务的，保证人也可以主张债务人对债权人不予履行的抗辩，需要注意的是，保证人一旦就此类债务自愿承担了保证责任，就不得再反悔。（解释35条）

（3）对于未来的债权，也可以进行担保，《担保法》14条规定，当事人可以协议在最高债权额限度内就一定期间连续发生的借款合同或者某项商品交易合同订立一个保证合同。这就是所谓的“最高额保证”。一般来说，最高额保证只担保一定期限内所发生的债务（解释23条），如果当事人疏忽而没有约定该期限，就会出现不定期的最高额保证，为了避免保证人承担无休止的债务保证责任，法律必须拟制一个确定的决算期限，如果当事人有约定，应当以约定期限的终点为决算期，如果没有约定，则以保证人的通知到达债权人之日为决算期（担保法27条）。但应当注意，保证人所担保债务的具体数额并非指确定期间发生的全部债权总额，而是指决算期时的债权余额。（解释23条）

五、保证的方式

1、一般保证

所谓一般保证，是指当事人在保证合同中约定，债务人不能履行债务时，由保证人承担保证责任的，为一般保证（担保法17条第1款）。一般保证人享有先诉抗辩权，又称为检索抗辩权，即保证人在主合同纠纷未经审判或者仲裁，并

就债务人财产依法强制执行仍不能履行债务前，对债权人可以拒绝承担保证责任（17条第2款）。

2、连带保证

所谓连带保证，是指当事人在保证合同中约定由保证人和债务人承担连带责任的保证。连带保证与一般保证最大的区别是保证人是否享有先诉抗辩权，这表明，保证人在一般保证中的地位比较优越，承担责任的风险较低，而连带保证的保证人则风险较大，只要债务人不履行债务，保证人就得满足债权人提出的履行请求。如此重大事项，关乎保证人切身利益，因此保证方式应在保证合同中明确约定。但就担保的功能而言，系为实现债权人之债权计，故法律略有袒护债权人之倾向，“当事人对保证方式没有约定或者约定不明确的，按照连带责任保证承担保证责任。”（担保法第19条）

3、共同保证

一般保证与连带保证为担保法明文区分之担保方式，但理论上还可区分单独保证与共同保证。所谓共同保证，是指数个保证人担保同一债权的保证。其中，“共同”仅指数量上的复数，各个保证合同是同时成立、彼此间有无意思联络，均在所不问。例如，债务人A先后找B、C为其债务为保证，B、C之间即使未曾谋面甚至不知相互之存在，就A之债务仍得成立共同保证。

关于共同保证的效力，《担保法》12条规定：“同一债务有两个以上保证人的，保证人应当按照保证合同约定的保证份额，承担保证责任，没有约定保证份额的，保证人承担连带责任，债权人可以要求任何一个保证人承担全部保证责任，保证人都负有担保全部债权实现的义务。”担保法解释19条第1款进一步规定：“两个以上保证人对同一债务同时或者分别提供保证时，各保证人与债权人没有约定保证份额的，应当认定为连带共同保证。”这说明了我国采取了这样的处理原则：（1）首先看保证人与债权人之间有没有对保证份额进行明确约定；（2）没有约定的认定为连带共同保证，各个保证人都负有担保全部债权实现的义务；（3）共同保证人不得以内部约定对抗债权人（解释19条第2款）。

但需要指出的是，不能将所谓的“连带（共同）保证”的担保方式与“连带责任保证”的担保方式混淆。前者仅仅为“保证人的连带”即为保证人之间的连带责任，而后者指保证人与债务人之间的连带责任。从体系解释的角度，一般保证与连带保证的担保方式规定在了《担保法》第二章第二节（担保合同与担保方式）中，而共同保证则规定在了第二章第一节（保证人）中，共同保证严格来讲并非保证的法定方式，因此共同保证人是否需要与主债务人承担连带责任，还要具体考察该保证方式是属于一般保证还是连带保证。

六、保证合同的无效

保证合同效力原则上应适用《合同法》的一般规定，这里只介绍担保法规定的情况。按照民事法律行为的一般原理，法律行为的无效可分为绝对无效和相对无效，本文也遵循这一原则，分开予以讨论：

1、绝对无效，即保证自始、绝对的不发生效力：

（1）企业法人的分支机构未经法人书面授权或企业法人的职能部门提供保证的提供保证的，保证合同无效。（解释17、18条）

（2）国家机关未经国务院批准而与债权人签定保证合同的，保证无效。

（3）学校、幼儿园、医院等以公益为目的的事业单位、社会团体与债权人订立保证合同的，保证无效；但从事经营活动的事业单位、社会团体为保证人的除外。（解释16条）

（4）董事、经理违反《中华人民共和国公司法》第六十条的规定，以公司资产为本公司的股东或者其他个人债务提供担保的，担保合同无效。（解释第4条）

（5）以法律、法规禁止流通的财产或者不可转让的财产设定担保的，担保合同无效。（解释第5条）

（6）以下情形下对外担保合同无效：

（一）未经国家有关主管部门批准或者登记对外担保的；

（二）未经国家有关主管部门批准或者登记，为境外机构向境内债权人提供担保的；

（三）为外商投资企业注册资本、外商投资企业中的外方投资部分的对外债务提供担保的；

（四）无权经营外汇担保业务的金融机构、无外汇收入的非金融性质的企业法人提供外汇担保的；

（五）主合同变更或者债权人将对外担保合同项下的权利转让，未经担保人同意和国家有关主管部门批准的，担保人不再承担担保责任。但法律、法规另有规定的除外。（解释第6条）

（7）主合同当事人双方串通，骗取保证人提供保证的，保证合同无效（担保法30条第一项）。注意，这条规定与合同法关于合同无效的一般规则有所不同，按照合同法的规定，合同双方当事人恶意串通损害他人利益的合同无效，但保证合同当事人为保证人和债权人，债务人只是主合同的当事人，因此对于保证人来说，债务人与债权人串通骗保仅仅构成了欺诈，按照合同法应该是可撤销的合同，但担保法显然是考虑到保证合同单务性、无偿性的特点，试图矫正保证人与债权人之间的利益倾斜，但却未考虑到保证合同基础关系可能的有偿性，以及没有充分尊重当事人的意思自治，难谓完全合理。不过依据特别法优于一般法的原则，担保法应当优先适用。

（8）主合同债权人一方采取欺诈、胁迫等手段，使保证人在违背真实意思的情况下提供保证的，保证无效（担保法30条第二项）。原理同上。

（9）主合同债务人一方采取欺诈、胁迫等手段，使保证人在违背真实意思的情况下提供保证的，债权人知道或者应当知道欺诈、胁迫事实的，保证无效。（解释第40条）注意，适用本条的前提是“债权人知道或者应当知道欺诈、胁迫事实的”，如果债权人并不知道该事实，债务人的欺诈只能作为保证人签定合同的动机，不影响保证的效力。（参见总论部分第4目）

2、相对无效，即承认保证的续存效力，但将撤销权赋予一方当事人。担保法及其解释对可撤销的保证合同只规定了一种情形，即解释41条规定的：债务人与保证人共同欺骗债权人，订立主合同和保证合同的，债权人可以请求人民法院予以撤销。这意味着债权人在这种情况下既可以撤销主合同，也可以撤销保证

合同，这充分体现了解释对于意思自治采取了的灵活处理方式。因合同撤销给债权人造成损失的，由保证人与债务人承担连带赔偿责任。

七、保证抗辩权

保证合同单务性、无偿性的特点，决定了保证人对于债权人只能享有消极的防御权利——抗辩权，此权利于保证人意义甚巨，故有必要给予重视。

1、保证人可以主张债务人享有的抗辩权（担保法20条第1款）。抗辩权是指债权人行使债权时，债务人根据法定事由，对抗债权人行使请求权的权利（20条第2款）。抗辩权包括延期性抗辩和灭却性抗辩，前者例如，主债务人对债权人之同时履行抗辩权、不安抗辩权等，后者如主合同不成立或无效、主债务时效届满等。

2、保证人可主张债务人享有的类似抗辩的权利。这主要包括合同撤销权、抵销权等。严格来说，这些权利并非抗辩权范畴，而属于形成权性质，但此类形成权在客观上有阻却债权人请求权的效力，因此也属于广义上的抗辩权。故对于担保法20条规定的抗辩权应作广义理解。但应注意，保证人不得直接行使债务人的撤销权、抵销权，仅得发生拒绝清偿的效力。

3、保证人享有一般债务人应有的抗辩权。此权利为合同应有之效力，如保证期限未至之抗辩、保证合同不成立或无效之抗辩、保证合同诉讼时效届满之抗辩等。

4、保证人专属的抗辩权。

（1）先诉抗辩权（检索抗辩权），仅为一般保证人所享有，是指一般保证人在债权人就债务人财产强制执行无效果前，得拒绝其履行请求。这里所谓的执行无效果，指对债务人的存款、现金、有价证券、成品、半成品、原材料、交通工具等可以执行的动产和其他方便执行的财产执行完毕后，债务仍未能得到清偿的状态（参见解释131条、总论部分第6目）。先诉抗辩权属于延期性抗辩权，不能永久否定债权人之保证请求权。这里需要辨明的一个问题是：如果债权人同

时起诉一般保证人和债务人，法院是否可以判决保证人承担保证责任？显然，法院不应剥夺一般保证人的先诉抗辩权，对此解释做了灵活处理：一般保证的债权人向债务人和保证人一并提起诉讼的，人民法院可以（而非应当）将债务人和保证人列为共同被告参加诉讼。但是，应当在判决书中明确在对债务人财产依法强制执行后仍不能履行债务时，由保证人承担保证责任（解释125条）。另外，依《担保法》17条第3款规定，有下列情形之一的，保证人丧失先诉抗辩权：债务人住所变更，致使债权人要求其履行债务发生重大困难的；人民法院受理债务人破产案件，中止执行程序的；保证人以书面形式放弃前款规定的权利的。（2）催告抗辩权，是指债权人请求保证人履行债务时，债权人须先向债务人请求履行，否则保证人得拒绝履行保证债务。对此，担保法没有明文规定，不过最高院《关于审理经济合同纠纷案件有关保证的若干问题的规定》第6条有所体现，依此规定，催告抗辩权仅适用于代为履行的保证责任，在这种情况下，债权人请求保证人代为履行时，应先请求（书面或口头）主债务人履行。

八、保证求偿权与保证代位权

1、保证求尝权

《担保法》31条明确规定，保证人在承担保证责任后，有权向债务人追偿。而在共同保证的场合，承担了保证责任的保证人享有双重求尝权，其既可以向债务人追偿，也可以要求其他保证人清偿其应当承担的份额。问题在于，担保法并没有对求尝权的性质、行使要件和追偿范围做更具体的规定，因此给予进一步的分析。

求尝权行使要件包括：（1）保证人已经向债权人作出清偿；（2）保证人的清偿使主债务得以消灭，如果保证人的履行有瑕疵，主债务不消灭或不完全消灭，则保证人不能或只能部分追偿；（3）须保证人的清偿没有过错，如果保证人清偿时没有尽到应有的注意义务使主债务人的利益受到不应有的损失，则保证人在其过错范围内丧失求尝权。例如，盘旋鸟向法专借款5000w法专币，法典人生为鸟之连带保证人，期至，盘旋鸟未还款，法典人生遂主动向法专承担清偿责任，但并未及时通知盘旋鸟，几日后，盘旋鸟怀着愧疚之心向法专帐户汇偿所欠借款

及利息，此时，由于法典之清偿过错致使盘旋鸟善意地重复清偿，法典之求尝权丧失，只能向法专要求返还不当得利。

求尝权的效力范围，应视基础关系之性质而定。（1）如果保证人基于赠与的意思而为保证，不发生求尝权问题；（2）如果因接受委托而保证者，视其有无具体约定，若约定为有偿委托，可请求报酬，若为无偿委托，保证人求偿的范围应包括：本金、利息、清偿所支出的必要费用等。（3）如果保证人并没有接受委托而自愿保证，赔偿范围可以按照无因管理规则处理，即因管理而支出的必要费用，但以债务人的受益范围为限。对此，解释43条予以了肯定：保证人自行履行保证责任时，其实际清偿额大于主债权范围的，保证人只能在主债权范围内对债务人行使追偿权。

求尝权在特殊情况下可以预先行使，依《担保法》32条，保证人事前行使求尝权的法定事由是“民法院受理债务人破产案件后，债权人未申报债权的”，在连带共同保证的场合，各保证人应当作为一个主体申报债权，预先行使追偿权。（解释46条）

2、保证代位权有求偿权之保证人，可以取代债权人的地位，行使其债权，称之为保证代位权。其成立条件是：保证人承担了保证责任和保证人依法获得求尝权。代位权的效力以求尝权的范围为限，且债务人对于债权人的抗辩同样可以对抗保证人。

九、保证期间与保证债务的诉讼时效

1、保证期间及其性质当事人可以约定保证期间；没有约定的，保证期间为主债务履行期届满之日起六个月；在最高额保证场合，如果没有约定未来债务的清偿期限，保证期间自最高额保证终止之日或自债权人收到保证人终止保证合同的书面通知到达之日起六个月（解释37条）；如果保证合同约定的保证期间早于或者等于主债务履行期限的，推定为没有约定（解释32条第1款）；保证合同约定保证人承担保证责任直至主债务本息还清时为止等类似内容的，视为约定不明，保证期间为主债务履行期届满之日起二年（第2款）；

对于保证期间的起算时间，一般规定为主债务履行期限届满之日，但如果主合同对主债务履行期限没有约定或者约定不明的，保证期间自债权人要求债务人履行义务的宽限期届满之日起计算（解释33条）。

债权人超过保证期间不请求保证人履行债务的，保证人可以免责。

保证期间不属于诉讼时效，因为保证期间可以约定（诉讼时效为法定期间），而且不得中止、中断、延长（解释31条）。保证期间也不属于除斥期间，因为除斥同样为法定期间，不得由当事人约定，且除斥期间的客体是形成权，而保证期间消灭的债权。所以，保证期间是一种独立的权利续存期间，有学者称之为“失权期间”。

2、保证债务的诉讼时效

如前所言，保证期间是一个“失权期间”，但只要债权人在保证期间内及时对担保权进行保全，则担保权便可免于丧失之命运，但这并不意味着担保权一定可以实现，因为保证合同之担保权为债权请求权，自应适用于消灭时效之规定，债权人如欲行使保证请求权，需要在诉讼时效内向保证人请求履行。保证期间与诉讼时效的关系是：如果债权人在保证期间及时保全了保证请求权，保证期间便功成身退，让位于诉讼时效，诉讼时效由此起算。

按照担保法解释对此做了详细的规定，分两种情形：（1）一般保证，债权人在保证期间届满前对债务人提起诉讼或者申请仲裁的，从判决或者仲裁裁决生效之日起，开始计算保证合同的诉讼时效（解释34条第1款）。这里，债权人提起诉讼或申请仲裁就是保全保证请求权的行为，同时，为确保一般保证人的先诉抗辩权，诉讼时效自判决或仲裁裁决生效之日起计算。不过这个规定有一点小小瑕疵，就是判决生效还有一个执行的过程，如果执行有效果，保证人还应享有先诉抗辩权，诉讼时效似乎不应立刻起算。（2）连带保证，债权人在保证期间届满前要求保证人承担保证责任的，从债权人要求保证人承担保证责任之日起，开始计算保证合同的诉讼时效（第2款）。在这里，债权人请求保证人履行债务就是保全行为，诉讼时效同时起算。

3、主债务诉讼时效与保证债务诉讼时效的关系

按照主从关系原理，如果主债务的诉讼时效发生障碍，从债务的时效也应与之同一命运，否则主债务时效未完成，从债务时效便已届满，从债务之功能便难以实现。按照解释的规定，应区分不同情形：（1）在一般保证中，主债务诉讼时效中止或中断的，保证债务的诉讼时效也随之中止或中断；（2）在连带责任保证中，主债务诉讼时效中止，保证债务诉讼时效也同样中止，但主债务诉讼时效中断的，保证债务诉讼时效却例外不中断，这可能是出于降低连带责任保证人清偿风险的考虑，从而促使债权人积极行使保证请求权。之所以保证债务时效不随主债务时效中止而中止，是因为时效障碍非出于债权人的原因。

需要指出的是，反过来保证债务的诉讼时效障碍对主债务的诉讼时效行进并无影响。

十、保证责任的减免

所谓保证责任的减免是指在保证合同在有效存在的情况下，因某种法定事由的出现而全部或部分免除保证人的责任。“减免”与“无责任”不同，后者指保证合同不成立或不生效而保证人自始没有责任。责任“减免”与“责任消灭”也有不同，责任消灭是指保证债务为因主债务之消灭而失去了存在的意义，依附从性也随之消灭的情形。按照相关规定，保证责任的减免主要有以下情形：

1、保证期间届满，如果债权人没有进行一定的保全行为，即一般保证下对债务人提起诉讼或仲裁，连带责任保证下没有请求保证人履行债务，保证人可以免除责任。（担保法25、26条）

2、保证人与债权人事先约定仅对特定的债权人承担保证责任或者禁止债权转让的，债权人转让其债权的，保证人不再承担保证责任。（解释28条后半段）

3、保证期间，债权人许可债务人转让部分债务未经保证人书面同意的，保证人对未经其同意转让部分的债务，不再承担保证责任。（解释29条）

4、债权人与债务人协商变更主合同内容的（注意如果是体态之变更保证合同自动随之变化，参见本部分第二目），极有可能损害保证人利益，担保法规定保证人可不再承担保证责任。但担保法解释则区分不同情况做了灵活处理：保证期间，债权人与债务人对主合同数量、价款、币种、利率等内容作了变动，未经保证人同意的，如果减轻债务人的债务的，保证人仍应当对变更后的合同承担保证责任；如果加重债务人的债务的，保证人对加重的部分不承担保证责任（30条第1款）。对主合同履行期限作变动的，未经保证人书面同意的，保证期间为原合同约定的或者法律规定的期间（第2款）。更为灵活的规定是：变动主合同内容的协议，如果并未实际履行的，保证人仍应当承担保证责任（第3款）。

5、在同一债权既有保证又有物保的情况下，如果物保是第三人提供的，债权人在主合同履行期届满后怠于行使担保物权，致使担保物的价值减少或者毁损、灭失的（因不可抗力的除外），视为债权人放弃部分或者全部物的担保，保证人在债权人放弃权利的范围内减轻或者免除保证责任（解释38条第3款）。当然，如果物保是债务人自身提供的，由于保证人必须优先实现物保，因此不存在保证人责任减免的问题。（参见总论部分第9目）

6、主合同当事人双方协议以新贷偿还旧贷，原则上保证人应当免责（解释39条第1款）。因为在这种情况下，以贷还贷虽无法律明文禁止，但如果债务人与债权人以新贷改变了旧贷的用途，而保证人又对此并不知情，很可能增大保证人承担责任的风险。但这里有两个限制条件：一是“保证人知道或者应当知道的”该事实的，仍然需要承担责任；二是旧贷和新贷的保证人均为同一人的，保证人不能免责（第2款）。

7、一般保证的保证人在主债权履行期间届满后，向债权人提供了债务人可供执行财产的真实情况的，债权人放弃或者怠于行使权利致使该财产不能被执行，保证人可以请求人民法院在其提供可供执行财产的实际价值范围内免除保证责任（解释24条）。显然，这是先诉抗辩权的效力延伸。

第三篇：高等数学

§13.2 多元函数的极限和连续

一 多元函数的概念

不论在数学的理论问题中还是在实际问题中，许多量的变化，不只由一个因素决定，而是由多个因素决定。例如平行四边行的面积A由它的相邻两边的长x和宽y以及夹角所确定,即Axysin;圆柱体体积V由底半径r和高h所决定,即Vr2h。这些都是多元函数的例子。

一般地，有下面定义：

定义1: 设E是R2的一个子集，R是实数集，f是一个规律，如果对E中的每一点(x,y)，通过规律f，在R中有唯一的一个u与此对应，则称f是定义在E上的一个二元函数，它在点(x,y)的函数值是u，并记此值为f(x,y)，即uf(x,y)。

有时，二元函数可以用空间的一块曲面表示出来，这为研究问题提供了直观想象。例如，二元函数xRxy222就是一个上半球面，球心在原点，半径为R，此函数定义域为满足关系式x2y2R2的x，y全体，即D{(x,y)|x2y2R2}。又如，Zxy是马鞍面。

二 多元函数的极限

定义2

设E是R2的一个开集，A是一个常数，二元函数fMf(x,y)在点M0x0,y0E附近有定义．如果0，0，当0rM,M0时，有f(M)A，就称A是二元函数在M0点的极限。记为limfMMM0A或fMAMM0。

定义的等价叙述1 ：设E是R2的一个开集，A是一个常数，二元函数fM在点0f(x,y)M02x,0y02E近有定义．如果0附，0，当xx0yy0时，有f(x,y)A，就称A是二元函数在M0点的极

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限。记为limfMMM0A或fMAMM0。

定义的等价叙述2： 设E是R2的一个开集，A是一个常数，二元函数fM在点M0x,0y0f(x,y)附E近有定义．如果0，0，当0xx0,0yy0且x,yx0,y0时，有f(x,y)A，就称A是二元函数在M0点的极限。记为limfMMM0A或fMAMM0。

注：（1）和一元函数的情形一样，如果limf(M)A，则当M以任何点列及任何方式趋

MM0于M0时，f(M)的极限是A；反之，M以任何方式及任何点列趋于M0时，f(M)的极限是A。但若M在某一点列或沿某一曲线M0时，f(M)的极限为A，还不能肯定f(M)在M0的极限是A。所以说，这里的“”或“”要比一元函数的情形复杂得多，下面举例说明。

例1：设二元函数f(x,y)xyxyxyxy22222，讨论在点(0,0)的的二重极限。

例2：设二元函数f(x,y)2，讨论在点(0,0)的二重极限是否存在。

0,例3：f(x,y)1,xy其它或y0，讨论该函数的二重极限是否存在。

二元函数的极限较之一元函数的极限而言，要复杂得多，特别是自变量的变化趋势，较之一元函数要复杂。

例4：limxyxxyysinxyx22。

xy例5：① limx0y0

② lim(xy)ln(xy)③ lim(xy)ex0y0xy2222222(xy)

例6：求f(x,y)xy3223xy在（０，０）点的极限，若用极坐标替换则为limrr0cossincossin33220?

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（注意：cos3sin3在74时为０，此时无界）。

xyxy222例7：（极坐标法再举例）：设二元函数f(x,y)证明二元极限不存在的方法．，讨论在点(0,0)的二重极限．

基本思想：根据重极限定义，若重极限存在，则它沿任何路径的极限都应存在且相等，故若１）某个特殊路径的极限不存在；或２）某两个特殊路径的极限不等；３）或用极坐标法，说明极限与辐角有关．

例8：f(x,y)xyxy22在(0,0)的二重极限不存在．

三

二元函数的连续性

定义3

设fM在M0点有定义，如果limf(M)f(M0)，则称fMMM0在M0点连续．

0,0,当0

如果f在开集E内每一点连续，则称f在E内连续，或称f是E内的连续函数。

例9：求函数utanx2y2的不连续点。

四 有界闭区域上连续函数的性质

有界性定理：

若fx,y再有界闭区域D上连续，则它在D上有界。一致连续性定理: 若fx,y再有界闭区域D上连续，则它在D上一致连续。最大值最小值定理: 若fx,y再有界闭区域D上连续，则它在D上必有最大值和最小值。

零点存在定理:

设D是Rn中的一个区域，P0和P1是D内任意两点，f是D内的连续函数，如果f(P0)0，f(P1)0，则在D内任何一条连结P0,P1的折线上，至少存在一点Ps，使f(Ps)0。

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

五

二重极限和二次极限

在极限limf(x,y)中，两个自变量同时以任何方式趋于x0,y0，这种极限也叫做重xx0yy0极限（二重极限）．此外，我们还要讨论当x,y先后相继地趋于x0与y0时f(x,y)的极限．这种极限称为累次极限（二次极限），其定义如下：

若对任一固定的y，当xx0时，f(x,y)的极限存在：limf(x,y)(y),而(y)xx0在yy0时的极限也存在并等于A，亦即lim(y)A，那么称A为f(x,y)先对x，再

yy0对y的二次极限，记为limlimf(x,y)A．

yy0xx0同样可定义先y后x的二次极限：limlimf(x,y)．

xx0yy0上述两类极限统称为累次极限。

注：二次极限（累次极限）与二重极限（重极限）没有什么必然的联系。例10：（二重极限存在，但两个二次极限不存在）．设

11xsinysinyxf(x,y)

0x0,y0x0ory0

由f(x,y)xy 得limf(x,y)0（两边夹）;由limsinx0y01y不存在知f(x,y)的累次

y0极限不存在。

例11：（两个二次极限存在且相等，但二重极限不存在）。设

f(x,y)xyxy22，(x,y)(0,0)

由limlimf(x,y)limlimf(x,y)0知两个二次极限存在且相等。但由前面知x0y0y0x0limf(x,y)不存在。

x0y0例12：（两个二次极限存在，但不相等）。设

f(x,y)xyxy2222，(x,y)(0,0)

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则 limlimf(x,y)1，limlimf(x,y)1;limlimf(x,y)limlimf(x,y)（不x0y0y0x0x0y0y0x0可交换）

上面诸例说明：二次极限存在与否和二重极限存在与否，二者之间没有一定的关系。但在某些条件下，它们之间会有一些联系。

定理1:设（1）二重极限limf(x,y)A；（2）y,yy0，limf(x,y)(y).则

xx0yy0xx0yy0lim(y)limlimf(x,y)A。

yy0xx0（定理1说明：在重极限与一个累次极限都存在时，它们必相等。但并不意味着另一累次极限存在）。

推论1:

设（1）limf(x,y)A；（2）（3）y,yy0，limf(x,y)存在；x,xx0，xx0yy0xx0yy0limf(x,y)存在；则limlimf(x,y)，limlimf(x,y)都存在，并且等于二重极限yy0xx0xx0yy0xx0yy0limf(x,y)。

推论2: 若累次极限limlimf(x,y)与limlimf(x,y)存在但不相等，则重极限

xx0yy0yy0xx0xx0yy0limf(x,y)必不存在（可用于否定重极限的存在性）。

222例13：求函数fx,yxy22xyxy在0,0的二次极限和二重极限。

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第四篇：高等数学

《高等数学》是我校高职专业重要的基础课。经过我们高等数学教师的努力，该课程在课程建设方面已走向成熟，教学质量逐步提高,在教学研究、教学管 理、教学改革方面，我们做了很多工作，也取得了可喜的成果。

《高等数学》是学习现代科学技术必不可少的基础知识。一方面它是学生后 继课程学习的铺垫，另一方面它对学生科学思维的培养和形成具有重要意义。因此，它既是一门重要的公共必修课，又是一门重要的工具课。紧扣高职高 专的培养目标，我们的《高等数学》课的定位原则是“结合专业，应用为主，够用为度，学有所用，用有所学”，宗旨是“拓宽基础、培养能力、重在应用”

根据高职高专的培养目标，高等数学这门课的教学任务是使学生在高中数学 的基础上，进一步学习和掌握本课程的基础知识、基本方法和基本技能，逐步 培养学生抽象概括问题的能力，一定的逻辑推理能力，空间想象能力，比 较熟练的运算能力和自学能力，提高学生在数学方面的素质和修养，培养 学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力。

高等数学这门课的教学设计思想是：根据专业设置相应的教学内容。我们将 《高等数学》分成四大类：轻化工程、电子、计算机和财经。四大类的公共教 学内容为：一元函数微积分,微分方程。三类工科数学增加：空间解析几何、多 元微积分学。计算机和电子再增加级数。电子类专业还专门开设拉普拉氏变换。财经专业另开设线性代数初步。达到了专业课对基础课的要求。

同时，在教学内容的安排上，还注意了以下几点：

1、数学知识的覆盖面不宜太宽，应突出重点，不过分追求数学自身的系统 性，严密性和逻辑性。淡化数学证明和数学推导。

2、重视知识产生的历史背景知识介绍，激发学生的学习兴趣。每一个概念 的引入应遵循实例—抽象—概念的形成过程。

3、重视相关知识的整合。如在一元微积分部分，可将不定积分与定积分整 合，先从应用实例引入定积分的概念，再根据定积分计算的需要引入不定积分

4、强调重要数学思想方法的突出作用。强化与实际应用联系较多的基础知 识和基本方法。加强基础知识的案例教学，力求突出在解决实际问题中有重要 应用的数学思想方法的作用，揭示重要的数学概念和方法的本质。例如，在导 数中强调导数的实质——变化率；在积分中强调定积分的实质—无限累加；在 微分中强调局部线性化思想；在极值问题中强调最优化思想；在级数中强调近似计算思想。

5、注重培养学生用数学知识解决实际问题的意识与能力。

6、根据学生实际水平，有针对性地选择适当（特别是在例题、习题、应用 案例及实验题目等方面）的教学内容，应尽量淡化计算技巧（如求导和求积分 技巧等）。

知识模块顺序及对应的学时《高等数学》工科课程主要分为七部分的知识模 块，共需要用168个学时.1、一元函数微分学部分(极限、导数及其应用)，需用60个学时；

2、一元函数积分学部分(不定积分、定积分及其应用)，需用30个学时；

3、微分方程部分，需用12个学时。

4、向量代数与空间解析几何部分，需用24个学时；

5、多元函数微分学部分(偏导数及其应用)，需用22个学时；

6、多元函数积分学部分(二重积分及其应用)，需用8个学时；

7、无穷级数部分，需用30个学时； 课程的重点、难点及解决办法 1、课程的重点

本课程的研究对象是函数，而研究问题的根本方法是极限方法，极限方法贯 穿于整个课程。本课程的重点是教会学生在掌握必要的数学知识（如导数与 微分、定积分与重积分及级数理论等）的同时，培养学生应用数学的思想方 法解决实际问题的意识、兴趣和创新能力。

2、课程的难点

本课程的教学难点在于由实际问题抽象出有关概念和其中所蕴涵的数学思想，培养学生应用数学的思想方法解决实际问题的意识、兴趣和能力；一元函数 的极限定义并用定义证明极限、定积分的应用、多元复合抽象函数的求偏导，根据实际问题建立微分方程等内容是高等数学学习过程中的难点。

3、解决办法

对于工科类高等数学，讲授时一般以物理、力学和工程中的数学模型为背景 引出问题，采取启发式教学以及现代化教学手段，讲清思想，加强基础；注 意连续和离散的关系，加强函数的离散化处理，注意培养学生研究问题和解 决实际问题的能力；注意教学内容与建立数学模型之间的联系。在微积分学 的应用中，更是关注物理模型的建立和研究思想。另外，重点、难点内容多 配备题目，课堂讲解通过典型例题的分析过程和解决过程掌握重点、突破难 点；课外还布置一定量的练习题；最近几年以来，基础部学科建设发展迅速，研究成果和学术论文突飞猛进，学术环境和氛围极大改善。基础部科研和教 学活动的新的水平层次，为《高等数学》精品课程的建设和发展，提供了优 秀的学术环境和平台。

教 学 大 纲

一、内容简介

本课程的内容包括函数的极限与连续，微分及其应用，积分及其应用，常微分方程，空间解析几何与向量代数、多元函数微积分及其应用，无穷级数，线性代数初步，数学实验等。其中函数的极限与连续，微分及其应用，积分及其应用为各专业的基础部分。空间解析几何与向量代数、多元函数微积分及其应用，无穷级数，线性代数初步，数学实验为选学模块，各专业可根据专业培养目标的要求，选学相应的教学内容。

二、课程的目的和任务

为培养能适应二十一世纪产业技术不断提升和社会经济迅速发展的高等技术应用型人才，教学中本着重能力、重应用、求创新的思路，切实贯彻“以应用为目的、理论知识以必需、够用为度”的原则，落实高职高专教育“基础知识适度，技术应用能力强，知识面较宽，素质高”的培养目标，从根本上反映出高职高专数学教学的基本特征，反映出目前国内外知识更新和科技发展的最近动态，将工程技术领域的新知识、新技术、新内容、新工艺、新案例及时反映到教学中来，充分体现高职教育专业设置紧密联系生产、建设、服务、管理一线的实际要求。在教学内容的组织上，注意以下几点：

1．注意数学知识的深、广度。基础知识和基本理论以“必需、够用”为度.把重点放在概念、方法和结论的实际应用上。多用图形、图表表达信息，多用有实际应用价值的案例、示例促进对概念、方法的理解。对基础理论不做论证，必要时只作简单的几何解释。

2．必须贯彻“理解概念、强化应用”的教学原则。理解概念要落实到用数学思想及数学概念消化、吸纳工程技术原理上；强化应用要落实到使学生能方便地用所学数学方法求解数学模型上。

3．采用“案例驱动”的教学模式。由实际问题引出数学知识，再将数学知识应用于处理各种生活和工程实际问题。重视数学知识的引入，激发学生的学习兴趣。每一个概念的引入应遵循实例—抽象—概念的形成过程。

4．重视相关知识的整合。如在一元微积分部分，可将不定积分与定积分整合，先从应用实例引入定积分的概念，再根据定积分计算的需要引入不定积分。

5．要特别注意与实际应用联系较多的基础知识、基本方法和基本技能的训练，但不追求过分复杂的计算和变换。可通过数学实验教学，提升学生对的数学问题的求解能力。加强基础知识的案例教学，力求突出在解决实际问题中有重要应用的数学思想和方法的作用，揭示重要的数学概念和方法的本质。例如，在导数中强调导数的实质——变化率；在积分中强调定积分的实质—无限累加；在微分中强调局部线性化思想；在极值问题中强调最优化思想；在级数中强调近似计算思想。

6．在内容处理上要兼顾对学生抽象概括能力、自学能力、以及较熟练的综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力以及创新能力的培养.真正体现以学生为主体，以教师为主导的辨证统一。

三、课程内容

第一章 函数的极限与连续

理解一元函数的概念及其表示；了解分段函数；了解复合函数的概念，会分析复合函数的复合过程。熟悉基本初等函数及其图形；能熟练列出简单问题中的函数关系；理解数列极限与函数极限的概念；会用极限思想方法分析简单问题；了解函数左、右极限的概念，以及函数左、右极限与函数极限的关系；掌握极限四则运算法则；理解函数连续、间断的概念；知道初等函数的连续性；会讨论分段函数的连续性。第二章 一元函数微分学及其应用

理解导数和微分的概念；能用导数描述一些经济、工程或物理量；熟悉导数和微分的运算法则和导数的基本公式；了解高阶导数的概念；能熟练地求初等函数的导数，会求一些简单函数的高阶导数，会用微分做近似计算；会建立简单的微分模型。第三章

导数的应用

会用罗必达解决未定型极限；理解函数的极值概念；会求函数的极值，会判断函数的单调性和函数图形的凹、凸性等；熟练掌握最大、最小值的应用题的求解方法。第四章

一元函数积分学及其应用

理解不定积分和定积分的概念；了解不定积分和定积分的性质；理解定积分的几何意义；熟悉不定积分的基本公式；掌握不定积分的直接积分法、第一类换元法和常见类型的分部积分法；熟练掌握牛（Newton）-莱布尼兹(Leibniz)公式；熟练掌握定积分的微元法，能建立一些实际问题的积分模型；会用微元分析法建立简单的积分模型；了解广义积分的概念.了解微分方程的阶、解、通解、初始条件、特解等概念；掌握可分离变量微分方程及一阶线性微分方程的解法；掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法；会建立简单的微分方程模型。第五章

空间解析几何与向量代数

理解向量的概念，掌握向量的线性运算、点乘、叉乘，两个向量垂直、平行的条件；熟悉单位向量、方向余弦及向量的坐标表达式；掌握用坐标表达式进行向量运算；理解曲面方程的概念，熟悉平面方程和直线方程及其求法；了解常用的二次曲面的方程，了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；了解曲线在坐标平面上的投影。第六章

多元函数微分法及其应用 理解多元函数的概念；了解二元函数的极限与连续性概念及有界闭域上连续函数的性质；了解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件；掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数；会求隐函数的偏导数；理解多元函数极值和条件极值的概念，会求一些极值。第七章

二重积分

理解二重积分的概念，了解重积分的性质和几何意义；掌握二重积分的计算方法。第八章

无穷级数

了解无穷级数收敛、发散及和的概念，基本性质及收敛的必要条件；掌握几何级数和P-级数的收敛性；掌握正项级数的比较审敛法，比值审敛法；了解交错级数的莱布尼兹定理；了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系；了解函数项级数的收敛域及和函数的概念；掌握比较简单的幂级数收敛区间的求法；了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质；了解函数展开为泰勒级数的充要条件；会将一些简单的函数间接展开成幂级数。了解函数展开为傅里叶级数的狄利克雷条件，会将定义在（-π,π）上的函数展开为傅里叶级数，并会将在（0，π）上的函数展开为正弦或余弦级数。知道傅里叶级数在工程技术中的应用。了解拉普拉斯变换和逆变换的概念，会求解简单信号函数的拉普拉斯变换和逆变换。第九章 线性代数初步

理解矩阵的概念；掌握用矩阵表示实际量的方法；熟练掌握矩阵的线性运算、乘法运算、转置及其运算规律；熟练掌握矩阵的初等变换；理解逆矩阵的概念，会用矩阵的初等变换求方阵的逆矩阵。会建立简单的线性模型；熟练掌握用行初等变换求线性方程组通解的方法。第十章 数学实验

数学实验是以实际问题为实验对象的操作实验，其教学不仅让学生了解和掌握一种数学实验软件，而更重要的是培养学生运用数学知识分析和解决问题的能力。

四、课程的教学方式

本课程的特点是思想性强，与相关基础课及专业课联系较多，教学中应注重由案例启发进入相关知识，并突出帮助学生理解重要概念的思想本质，避免学生死记硬背。要善于将有关学科或生活中常遇到的名词概念与微积分学的概念结合起来，使学生体会到数学学习的必要性。同时，注重各教学环节（理论教学、习题课、作业、辅导参考）的有机联系, 特别是强化作业与辅导环节，使学生加深对课堂教学内容的理解，提高分析解决问题的能力和运算能力。教学中有计划有目的地向学生介绍学习数学与学习专业课之间的关系，学习数学是获取进一步学习机会的关键学科。

五、各教学环节学时分配

序号教学模块理论课时习题课时实 验共计备注

1函数的极限与连续166 22各专业的公共基础 2 导数与微分204 24 3导数的应用104 14 4一元函数积分及其应用228 30

常微分方程102 12轻化、电子、计算机、经济类学生选

5空间解析几何与向量代数186 24轻化、电子、计算机类学生选 6多元函数微积分及其应用166 22轻化、电子、计算机类学生选

7二重积分62 8 8无穷级数246 30电子、计算机类学生选

9线性代数初步144 18电子、计算机、经济类学生选 10 实验

六、执行大纲时应注意的问题

1.大纲以高职高专各专业为实施对象。

2.模具和高分子专业增加极坐标和曲率；电子专业增加拉普拉斯变换。3.数学实验课程视情况开设。

教学效果

高等数学课程是一门十分繁重的教学任务，不仅学时多、面对学生人数多，而且责任大。学校、系、学生都十分关注这门课程的教学质量，它涉及到后续课程的教学，特别是它影响培养人才的质量和水平。基础部历来非常重视高等数学的教学质量，积极组织教师开展教学研究，要求任课教师认真负责地对待教学工作，备好、讲好每一节课。多年来高等数学的教学质量和教学水平一直受到学校和学生的好评。

从课堂表现可以看出教师备课是充分的。讲授熟练，概念清楚，重点突出。特别是贯彻启发式教学，教与学互动，课堂提问讨论，学生课堂解题等，师生配合较好，课堂气氛活跃，调动了学生的学习积极性。教师们经常讨论各章节的重点难点应如何处理，如何分析引出概念，如何贯彻启发式教学，哪些问题要留给学生自己解决。这种教学研讨一学期要有十多次，有时几乎每周都有安排。严谨治学、严格要求、教书育人、为人师表是基础部的优良传统，可以说高等数学教研室在师资队伍建设上成绩是突出的。高等数学在教学改革上，准备将数学建模和数学实验引入高等数学教学中，从而来提高学生学习兴趣，尝到数学应用的益处，提高学数学的积极性

课程的方法和手段

本课程运用现代教育技术、采用多种教学手段相结合的方式。大多数教师在教学中使用powerpoint课件、电子教案、模型教具等辅助手段，使教学内容的表达更生动、直观，有效提高了教学效果。采用多媒体辅助教学的教师比例达到100%。具体情况如下：

1．坚持“少讲、留疑、迫思、细答、深析”的教学原则，试点“讨论式”、“联想式”、“逆反式”等教学方法。

高等数学是学生进入大学后首先学习的课程之一，内容难以理解，课堂教学容量大。如何培养学生独立学习的能力，也是教师义不容辞的责任。为转变学生中学养成的依赖教师的学习习惯，尽快适应大学学习生活，我们在教学中提出“少讲、留疑、迫思、细答，深析”的教学 原则，开展了“讨论式”、“联想式”、“逆反式”等教学方法，收到了较好的效果。

2．提倡研究式学习方法，培养学生初步进行科学研究的能力和创新精神

工科学生学习数学的主要目的，是能将所学数学知识用于专业研究中。为激发学生的求知欲、锻炼学生的初步研究能力、培养学生的综合素质与创新精神，我们尝试在部分班级开展研究式的学习方法。具体方法是：将部分教学内容改造成研究问题，让学生通过课程学习、查阅资料、相互讨论等形式思考研究问题。例如针对微分方程的应用、各种定积分的比较研究等问题开展这项活动，学生反映很好。

3．传统教学手段与现代教学手段结合，提高教学效果

在部分内容保留传统教学方式的基础上，积极运用现代教育技术，探索计算机辅助教学的模式，研制电子教案，并在部分班级进行试点。例如：我们利用电子教案讲授空间解析几何、重积分等内容，使一些空间图形的演示更直观、更清楚，便于学生理解和掌握。

4．加强课下辅导，及时为学生排疑解难

课下的辅导答疑是高等数学教学的重要环节，为加强这个环节，我们安排了正常的辅导答疑。

5．积极开展课外科技活动

为配合高等数学的教学工作，我们准备开设《Mathematica》和《数学建模》两门院级选修课，为基础较好的学生提供进一步提高的机会。同时，积极组织学生参加数学建模竞赛。

第五篇：高等数学

考研数学：在基础上提高。

注重基础，是成功的必要条件。注重基础的考察是国家大型数学考试的特点，因此，在前期复习中，基础就成了第一要务。在这个复习基础的这个阶段中，考生可以对照教材把知识点系统梳理，逐字逐句、逐章逐节对概念、原理、方法全面深入复习，同时，还应注意基础概念的背景和各个知识点的相互关系，一定要先把所有的公式，定理，定义记牢，然后再做一些基础题进行巩固。

无论是高数、线代还是概率，都要在此阶段进行全面整理基本概念、定理、公式，初步总结复习重点，把握命题基本题型，为强化阶段的复习打下坚实基础结合常规教材和前几年的大纲，深刻理解吃透基本概念、基本方法和基本定理。考研数学是一门逻辑性极强的演绎科学，在对基本概念深入理解，对基本定理和公式牢牢记住后，才能找到解题的突破口和切入点。对近几年数学的分析表明，考生失分的一个重要原因就是对基本概念、定理记不全、记不牢，理解不准确，基本解题方法掌握不好。所以说，我们切不可在基础上掉以轻心。

在掌握了相关概念和理论之后，首先应该自己试着去解题，即使做不出来，对基本概念和理论的理解也会深入一步。因为数学毕竟是个理解加运用的科目，不练习就永远无法熟练掌握。解不出来，再看书上的解题思路和指导，再思考，如果还是想不出来，最后再看书上的详细解答。看一道题怎么做出来不是最重要的东西，重要的是通过自己的理解，能够在做题的过程中用到它。因此，在看完这本书上的那些精彩的例题之后，关键要注意在随后的习题中选典型的来继续巩固。不过，要注意的是，基础对第一轮复习的考生显然是基础要求。不要因急于做难题不会而贬低自己的自信心，坚信等若干月复习之后回头看这些题就是小菜一碟。

数学成绩是长期积累的结果，准备时间一定要充分。要对各个知识点做深入细致的分析，注意抓考点和重点题型，在一些大的得分点上可以适当地采取题海战术。数学考试会出现一些应用到多个知识点的综合性试题和应用型试题。这类试题一般比较灵活，难度也要大一些。在数学首轮复习期间，可以不将它们作为强化重点，但也应逐步进行一些训练，积累解题思路，同时这也有利于对所学知识的消化吸收，彻底弄清楚有关知识的纵向与横向联系，转化为自己真正掌握的东西。

数学基础复习就要关注：教材、做题、独立思考。这些都是缺一不可的。教材是获得基本知识的必要前提，是基础，懂了教材才有可能做对题目。做题是关键，是目的。只有会做题，做对题目，快速做题才能应付考试，达到目的。思考是为了更有效的理解教材和做对题目。所以我们要向提高自己的做题能力，就千万不能在基础阶段大意而导致之后进去的路上失去先机，这样就会在后期多走弯路，切记!考研数学：进入备考状态，培养综合能力

要进行全面完整的复习，大多数考生现在已经开始了考研的相关准备并进入了考研状态。现在可以看做是考研的第一个阶段：基础阶段。在这个阶段，我们必须明确自己的目标，并对自己的实力有个初步的判断。在此基础上，开展我们的初步复习。因为对自己的了解，才能作为我们复习时的参考，让我们知道从哪些方面开始，哪些知识点要多下些功夫，而有些自己掌握较好的部分则可以少用点时间，从而对时间进行最有效率的分配，获得最佳效果。现在的阶段是奠定良好基础的关键部分。在这个阶段，主要是让自己慢慢融入考研这个大事中，培养自己的考研心态和状态。

考生都很关心具体该如何开始复习，进行初级基础阶段的复习。对考研最终的胜利至关重要。特别是公共课数学，相信考生也已经意识到了这门学科的重要性和复习的难度。下面，跨考教育数学教研室牛秀艳老师就此为考生做一些复习指导建议。

首先，合理安排时间。基础阶段的复习，因为要进行整体全面的学习，所有时间是较长的，考生要有一个详细的安排和计划。考生应尽量保证在暑假前完成这一阶段的复习。基础阶段的复习主要依据考试大纲(现阶段年新大纲发布前可先依据上一年考研数学大纲)，清楚哪些是重要的考点，哪些是不考的内容，熟练掌握基本概念、定理、公式及常用结论等内容，为后期的学习(强化和冲刺阶段)打下牢固的基础。

对于教材，也要给予足够的重视。教材的作用，考生一定不能忽视。很多定理公理，都可以在书中多次翻看，达到真正理解的程度。一般来说，推荐同济五版的高数、清华二版的线代、浙大三版的概率。这些都是非常好的“陪读”教材，在考研复习中不可或缺。那么在理解了基础理论的时候，我们做题就会更加得心应手。这个阶段，虽然做题不是重点，但要以做适当数量的题目来辅助我们理解那些基础知识点。“万丈高楼平地起”，没有好的地基就盖不出高大壮观的建筑。我们考研就是建设的过程，所以要从底层做起。不能忽视底层的建构，而且基础建设耗费时间虽长，但更能说明这个阶段的重要性。有个这个阶段良好的基础，在一层一层盖楼的过程中，才能真正感受到“磨刀不误砍柴工”的作用。在后续各个阶段的复习中，将会获得更充足的动力。

做题时，如果遇到有些对概念、定理模糊不确定的时候，可以去看教材，用教材题目相结合的方法。光看教材也许容易看了后边的忘了前边所学的内容，所以在做题中、在复习的时候要不断的巩固，加强对基础知识点的理解。要做自己所选教材后边的一些配套的基础性的练习题，勤动手，同时对于一些自己不会做得题目，多思考，多问自己几个为什么。有些具有一定难度的题目，可能需要参考标准答案，此时一定要认真把思路做个复习概括。多总结，总结是任何时候都不过时的。多想想以后遇到类似的题目，自己应该从哪些方面去思考，这样慢慢积累，就会成为自己的知识，被自己所用。

对于知识点的复习，考生可以有重点的复习。为了更能把时间用在刀刃上，建议考生结合前几年的大纲，找准考点。从历年的考研试卷分析，凡是大纲中提及的内容，都是可能的考点，甚至自己认为是一些不太重要的内容，也完全有可能在考研试题中出现。所以，对于大纲中提到的考点，要做到重点、全面、有针对性的复习。不仅要在主要的内容和方法上下功夫，更要注重寻找各个知识点之间的联系。近年来，考研数学越来越注重综合能力的考查，这也是以后命题的一个趋势。而综合能力的培养以及提高，源于自己平时的积累与练习。

考研高数：极限中的“极限”(一)

相信大家已经把高数的复习已经结束，开启概率和线代的复习，不知道对自己高数的复习是否满意，是否达到了我们的“三基本”呢?接下来，跨考教育数学教研室佟庆英就和大家梳理一下我们做过的极限。

说到极限应该是我们三大计算中的第一大计算，每年考研真题必出，无论是数一数二数三还是经济类数学，可以出选择题也可以出填空题，更可以出解答题，题目类型不同，分值也不同，4分或者10分，极限的思想也就更是重要之重了，原因就是后来所有的概念都是以极限的形式给出的。下面，我们就看看极限在基础阶段到底应该掌握到什么程度。

第一，极限的定义。理解数列极限和函数极限的定义，最好记住其定义。

第二，极限的性质。唯一性，有界性，保号性和保不等式性要理解，重点理解保号性和保不等式性，在考研真题里面经常考查，而性质的本身并不难理解，关键是在做题目的时候怎么能想到，所以同学们在做题目的时候可以看看什么情况下利用了极限的保号性，例如：题目中有一点的导数大于零或者小于零，或者给定义数值，可以根据这个数值大于零或小于零，像这样的情况，就可以写出这一点的导数定义，利用极限的保号性，得出相应的结论，切记要根据题目要求来判断是否需要，但首先要有这样的思路，希望同学们在做题时多去总结。

第三，极限的计算。这一部分是重中之重，这也是三大计算中的第一大计算，每年必考的题目，所以需要同学们能够熟练地掌握并会计算不同类型的极限计算。首先要知道基本的极限的计算方法，比如：四则运算、等价无穷小替换、洛必达法则、重要极限、单侧极限、夹逼定理、单调有界收敛定理，除此之外还要泰勒展开，利用定积分定义求极限。其次还要掌握每一种极限计算的注意事项及拓展，比如：四则运算中掌握“抓大头”思想(两个多项式商的极限，是无穷比无穷形式的，分别抓分子和分母的最高次计算结果即可)，等价无穷小替换中要掌握等价无穷小替换只能在乘除法中直接应用，加减法中不能直接应用，如需应用必须加附加条件，计算中要掌握基本的等价无穷小替换公式和其推广及凑形式，进一步说就是第一要熟练掌握基本公式，第二要知道怎么推广，也就是将等价无穷小替换公式中的x用f(x)来替换，并且要验证在x趋于某一变化过程中f(x)会否趋近于零，满足则可以利用推广后的等价无穷替换公式，否则不能。

下面给出推广后公式：f(x)→0,f(x)～sinf(x)～arcsinf(x)～tanf(x)～arctanf(x)～expf(x)-1～ln(f(x)+1),1-cosf(x)～0.5(f(x))2,(1+f(x))a～af(x)。

第三要能将变形的无穷小替换公式转化为标准形式，比如：公式中固定出现的“1”和f(x)为无穷小量。希望同学们在做题目的时候多加注意，熟能生巧。

考研高数：极限中的“极限”(二)

前面我们已经介绍了等价无穷小替换公式的应用及注意事项，接下来，跨考教育数学教研室佟老师为大家继续说说极限的计算方法。

极限的第三种方法就是洛必达法则。首先，要想在极限中使用洛必达法则就必须要满足洛必达法则，说到这里有很多同学会打个问号，什么法则，不就是上下同时求导?其实不尽然。

洛必达有两种，无穷比无穷，零比零，分趋近一点和趋近于无穷两种情况，以趋近于一点来说明法则条件，条件一：零比零或者无穷比无穷(0/0，∞/∞);条件二：趋近于这一点的去心领域内可导，且分母导数不为零;条件三：分子导数比分母导数的极限存在或者为无穷，则原极限等于导数比的极限。

在这里要注意极限计算中使用洛必达法则必须同时满足这三个条件，缺一不可，特别要注意条件三，导数比的极限一定是存在或者为无穷，不能把无穷认为是极限不存在，因为极限不存在还包括极限不存在也不为无穷这种情况，比如：x趋近于零，sin(1/x)的极限不存在也不为无穷。每次使用都必须验证三条件是否同时满足。

再来看看重要极限，重要极限有两个，一个是x趋近于零时，sinx/x趋近于零，另一个是x趋近于零时，(1+x)1/x趋近于e，或者写成x趋近于无穷，(1+1/x)x趋近于e(1∞形式)，总结起来就是(1+无穷小量)无穷小量的倒数，所以要记住重要极限的特点，并可以将其推广，即把x换成f(x)，在f(x)趋近零，sinf(x)/f(x)趋近于零，(1+f(x))1/f(x)趋近于e，或f(x)趋近无穷，(1+1/f(x))f(x)趋近于e，还要注意当给你幂指函数的极限计算，先要判断他是不是1∞形式，如果是，就可以考虑利用重要极限解决，凑出相应的形式就可以得出结论。

这里还要特别的提一下几个未定式(∞-∞，0·∞，1∞，00，∞∞)，这五个未定式需要转化为0/0或∞/∞,其中∞-∞可以通过通分、提取或者代换将其转化，0·∞可以将0或者∞放在分母上，以实现转化，1∞，00，∞∞利用对数恒等变化来实现转化，其中1∞还可以利用重要极限计算。

综上所述，等价无穷小替换和重要极限要掌握基本公式和推广，可以将任意变形公式转化为标准形式，并且给定一个极限首要任务就是利用等价无穷替换公式化简。洛必达法则处理七种未定式，灵活地将不同形式的极限转化为0/0或∞/∞，计算时注意满足洛必达法则的三个条件，希望同学们可以掌握基础，灵活地解决不同类型的极限。