第一篇:数学归纳法例证与练习
例1.用数学归纳法证明:
1111n. 2n12n12n1133557
请读者分析下面的证法:
证明:①n=1时,左边1111,右边,左边=右边,等式成立. 133213
②假设n=k时,等式成立,即:
1111k. 2k12k12k1133557
那么当n=k+1时,有:
11111 2k12k12k12k3133557
k1 2k12k12k32k1k1 2k23k12k12k32k12k3k1k1 2k32k11
这就说明,当n=k+1时,等式亦成立,例2.是否存在一个等差数列{an},使得对任何自然数n,等式:
a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)
都成立,并证明你的结论.
分析:采用由特殊到一般的思维方法,先令n=1,2,3时找出来{an},然后再证明一般性.例3.证明不等式11
21
1
n2n(n∈N).
例4.已知数列{an}满足a1=0,a2=1,当n∈N时,an+2=an+1+an.
求证:数列{an}的第4m+1项(m∈N)能被3整除.
第二篇:放缩法证明不等式例证
例谈“放缩法”证明不等式的基本策略
江苏省苏州市木渎第二高级中学母建军 21510
1近年来在高考解答题中,常渗透不等式证明的内容,而不等式的证明是高中数学中的一个难点,它可以考察学生逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。特别值得一提的是,高考中可以用“放缩法”证明不等式的频率很高,它是思考不等关系的朴素思想和基本出发点, 有极大的迁移性, 对它的运用往往能体现出创造性。“放缩法”它可以和很多知识内容结合,对应变能力有较高的要求。因为放缩必须有目标,而且要恰到好处,目标往往要从证明的结论考察,放缩时要注意适度,否则就不能同向传递。下面结合一些高考试题,例谈“放缩”的基本策略,期望对读者能有所帮助。
1、添加或舍弃一些正项(或负项)
例
1、已知an21(nN).求证:n*an1a1a2...n(nN*).23a2a3an
1ak2k11111111k1.,k1,2,...,n, 证明: ak12122(2k11)23.2k2k2232k
aa1a2n1111n11n1...n(2...n)(1n), a2a3an1232222322
3an1aan12...n(nN*).23a2a3an1
2若多项式中加上一些正的值,多项式的值变大,多项式中加上一些负的值,多项式的值变小。由于证明不等式的需要,有时需要舍去或添加一些项,使不等式一边放大或缩小,利用不等式的传递性,达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了2k2,从而是使和式得到化简.2、先放缩再求和(或先求和再放缩)
例
2、函数f(x)=4x
14x,求证:f(1)+f(2)+…+f(n)>n+12n11(nN*).2证明:由f(n)= 4n
14n=1-111 nn1422
221得f(1)+f(2)+…+f(n)>11
122211
22n
111111n(1n1)nn1(nN*).424222
此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征, 先将分子变为常数,再对分母进
行放缩,从而对左边可以进行求和.若分子, 分母如果同时存在变量时, 要设法使其中之一变为常量,分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。如需放大,则只要把分子放大或分母缩小即可;如需缩小,则只要把分子缩小或分母放大即可。
3、先放缩,后裂项(或先裂项再放缩)
例
3、已知an=n,求证:∑ 证明:∑
k=
1nn
nk=1ak
k
n
<3.
(k-1)k(k+1)
=1k2n
ak
2=∑
k=
1n
<1+∑
k=2
<1+∑
k=2
(k-1)(k+1)(k+1 +k
-1)
=1+ ∑(k=2
n
-)
(k-1)
(k+1)
1=1+1+- <2+<3.
(n+1)2
2本题先采用减小分母的两次放缩,再裂项,最后又放缩,有的放矢,直达目标.4、放大或缩小“因式”;
n
1.例
4、已知数列{an}满足an1a,0a1,求证:(akak1)ak2322k
1n
证明 0a1
n
11112,an1an,a2a12,a3.当k1时,0ak2a3, 2416161n11(akak1)(a1an1).16k116
32(akak1)ak2
k1
本题通过对因式ak2放大,而得到一个容易求和的式子
5、逐项放大或缩小
(a
k
1n
k
ak1),最终得出证明.n(n1)(n1)
2an例
5、设an2234n(n1)求证 22122n1
2证明:∵ n(n1)nnn(n1)(n)
2n
1n(n1)(n1)213(2n1)
∴ 123nan,∴
an
222
2n1
本题利用n,对an中每项都进行了放缩,从而得到可以求和的∴ n
n(n1)
数列,达到化简的目的。
6、固定一部分项,放缩另外的项; 例
6、求证:
11117 2222123n
4证明:
1
2nn(n1)n1n
11111111151171()().22222123n223n1n42n4
此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧,放缩拆项时,不一定从第一项开始,须根据具体题型分别对待,即不能放的太宽,也不能缩的太窄,真正做到恰倒好处。
7、利用基本不等式放缩
例
7、已知an5n
41对任何正整数m,n都成立.1,只要证
5amn1aman因为 amn5mn4,aman(5m4)(5n4)25mn20(mn)16,故只要证
5(5mn4)125mn20(mn)16 即只要证
20m20n37
因为aman5m5n85m5n8(15m15n29)20m20n37,所以命题得证.本题通过化简整理之后,再利用基本不等式由aman放大即可.8、先适当组合, 排序, 再逐项比较或放缩
例
8、.已知i,m、n是正整数,且1<i≤m<n.(1)证明:nAim<mAin;(2)证明:(1+m)>(1+n)
i
i
n
m
证明:(1)对于1<i≤m,且Aim =m·…·(m-i+1),Aimmm1Aimnn1mi1ni
1,,同理ii
mmmnnnmn
由于m<n,对于整数k=1,2,…,i-1,有
nkmk,
nm
AinAim
所以ii,即miAinniAim
nm
(2)由二项式定理有:
2n2n
(1+m)n=1+C1nm+Cnm+…+Cnm,22mm(1+n)m=1+C1mn+Cmn+…+Cmn,由(1)知
mAin
i
>nAim
i
(1<i≤m<n),而
Cim
∴miCin>niCim(1<m<n)
AimiAin
= ,Cni!i!
00222211
∴m0C0n=nCn=1,mCn=nCm=m·n,mCn>nCm,…,mmm+1m1mmCmCn>0,…,mnCnn>nCm,mn>0,2n222n1mm∴1+C1nm+Cnm+…+Cnm>1+Cmn+Cmn+…+Cmn,即(1+m)n>(1+n)m成立.以上介绍了用“放缩法”证明不等式的几种常用策略,解题的关键在于根据问题的特征选择恰当的方法,有时还需要几种方法融为一体。在证明过程中,适当地进行放缩,可以化繁为简、化难为易,达到事半功倍的效果。但放缩的范围较难把握,常常出现放缩后得不出结论或得到相反的现象。因此,使用放缩法时,如何确定放缩目标尤为重要。要想正确确定放缩目标,就必须根据欲证结论,抓住题目的特点。掌握放缩技巧,真正做到弄懂弄通,并且还要根据不同题目的类型,采用恰到好处的放缩方法,才能把题解活,从而培养和提高自己的思维和逻辑推理能力,分析问题和解决问题的能力。希望大家能够进一步的了解放缩法的作用,掌握基本的放缩方法和放缩调整手段.
第三篇:七年级数学代入法练习
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8.2 解二元一次方程组(代入法)
一、基础过关
1.把下列方程改写成用含x的代数式表示y的形式:
(1)5x-y=3;(2)2(x-y)=3;
(3)-
2.用代入法解方程组xy+=1;(4)(2x-y)-3(x-2y)=12. 25x3y10,较简便的步骤是:先把方程________变形为3x5y2.__________,再代入方程___________,求得_________的值,然后再求________的值.
2x3y20,3.用代入法解方程组的正确解法是()
4x19y3y222x,再代入② B.先将①变形为y=,再代入② 239 C.先将②变形为x=y-1,再代入① D.先将②变形为y=9(4x+1),再代入① A.先将①变形为x=ax4y8,4.关于x、y的方程组的解中y=0,则a的取值为()
3x2y6 A.a=4 B.a>4 C.a<4 D.a=-6 5.关于x、y的方程组4x3y2,的解x与y的值相等,则k的值为()
kx(k1)y6 A.4 B.3 C.2 D.1 6.用代入法解下列方程组:
(1)y2x1,7x3y1;3eud教育网 http://www.3edu.net 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网!3eud教育网 http://www.3edu.net 百万教学资源,完全免费,无须注册,天天更新!
(2)
3x4y,4x2y4,(3)
x2y5;2xy2;x2y4,(4)
2xy28.
二、综合创新
1ax3y5,x,27.(综合题)方程组中,如果 2是它的一个解,求3(a-b)-a的值.2xby1y1
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8.(应用题)
(1)取一根绳子测量教室的长度,若把绳子折成5等份来测量,绳子多1米;若把绳子折成4等份来测量,绳子多3米,问绳子和教室各有多长?
(2)为了庆祝中国足球队勇夺亚州杯亚军,曙光体育器材厂赠送一批足球给希望中学足球队.若足球队每人领一个则少6个球;若每两人领一个则余6个球.•问这批足球共有多少个?小明领到足球后十分高兴,就仔细研究起足球上的黑白块,结果发现,黑块是五边形,白块是六边形,黑白相间在球体上(如图8-2-1),黑块共12块,问白块有几块?
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9.(创新题)如果关于x,y的二元一次方程组y的方程组的解:
3xay16,x7,的解是,求关于x,2xby15y1.3(x2y)ay16,3(xy)a(xy)16,23(1)(2)
b2(xy)b(xy)15;(x2y)y15.3
10.(1)(2005年,南京)解方程组
(2)(2005年,北京海淀)解方程组
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x2y0,3x2y8;x4y1,2xy16.3eud教育网 http://www.3edu.net 百万教学资源,完全免费,无须注册,天天更新!
三、培优训练 11.(探究题)一列快车长168米,一列慢车长184米,如果两车相向而行,从相遇到离开需4秒;如果同向而行,从快车追及慢车到离开需16秒,求两列车的平均速度.
四、数学世界
欧几里得的数学题
古希腊著名数学家欧几里得是欧几里得几何学的创始人,现在中、小学里学的几何学,基本上还是欧几里得几何学体系.下面这道题还与他有关呢!
驴子和骡子一同走,它们负担着不同袋数的货物,但每袋货物都是一样重的.驴子抱怨包担太重.“你抱怨啥呢?”骡子说,“如果你给我一袋,那我所负担的就是你的两倍,如果我给你一袋,我们的负担恰恰相等.”驴子和骡子各负担着几袋货物?
请你也来解解大数学家的这道题.
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答案:
1.(1)y=5x-3.(2)y=x-3105x12x.(3)y=.(4)y=. 2252.①;x=10-3y;②;y;x 3.B 4.A 点拨:把y=0代入②,得x=2,把x=2,y=0代入①,得a=4,故选A.
4x3y2,5.C 点拨:由题意,得kx(k1)y6,xy. 把③代入①,得4x-3x=2.∴x=2.
把x=y=2代入②,得2k+2(k-1)=6,解得k=2.故选C.
x2,6.(1)
y5.(2)解:3x4y,x2y5.由②,得x=2y-5.③
把③代入①得,3(2y-5)=4y,解得y=7.5.
把y=7.5代入③得x=2×7.5-5=10.
∴x10,y7.5.x1,x12,(4) y0.y4.(3)1x,ax3y5,7.解:把代入方程组得 22xby1y11a4,a35, 2 解这个方程组,得
b0.1b1.∴3(a-b)-a2=3×(4-0)-42=-4.
8.(1)解:设绳子长x米,教室长y米,依题意得
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xy1,x5y5,5 即
x4y12.xy3.4x40, 解这个方程组,得
y7. 答:绳子长40米,教室长7米.
(2)解:设足球有x个,球员有y人,由题意,yx6, 得y
6x.2 解这个方程组,得x18,y24.一个白块周围有三个黑块,一个黑块周围有五个白块,即黑白比例为3:5.
设白块有z块由题意得:
∴12z=,∴z=20. 35 答:这批足球共有18个,一个足球上有白块20块. 9.解:(1)由第一个方程组的解为x7,xy7,x4,可得解得.
y1.xy1.y3.x2y7,x7,x20,2(2)由第一个方程组的解为可得 解得
1y1.y3.y1.3 点拨:(1)认真观察两个方程组,其不同之处是x→x+y,y→x-y.
(2)认真观察两个方程组,其不同之处是x→10.(1)解:由①得x=2y.③
把③代入②,3×2y+2y=8,即y=1.
把y=1代入③,得x=2.
x2y1,y→y. 233eud教育网 http://www.3edu.net 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网!3eud教育网 http://www.3edu.net 百万教学资源,完全免费,无须注册,天天更新!
∴原方程组的解是.x2,y1.(2)解:由①得x=4y-1.③
把③代入②,2(4y-1)+y=16.即y=2.
把y=2代入③,得x=7.
x7, ∴原方程组的解是
y2.11.解:设快、慢车的平均速度分别为x米/秒、y米/秒,依题意,得4x4y168184,16x16y168184. 化简,得xy88,xy22.x55,y33.解之,得 答:快车的平均速度是55米/秒,慢车的平均速度是33米/秒. 数学世界:
驴子负担着5袋货物,骡子负担着7袋货物.
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第四篇:河北区分练习法与实习作业法
河北区分练习法与实习作业法
很多同学经常和我反应,就是在做题的过程中不知道如何区分练习法与实习作业法,其实它们俩的区别很明显,今天在这里给大家具体的说明一下:
一、练习法:
1.定义:学生在教师的指导下,依靠自觉的控制和校正,反复地完成一定动作或活动方
式,借以形成技能、技巧或行为习惯的教学方法。从生理机制上说,通过练习使学生在神经系统中形成一定的动力定型,以便顺利地、成功地完成某种活动。练习在各科教学中得到广泛的应用,尤其是工具性学科(如语文、外语、数学等)和技能性学科(如体育、音乐、美术等)。练习法对于巩固知识,引导学生把知识应用于实际,发展学生的能力以及形成学生的道德品质等方面具有重要的作用。按培养学生不同方面的能力分为:各种口头练习、书面练习、实际操作练习;按学生掌握技能、技巧的进程分为:模仿性练习、独立性练习、创造性练习。
2.要求:运用练习法,一般有如下五个要求:
①明确练习的目的和要求。练习虽是多次地完成某种活动,但并不是简单的机械的重复,而是有目的、有步骤、有指导地形成和改进学生技能、技巧,发展学生能力的过程。因此,在练习时,不仅教师要有明确的目的,而且也要使学生了解每次练习的目的和具体要求,并依靠对教材的理解自觉地进行练习。
②精选练习材料。练习材料要根据练习目的、学生实际情况以及学习和生活上的实际需要加以选择;要加强基本技能的训练,把典型练习、变式练习和 创造性练习密切结合起来,努力促进学生技能的积极迁移,使学生能举一反三,触类旁通,发展他们的实际操作能力和 创造能力。
③正确的练习方法。练习方法要按照确定的步骤进行,不管何种练习,都要求学生思维的积极性。有的练习材料可采用全部练习法;有的练习材料可采用分段练习法(又称单项或分步练习体系),即把某种复杂的操作活动,分解为几个部分,先专门练习其中的某一部分,然后再过渡到综合练习。练习开始时,教师通过讲解和示范,使学生获得有关练习的方法和实际动作的清晰表象,然后学生进行练习,先求正确,后求熟练。练习的方式要适当多样化,以提高学生的练习的兴趣和效果。
④适当分配练习的分量、次数和时间。技能、技巧或习惯的形成,都需要足够的练习;但是,练习的分量和次数,要根据学科的性质、练习的材料和学生的年龄特征来确定,不是越多越好。练习的时间分配,一般说,适当的分散练习比过度的集中效果更好;开始阶
段,练习的次数要多些,每次练习的时间不宜过长,然后可逐渐延长练习的时距,每次练习的时间略可增加。
⑤了解练习的结果。每一次练习之后,检查哪些方面有成效,哪些方面存在着缺点或错误,保留必要的、符合目的的动作,舍弃多余的动作,或组织一些校正性练习。当学生出现高原状态时,不能轻易认为是生理限度,教师要帮助学生分析原因,指导他们改变旧的活动结构,采用新的方式,并提高他们的信心,鼓励他们突破高原状态,争取更大的进步。
二、实习作业法:
1.定义:实习作业法是学生在教师的指导下,依据教学大纲的要求,在校内外一定场地运用已有知识进行实际操作或其他实践活动,以获得一定知识和技能的方法。实习作业法具有实践性、独立性、创造性,能使学生学到书本上学不到的知识。例如:数学课学习了长方形的面积公式之后,量一下家里院子的面积,生物课的学习了植物栽培后,回到家进行植物的栽培。更加注重对知识的实际应用。
2.实习作业法具体要求:
①做好实习的准备。教师要制定详细的实习计划,并明确提出具体可操作的步骤和要求。准备好实习器具,编好和实习小组。
②操作过程中加强集体和个别指导,使学生明了操作方法及有关注意事项,在必要时教师先给以示范。同时要求学生独立操作,及时小结各步骤的操作情况,及时检查阶段性结果。
③做好总结。实习结束后,做好总结评定,并写出实习工作总结,以巩固操作的收获,养成学生良好的实习习惯,培养实事求是的科学精神
从定义我们可以了解到,其实练习法和实习作业法的最主要区别可以理解为:练习就是跟着练习手册大量做 实习就是模拟实践。
习题一:
下述教学方法中最有利于培养技能技巧的是()。A.讲授法 B.演示法 C.参观法 D.练习法
3.【答案】D。解析:学生在教师的指导下,依靠自觉的控制和校正,反复地完成一定动作或活动方式,借以形成技能、技巧或行为习惯的教学方法
【知识点】教育学-教学-教学方法-常用的教学方法-以实际训练为主的教学方法-练习法
【难度等级】★
以上介绍了区分练习法与实习作业法,希望能对考生有所帮助!
第五篇:八年级数学4.3公式法同步练习(含解析)
4.3公式法
同步练习
一.选择题
1.在下列因式分解中,正确的是()
A.m2+2m+4=(m+2)2
B.m2﹣4=(m+4)(m﹣4)
C.m2﹣4m+4=(m﹣2)2
D.m2+4=(m+2)2
2.运用公式a2+2ab+b2=(a+b)2直接对整式4x2+4x+1进行因式分解,公式中的a可以是()
A.2x2
B.4x2
C.2x
D.4x
3.若x2+5x+m=(x+n)2,则m,n的值分别为()
A.m=,n=
B.m=,n=5
C.m=25,n=5
D.m=5,n=
4.把多项式a3﹣a分解因式,结果正确的是()
A.a(a2﹣1)
B.a(a﹣1)2
C.a(a+1)2
D.a(a+1)(a﹣1)
5.下列因式分解结果正确的有()
①﹣4m3+12m2=﹣m2(4m﹣12)
②x4﹣1=(x2+1)(x2﹣1)
③x2+2x+4=(x+2)2
④(a2+b2)2﹣4a2b2=(a+b)2(a﹣b)2
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
6.已知9x2﹣mxy+16y2能运用完全平方公式分解因式,则m的值为()
A.12
B.±12
C.24
D.±24
7.已知68﹣1能被30~40之间的两个整数整除,这两个整数是()
A.31,33
B.33,35
C.35,37
D.37,39
8.已知a、b、c是△ABC的三条边,且满足a2+bc=b2+ac,则△ABC是()
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.等腰三角形
D.等边三角形
9.已知x2+x=1,那么x4+2x3﹣x2﹣2x+2020的值为()
A.2019
B.2020
C.2021
D.2022
10.若a2+2ab+b2﹣c2=10,a+b+c=5,则a+b﹣c的值是()
A.2
B.5
C.20
D.9
二.填空题
11.把2a2﹣8b2因式分解的结果是
.
12.把16x4﹣1分解因式得
.
13.分解因式5+5x2﹣10x=
.
14.对于非零的两个实数a,b,规定a⊗b=a3﹣ab,那么将a⊗16进行分解因式的结果为
.
15.从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形(如图1),然后将剩余部分拼成一个长方形(如图2).
(1)探究:上述操作能验证的等式是:
;(请选择正确的一个)
A.a2﹣2ab+b2=(a﹣b)2;
B.a2﹣b2=(a+b)(a﹣b);
C.a2+ab=a(a+b).
(2)应用:利用所选(1)中等式两边的等量关系,完成下面题目:
若x+4y=6,x﹣4y=5,则x2﹣16y2+64的值为
.
三.解答题
16.因式分解
①x2﹣4y2;
②x2﹣6x+9;
③9x3y﹣12x2y2+4xy3;
④a2(x+y)﹣4b2(x+y).
17.因式分解:
(1)2a3﹣4a2b+2ab2;
(2)x4﹣81y4.
18.a、b、c是△ABC的三边,且有a2+b2=4a+10b﹣29.
(1)求a、b的值.
(2)若c为整数,求c的值.
(3)若△ABC是等腰三角形,求这个三角形的周长.
参考答案
一.选择题
1.解:A、m2+2m+4不符合完全平方公式形式,故此选项错误;
B、m2﹣4=(m+2)(m﹣2),故此选项错误;
C、m2﹣4m+4=(m﹣2)2,故此选项正确;
D、m2+4,无法分解因式,故此选项错误.
故选:C.
2.解:∵4x2+4x+1
=(2x)2+2×2x+1
=(2x+1)2,∴对上式进行因式分解,公式中的a可以是:2x.
故选:C.
3.解:∵x2+5x+m=(x+n)2=x2+2nx+n2,∴2n=5,m=n2,解得m=,n=,故选:A.
4.解:原式=a(a2﹣1)=a(a+1)(a﹣1),故选:D.
5.解:①﹣4m3+12m2=﹣4m2(m﹣3),故错误;
②x4﹣1=(x2+1)(x2﹣1)=(x+1)(x﹣1)(x2+1),故错误;
③x2+2x+4不能进行因式分解,故错误;
④(a2+b2)2﹣4a2b2=(a2+b2+2ab)(a2+b2﹣2ab)=(a+b)2(a﹣b)2,故正确.
故选:A.
6.解:∵(3x±4y)2=9x2±24xy+16y2,∴在9x2+mxy+16y2中,m=±24.
故选:D.
7.解:∵68﹣1=(64+1)(64﹣1),=(64+1)(62+1)(62﹣1),=(64+1)×37×35.
∴68﹣1能被30~40之间的35和37两个整数整除.
故选:C.
8.解:已知等式变形得:(a+b)(a﹣b)﹣c(a﹣b)=0,即(a﹣b)(a+b﹣c)=0,∵a+b﹣c≠0,∴a﹣b=0,即a=b,则△ABC为等腰三角形.
故选:C.
9.解:∵x2+x=1,∴x4+2x3﹣x2﹣2x+2020
=x4+x3+x3﹣x2﹣2x+2020
=x2(x2+x)+x3﹣x2﹣2x+2020
=x2+x3﹣x2﹣2x+2020
=x(x2+x)﹣x2﹣2x+2020
=x﹣x2﹣2x+2020
=﹣x2﹣x+2020
=﹣(x2+x)+2020
=﹣1+2020
=2019.
故选:A.
10.解:a2+2ab+b2﹣c2=10,(a+b)2﹣c2=10,(a+b+c)(a+b﹣c)=10,∵a+b+c=5,∴5(a+b﹣c)=10,解得a+b﹣c=2.
故选:A.
二.填空题
11.解:2a2﹣8b2=2(a2﹣4b2)=2(a+2b)(a﹣2b).
故答案为:2(a+2b)(a﹣2b).
12.解:16x4﹣1=(4x2﹣1)(4x2+1)
=(2x﹣1)(2x+1)(4x2+1).
故答案为:(2x﹣1)(2x+1)(4x2+1).
13.解:5+5x2﹣10x=5(1+x2﹣2x)
=5(x﹣1)2.
故答案为:5(x﹣1)2.
14.解:a⊗16=a3﹣16a
=a(a2﹣16)
=a(a+4)(a﹣4).
故答案为:a(a+4)(a﹣4).
15.解:(1)图一剩余部分面积=a2﹣b2
图二的面积=(a+b)(a﹣b)
故有:a2﹣b2=(a+b)(a﹣b);
故选:B.
(2)∵x+4y=6,x﹣4y=5.
∴x2﹣16y2=(x+4y)(x﹣4y)=30.
∴x2﹣16y2+64的值为94.
故答案为:94.
三.解答题
16.解:①x2﹣4y2=(x+2y)(x﹣2y);
②x2﹣6x+9=(x﹣3)2;
③9x3y﹣12x2y2+4xy3=xy(9x2﹣12xy+4y2)=xy(3x﹣2y)2;
④a2(x+y)﹣4b2(x+y)=(x+y)(a2﹣4b2)=(x+y)(a+2b)(a﹣2b).
17.解:(1)原式=2a(a2﹣2ab+b2)=2a(a﹣b)2;
(2)原式=(x2+9y2)(x2﹣9y2)=(x2+9y2)(x+3y)(x﹣3y).
18.(1)∵a2+b2=4a+10b﹣29,∴a2+b2﹣4a﹣10b+29=0.
∴a2﹣4a+4+b2﹣10b+25=0.
∴(a﹣2)2+(b﹣5)2=0.
∴a﹣2=0,b﹣5=0.
解得a=2,b=5.
(2)∵a=2,b=5,根据三角形三边关系,∴3<c<7.
∵c为整数,∴c的值为4,5,6.
(2)当△ABC是等腰三角形时,a=2,b=c=5,此时,该三角形的周长为2+5+5=12.