函数的极限与连续小练习参考答案1

第一篇：函数的极限与连续小练习参考答案1

函数的极限与连续小练习参考答案

一、选择题

－(x－1)－11＝lim ＝－.故选A.2x1(x－1)(x－2)(x－3)x→1(x－2)(x－3)

2.解析：若limf(x)和limg(x)都存在，则lim[f(x)－g(x)]＝limf(x)－limg(x)＝0，即limf(x)＝limg(x)． →∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞1.解析：原式＝lim →xxxxxxx故选C.2－223.解析：已知x＝2是x＋ax－2＝0的根，则a1，故选D.22

122mma1CmxCmxCmx(1x)malimb 4解析：limx0x0xx

a101a=-1,b=m,故ab=-m选A Cbm

x1(x1)f(x)2xa(x1)且limf(x)存在，则a的值为_－1_______.5.如果函数x1

6．解：∵lim(x－x＋1－a1x－b1)＝lim →－∞→－∞xx22(1－a21)x－(2a1b1＋1)x＋1－b1x－x＋1＋a1x＋b1＝0，∴1－a21＝0①

1－b21－(2a1b1＋1)－2x－(2a1b1＋1)x＋1－b12a1b1＋1且lim lim ＝x→－∞1－a111bx－x＋1＋a1x＋b1x→－∞1－a1－xxx

从而2a1b1＋1＝0②

1－a1≠0③

1联立解①②③得a1＝－1，b12

1同理可求得a2＝1，b2＝－.2

x2＋cx＋2b27已知lim a，且函数y＝－alnx＋c在[1，e]上存在反函数，求b的取值范围． xx→－2x＋2

x2＋cx＋2解：∵lim a，x→－2x＋2x2＋3x＋22∴x＝－2为x＋cx＋2＝0的根，解得c＝3.又lim ＝lim(x＋1)＝－1，∴a＝－1.x→－2x→－2x＋2

b2lnxb2xlnx－b∴y＝ln2x＋＋3，y′＝－＝xxxxb∵y＝ln2x＋＋3在[1，e]上存在反函数，x

∴y′≥0或y′≤0在[1，e]上恒成立．

∵x2>0，∴2xlnx－b≥0或2xlnx－b≤0在[1，e]上恒成立，即b≥2xlnx或b≤2xlnx在[1，e]上恒成立． ∵g(x)＝2xlnx在[1，e]上为增函数，∴x＝1时，g(x)取最小值0，x＝e时，g(x)取最大值2e，∴b≥2e或b≤0，即b的取值范围是(－∞，0]∪[2e，＋∞)．

第二篇：函数极限与连续

函数、极限与连续

一、基本题

1、函数f

xln6x的连续区间ax2x2x

12、设函数fx，若limfx0，且limfx存在，则 x1x1x12axb

a-1，b

41sin2x

3、limx2sin-2x0xx

4、n2x4/(√2-3)k

5、lim1e2，则k=-1xx

x2axb5，则a3，b-

46、设limx1x

17、设函数fx2xsinx1,gxkx，当x0时，fx~gx，则k

ex2x0

8、函数fx2x10x1的定义域R ；连续区间(-oo,1),(1,+oo)3x1x1

1xsinx

a9、函数fx1xsinbxx0x0在x0处连续，则a1，b1x010、函数fxe

1e11

x1x的间断点为x=0，类型是 跳跃间断点。

11、fx,yx2y2xycosx，则f0,1ft,1y12、fxy,xyx2y2，则fx,yy^2+x13、函数zln

2x2y2的定义域为 {(x,y)|1=0}

14、1e2xylim-12；x,y0,0x2y2exyx,y0,01x2y2x2y2lim

3-12；lim12xyx15、x0

y0

二、计算题

1、求下列极限

（1）0

0型：

1）limexex2x

x0xsin3x；=0

2）limexx

1x0x1e2x;=-1/

43）limtan3xln12x

x01cos2x;=-

34）limtanxsinx

x0xsin2x2;=1/4

（2）

型：

1）lnsin3x

xlim0lnsin2x=1

lim2n13n1

2）n2n3n=3

（3）型：

1）lim11

x0xex1=1/

22）lim

x111x1lnx=-1/2

3)xlimarccosx=π/3

4)xlimx=-1 x0y2

（4）0型：

1）limxarctanx=1x2

2)limx1tanx1x2=-π/2

（5）1型：

21）lim1xx3x2=e^(-6)

4x23x12）limx3x2

3)lim12xx0 =e^(-4)=e^(2/5)1sin5x

14)limcos=e^(-1/2)xx

（6）00型：1）limxsinx=1 x0x2

方法:lim x^sinx=lim e^(sinxlnx)

公式：f(x)^g(x)=e^(g(x)ln(f(x)))

（7）型：1）limx20x

x1x=2

同上

2、已知：fxsin2xln13x2limfx，求fx x0x

f(x)=(sin2x)/x+ln(1-3x)+

2(方法：两边limf(x)x->0)

x2x3、求函数fx的间断点，并判定类型。2xx1驻点x=0,x=1,x=-

11）当x=0+时，f(x)=-1；当x=0-时，f(x)=1 跳跃间断点

2）当x=1时，f(x)=oo;第二类间断点

3）当x=-1时，f(x)=1/2;但f(-1)不存在，所以x=-1是可去间断点

sin2xx

4、设函数fxa

ln1bx1e2xx0x0在定义域内连续，求a与b x0

Lim sin(2x)/x|x->0-=2=a=b/-2=>a=2,b=-

45、证明方程：x33x29x10在0,1内有唯一的实根。（存在性与唯一性）证明：

1）存在性：

令f(x)=x^3-3x^2-9x+1

f(0)=1>0;

f(1)=-10<0;

因为f(0).f(1)<0所以在（0,1）内存在一个实根

2）唯一性

f’(x)=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3)

所以f(x)在(0,1)内为单调减函数

故x33x29x10在0,1内有唯一的实根。

第三篇：函数、极限和连续试题及答案

极限和连续试题（A卷）

1.选择题（正确答案可能不止一个）。（1）下列数列收敛的是（）。A.xnn1n(1)n

B.xn1n(1)n

C.xnnsinD.xn2n（2）下列极限存在的有（）。

A.lim1xsinx

B.xlimxsinx

C.lim11x02xD.limn2n21

（3）下列极限不正确的是（）。

A.lim(x1)2

B.lim1x1x0x11 12C.lim4x2xx2

D.xlim0e（4）下列变量在给定的变化过程中，是无穷小量的有（）。A.2x1(x0)

B.sinxx(x0)

2C.ex(x)

D.xx1(2sin1x)(x0)1（5）如果函数f(x)xsinx,x0;a,x0;在x0处连续，则a、b的值为（xsin1xb,x0.A.a0,b0

B.a1,b1 C.a1,b0

D.a0,b1 2.求下列极限：

（1）lim(x322x13x1)；

（2）xlim2(3x2x5)；

（3）lim1x(1x3)；

（4）limx30x2x2x；

x28x2（5）limx3x3；

（6）lim16x4x4；

（7）limx21x2x12x2x1；

（8）lim；

x2x2。）（9）limx0cosx1x1；

（10）lim；

xxxx33x1x43x1（11）lim；

（12）lim；

x3x3xx5x4x3x33x19x33x1（13）lim；

（14）lim； 42xxxxx1x3.（15）limx03xsin2x，x023.设f(x)2x1，0x1，求limf(x)，limf(x)，limf(x)，limf(x)。

1x0x3x1x3(x1)3，x124.证明：xsinx~x(x0)。

5.求下列函数的连续区间：

2x1,x1;（1）yln(3x)9x；

（2）y2

x1,x1.26.证明limx2x2不存在.x21xsin,x0;x7.设f(x)求f(x)在x0时的左极限，并说明它在x0时10x.sin,x右极限是否存在？

8.证明lim(n1n121n221nn2)存在并求极限值。

x21axb)0，求a、b的值。9.若lim(xx1

答案

1.（1）B；（2）BD；

（3）C；

（4）ACD ；（5）B.2.（1）-1；（2）3；（3）

21；（4）；（5）；（6）8；

36（7）21111；

（8）；（9）；（10）0；（11）；（12）； 323522（13）0；（14）；（15）

1.9x123.limf(x)3, limf(x)不存在, limf(x)x1x03, limf(x)11.2x35.（1）[3,3)；

（2）(,1)(1,).7.f(x)在x0时的左极限为0，在x0时右极限不存在。8.极限值为1.9.a1,b1.

第四篇：函数、极限与连续测试卷带答案

上海民航学院

函数、极限与连续测试卷

总分100分命题人:叶茂莹

一、填空题（每空2分，共20分）

1、函数y32x|4的定义域是； 解：|32x|40,32x4,或32x4 2x1,或2x7

17x,或x 2

217x(,][,)222、把复合函数yearctan(1x)分解成简单的函数________________________； 解：yeu,uarctanv,v1x23、函数yarcsin2x的反函数是_____________________； 1解：ysinx,x, 222

1x

4、lim； xx2x

21x解：limxx2x1xlim1e2 xx2

(2x1)15(3x1)30

；

5、limx(3x2)4

5(2x1)15(3x1)302153302 解：lim4545x(3x2)33

x23x

26、lim2； x2x4x12x1x2limx11x23x2lim解：lim2 x2x6x2x4x12x2x6x28157、x1；

2解：

limx1xx1

2x12x1 x13x

13

4x2的连续区间为(x1)(x4)

解：x20,且x1x40

8、函数f(x)

x2,x1,x4,x[2,1)(1,4)(4,)

ax2bx

19、已知a，b为常数，lim2，则a，b.x2x

1ax2bx1解：因为x的最高次为2，lim2 x2x1

所以a0，b2，即b4

2x0在点x0处连续，则a

x0

x1lim1xxx022x

10、已知f(x)(1x)a解：limfxlim1xx0x0e

2因为fx在点x0处连续，f0alimfxe2，所以ae2。x0

二、单项选择题（每小题4分，共20分．）

1、下列函数中，定义域为全体实数的是（D）

yx2x（A）（B）y1(C)y2x1(D)yx24x5 lg|x1|

解：（A）yx2x，x2x0,xx10,x0或x1（B）y1,|x1|0,lg|x1|0,所以x1,x11,即x1,x0 lg|x1|

2x10，2x1，x0(C)y(D)yx24x5x210,xR2、当x0时，sin2x是x的（C）

（A）高阶无穷小（B）低阶无穷小

(C)同阶但不等价无穷小(D)等价无穷小 解：limsin2x2 x0x3、下列极限值等于1的是（D）（A）limsinxsin2xsinxsinx（B）lim(C)lim(D)lim xx0x2xxxxx

sinx xx解：（A）lim

（B）lim

(C)lim

(D)limsin2x2 x0xsinxsin20 x2x2sinxsinxlim1 xxxx14、函数f(x)xsin在点x0处（B）． x

（A）有定义且有极限（B）无定义但有极限（C）有定义但无极限(D)无定义且无极限 111解：因为limx0sin1，所以limf(x)limxsin0 limf(x)limxsin，x0x0x0x0x0xxx5、下列叙述正确的是（B）（A）分段函数的分界点必是间断点

（B）函数无定义处必是间断点

(C)若limf(x)存在，则x0不可能是第一类跳跃间断点； xx0

(D)若f(x00)f(x00)A，则x0必是连续点

三、简单计算题（每小题5分，共30分）

2x,x01、设f(x)x，求f(1),f(1)； 2,x0

解：10,f(1)21

110,f(1)21

22、设f(sinx)cos2x1，求f(cosx)；

解：f(sinx)cos2x112sin2x122sin2x

f(cosx)22cos2x2sin2x1cos2x

x1x4，3、设函数f(x)=，求limf(x)及limf(x)，问limf(x)是否存x1x1x12x1，x1

在？；

fxlim解：limx45 x1x

1x1limfxlim2x11 x1

x1x1fxlimfx 因为lim

所以limfx不存在 x1

614、计算lim2； x2x3x9

6x361112limlim解：lim x2x2x3x2x9x3x3x35

21xsin，x05、设函数f(x)，讨论f(x)在x0的连续性； x

ax2，x0

解：因为limx0，sin

2x01211，所以limf(x)limxsin0 x0x0xxx0limfxlimax2a，f0a x0

x0x0f(x)0limf(x)f(0)，f(x)在x0的连续。当a0时，lim

f(x)0limf(x)f(0)a，f(x)在x0的不连续，为跳当a0时，limx0x0

跃间断点。

x2，0x

16、设函数f(x)，讨论f(x)在x1的连续性.x1x1，2fxlimx1，解：limx1x

1x1limf(x)limx12 x1

x1limfxlimfx x1

f(x)在x1的不连续，为跳跃间断点。

四、解答题（每小题6分，共30分）

1、lim

解：

x0x0x1； sin3xx0

1x0x1

6x21axb2、已知 lim0，求a,b的值； xx1

解：

x21axx1bx1x2ax2abx1bx21limaxblimlim0xxxx1x1x1

1a0,ab0

a1,b

1sin2x，x0

3、函数f(x)x，问常数k为何值时，函数f(x)在其定义域内3x22xk，x0

连续？；

解：

x0limfxlimx0

x0sin2x2，xx0limf(x)lim3x22xkk 

因为函数f(x)在其定义域内连续

所以limfx2limfxk x0x0

所以k

2ex，x0

4、设f(x)1，x0求limf(x),limf(x)并问f(x)在x0处是否连续？ x0x0sinx,x0x

解：因为

x0xlimfxlime1，x0

x0limf(x)limx0

x0sinx1 xx0所以limfx1limfxf0

所以f(x)在x0处是连续。

5、设函数f在[0,2a]上连续，且f(0)f(2a)，证明：存在点x0[0,a]，使得f(x0)f(x0a)

证明：令gxfxafx,x0,a 因为f在[0,2a]上连续，所以gx在x0,a连续 g0f0af0=faf0

gafaafa=f2afaf0fa 所以g0ga0

所以存在点x0[0,a]，使得gx00。即存在点x0[0,a]，使得f(x0)f(x0a)

第五篇：函数极限与连续教案

第四讲

Ⅰ 授课题目（章节）

1.8：函数的连续性

Ⅱ 教学目的与要求：

1、正确理解函数在一点连续及在某一区间内连续的定义；

2、会判断函数的间断点.4、了解初等函数在定义区间内是连续的、基本初等函数在定义域内是连续的；

5、了解初等函数的和、差、积、商的连续性，反函数与复合函数的连续性； 6 掌握闭区间上连续函数的性质

教学重点与难点：

重点：函数在一点连续的定义，间断点，初等函数的连续性

难点：函数在一点连续的定义，闭区间上连续函数的性质

Ⅳ 讲授内容：

一 连续函数的概念函数的增量

定义1设变量u从它的初值u0变到终值u1，终值与初值之差u1u0，称为变量u的增

量，或称为u的改变量，记为u，即uu1u0

xx1x0

yf(x0x)f(x0)函数的连续性

定义2 设函数yf(x)在点x0的某个邻域内有定义，若当自变量的增量x趋近于零

时，相应函数的增量y也趋近于零，即

limy0或 x0

x0limf(x0x)f(x0)0

则称函数f(x)在x0点连续

2例1 用连续的定义证明y3x1在点x02处是连续的证明 略

若令xx0x则当x0时，xx0又yf(x0x)f(x0)即

f(x)f(x0)y故y0就是f(x)f(x0)

因而limy0可以改写成limf(x)f(x0)x0xx0

定义3 设函数yf(x)在点x0的某个邻域内有定义，若

xx0limf(x)f(x0)

则称函数f(x)在x0点连续

由定义3知函数fx在点x0连续包含了三个条件：

（1）fx在点x0有定义

（2）limf(x)存在xx0

（3）limf(x)f(x0)xx0

sinx,x0例2 考察函数f(x)x在点x0处得连续性

1,x0

解略

3左连续及右连续的概念.定义4 若limf(x)f(x0)，则函数f(x)在x0点左连续 xx0

若limf(x)f(x0)，则函数f(x)在x0点右连续 xx0+

由此可知函数f(x)在x0点连续的充分必要条件函数f(x)在x0点左连续又右连续

4、函数在区间上连续的定义

（a,b）（a,b）定义5 若函数f(x)在开区间内每一点都连续，则称函数f(x)在开区间内连

续

（a,b）若函数f(x)在开区间内连续，且在左端点a右连续，在右端点b左连续，则

称称函数f(x)在闭区间a,b上连续

（-,+）例3 讨论函数yx在内的连续性

解 略

二 函数的间断点定义6函数f(x)不连续的点x0称为函数f(x)的间断点

由定义6可知函数f(x)不连续的点x0有下列三种情况

（1）fx在点x0没有定义

（2）limf(x)不存在xx0

（3）limf(x)f(x0)xx0

2间断点的分类

左右极限都相等（可去间断点）第一类间断点：左右极限都存在间断点 左右极限不相等（跳跃间断点）

第二类间断点：左右极限至少有一个不存在

x21,x0例4考察函数f(x)在x0处得连续性

0,x0

解 略

例5考察函数f(x)

解 略

1,x0例6考察函数f(x)x在x0处得连续性

0,x0x,x0x1,x0在x0处得连续性

解 略

三 连续函数的运算与初等函数的连续性

1、连续函数的和、差、积、商的连续性

2、反函数与复合函数的连续性

3、初等函数的连续性：基本初等函数在它们的定义域内都是连续的．一切初等函数在其定义区间内都是连续的．对于初等函数,由于连续性xx0limf(x)f(x0),求其极限即等价于求函数的函数值

四闭区间上连续函数的性质

定理1（最大值最小值定理）

若函数f(x)在闭区间a,b上连续，则函数f(x)在闭区间a,b上必有最大值和最小值

定理2（介值定理）

若函数f(x)在闭区间a,b上连续，m 和M分别为f(x)在a,b上的最小值和最大值，则对于介于m 和M之间的任一实数C，至少存在一点a,b，使得

f()C

定理3（零点定理）

若函数f(x)在闭区间a,b上连续，且f(a)与f(b)异号，则至少存在一点a,b，使得f()0

例7 证明x52x20在区间(0,1)内至少有一个实根 证明 略

Ⅴ 小结与提问：

Ⅵ 课外作业：

习题1-8 2，5，7，9