等差数列知识点解读（最终定稿）

第一篇：等差数列知识点解读

等差数列

一、学习目标：等差数列的概念、性质及前n项和求法。

*1.设数列an的前n项和为Sn．已知a15，an1Sn3n，nN．设bnSn3n，求数列bn的通项公式；

解：依题意，Sn1Snan1Sn3n，即Sn12Sn3n，由此得Sn13n12(Sn3n)．

因此，所求通项公式为bnSn-3n2n。

2．设数列{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项为

3．已知等差数列{an}的公差d0，且a1,a3,a9成等比数列，则a1a3a913． a2a4a1016

【考点梳理】

1.在解决等差数列问题时，如已知，a1，an，d，Sn，n中任意三个，可求其余两个。

2.补充的一条性质

s奇n1）项数为奇数2n1的等差数列有：ssana中，s2n1(2n1)an s偶n1奇偶

sa2）项数为偶数2n的等差数列有：奇n，s偶s奇nds2nn(anan1)s偶an

1an1and（定义）2an1anan23.等差数列的判定：{an}为等差数列 anAnB（关于n的“一次函数”）

SAn2Bn（缺常数项的“二次函数”）n

即：｛an｝an1and(d为常数）2anan1an1(n2,nN*)

anknbsnAn2Bn；

4.三个数成等差可设：a，a＋d，a＋2d或a－d，a，a＋d；

四个数成等差可设：a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.5．等差数列与函数：1）等差数列通项公式与一次函数的关系：从函数的角度考查等差数列的通项公式：an= a1+(n-1)d=d·n+ a1-d, an是关于n的一次式；从图像上看，表示等差数列的各点（n,an）均匀排列在一条直线上，由两点确定一条直线的性质，不难得出，任两项可以确定一个等差数列.k=d=ana1aam，d=n，由此联想点列（n，an）所在直线的nmn1

斜率.2）点(n,Sn)在没有常数项的二次函数Snpn2qn上。其中，公差不为0.6.等差数列前n项和最值的求法（结合二次函数的图象与性质理解）

1）若等差数列an的首项a10，公差d0，则前n项和Sn有最大值。（ⅰ）若已知通项an，则Sn最大an0； a0n1

q的非零自然数时Sn最大； 2p

2）若等差数列an的首项a10，公差d0，则前n项和Sn有最小值（ⅱ）若已知Snpn2qn，则当n取最靠近

（ⅰ）若已知通项an，则Sn最小an0； an10

（ⅱ）若已知Snpn2qn，则当n取最靠近

q的非零自然数时Sn最小。

2p

题型1等差数列的基本运算 例1在等差数列{an}中，(1)已知a15＝10，a45＝90，求a60；(2)已知S12＝84，S20＝460，求S28；(3)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8．

82

a1aa14d10

3解：(1)方法一：151∴a60＝a1＋59d＝130． 

aa44d908451d

3

aaaa88

方法2 dnm4515，an＝am＋(n－m)da60＝a45＋(60－45)d＝90＋15×＝130．

nm451533

2A212A12B8

4(2)不妨设Sn＝An＋Bn，∴2 

B1720A20B460

∴Sn＝2n－17n∴S28＝2×28－17×28＝109

2(3)∵S6＝S5＋a6＝5＋10＝15，6(a1a6)6(a110)aa6(a10)

∴15＝1即a1＝－5而d＝613 22261

8(aa)

∴a8＝a6＋2 d＝16S8＝1844

又S6＝

变式训练1设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7=7，S15=75，Tn为数列{的前n项和，求Tn.解：设等差数列{an}的公差为d，则Sn=na1+

Sn

}n

n（n－1）d.∵S7=7，S15=75，2

7a121d7,a13d1,∴即解得a1=－2，d=1.15a105d75,a7d5.11

Sn11n5=a1+（n－1）d=－2+（n－1）=.n222SSS11∴n1－n=.∴数列{n}是等差数列，其首项为－2，公差为.n1n2n2129∴Tn=n－n.44

∴

小结与拓展：基本量的思想：常设首项、公差及首项，公比为基本量，借助于消元思想及解

方程组思想等。等差数列中，已知五个元素a1，an，n，d，Sn中的任意三个，便可求出其余两个.题型2等差数列的判定与证明

*

例2已知数列{an}满足2an＋1＝an＋an＋2(n∈N)，它的前n项和为Sn，且a3＝5，S6＝36.求数列{an}的通项公式；

解：∵2an＋1＝an＋an＋2，∴{an}是等差数列，设{an}的首项为a1，公差为d，a1＋2d＝

5由a3＝5，S6＝36得，解得a1＝1，d＝2.∴an＝2n－1.6a1＋15d＝36

变式训练2在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2.设bn＝n－1，证明：数列{bn}是等差数列；

n

an＋12an＋2ann

证明：由已知an＋1＝2an＋2得bn＋1＝nn－1＋1＝bn＋1.n

2又b1＝a1＝1，因此{bn}是首项为1，公差为1的等差数列．

小结与拓展：证明数列{an}是等差数列的两种基本方法是：1）利用定义，证明an－an－1（n≥2）为常数；2）利用等差中项，即证明2an=an－1+an+1（n≥2）.题型3等差数列的性质

例3设等差数列an的首项及公差均是正整数，前n项和为Sn，且a11，a46，n

an

S312，则a2010答案：4020

变式训练3在等差数列{an}中，已知log2(a5＋a9)＝3，则等差数列{an}的前13项的和

S13＝________.答案：52

解：∵log2(a5＋a9)＝3，∴a5＋a9＝2＝8.13×(a1＋a13)13×(a5＋a9)13×8

∴S13＝＝＝52.222

小结与拓展：解决等差（比）数列的问题时，通常考虑两类方法：①基本量法，即运用条件转化成关于a1和d（q）的方程；②巧妙运用等差（比）数列的性质（如下标和的性质、子数列的性质、和的性质）.一般地，运用数列的性质，可化繁为简.题型4等差数列的前n项和及最值问题

例4设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3=12，S12＞0，S13＜0.（1）求公差d的取值范围；

（2）指出S1，S2，S3，„，S12中哪一个最大，并说明理由.解：（1）a3=12，∴a1=12－2d，解得a12=12+9d，a13=12+10d.由S12＞0，S13＜0，即＞0，且

12(a1a12)

13(a1a13)2

4＜0，解之得－＜d＜－3.27

（2）易知a7＜0，a6＞0，故S6最大.变式训练4设等差数列an的前n项和为Sn,若a111,a4a66,则当Sn取最小值时,n等于(A)

A．6B．7C．8D．9

【解析】设该数列的公差为d，则a4a62a18d2(11)8d6，解得d2，所以Sn11n

n(n1)

2n212n(n6)236，所以当n6时，Sn取最小值。

2d2d

n(a1)n利22

小结与拓展：等差数列的前n项和为Sn，在d0时，有最大值.如何确定使Sn取最大值时的n值，有两种方法：一是求使an0,an10，成立的n值；二是由Sn

用二次函数的性质求n的值.2.等差数列{an}中，当a1＜0，d＞0时，数列{an}为递增数列，Sn有最小值；当a1＞0，d＜0时，数列{an}为递减数列，Sn有最大值；当d=0时，{an}为常数列.3.注意方程思想、整体思想、分类讨论思想、数形结合思想的运用.五、检测巩固：

1．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个书的和是12，求这四个数．

(ad)2

(ad)16ad

解：设这四个数为：ad,a,ad,，则 a

a2ad12



a4a9解得：或，所以所求的四个数为：4,4,12,36；或15,9,3,1．

d8d6

2．由正数组成的等比数列{an}，若前2n项之和等于它前2n项中的偶数项之和的11倍，第3项与第4项之和为第2项与第4项之积的11倍，求数列{an}的通项公式．

第二篇：等差数列知识点

精英辅导学校杨景勋专用2011年12月16日星期五

（一）等差数列I1、等差数列{an}中，a1=1，公差d=3，an=2005则n=_____

2、等差数列{an}中，若a4+a6+a8+a10+a12=120，则2a10-a12的值为______

3、等差数列{an}中，a1=-5，前11项的平均值为5，若从中抽出一项，余下的10项的平均值为4，则抽取的（一）等差数列II

等差数列{an}中，1、若a1=-6，a9=6，Sn是数列的前n项和，则（）A、S4

4、正项等差数列{an}中，公差d≠0，有（）

A、a1a8>a4a5B、a1a8a4+a5D、a1a8=a4a55、（全国卷I）设{an}是公差为正数的等差数列，a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，则a11+a12+a13=（A、120B、105C、90D、756、一个等差数列共10项；其中奇数项的和为125，偶数项的和为15，则第6项是_____

7、已知数列{an}前四项为-1，3，-6，10，则{an}的一个通项式为_______________

8、等差数列a-d，a，a+d的一个通项公式是____________

9、已知(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根组成一个首项为1

4的等差数列，则|m-n|=_______

10、等差数列{an}中，若a1=25，从第10项开始小于1，则公差d的范围是________

11、（2006全国卷II）已知等差数列{an}中，a2=7, a4=15，则前10项的和S10=_______

12、一个等差数列{an}中前4项和为40，最后4项的和为80，所有项和210，求项数n.13、等差数列{an}中，若Sm=30，S2m=100，求S3m.2、a1=25，S17=S9，问数列的前多少项之和最大，并求出最大值。

3、a3=12，S12>0，S13<0，①求公差d 的取值范围；②指出S1，S2…S12中哪一个值最大，说明理由。）

4、（2004年重庆考试卷）a1>0，a2003+a2004>0，a2003•a2004<0，则使前n项和S>0成立的最大自然数n是（A、4005B、4006C、4007D=4008

5、（2004年福建卷试卷）若

a5Sa=5，则求939

S=_______

56、（2001年上海考试卷）设数列的通项为an=2n-7（n∈N*），则|a1|+|a2|+…+|a15|=______ n7、已知公差d>0，首项a1>0，Sn=

1，则i1aiai1

limSn=________ n

8、（2006北京卷）设等差数列{an}的首项a1及公差d都为整数，前n项和为Sn，（1）若a11=0，S14=98，求数列{an}的通项公式；

（2）若a1≥6，a11>0，S14≤77，求所有可能的数列{an}的通项公式。/ 1）

第三篇：等差数列知识点总结

等差数列

1.定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。

用递推公式表示为anan1d（d为常数）（n2）；

2．等差数列通项公式：

（1）ana1(n1)ddna1d(nN*)（首项:a1，公差:d，末项:an）

（2）anam(nm)d．从而d

3．等差中项

（1）如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：Aab或2Aab 2anam； nm

（2）等差中项：数列an是等差数列2anan-1an1(n2)2an1anan

24．等差数列的前n项和公式：snn(a1an)n(n1)d1na1dn2(a1d)nAn2Bn 2222

（其中A、B是常数）（当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）

5．等差数列的证明方法

（1）定义法：若anan1d或an1and(常数nN) an是等差数列．

（2）等差中项：数列an是等差数列2anan-1an1(n2)2an1anan2．

（3）数列an是等差数列anknb（其中k,b是常数）。

（4）数列an是等差数列SnAn2Bn,（其中A、B是常数）。

注：（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、d、n、an及Sn，其中a1、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，a2d,ad,a,ad,a2d…（公差为d）；偶数个数成等差，可设为…，a3d,ad,ad,a3d,…（公差为2d）

7.等差数列的性质：

（1）当公差d0时，等差数列的通项公式ana1(n1)ddna1d是关于n的一次函数，且

n(n1)dddn2(a1)n是关于n的二次函数且常数项为0.22

2（2）若公差d0，则为递增等差数列，若公差d0，则为递减等差数列，若公差d0，则斜率为公差d；前n和Snna1为常数列。

（3）当mnpq时,则有amanapaq，特别地，当mn2p时，则有aman2ap.注：a1ana2an1a3an2

a1an

a,a2,a3,,an2,an1,an ，图示：1

a2an

1(4)若{an}是等差数列，则Sn,S2nSn,S3nS2n，…也成等差数列

S3m

图示：a1a2a3amam1a2ma2m1a3m 

Sm

S2mSm

S3mS2m

（5）若等差数列{an}、且{bn}的前n和分别为An、Bn，Ana(2n1)anA2n

1f(n)，则nf(2n1).nnn2n1

（6）若an、bn为等差数列，则anbn为等差数列

等差数列的性质以及常见题型

一等差数列的定义及应用

1.已知数列an的通项公式为an3n2，试问该数列是否为等差数列。

111yzzxxy

2.已知：，成等差数列，求证：也成等差数列。，xyzxyz

二等差数列的性质考察

(1)熟用ana1(n1)dam(nm)d，d

anam

问题 nm1、等差数列an中，a3a524，a23，则a6

2、已知等差数列an中，a2与a6的等差中项为5，a3与a7的等差中项为7，则an

3、已知等差数列an中，apq，aqp，则apq____．

(2)公差d的巧用

1、已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差等于_____

2、等差数列{an}中，已知公差d，且a1a3A．170

B．150

C．14

2a9960，则a1a2

a100

D．120

a2a

1等于()b2b1

4.已知xy且两个数列x,a1,a2,am,y与x,b1,b2,bn,y各自都成等差数列则

mm1nn1BCDnmn1m1(3)mnstamanasat性质的应用

A

1.等差数列an中，若a3a4a5a6a7450，则a2a8_____。2.等差数列an中，若S1320。则a7_______。

3.在等差数列an中a3a1140，则a4a5a6a7a8a9a10_______。4.等差数列an中, a1a2a324,a18a19a2078,则S20_____。5.在等差数列an中，a4a512，那么它的前8项和S8等于_______。

6.等差数列an中,它的前5项和为34,最后5项和146,所有项和为234,则a7_______.7.｛an｝为等差数列，a1+ a2+ a3=15，an+ an-1+ a n-2=78，Sn=155，则n= _______。（4）方程思想的运用

1.已知等差数列{an}中，S3=21，S6=24，求数列{an}的前n项和Sn

2.已知等差数列{an}中，a3a716,a4a60,求数列{an}的前n项和Sn

(5)Sn,S2nSn,S3nS2n也成等差数列的应用

1、等差数列前m项和是30，前2m项和是100，则它的前3m项和_______。

2、等差数列{an}的前n项的和为40，前2n项的和为120，求它的前3n项的和为_______。3.a1，a2，a3，……a2n+1 为 等差数列奇数项和为60，偶数项的和为45,求该数列的项数.4.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有_______项。

5.在等差数列{an}中，S4＝1，S8＝3，则a17＋a18＋a19＋a20的值是_______。(6）an

S2n

1的运用 2n1,bn的前n项和，若对任意nN*，都有1.设Sn和Tn分别为两个等差数列an

a11

= ________。b11

Sn7n1，Tn4n27

则

（7）an与Sn的关系问题;

1.数列an的前n项和Sn＝3nn2，则an＝_______

2.数列an的前n项和Sn＝n2n1，则an＝ 3.数列an的前n项和Sn＝2n1，则an＝___________ 4.数列{4n2}的前n项和Sn＝______.（八）巧设问题；

一般情况,三个数成等差数列可设:ad,a,ad;四个数成等差数列可设:a3d,ad,ad,a3d.1.四个数成等差数列,和为26,第二个数和第三个数的积为40,求这四个数.2.四个数成等差数列,中间两个数的和为13,首末两个数的积为22,求这四个数.3.一个等差数列的前12项之和为354，前12项中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差

(九）．最值问题:；

1.在等差数列{an}中,a180,d6,求Sn的最大值.2.等差数列an中，a10,S4S9，则n的取值为多少时？Sn最大

3.已知等差数列{an}中a1=13且S3=S11,那么n取何值时,Sn取最大值.（10)累加法的应用-------裂项相消

1.已知数列{an}满足:anan12n1,a11,求an.2.已知数列{an}满足:an1an4n1,a11,求an.4.在数列{an}中，a12,an1anln(1),求an.n

(11)由an求an的前n项和

1.数列an的前n项和Snn24n，则|a1||a2||a10|_______.2.数列an的前n项和Snn24n，bnan，则数列{bn}的前n项和Tn_______.(12)由Sn得an的题型、直接法

1.已知正项数列{an}的前n项和为Sn，a1

22，且满足2Sn12Sn3an1(nN*)。3

（1）求数列{an}通项公式an；

11119

（2）求证：当n2时，222L2。

a2a3a4an4

倒数法

an1

1.已知数列an中，an≠０，a1＝，an1＝（n∈N），求an

12an2

第四篇：等差数列、等比数列知识点梳理

等差数列和等比数列知识点梳理

第一节：等差数列的公式和相关性质

1、等差数列的定义：对于一个数列，如果它的后一项减去前一项的差为一个定值，则称这个数列为等差数列，记：anan1d（d为公差）（n2，nN*）注：下面所有涉及n，nN*省略，你懂的。

2、等差数列通项公式：

ana1(n1)d，a1为首项，d为公差

推广公式：anam(nm)d

变形推广：d

3、等差中项

（1）如果a，A，那么A叫做a与b的等差中项．即：b成等差数列，Aab2anam nm或2Aab

（2）等差中项：数列an是等差数列

2anan-1an1(n2)2an1anan2

4、等差数列的前n项和公式：

Snn(a1an)n(n1)na1d 22d212 n2(a1d)nAn2Bn

（其中A、B是常数，所以当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）

特别地，当项数为奇数2n1时，an1是项数为2n+1的等差数列的中间项

S2n12n1a1a2n122n1an1（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）

5、等差数列的判定方法（1）定义法：若anan1d或an1and(常数nN) an是等差数列．

（2）等差中项：数列an是等差数列

2anan-1an1(n2)2an1anan2

（3）数列an是等差数列anknb（其中k,b是常数）。

（4）数列an是等差数列SnAn2Bn,（其中A、B是常数）。

6、等差数列的证明方法

定义法：若anan1d或an1and(常数nN) an是等差数列．

7、等差数列相关技巧：

（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、d、n、an及Sn，其中a1、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）设项技巧：

①一般可设通项ana1(n1)d

②奇数个数成等差，可设为„，a2d,ad,a,ad,a2d„（公差为d）；

③偶数个数成等差，可设为„，a3d,ad,ad,a3d,„（注意；公差为2d）

8、等差数列的性质：

（1）当公差d0时，等差数列的通项公式ana1(n1)ddna1d是关于n的一次函数，且斜率为公差d；前n和Snna1n(n1)dddn2(a1)n是关于n的二次函数且常数项为2220。

（2）若公差d0，则为递增等差数列，若公差d0，则为递减等差数列，若公差d0，则为常数列。

（3）当mnpq时,则有amanapaq，特别地，当mn2p时，则有aman2ap。（注：a1ana2an1a3an2，）当然扩充到3项、4项„„都是可以的，但要保证等号两边项数相同，下标系数之和相等。

（4）an、bn为等差数列，则anb，1an2bn都为等差数列

(5)若{an}是等差数列，则Sn,S2nSn,S3nS2n，„也成等差数列

(6)数列{an}为等差数列,每隔k(kN*)项取出一项(am,amk,am2k,am3k,)仍为等差数列

（7）an、{bn}的前n和分别为An、Bn，则anA2n1

bnB2n1（8）等差数列{an}的前n项和Smn，前m项和Snm，则前m+n项和Smnmn，当然也有anm,amn，则amn0

(9)求Sn的最值

法一：因等差数列前n项和是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性nN*。

法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和

即当a10，d0，由an0可得Sn达到最大值时的n值． a0n1（2）“首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。

即 当a10，d0，由an0可得Sn达到最小值时的n值． a0n1或求an中正负分界项

法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对称轴最近的整数时，Sn取最大值（或最小值）。若S p = S q则其对称轴为n

注意：SnSn1an(n2)，对于任何数列都适用，但求通项时记住讨论当n1的情况。

pq 2解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：

①基本量法：即运用条件转化为关于a1和d的方程； ②巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量。（以上加上蓝色的性质希望读者能够自己证明，不是很难，并能够学会运用）

第二节：等比数列的相关公式和性质

1、等比数列的定义：

2、通项公式：

ana1qn1，a1为首项，q为公比

anqq0n2，q为公比 an1推广公式：anamqnm，从而得qnm

3、等比中项

an am（1）如果a,A,b成等比数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：A2ab或Aab 注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）

（2）数列an是等比数列an2an1an1

4、等比数列的前n项和Sn公式：(1)当q1时，Snna1(2)当q1时，Sn

a11qn1qa1anq 1qa1a1qnAABnA'BnA（'A,B,A',B'为常数）1q1q5、等比数列的判定方法（1）用定义：对任意的n,都有an1qan或为等比数列

an1q(q为常数，an0){an}an（2）等比中项：an2an1an1（an1an10）{an}为等比数列（3）通项公式：anABnAB0{an}为等比数列（4）前n项和公式：

SnAABn或SnA'BnA'A,B,A',B'为常数{an}为等比数列

6、等比数列的证明方法 依据定义：若anqq0n2,且nN*或an1qan{an}为等比数列 an

17、等比数列相关技巧：

（1）等比数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、q、n、an及Sn，其中a1、q称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项：ana1qn1

如奇数个数成等比，可设为„，aa2„（公比为q，中间项，a,aq,aq2qq用a表示）；注意隐含条件公比q的正负

8、等比数列的性质：(1)当q1时

①等比数列通项公式ana1qn1a1nqABnAB0是关于n的带有系q数的类指数函数，底数为公比q ②前n项和Sna11qn1qa1a1qna1a1qnAABnA'BnA'，系1q1q1q数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比q

(2)对任何m,nN*,在等比数列{an}中,有anamqnm,特别的,当m=1时,便得到等比数列的通项公式。因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。

(3)若mnst(m,n,s,tN*),则anamasat。特别的,当mn2k时,得anamak2

注：a1ana2an1a3an2

(4)列{an},{bn}为等比数列,则数列{},{kan},{ank},{kanbn}{n}(k为非零常数)均为等比数列。

(5)数列{an}为等比数列,每隔k(kN*)项取出一项(am,amk,am2k,am3k,)仍为等比数列

(6)如果{an}是各项均为正数的等比数列,则数列{logaan}是等差数列(7)若{an}为等比数列,则数列Sn，S2nSn，S3nS2n,，成等比数列(8)若{an}为等比数列,则数列a1a2an,an1an2a2n，a2n1a2n2a3n成等比数列

kanabn(9)①当q1时，②当0

③当q=1时,该数列为常数列（此时数列也为等差数列）;④当q<0时,该数列为摆动数列。

(10)在等比数列{an}中, 当项数为2n(nN*)时,S奇S偶1,。

q(11)若{an}是公比为q的等比数列,则SnmSnqnSm

注意：在含有参数的数列时，若是等比数列，一定要考虑到公比q1的特殊情况。

解决等比数列问题时，通常考虑两类方法：

①基本量法：即运用条件转化为关于a1和q的方程； ②巧妙运用等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量。

关于等差、等比两个引申：ankan1b模式（其中k,b为常数，；anpan1pn模式（其中p为常数，n2）n2）在这里我们以具体的例子给出，使其更容易理解：

例1

已知数列an，有an3an14（n2），则求该数列的通项公式

解题大致思路：先设anb3(an1b)，则对于an3an14an23(an12)，那么我们就可以构造数列an2为等比数列，利用等比的相关性质去解决，注意：构造新数列的首项和公比分别是多少？还有你考虑到当n1的这种情况了吗？

例2

已知数列bn，有bn2bn12（n2），求该数列的通项公式

n解题的大致思路：bn2bn12（n2）nbn2bn1bnbn11n11，相信你已nnn2222经知道构造什么数列了吧，这两个模式考试中喜欢考，也比较基础，当然也希望通过这两个模式能让你意识到求数列中的构造思想。

第五篇：等差数列知识点+基础练习题

等差数列知识点

1.等差数列的定义：anan1d（d为常数）（n2）；

2．等差数列通项公式：

ana1(n1)ddna1d(nN*)，首项:a1，公差:d，末项:an

推广： anam(nm)d． 从而d

3．等差中项

（1）如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：Aab或2anam；

nm2Aab

（2）等

差

中

项

：

数

列

an是等差数列2anan-1an1(n2)2an1anan2

4．等差数列的前n项和公式：

Snn(a1an)n(n1)d1na1dn2(a1d)nAn2Bn 2222（其中A、B是常数，所以当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）

特别地，当项数为奇数2n1时，an1是项数为2n+1的等差数列的中间项

S2n12n1a1a2n122n1an1（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）

5．等差数列的判定方法

（1）定义法：若anan1d或an1and(常数nN) an是等差数列．

（2）等差中项：数列

an是等差数列2anan-1an1(n2)2an1anan2．

⑶数列an是等差数列anknb（其中k,b是常数）。

（4）数列an是等差数列SnAn2Bn,（其中A、B是常数）。

6．等差数列的证明方法

定义法：若anan1d或an1and(常数nN) an是等差数列．



7.提醒：

（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、d、n、an及Sn，其中a1、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）设项技巧：

①一般可设通项ana1(n1)d

②奇数个数成等差，可设为„，a2d,ad,a,ad,a2d„（公差为d）； ③偶数个数成等差，可设为„，a3d,ad,ad,a3d,„（注意；公差为2d）

8..等差数列的性质：（1）当公差d0时，等差数列的通项公式ana1(n1)ddna1d是关于n的一次函数，且斜率为公差d；

前n和Snna1为0.（2）若公差d0，则为递增等差数列，若公差d0，则为递减等差数列，若公差d0，则为常数列。

（3）当mnpq时,则有amanapaq，特别地，当mn2p时，则有

n(n1)dddn2(a1)n是关于n的二次函数且常数项222aman2ap.注：a1ana2an1a3an2，（4）若an、bn为等差数列，则anb，1an2bn都为等差数列

(5)若{an}是等差数列，则Sn,S2nSn,S3nS2n，„也成等差数列

（6）数列{an}为等差数列,每隔k(kN)项取出一项(am,amk,am2k,am3k,)仍为等差数列

（7）设数列an是等差数列，d为公差，S奇是奇数项的和，S偶是偶数项项的和，Sn是前n项的和

1.当项数为偶数2n时，*S奇a1a3a5a2n1na1a2n1nan

2na2a2nS偶a2a4a6a2nnan1

2S偶S奇nan1nannan1an

S奇nanan S偶nan1an1

2、当项数为奇数2n1时，则

S奇n1S2n1S奇S偶(2n1)an+1S奇(n1)an+1 S奇S偶an+1S偶nS偶nan+1（其中an+1是项数为2n+1的等差数列的中间项）．

（8）、{bn}的前n和分别为An、Bn，且则

Anf(n)，Bnan(2n1)anA2n1f(2n1).bn(2n1)bnB2n1（9）等差数列{an}的前n项和Smn，前m项和Snm，则前m+n项和Smnmn

(10)求Sn的最值

法一：因等差数列前n项是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性nN。

法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和

即当a10，d0，由*an0可得Sn达到最大值时的n值．

an10（2）“首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。

an0即 当a10，d0，由可得Sn达到最小值时的n值．

a0n1或求an中正负分界项

法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对称轴最近的整数时，Sn取最大值（或最小值）。若S p = S q则其对称轴为npq 2

注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：

①基本量法：即运用条件转化为关于a1和d的方程；

②巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．

等差数列·基础练习题

一、填空题

1.等差数列8，5，2，„的第20项为___________.2.在等差数列中已知a1=12, a6=27,则d=___________ 3.在等差数列中已知

d13，a7=8，则a1=_______________ 22(ab)(ab)4.与的等差中项是________________-5.等差数列-10，-6，-2，2，„前___项的和是54 6.正整数前n个数的和是___________

2anS＝3nnn7.数列的前n项和，则an＝___________.8.在等差数列中已知a1=12, a6=27,则d=___________ 9.在等差数列中已知

d13，a7=8，则a1=_______________ 10.在等差数列{an}中，an=m，an+m=0，则am= ______。在等差数列{an}中，a4+a7+a10+a13=20，则S16= ______。12 在等差数列{an}中，a1+a2+a3+a4=68，a6+a7+a8+a9+a10=30，则从a15到a30的和是 ______。已知等差数列 110，116，122，„„，则大于450而不大于602的各项之和为 ______。14若是方程的解，则

是关于的方程

＝________。的两个根，则15若公差，且＝________。

二、选择题

xxlg2,lg(21),lg(23)成等差数列，则x的值等于（）1若 A.0 B.log25 C.32 D.0或32

2、等差数列中连续四项为a，x，b，2x，那么 a ：b 等于（）

A、B、C、或 1 D、3.在等差数列an中a3a1140，则a4a5a6a7a8a9a10的值为（）A.84 B.72 C.60.D.48 4.在等差数列an中，前15项的和S1590，a8为（）

A.6 B.3 C.12 D.4 5.等差数列an中, a1a2a324,a18a19a2078,则此数列前20下项的和等于

A.160 B.180 C.200 D.220 6.在等差数列an中,若a3a4a5a6a7450，则a2a8的值等于（）

A.45 B.75 C.180 D.300

2anSSnnn7.设是数列的前n项的和，且，则an是（）

A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列 C.等差数列，且是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列

8.数列3，7，13，21，31，„的通项公式是（）

32a4n1annn2 nn A.B.2ann1 D.不存在 n C.9、设数列{an}和{bn}都是等差数列，其中a1=25，b1=75，且a100+b100=100，则数列{an+bn}的前100项和为（）A、0 B、100 C、10000 D、505000 10.等差数列an中, a1a2a324,a18a19a2078,则此数列前20下项的和等于

A.160 B.180 C.200 D.220

11一个项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和与偶数项的和分别是24与30,若此数列的最后一项比第-10项为10，则这个数列共有（）

A、6项 B、8项 C、10项 D、12项

三、计算题

1.求集合Mm|m2n1,nN*，且m60中元素的个数，并求这些元素的和

2anS5n3n，求它的前3项，并2.设等差数列的前n项和公式是n求它的通项公式

3.如果等差数列an的前4项的和是2，前9项的和是-6，求其前n项和的公式。

4.根据下列各题中的条件，求相应的等差数列an的有关未知数：

51a1,d,Sn5,66（1）求n 及an；（2）d2,n15,an10,求a1及Sn