1、函数、极限、连续压缩打印版（5篇）

第一篇：1、函数、极限、连续压缩打印版

函数、极限、连续

典型例题

题型一复合函数

2x2,|x|10,x0例

1、设f(x), g(x)，试求f[g(x)],g[f(x)].1,x0|x|2,|x|1

例

2、已知f(x1)的定义域为[0,1],，求f(2x3)的定义域.1例

3、设f(x)和g(x)互为反函数，则f[g(3x)]的反函数为(B)

211x1(A)g[f(3x)](B)f[2g(x)](C)g[2f()](D)2g[f(x)] 233

3111解：yf[g(3x)]，则g(3x)g(y)，即g(3x)2g(y)，于是3xf(2g(y))，即xf(2g(y))223

11故yf[g(3x)]的反函数为yf[g(3x)].22

题型二函数性态

例

1、定义于R上的下列函数为奇函数的是(C)

exexx2011tanx21(C)lnx(A)[x](B)(x1)(D)cosx2011

2例

2、当x时，变量xcosx是(D)（注意函数的局部性质）

(A)无穷小(B)无穷大(C)有界量(D)无界量

例

3、设limf(x)A，下列结论成立的是(C)xx0

(A)存在,当xU(x0,)时，f(x)A(B)则存在,当xU(x0,)时，f(x)A

(C)若A0,则存在,当xU(x0,)时，f(x)0

(D)若当xU(x0,)时,f(x)0,那么A0.

注1：若limf(x)A，则对0，存在,当xU(x0,)时，总有Af(x)A（局部有界）.xx0

注2：若limf(x)A，当xU(x0,)时,f(x)0,那么A0（局部保号）.xx0

x1在下列区间中有界的是(A)2x

1(A)(,1)(B)(,1)(C)(1,)(D)(1,)

注：若f(x)在(a,b)内连续，且f(a)A,f(b)B,则f(x)在(a,b)内有界.0题型三 未定式计算（限于，0，1，另三种，0,00以后讲）0

例

1、求极限：

(2x1)4(x1)65x(x8x)（1）lim；（2）

；（3）； 10x0xx(x2)cot3x2xcsc2xlim(arctanx)lim(cosx)（4）limx2(xx)；（5）lim；（6）；（7）xxx0xcot5x0注：等价无穷小代换可在,0中对较复杂的“0”进行等价代换，一般只能用在乘、除关系，因局部等价能保证0例

4、y

整体也等价，而不能直接用于加、减关系，一种处理为和差化积，一种处理为各分项同除最低次等价项后看能否拆开 注：limu(x)

v(x)1elimv(x)lnu(x)lnu(x)u(x)1limv(x)[u(x)1]ea.题型四 极限存在题型

例

1、判断下列极限存在吗？

arctanxx

1(a1)lime；；（3）（4）lim

xax1x1x1xx0tan3x11x22n

2;（7）lim（5）（6）lim 

6662n1x2nx0nn2nnnnn

1n(n1)(2n1)122n2n(n1)(2n1)

提示：（6）因，则原式 

36n6n2n6nn62nn6n26n6n

（1）x)；（2）lim

x1

sinx2x4sin

1x,x1

1x

（7）lim1,x1

n1x2n

0,x1

注1： x时，xx，ax，arctanx，arccotx的极限不存在，先研究x,x

x时，sinx，cosx的极限不存在，只需注意其为有界量，arctanx，arccotx也可考虑有界量性质 注2：一个收敛数列与另一个发散数列之和必发散，对函数有类似结论 注3：注意分段函数在分段点处的极限一般用左右极限来处理

注4：当有限和难以表达时，对无限个无穷小求和可以考虑使用夹逼准则

注5：极限函数f(x)limF(x,n)的求法，要注意对x取值范围的讨论，如xn,anx,arctannx等.n

nnam,其中ai0(i1,2,,m)。例

2、求lima1na

2n

nn

ammana 提示：令maxaia，则aana1na2

1im

limm1，则原式=amaxai（本题的结论是一个常用结论）.n

1im

例

3、设xnznyn，且lim(ynxn)0,则limzn（C）

n

n

(A)存在且等于零(B)存在但不一定等于零(C)不一定存在(D)一定不存在提示：若limxnlimyna0，由夹逼定理可得limzna0，故不选A与D.n

n

n

取xn(1)n,yn(1)n,zn(1)n，则xnznyn，且lim(ynxn)0，但limzn 不存在，B选项不正确．

n

n

例

4、设函数f(x)在(,)内单调有界，xn为数列，下列命题正确的是（B）

(A)若xn收敛，则f(xn)收敛(B)若xn单调，则f(xn)收敛(C)若f(xn)收敛，则xn收敛(D)若f(xn)单调，则xn收敛

n1n

提示：由于f(x)单调有界，则当xn单调时，数列f(xn)单调有界，从而f(xn) 收敛，故选（B）

例

5、设0x13,xn1xn(3xn)(n1,2,)，证明：数列{xn}极限存在并求此极限.证：由0x13，xn1xn(3xn)知，0xn3，132

2从而有xn1]，则xn上有界，22

xn(3xn)xnxn(32xn)

而xn1xnxn(3xn)xn=0，则xn单调增，xn(3xn)xnxn(3xn)xn

11知xn递增 由单调有界准则，知limxn存在，不妨设 limxna

或者由

n

n

xn

1xn

31xn

33或a0（舍去），则 limxn.n22

注：对数列{xn}，若有递推表达式，则一般使用单调有界准则证明数列{xn}的收敛性.将xn1

xn(3xn)两端取极限得aa(3a)，由此解得a

题型五 极限应用题型（先讲无穷小比较、渐近线确定、间断点类型，以后再研究可导性判断）例

1、已知当x1时,(2x)x2与a(x1)b(x1)2是等价无穷小,求a,b的值.(x1)ln2xlnx(2x)x2ex(ln2lnx)ln2

1解： lim2lim, 2lim

x1(x1)(abxb)x1a(x1)b(x1)2x1a(x1)b(x1)

2xlnxln2

2(1ln2)1,则a2(1ln2),显然bR.2lim

x1abxba

x21

例

2、求曲线y的渐近线方程.x

1解：limyx1为其铅直渐近线

x1

又lim

x

y1x1,lim(yx)lim1  yx1为其斜渐近线.xxx1x

注：记忆各类渐近线的确定方法：

①若x(或x,或x)，yb，称yb为yf(x)一条水平渐近线，一个函数至多有两条不同的水

平渐近线；

②若xa(或xa,或xa)，y，称xa为yf(x)的一条铅直渐近线； ③若lim

xx()x

y

k0，lim[ykx]b，称ykxb为yf(x)的一条斜渐近线.xx

(x)x

例

3、试确定y

xtanx的间断点，并判断其类型.解：其间断点为xk,k



（kz）

y0xklim

xk

2xk



为其可去间断点；

又 limy，此时k0， xk（k0）为其第二类间断点

y1,limy1 x0为其跳跃间断点.而lim

x0

x0

x

1x0e1

例

4、ysin3x试确定该函数的渐近线，并判断其间断点类型。

x0

x

解：limy x1 为其铅直渐近线，且x1为其第二类间断点；

x

1x

limy1 y1为其水平渐近线；又limy0 y0为其水平渐近线；

x

而f(0)e,f(0)3，故x0为其第一类中的跳跃间断点.g(x)在xx0连续，例

5、求证：设f(x)在xx0间断，则f(x)g(x)在xx0间断。并举例说明f(x)g(x),f2(x),f(x)

在xx0可能连续.提示：设f(x)

0



1x0

g(x)sinx，g(x)在x0连续，f(x)g(x)f(x)sinx0在x0，则f(x)在x0间断，x0

x01

连续；若设f(x)，f(x)在x0间断，但f2(x)f(x)1在x0均连续.1x0

注：“f(x)在x0点连续”是“f(x)在x0点连续”的充分不必要条件.三、课后练习

1、f(x)x1，f[g(x)]x，则g(x)(x1)3．



cosx，0x4

5

2、当0x2时，max{sinx,cosx}sinx，x．

44

5

cosx，x24

32x，x2

23、min{32x,x2

2x}x2x，2x2



32x，x2

4、与f(x)sgnx相同的函数为(B)

(A)(sgnx)2(B)sgn(sgnx)(C)sgnx(D)sgn(x)

0,x0

0,x0,

5、已知H(x)则H(x)H(x1) 1,0x1．

1,x0,0,x

1

2x6、设g(x)

x

27、设f(x)e

arcsinx

x0x

2，f(x)x0x2x2，则g[f(x)]x02x

x0

x0

． x0，又f[g(x)]x1，则g(x)的定义域为[1e

n

n





,1e2]．

n

8、设an，bn，cn均为非负数列，且liman0，limbn1，limcn，则必有（D）(A)anbn对任意n成立(B)bncn对任意n成立(C)limancn不存在(D)limbncn不存在n

n

9、设xnayn,且lim(ynxn)0,则{xn}与{yn}(A)

n

(A)都收敛于a(B)都收敛，但不一定收敛于a(C)可能收敛，也可能发散(D)都发散

10、当x0时，1

1sin是(D)

xx

2n

(A)无穷小(B)无穷大(C)有界但非无穷小(D)无界但非无穷大

11、设数列xn与yn满足limxnyn0，则下列断言正确的是（D）(A)若xn发散，则yn必发散(B)若xn无界，则yn必有界(C)若xn有界，则yn必为无穷小(D)若

12、f(x)

为无穷小，则yn必为无穷小 xn

xsin(x2)

x(x1)(x2)

2(A)(1,0)(B)(0,1)(C)(1,2)(D)(2,3)

n

在下列哪个区间内有界（A）

13、当x0时，(1cosx)ln(1x)是比xsinx高阶的无穷小，而xsinx是比(ex1)高阶无穷小，则正整数n等于(B)

(A)1(B)2(C)3(D)4

14、对函数f(x)

n

212

11x

1x，点x0是（B）

(A)可去间断点(B)跳跃间断点(C)第二类间断点(D)连续点

15、设f(x)

x，则该函数图象具有（B）x

e

1(A)一条水平渐近线，一个可去间断点(B)一条水平渐近线，一个跳跃间断点(C)一条铅直渐近线，一个可去间断点(D)一条铅直渐近线，一个跳跃间断点

x

在(,)内连续，且limf(x)0，则（D）bxxae

(A)a0,b0(B)a0,b0(C)a0,b0(D)a0,b017、设f(x)和(x)在(,)内有定义，f(x)为连续函数，且f(x)0，(x)有间断点，则（D）

(x)

(A)[f(x)]有间断点(B)[(x)]2有间断点(C)f[(x)]有间断点(D)有间断点

f(x)

16、设f(x)

18、求下列极限或判断极限的存在性：

axarctanxx3； lim(a1)（1）lim；（2）；（3）(/)(/)limxx)

xx0(1cosx)ln(x1x)2axx

x

3sinxx2cos

23lncosx21xx

ln（4）lim（5）；（6）2 ；； x0lncosxx0x0432xsinx3ln(1x4)n

1；（7）lim（8）limln(12)ln(1)3ln2；（9）lim8；

xxsinxnx0n1cos(1cosx)

n

111n22xexe2xenx12)x(nz)e2；（10）lim(12)e；（11）lim(sincos)e；（12）lim（nxx0nnxxn

1112cosxx1222

（13）lim3(（14）limx(aa)(a0)lna（15）lim(secx)xe；)1；

x0x0xx361

5xxx

（16）lim(n；（17）lim(123)3；（18）1；

xnn2sin2xe2ax1x0在(,)上连续，则a2．

19、若f(x)x

ax0

(n1)x20、设f(x)lim，则f(x)的间断点为x0．

nnx2

13(xn1)

21、x10，且xn1，证明limxn存在，并求limxnn

nxn

322、设0x13,xn1xn（n1,2,）证明limxn存在,并求limxn．

3n

n

23、若lim

ln2ln(1f(x)sin5x)

limf(x)1，则 ． x0x052x

1sin2x2enxcosx24、设 f(x)lim，则limf(x) 2．

x0nxenx

x2n1ax2bx25、设f(x)lim处处连续,求a,b的值.a0,b1 2nnx

1u

x1ux)，其中(x1)(u1)0，求f(x)的连续区间，并指出其间断点类型.26、设f(x)lim（uxu

1提示：f(x)e

xx1，f(x)的连续区间为(,1)(1,)，x1为第二类间断点.27、设f(x)在(,)上有定义，f(x)在x0处连续，且对一切实数x1,x2，有

f(x1x2)f(x1)f(x2),求证f(x)在(,)上处处连续.提示：对一切实数x,求证lim[f(xh)f(x)]0.h0

第二篇：函数极限与连续

函数、极限与连续

一、基本题

1、函数f

xln6x的连续区间ax2x2x

12、设函数fx，若limfx0，且limfx存在，则 x1x1x12axb

a-1，b

41sin2x

3、limx2sin-2x0xx

4、n2x4/(√2-3)k

5、lim1e2，则k=-1xx

x2axb5，则a3，b-

46、设limx1x

17、设函数fx2xsinx1,gxkx，当x0时，fx~gx，则k

ex2x0

8、函数fx2x10x1的定义域R ；连续区间(-oo,1),(1,+oo)3x1x1

1xsinx

a9、函数fx1xsinbxx0x0在x0处连续，则a1，b1x010、函数fxe

1e11

x1x的间断点为x=0，类型是 跳跃间断点。

11、fx,yx2y2xycosx，则f0,1ft,1y12、fxy,xyx2y2，则fx,yy^2+x13、函数zln

2x2y2的定义域为 {(x,y)|1=0}

14、1e2xylim-12；x,y0,0x2y2exyx,y0,01x2y2x2y2lim

3-12；lim12xyx15、x0

y0

二、计算题

1、求下列极限

（1）0

0型：

1）limexex2x

x0xsin3x；=0

2）limexx

1x0x1e2x;=-1/

43）limtan3xln12x

x01cos2x;=-

34）limtanxsinx

x0xsin2x2;=1/4

（2）

型：

1）lnsin3x

xlim0lnsin2x=1

lim2n13n1

2）n2n3n=3

（3）型：

1）lim11

x0xex1=1/

22）lim

x111x1lnx=-1/2

3)xlimarccosx=π/3

4)xlimx=-1 x0y2

（4）0型：

1）limxarctanx=1x2

2)limx1tanx1x2=-π/2

（5）1型：

21）lim1xx3x2=e^(-6)

4x23x12）limx3x2

3)lim12xx0 =e^(-4)=e^(2/5)1sin5x

14)limcos=e^(-1/2)xx

（6）00型：1）limxsinx=1 x0x2

方法:lim x^sinx=lim e^(sinxlnx)

公式：f(x)^g(x)=e^(g(x)ln(f(x)))

（7）型：1）limx20x

x1x=2

同上

2、已知：fxsin2xln13x2limfx，求fx x0x

f(x)=(sin2x)/x+ln(1-3x)+

2(方法：两边limf(x)x->0)

x2x3、求函数fx的间断点，并判定类型。2xx1驻点x=0,x=1,x=-

11）当x=0+时，f(x)=-1；当x=0-时，f(x)=1 跳跃间断点

2）当x=1时，f(x)=oo;第二类间断点

3）当x=-1时，f(x)=1/2;但f(-1)不存在，所以x=-1是可去间断点

sin2xx

4、设函数fxa

ln1bx1e2xx0x0在定义域内连续，求a与b x0

Lim sin(2x)/x|x->0-=2=a=b/-2=>a=2,b=-

45、证明方程：x33x29x10在0,1内有唯一的实根。（存在性与唯一性）证明：

1）存在性：

令f(x)=x^3-3x^2-9x+1

f(0)=1>0;

f(1)=-10<0;

因为f(0).f(1)<0所以在（0,1）内存在一个实根

2）唯一性

f’(x)=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3)

所以f(x)在(0,1)内为单调减函数

故x33x29x10在0,1内有唯一的实根。

第三篇：函数极限连续试题

····· ········密············································订·········线·································装·····系·····封················· ··················__ __：_ ：___： ___________名______________业_姓_____ _号_____ _：：___级_ ____别年专______学

· ·····密·········· ·············································卷···线·································阅·······封········································

函数 极限 连续试题

1.设f(x)

求

(1)f(x)的定义域;(2)12f[f(x)]2

;(3)lim

f(x)x0x

.2.试证明函数f(x)x3ex2

为R上的有界函数.3.求lim1nnln[(11n)(12

n)

(1nn)].4.设在平面区域D上函数f(x,y)对于变量x连续，对于变量y 的一阶偏导数有界，试证：f(x,y)在D上连续.（共12页）第1页

5.求lim（2x3x4x1

x03)x.1(1x)x

6.求lim[

x0e]x.7.设f(x)在[1,1]上连续，恒不为0，求x0

8.求lim(n!)n2

n

.9.设x

axb)2,试确定常数a和b的值.（共12页）第2页

10.设函数f(x)=limx2n1axb

n1x

2n连续，求常数a,b的值.11.若limsin6xxf(x)6f(xx0x30，求lim)

x0x2

.12.设lim

axsinx

x0c(c0),求常数a,b,c的值.xln(1t3)btdt

13.判断题：当x0时，x

1cost2

0t

是关于x的4阶无穷小量.114.设a为常数，且lim（ex

x0

2aarctan1

x)存在，求a的值，并计算极限.ex1

（共12页）第3页

215.设lim[

ln(1ex)x0

1a[x]]存在，且aN，求a的值，并计算极限.ln(1ex)

16.求n(a0).n

17.求limn2(a0,b0).

ln(1

f(x)

18.设lim)

x0

3x1

=5，求limf(x)x0x2.19.设f(x)为三次多项式，且xlim

f(x)f(x)f2ax2axlim4ax4a1，求xlim(x)

3ax3a的值.（共12页）第4页

24.设连续函数f(x)在[1,)上是正的，单调递减的，且

dnf(k)f(x)dx，试证明：数列dn收敛.n

n

20.设x1,求lim(1x)(1x2)(1x4n

n)

(1x2).21.试证明：(1)（1n1111+n)1





为递减数列；(2)n1ln(1n)n,n1,2,3,.limnn

22.求n3nn!

.23.已知数列：a1

112，a222，a32，22

a42

12

1的极限存在，求此极限.22

（共12页）第5页

k1

25.设数列xn，x0a，x1b，求limn

xn.26.求lima2n

n1a2n

.28.求limx

.x1

n2

(xn1xn2)(n2)，（共12页）第6页

29.设函数f(x)是周期为T(T0)的连续函数，且f(x)0,试证：

xlim1xx0f(t)dt1TT0f(t)dt.30.求lim1

1n0

x.en

(1x)n

n

31.设lim（1x)x

tetxx

dt，求的值.32.判断函数f(x)limxn1

nxn1的连续性.33.判断函数f(x.（共12页）第7页

34.设f(x)为二次连续可微函数，f(0)=0，定义函数

g(x)

f(0)当x0，试证：g(x)f(x)

x当x0连续可微.35.设f(x)在[a,b]上连续，f(a)f(b)，对x(a,b)，g(x)lim

f(xt)f(xt)

t0

t

存在，试证：存在c(a,b),使g(c)0.36.若f(x)为[a,b]上定义的连续函数，如果b

a[f(x)]2dx0，试证：

f(x)0(axb).37.设函数f(x)在x=0处连续，且lim

f(2x)f(x)

x0

x

A，试证：f(0)=A.（共12页）第8页

38.设f(x)在[a,b]上二阶可导，过点A(a,f(a))与B(b,f(b))的直线与曲线

yf(x)相交于C(c,f(c))，其中acb.试证：至少存在一点(a,b)，使得f()=0.39.设f(x)，g(x)，h(x)在axb上连续，在(a,b)内可导，试证：

f(a)

g(a)

h(a)

至少存在一点(a,b)，使得f(b)

g(b)h(b)=0,并说明拉格朗日中值 f()g()h()

定理和柯西中值定理是它的特例.40.试证明函数ysgnx在x[1,1]上不存在原函数.41.设函数f(x)=nf(x)的不可导点的个数.（共12页）第9页

42.设f(x(0x

),求f(x).43.设xn1(n1,2,3,)，0x13，试说明数列xn的极限存在.x0

44.求函数f(x)=sin1

x21

x(2x)的间断点.2cosx

x0

45.求曲线

3的斜渐近线.（共12页）第10页

1

46.求数列nn的最小项.

50.求lim

x.x0

sin1

x

47.求limtan(tanx)sin(sinx)

x0tanxsinx

.48.设f(x)在[0,2]上连续，在（0,2)内有二阶导数，且lim

f(x)

x1(x1)2

1，

f(x)dxf(2)，试证：存在(0,2)，使得f()=(1+1)f().49.试证：若函数f(x)在点a处连续，则函数f+(x)=maxf(x),0与

f-(x)=minf(x),0在点a处都连续.（共12页）第11页

12页）第12页

（共

第四篇：函数、极限和连续试题及答案

极限和连续试题（A卷）

1.选择题（正确答案可能不止一个）。（1）下列数列收敛的是（）。A.xnn1n(1)n

B.xn1n(1)n

C.xnnsinD.xn2n（2）下列极限存在的有（）。

A.lim1xsinx

B.xlimxsinx

C.lim11x02xD.limn2n21

（3）下列极限不正确的是（）。

A.lim(x1)2

B.lim1x1x0x11 12C.lim4x2xx2

D.xlim0e（4）下列变量在给定的变化过程中，是无穷小量的有（）。A.2x1(x0)

B.sinxx(x0)

2C.ex(x)

D.xx1(2sin1x)(x0)1（5）如果函数f(x)xsinx,x0;a,x0;在x0处连续，则a、b的值为（xsin1xb,x0.A.a0,b0

B.a1,b1 C.a1,b0

D.a0,b1 2.求下列极限：

（1）lim(x322x13x1)；

（2）xlim2(3x2x5)；

（3）lim1x(1x3)；

（4）limx30x2x2x；

x28x2（5）limx3x3；

（6）lim16x4x4；

（7）limx21x2x12x2x1；

（8）lim；

x2x2。）（9）limx0cosx1x1；

（10）lim；

xxxx33x1x43x1（11）lim；

（12）lim；

x3x3xx5x4x3x33x19x33x1（13）lim；

（14）lim； 42xxxxx1x3.（15）limx03xsin2x，x023.设f(x)2x1，0x1，求limf(x)，limf(x)，limf(x)，limf(x)。

1x0x3x1x3(x1)3，x124.证明：xsinx~x(x0)。

5.求下列函数的连续区间：

2x1,x1;（1）yln(3x)9x；

（2）y2

x1,x1.26.证明limx2x2不存在.x21xsin,x0;x7.设f(x)求f(x)在x0时的左极限，并说明它在x0时10x.sin,x右极限是否存在？

8.证明lim(n1n121n221nn2)存在并求极限值。

x21axb)0，求a、b的值。9.若lim(xx1

答案

1.（1）B；（2）BD；

（3）C；

（4）ACD ；（5）B.2.（1）-1；（2）3；（3）

21；（4）；（5）；（6）8；

36（7）21111；

（8）；（9）；（10）0；（11）；（12）； 323522（13）0；（14）；（15）

1.9x123.limf(x)3, limf(x)不存在, limf(x)x1x03, limf(x)11.2x35.（1）[3,3)；

（2）(,1)(1,).7.f(x)在x0时的左极限为0，在x0时右极限不存在。8.极限值为1.9.a1,b1.

第五篇：函数极限与连续教案

第四讲

Ⅰ 授课题目（章节）

1.8：函数的连续性

Ⅱ 教学目的与要求：

1、正确理解函数在一点连续及在某一区间内连续的定义；

2、会判断函数的间断点.4、了解初等函数在定义区间内是连续的、基本初等函数在定义域内是连续的；

5、了解初等函数的和、差、积、商的连续性，反函数与复合函数的连续性； 6 掌握闭区间上连续函数的性质

教学重点与难点：

重点：函数在一点连续的定义，间断点，初等函数的连续性

难点：函数在一点连续的定义，闭区间上连续函数的性质

Ⅳ 讲授内容：

一 连续函数的概念函数的增量

定义1设变量u从它的初值u0变到终值u1，终值与初值之差u1u0，称为变量u的增

量，或称为u的改变量，记为u，即uu1u0

xx1x0

yf(x0x)f(x0)函数的连续性

定义2 设函数yf(x)在点x0的某个邻域内有定义，若当自变量的增量x趋近于零

时，相应函数的增量y也趋近于零，即

limy0或 x0

x0limf(x0x)f(x0)0

则称函数f(x)在x0点连续

2例1 用连续的定义证明y3x1在点x02处是连续的证明 略

若令xx0x则当x0时，xx0又yf(x0x)f(x0)即

f(x)f(x0)y故y0就是f(x)f(x0)

因而limy0可以改写成limf(x)f(x0)x0xx0

定义3 设函数yf(x)在点x0的某个邻域内有定义，若

xx0limf(x)f(x0)

则称函数f(x)在x0点连续

由定义3知函数fx在点x0连续包含了三个条件：

（1）fx在点x0有定义

（2）limf(x)存在xx0

（3）limf(x)f(x0)xx0

sinx,x0例2 考察函数f(x)x在点x0处得连续性

1,x0

解略

3左连续及右连续的概念.定义4 若limf(x)f(x0)，则函数f(x)在x0点左连续 xx0

若limf(x)f(x0)，则函数f(x)在x0点右连续 xx0+

由此可知函数f(x)在x0点连续的充分必要条件函数f(x)在x0点左连续又右连续

4、函数在区间上连续的定义

（a,b）（a,b）定义5 若函数f(x)在开区间内每一点都连续，则称函数f(x)在开区间内连

续

（a,b）若函数f(x)在开区间内连续，且在左端点a右连续，在右端点b左连续，则

称称函数f(x)在闭区间a,b上连续

（-,+）例3 讨论函数yx在内的连续性

解 略

二 函数的间断点定义6函数f(x)不连续的点x0称为函数f(x)的间断点

由定义6可知函数f(x)不连续的点x0有下列三种情况

（1）fx在点x0没有定义

（2）limf(x)不存在xx0

（3）limf(x)f(x0)xx0

2间断点的分类

左右极限都相等（可去间断点）第一类间断点：左右极限都存在间断点 左右极限不相等（跳跃间断点）

第二类间断点：左右极限至少有一个不存在

x21,x0例4考察函数f(x)在x0处得连续性

0,x0

解 略

例5考察函数f(x)

解 略

1,x0例6考察函数f(x)x在x0处得连续性

0,x0x,x0x1,x0在x0处得连续性

解 略

三 连续函数的运算与初等函数的连续性

1、连续函数的和、差、积、商的连续性

2、反函数与复合函数的连续性

3、初等函数的连续性：基本初等函数在它们的定义域内都是连续的．一切初等函数在其定义区间内都是连续的．对于初等函数,由于连续性xx0limf(x)f(x0),求其极限即等价于求函数的函数值

四闭区间上连续函数的性质

定理1（最大值最小值定理）

若函数f(x)在闭区间a,b上连续，则函数f(x)在闭区间a,b上必有最大值和最小值

定理2（介值定理）

若函数f(x)在闭区间a,b上连续，m 和M分别为f(x)在a,b上的最小值和最大值，则对于介于m 和M之间的任一实数C，至少存在一点a,b，使得

f()C

定理3（零点定理）

若函数f(x)在闭区间a,b上连续，且f(a)与f(b)异号，则至少存在一点a,b，使得f()0

例7 证明x52x20在区间(0,1)内至少有一个实根 证明 略

Ⅴ 小结与提问：

Ⅵ 课外作业：

习题1-8 2，5，7，9