第一篇：数学猜想在课堂教学中的应用
数学猜想在课堂教学中的应用
数学猜想，实际是一种数学想象，是人的思维在探索数学规律和本质时的一种策略，是建立在事实和已有经验基础上的一种假定，是一种合理推想。数学方法理论的倡导者波亚利曾说：“在数学的领域中，猜想是合理的、值得尊重的、是负责任的态度。”他还认为，在有些情况下，教猜想比教证明更为重要。学生在猜想过程中，新旧知识的碰撞会激发智慧的火花，思维会有很大的跳跃性，提高数感，发展推理能力，锻炼数学思维。纵观数学发展历史，很多著名的数学结论都是从猜想开始的。所以在数学教学中，要鼓励学生大胆提出猜想，发表独特见解，创新探索地学习数学。
数学新课程标准指出，学生通过义务教育阶段的数学学习，“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力”。作为教学第一线的教师，在新课程理念的指导下，如何在课堂教学中体现培养学生数学猜想的理念，就自己的教学，谈谈下面几点认识：
（一）营造民主、和谐的课堂氛围，给学生猜想的空间。
学生在课堂上是学习的主人，然而在很多课堂教学当中，尽管改进了教师讲授、学生练习的单一传统的教学方式，但学生的学习还是离不开老师的设疑、启发观察、提问题思考的一步步引导下，很难充分地让学生拥有学习的主动地位。学生进行数学猜想是对数学问题的主动探索,这一份主动性尤其珍贵,以这节课的教学为例,如果当学生说出猜想的答案时候,老师就马上制止了,继而要求学生严格地按照原本教学设计,在老师的引导下逐步思考,将会对学生的学习热情是一个严重的打击。相反地,老师尊重学生的发现,并没有因为教学顺序被打乱而去责怪学生,而是在课堂上让学生充分展示自己的猜想。正是在这种平等民主的课堂氛围中，学生有了畅所欲言的机会，因而他们勇于猜想；给学生猜想的空间，同时能极大地调动学生的学习积极性、主动性，激发他们探索学习新知的欲望。
(二)鼓励学生大胆进行猜想，允许学生有出错。
我们知道，学生学习数学是一个动手实践、合作交流和自主探索的活动。从本质上说，学生的数学学习过程是一个自主构建自己对数学知识的理解的过程：他们带着自己原有的知识背景、活动经验和理解走进学习活动，并通过自己的主动活动，包括独立思考、与他人交流和反思等，去构建对数学的理解。因此每一个学生都会有自己理解、思考和解决问题的思维策略。以这节课的教学为例,学生提出了好几种猜想的答案，教师并没有因为对的答案而忽视了其它想法，因为每一个猜想过程都真实反映了学生的思维方式和知识构建，如把2.953看成3.00近似数的同学就是受了小数性质负迁移的影响。教师立足于学生猜想的教学更能针对学生的知识水平，帮助学生纠正错误的猜想，能使学生正确、深化理解知识，重塑知识结构。因此在课堂上教师应以赞许和耐心的态度聆听学生每一个猜想过程，充分利用教学评价鼓励学生大胆地进行猜想，让学生勇敢地与他人分享自己的想法，锻炼自己的思维。
(三)引导学生学会猜想。
一个学科只有大量的问题提出，才能使它永保青春。正因为历史上有诸如歌德巴赫猜想、费儿马猜想的提出，数学科学才发展为今天壮观的现代数学。数学新课程标准指出：“能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或举出反例。”以此课为例，如果在学生说出答案后，我便马上判断对错，而不是让学生分享猜想过程，久而久之，会使其他学生形成错误的认识，猜想在数学学习中是“凑热闹”或“渔翁撒网”，随便说出一个或几个答案去碰碰运气。猜想不是无根之本，无源之水，它是立足于学生已有知识经验和数学思考下的合理推测，老师鼓励学生大胆进行猜想，是让学生经历探索数学的过程，而不是凭空想象，因此学生学会怎样去猜想，形成良好的猜想意识十分重要，如引导他们怎样整合材料、提出疑问，有如何猜想结果或问题解决的途径。猜想的实现途径，可能是探索试验、类比、归纳、构造、联想、审美以及它们之间的组合等，老师需要鼓励学生通
过数学思考进行猜想，注重让学生经历猜想的过程，从而让学生学会合理的猜想。
第二篇：分类讨论思想在初中数学中的几点应用
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分类讨论思想在初中数学中的几点应用 作者：杨欣
来源：《中学教学参考·理科版》2013年第06期
分类讨论是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略.数学中有许多问题由于已知条件笼统，所以需要对可能的情形进行分类讨论，因此，我们在思考问题的解法时，需要认真审题，全面考虑，分类要做到不重不漏，从而获得完整的答案.以下是分类讨论思想在初中数学中的几点应用，一、在实数中的应用
【例6】 若直线y=kx+6与两坐标轴所围成的三角形的面积是24，求常数k的值.分析：与坐标轴的围法分两种情形：所围三角形在第一象限或在第二象限.解：如图2，图像与纵坐标交于点（0，6）.设与横坐标交于（a，0）.（1）若与坐标轴围成的三角形在第一象限，则有12a×6=24，得a=8.将（8，0）代入一次函数y=kx+6，此时k的值为-34.（2）若与坐标轴围成的三角形在第二象限，同理可得k的值为34.综上，k的值为-34或34.（责任编辑 金 铃）
第三篇：转化思想在小学数学教学中的应用
“转化”在小学数学中的应用
【前言】转化思想是数学思想的重要组成部分。它是从未知领域发展，通过数学元素之间因有联系向已知领域转化，将未知的，陌生的，复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的，熟悉的，简单的问题，从中找出它们之间的本质联系，解决问题的一种思想方法。三角函数，几何变换，因式分解，解析几何，微积分，乃至古代数学的尺规作等数学理论无不渗透着转化的思想。常见的转化方式有：一般特殊转化，等价转化，复杂简单转化，数形转化，构造转化，联想转化，类比转化等。在小学数学中，主要表现为数学的某一形式向另一形式转变，化未知为已知、化繁为简、化曲为直等。小学生掌握转化思想，可以有效地提高思维的灵活性，提高自己获取知识和解决实际问题的能力。【正文】
转化的思想是把一种数学问题转化成另一种数学问题进行思考的方法。把一种数学问题合理地转化成另一种数学问题并得到有效的解决，就是转化能力。多年的教学实践表明，“转化”并非是数学学习中教师讲授新知的专利。经过有效的引导培养，完全可以成为学生独立思考问题、解决问题的能力。下面，我就浅显地谈一谈在小学数学学习中，学生转化能力的培养。
一、转化思想在数学教学中的应用
人们常说“授人以鱼，不如授人以渔”，作为教师的我们更应时时具有这样的思想。在教学过程中要教给学生学习的方法，而不只是教会某一道题。其实转化的思想在小学数学中非常广泛，转化是解决数学问题的一个重要思想方法。任何一个新知识，总是原有知识发展和转化的结果。在教学中我们教师应逐步教给学生一些转化的思考方法，使他们能用转化的观点去学习新知识、分析新问题。转化的方法很多，但是无论采用什么方法都应遵循下列四个原则：
1、陌生向熟悉的转化：
认知心理学认为：学生学习的过程，是一个把教材知识结构转化为自己认知结构的过程。那么，实际教学中我们可以把学生感到生疏的问题转化成比较熟悉的问题，并利用已有的知识加以解决。促使其快速高效地学习新知。熟悉化原则在公式推导中最为应用广泛，比如我们通过用1平方厘米的纸片摆一摆的方法发现了长方形的面积等于长乘宽的积，在学习正方形的面积、平行四边形、三角形、梯形和圆的面积时，教师通常引导学习学生把未知图形转化为熟悉的图形来进行公式推导。还有些数学题给出了两个或两个以上未知数量之间的等量关系，要求这几个未知数，可以选择其中一个最基本的未知数量作为标准，通过等量代换，使题目的数量关系单一化。分数应用题和百分数应用题是小学解决问题中的难点，但我们也可以应用熟悉化原则把它转化为和（差）倍问题来解决。如甲乙两数的和是3600，甲是乙的五分之四，甲乙分别是多少？或者甲比乙多10，甲和乙的比是3：2，甲乙分别是多少？第一题，把条件甲是乙的五分之四转化为甲是乙的五分之四倍；第二题把甲和乙的比是3：2转化为甲是乙的二分之三倍。这就是典型的和倍差倍应用题了
2、复杂向简单的转化：
就是把较复杂的问题转化为比较简单的问题，以分散难点，逐个解决。计算组合图形面积，没有现成公式，必须把原图合理分割，实现转化。最常用的化难为简应用在计算中，如计算32π就把它转化为30π+2π，用94.2+6.28,我常常在计算中激励学生进行复杂到简单的转化，不仅可以加快计算速度还能提高计算准确率。
3、抽象向具体的转化：
就是把抽象的问题转化为比较具体的问题，根据具体问题的数量关系来寻找解决的方案。如在教学同分子异分母分数的大小比较时，我给学生讲了猪八戒吃西瓜的故事，每碰到这样的题，同学都可以转化为具体情境加以分析。
如相遇问题追及问题的线段图方式，如判断两个数之间是否成正反比例3X=Y。因数3=Y/X，因为Y和X比值一定，所以成正比例。如男女生的比为5：4，则男生比女生多（）%，女生比男生少（）%，可以把抽象的比例关系转化为具体的人数来解答。
如我在教学应用题时，要求学生先读懂题目，根据题中的问题来想数量关系。如求每天生产多少个？就是要求工作效率，再根据具体的工作效率的数量关系去找相应的工作量和工作时间。这就把一个抽象的问题转化成了两个具体的问题，学生可到已知条件中去找到解决这两个具体问题的方法，从而达到解决这个抽象问题的目地。
又如：一张长方形纸，小红用它的1/4做了一朵花，小明又用了它的2/4做了一个花瓶，这时还剩下多少纸？这时教师要给学生介绍：“一个西瓜”“一张纸”“一包糖”等，就是一个整体“1”，我们要把“1”进行转化为分子和分母相同的具体的分数，再利用“相同分母的分数相加减”的方法来进行计算。
在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题，我们也常常在不同的数学问题之间互相转化，可以说在解决数学问题时转化思想几乎是无处不在的。转化思想是数学中最基本的数学思想。“如果数学思想是数学的灵魂，那么转化思想就是数学思想的核心和精髓，是数学思想的灵魂。”
二、转化思想的培养方法
1、抓住契机，适时渗透
“曹冲称象”在中国几乎是妇孺皆知的故事。年仅六岁的曹冲，用许多石头代替大象，在船舷上刻划记号，让大象与石头等重，然后再一次一次称出石头的重量。这样就解决了一个许多有学问的成年人都一筹莫展的难题，还真让人感到惊异。曹冲既不懂得阿基米德浮力原理，也不懂得什么“等量代换”的数学方法。曹冲的聪明之处在于将“大”转化为“小”，将“大象”转化为“石头”，“转化”的思想方法起了关键的作用。同时也说明了“转化”的思想就蕴含在我们的生活中，看你是否有心去发现它、运用它。作为一种学习策略——转化思想方法的掌握与获取数学知识、技能一样，有一个感知、领悟、掌握、应用的过程，这个过程是潜移默化的，长期的、逐步累积的。教学中应结合典型教材，逐步渗透、适时点明，使学生认识转化的思想和方法。
因为转化思想是未知领域向已知领域转化，因此，渗透时必须要求学生具有一定的基础知识和解决相似问题的经验。一般说来，基础知识越多，经验越丰富，学生学习知识时，越容易沟通新旧知识的联系，完成未知向已知的转化。例如：“除数是小数除法”是渗透转化思想的极好教材，教学中只要将除数是小数转化为整数，问题就迎刃而解。但将除数是小数转化为整数必须以商不变性质为基础，因此教学时先复习商不变性质。
教学设计如下：
（1）计算并思考各式之间有什么规律，运用了什么性质
32÷4=（）；320÷40=（）；3200÷400=（）；
（2）在括号里填上合适的数，除数必须是整数，商不变
3.2÷0.4=（）÷（）；3.6÷0.006=（）÷（）；
4.2÷0.7=（）÷（）；8÷1.5=（）÷（）。
通过这组习题，重温了“商不变性质”，为除数是小数的除法转化成除数是整数的除法奠定了基础。再出示例题：把一块6米长的布，剪成1.2米长的一段,可以剪多少段？学生探索时发现算式中除数是小数，这种除法没有学过，怎么办？学生思路受阻。教师适时点拨：能否用以前学过的知识解决现在的问题呢？学生从前面的复习中很快地感悟到只要把除数转化成整数就可以进行计算了。待学生完成计算时，教师让学生想一想，在解这道题的过程中，得到了什么启发？使学生领悟到，新知识看起来很难，但只要将所学的知识与已学过的知识沟通起来，并运用正确的数学思想方法，就能顺利地解决问题。这种解决问题的方法就是“转化”的方法（板书：转化），转化就是未知向已知转化。这种思想方法在以后学习中经常会用到。短短数语，既概括了新知学习的着眼点——新知与旧知沟通，又言明了什么是转化思想，为学生的学习打好了策略与方法的基础。
2、尝试运用，加深理解
随着渗透的不断重复与加强，学生初步领悟转化思想是学习新知和解决问题的一种重要策略，他们在尝试运用中，常不拘泥于教材或教师的讲解，而直接从自身的知识和经验出发，运用转化方法，主动寻找新旧知识间的内在联系，主动构建新的认知结构；同时在尝试运用中进一步加深对转化思想的认识，提高灵活运用的水平。
例如：学生学习了长方形和三角形面积后，我在教学《平行四边形面积》时，请同学拿出准备好的学具自己探求如何求平行四边形的面积？由于学生头脑中已经有了“转化”意识，通过动手操作，运用剪、割、移、补等方法，很快把平行四边形转化成已经学过的图形，方法如下：
方法一：从一条边的一个顶点向对边作高，分成一个三角形与一个梯形，并拼成一个长方形；
方法二：画一条对角线，把它分成两个相等的三角形；
方法三：选择一组对边，从顶点分别向对边作高，分成一个长方形和两个三角形；
方法四：在一条边上作高，沿着高把它分成两个梯形，并拼成一个长方形；
接着，再引导学生寻找平行四边形的底与高和所转化成图形的相关联系。学生很快发现，平行四边形的底相当于长方形的长（或三角形的底），平行四边形的高相当于长方形的宽（或三角形的高），于是根据长方形面积（或三角形的面积）计算公式，导出平行四边形的面积计算公式。至此，让学生认识到：通过割补完成了图形之间的转化，这是第一次转化；寻找条件之间的联系，实际上是第二次转化，从而解决问题。在这里，学生不仅掌握了平行四边形的面积公式，更体验了推导过程及领悟了数学思想方法——转化思想，即将未知图形剪、割、移、补，再重新结合成可以求出其面积的其他图形的思想方法。由于学生自己探索解决了问题，因此学生体验到成功的喜悦，不仅加深了转化思想的认识，而且增强了他们运用转化思想解决新问题的信心。
3、持之以恒，促使成熟
学生运用数学思想的意识和方法，不能靠一节课的渗透就能解决，而要靠在后续教学中，持之以恒地不断渗透和训练。这种渗透和训练不仅表现在新知学习中，而且表现在日常练习中，尤其是转化思想在小学数学学习中用得较普通，因此更要注意渗透和训练。要使学生养成一种习惯，当要学习新知识时，先想一想能不能转化成已学过的旧知识来解决，怎样沟通新旧知识的联系；当遇到复杂问题时，先想一想，能不能转化成简单问题，能不能把抽象的内容转化成具体的，能感知的现实情景（或图形）。如果这样，学生理解、处理新知识和复杂问题的兴趣和能力就大大提高，对某个数学思想的认识也就趋向成熟。
例如，在学生掌握长方体、正方体的体积计算公式后，出示一个不规则的铁块，让学生求出它的体积。学生们顿时议论纷纷，认为不能用长方体、正方体的体积计算公式直接计算。但不久就有学生提出，可以利用转化思想来计算出它的体积。通过小组讨论后，学生们的答案可谓精彩纷呈。
方法一：用一块橡皮泥，根据铁块的形状，捏成一个和它体积一样的模型，然后把橡皮泥捏成长方体或正方体；
方法二：把这个铁块放到一个装有水的长方体的水槽内，浸没在水中，看看水面上升了多少，拿水槽内底面的长、宽与水面上升的高度相乘得到铁块的体积；
方法三：还有更简单的，就是把铁块放到一个装满水的量杯内，使之淹没，然后拿出来，看看水少了多少毫升，这个铁块的体积就是多少立方厘米；
方法四：可以请铁匠师傅帮个忙，让他敲打成一个规则的长方体后在计算。学生在转化思想影响下，茅塞顿开，将一道生活中数学问题会形象而又创意地解决了，不禁让我们为他们喝彩。从这里可以看出：学生掌握了转化的数学思想方法，就犹如有了一位“隐形”的教师，从根本上说就是获得了自己独立解决数学问题的能力。教师潜移默化地让学生了解、掌握和运用转化的数学思想与方法，转变了学生的学习方式，提高了学生数学学习的效率，开发了智力，发展了数学能力，提高了数学应用意识。
转化是解决数学问题的一个重要思想方法，它对学生学习各门学科都会受益匪浅，任何一个新知识，总是原有知识发展和转化的结果。在教学中我们教师应逐步教给学生一些转化的思考方法，使他们能用转化的观点去学习新知识、分析新问题，形成解决问题的一些策略，学生经历并体验每一种策略的形成过程，获得对策略内涵的认识与理解，感受策略给问题解决带来的便利，真正形成“爱策略，用策略”的意识和能力，增强解决实际问题的能力。
第四篇：现代数学思想在中学数学教学中的应用（定稿）
现代数学思想在中学数学教学中的应用
重视数学思想方法的教学在我国、在国际上都已成为数学教育改革的一种潮流。这使我们认识到重视数学思想方法的教学对学生的数学素养的培养起着十分重要的作用。中学数学的现代化就是数学思想方法、教学观念和教学手段的现代化，这是具有时代意义的。搞好数学思想方法的教学是时代赋予我们的使命，也是优化学生数学思维品质、大面积提高中学数学教学质量的根本保证。
一、数学思想的含义及其重要性
“数学思想是对数学知识的本质的认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，它在认识活动中被反复运用，带有普遍的指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想。”关于数学思想和数学方法的关系，教授张奠宙与过伯祥在《数学方法论稿》中指出：“同一数学成就，当它去解决别的问题时，就称之为方法；当评价它在数学体系中的自身价值和意义时，称之为思想”。如“函数”，当我们用它解决具体的数学问题或实际问题时，称之为“函数方法”，当我们讨论它在数学中的价值时，它反映了两个变化量之间的对应关系，称之为函数思想，其实，数学思想与数学方法往往不加以区别，于是就有了“函数的思想方法”、“数形结合的思想方法”等说法。数学思想方法是处理数学问题的指导思想和基本策略，是数学的精髓，是数学的灵魂，引导学生理解和掌握以数学知识为载体的数学方法，是使学生提高思维水平，真正懂得数学的价值，建立科学的数学观念。从而发展数学，运用数学的重要保证也是现代数学思想与传统数学思想的根本区别之一，可以说数学的发现、发明主要是方法上的创新。典型的例子就是伽利略开创了置换群的研究，用群论方法确立了代数方程的可解性理论，彻底解决了一般性是代数方程根式解的难题。另外解析几何的创立解决了形、数沟通和数形结合及其相互转化的问题等等。我们从中可体会有了方法才是获得了“钥匙”，数学的发展绝不仅仅是材料、事实、知识的积累和增加。而必须有新的思想方法参与，才会有创新，才会有发现和发明，因此，从宏观意义上来说，在我们的数学和数学学习中，要再现数学的发现过程，揭示数学思维活动的一般规律和方法，只有从知识和思维方法两个层面上去教与学，使学生从整体上，从内部规律上掌握系统化的知识，以及蕴含于知识以知识为载体的思想方法，才能形成良好的认知结构，才能有助于学生主动构建、才能提高学生洞察事务，寻求联系，解决问题的思维品质和各种能力，最终达到培养现代社会需要的创新人才的目的。数学思想方法寓于数学知识之中，所以，在数学教学中，应该把数学思想和方法的培养与数学知识融为一体，中学数学中涉及的数学思想主要有：方程的思想、函数的思想、化归的思想、转化的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想等。因此，在中学数学教学中，必须重视培养学生这些基本的数学思想。
二、数学思想的基本特征
1、导向性 所谓导向性是指它是研究数学和解决数学问题的指导思想，是数学思维的策略，数学思想的导向性表现在它既是数学产生和发展的根源、又是建立数学体系的基础，还是解决具体问题“向导”。正如日本数学教育学家米山国藏所说：“数学的精神，思想是创造数学著作，发现新的东西，是数学得以不断地向前发展的根源。”比如极限的思想是微积分理论的基础，又是解决许多数学问题的重要方法，而在解决具体的问题中，数学思想往往起主导的作用，尤其是它对产生一个好“念头”、一种好“思路”、一种好“猜想”提供了方向。当然数学思想在指示解题方向时，还为数学方法的具体实施留有应变的余地。例如：解一元二次方程问题，尽管化归思想指导思维活动定向于目标X=A，但具体采用哪种化归的方法，如配方法、还是因式分解法、还是公式法，须具体问题具体分析。数学思想导向性的重要价值被爱因斯坦的名言所佐证：“在一切方法的背后，如果没有一种生气勃勃的精神，他们到头来，不过是笨拙的工具”。
2、概括性 人们的理性认识之所以高于感性认识，是因为理性认识能反映、揭示事物的普遍的必然的本质属性和联系，这就是理性认识的一个大特点。数学思想在这方面具有突出的表现，即数学思想具有较高的概括性，概括性程度的高低决定了数学思想有层次之分，概括化程度高，其“抽象度”大，对数学对象本质属性揭示得越深刻，对问题的理解也就愈透彻。如在几何中研究各种各样的角：两条相交直线所成的角；异面直线所成的角；直线与平面所成的角；这些角的度量方法最终可由化归思想的概括性统一为两条直线相交的角来度量，数学思想的概括性还表现在客观存在它能反映数学对象之间的联系和内部规律上，例如：有关二次三项式，一元二次方程，一元二次不等式等问题统统都可以归纳为一元二次函数图像与坐标轴交点问题的探究，同时也反映了函数思想是对数学的高度概括。
3、迁移性 高度的概括性导致数学思想具有广泛的迁移性，这种迁移性一方面表现在数学内部：数学思想是数学知识的精髓，这是数学知识迁移的基础和根源，是沟通数学各部分、各分支间联系的纽带和桥梁，是构建数学理论的基石。如由圆内接正多边形边倍增而趋于圆来求圆面积的极限思想，可进一步发展为分割术和微积分思想。另一方面，这种迁移性还表现在数学的外部；他还能沟通数学与其他学科、社会的联系，产生更加广泛的迁移。如公理化思想已超越数学理论范围，渗透到其他学科领域，如17世纪的唯心主义者宾莎仿效《几何原本》的公理化思想，把人的思想、情感、欲望当作几何学中的点、线、面来研究写出了《伦理学》。
三、数学思想方法教学的主要方式—渗透 数学思想方法教学所用的主要方式是渗透，所谓渗透，就是有机地结合数学知识的教学，采用教者有意，学者无心的方式，反复向学生讲解诸如分类、转化、数形结合、化归、函数等数学思想方法。通过逐步积累，让学生对数学思想方法的认识由浅入深，由表及里，循序渐进的达到一定的认识高度，从而自觉地运用之。
之所以采用渗透的方法，是由数学思想方法本身决定的。从知识和思想方法的关系来看，数学思想隐含在知识里，体现在知识的应用过程中，他不像知识那样可以具体编排在某一章、某一节，靠教师专门讲解就可以理解的。数学思想方法是渗透在全部数学教学内容之中的。从学生的认识规律来看，数学思想方法的掌握不像知识的理解可以短期内完成那样，而要经历一个过程，简单的表述为“了解”—“理解”—“掌握”—“运用”的过程。从学生的个别差异来看，也存在着认识不同步的现象，因此，数学思想方法的教学以采用渗透为宜。
四、数学思想方法的教学原则及实施
数学思想方法的教学既属于数学教学的范畴，又是特殊的数学教学，除遵循一般数学教学原则外，还应遵循以下教学原则：
1、化隐为显的原则 由于数学思想方法往往隐藏在知识的背后，知识教学虽然蕴含着思想方法，但是如果不是有意识的把数学思想方法作为教学对象，在数学学习时，学生往往会只注意到表层的数学知识，而注意不到处于深层的思想方法。因此，进行数学思想方法的教学必须以数学知识为载体，把隐藏在背后的思想方法显现出来，使之明朗化。
2、学生参与的原则 数学知识的教学与数学思想方法的教学有着显著的区别，数学知识的教学是数学认知活动的结果的教学，呈静态型，重在记忆理解；数学思想方法的教学是数学活动过程的教学，呈动态型，重在思辨操作。离开数学活动过程思想方法也就无从谈起，只有组织学生积极参与教学过程，才能使学生逐步领悟、形成、掌握数学思想方法。
3、渗透性原则 数学思想方法是融合在数学知识、方法之中的，所以采用渗透方式不失时机地抓住机会，密切结合教材，不断的，一点一滴的再现有关数学思想方法，逐步的加深学生对数学思想方法的认识。
4、渐进性原则 数学思想方法的渗透必须结合两个实际，即教材实际和学生实际，不同的教材内容有不同的要求，不同的学生也有不同的要求，要讲究层次，不能超越实际，要反 复多次，小步的渐进。
5、发展性原则 用渗透的方式进行数学思想方法教学，开始是起点要低，但“低”是为了“高”。通过一个阶段的学习，应该在原有的基础上有所提高，要求学生“学会”并且“会学”，在思维素质方面有所提高。
为了切实落实上述原则，教学中还应注意：备课时要把掌握数学知识和学习数学思想方法同时纳入教学目标，并在教学设计中设计好数学思想方法的教学内容和教学过程；在每一个重要的数学思想方法形成阶段要精心设计好数学思想方法的训练课；对于不同类型的学生应有不同的教学要求。
五、教学中渗透数学思想方法的几点尝试 数学思想方法很多，这里仅就中学数学教材中和试题中常见的数形结合思想、分类讨论思想、转化思想作些探讨。
1、数形结合的思想：数形结合是中学数学中一种重要的数学思想方法，它指出了解决某些数学问题时应从“数”与“形”两者联系来考虑问题。“数”指数量关系；“形”指几何图形。数形结合就是抓住数与形之间的本质上的联系，以“形”直观的表达数，以“数”精确的研究型。我国已故数学家华罗庚指出：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。”这充分说明了数形结合思想的重要性。中学数学中处处都蕴含着数形结合的思想。如：
例
1、已知正数x、y、z满足方程组
x+y=13（1）
y²+z²-yz=25（2）
z²+x²+xz=144（3）求z。
对（1）、（2）式的结构作分析，可转化为余弦定理 25=y²+z²-2yzcos60° 144=z²+x²-2xzcos120°
据此，我们可以构造几何图形来解。
解：作Rt△ABC，使AB=13，BC=12，在AB上取 点D使∠ADC=60°设BD=x，AD=y，CD=z，由面积关系 S△ABC=S△ACD+S△BCD
有 1/2BC•AC=1/2BDsin120°+1/2AD•DCsin60°= 3/4AB•DC 得 z=CD=2BC•AC/ 3AB=40 3/13 本题在求解时，由于观察到式（2）、（3）具有ɑ²+b²-2bcosθ的特征，因而联想到余弦定理而由数思形，使问题得到解决。
在解决数学问题时，通过观察分析数式的结构特征，可将ɑ>0与距离互化，将ɑ²（ɑb）与面积互化，将ɑ³（ɑbc）与体积互化，将 ɑ²+b²与勾股定理沟通，将ɑ²+b²±ɑb与余弦定理沟通，将∣ɑ-b∣ 2、分类思想：分类讨论是一种重要的数学思想方法：是按照数学对象的相同点和相异点将数学对象区分为不同种类的思想方法（朱人杰.数学思想方法研究导论）；分类讨论是根据需要对研究对象进行分类，然后将划分的每一类别分别进行求解，综合后即得答案（任子朝.数学标准解读）。分类讨论贯穿在整个中学数学学习的全过程，通过分类可以使大量繁杂的材料条理化、系统化，从而为人们进行分门别类的深入研究创造条件，分类讨论不仅在数学知识的探究和概念学习中十分重要，而且在解决数学问题过程中起着重要作用。学会用这 种思想方法解决问题，对提高学生思维能力、解决问题的能力有很大作用。如： 例 2、已知函数y=x²-4ɑx+2ɑ+30的图像与x轴没有交点，求关于x的方程x/（ɑ+3）=|ɑ-1|+1根的范围 显然方程的根与参数ɑ的变化有关，要对ɑ进行分类讨论，从而获得方程根的取值范围。 因为函数y=x²-4ɑx+2ɑ+30的图像与x轴没有交点，所以 Δ=（-4ɑ）²-4（2ɑ+30）＜ 0 解得-5/2 ＜ɑ ＜ 3 根据运算的需要，我们把这一范围分成两部分（-5/2，1]，（1，3）进行讨论。 （1）、ɑ∈（-5/2，1]时 x=（ɑ+3）（2-ɑ）=-（ɑ+1/2）²+25/4 所以 当ɑ=-1/2时，xｍɑx=25/4； 当ɑ=-5/2时，xｍin=9/4。 所以，9/4＜x≤25/4（2）、ɑ∈（1，3）时，x=（ɑ+3）ɑ=（ɑ+3/2）²-9/4，x（ɑ）在区间［1，3]上是增函数 xｍin=x（1）=4；xｍɑx=x（3）=18 4＜x＜18 综上所述，x的取值范围是（9/4，18）。 3、转化思想：在教学研究中，使一种对象在一定条件下转化为另一种研究对象的数学思想称为转化思想。体现在数学解题中，就是将原问题进行变形，使之转化为我们所熟悉的或已解决的或易于解决的问题，就这一点来说，解题过程就是不断转化的过程。中学数学涉及最多的是转化思想，如超越方程代数化、方程问题函数化、空间问题平面化、复数问题实数化等，为了实现转化，相应地产生了许多的数学方法，如消元法、换元法、图象法、待定系数法、配方法等。通过这些数学方法的使用，使学生充分领略数学思想在数学领域里的地位与作用。如： 例 3、解方程6x+7x³-36x²-7x+6=0 这是一个高次方程，x=0不是此方程的解，设想用一定的方法把这个高次方程转化为可解的熟悉的方程，为此将方程两边同时除以x²，得6x²+7x-36-7/x+6/x²=0，整理得 6（x-1/x）²+7（x-1/x)-24=0 令y=x-1/x，通过换元，把原方程转化为我们熟悉的一元二次方程 6y²+7y-24=0 解此方程求出y，在进一步求出原方程的解。在数学教学过程中，应该有计划的安排数学思想方法教学的习题课，在结合教材对数学思想方法教学注重平时渗透的基础上，每逢一个单元教学完成以后，不妨组织一堂习题讲评课，来强化对有关数学思想方法的训练，通过练习、小结、归纳加以提高。 数学思想是中学数学的重要组成部分，是知识转化为能力的桥梁，是实施素质教育的需要。时代赋予数学教师培养创新精神和创造性人才的使命，我们要不断转变教育观念，不断加深对数学思想教育的理解，革新教育思想、教育内容和教育方法，结合数学学科的特点，坚持启发性、主动性、发展性和反馈性的原则，注重培养学生的数学思想方法的能力，为21世纪培养高素质的建设人才。日本著名数学教育家米山国藏曾说过：“学生在初中或告中所学到的数学知识，在进入社会之后，几乎没有什么机会应用，因而这种作为知识的数学通常在出校门不到一两年就忘记了，然而不管他们从事什么业务工作，那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想方法却长期的在他们生活中发挥着作用。” 浅谈数学建模思想在初中教学中的应用 小勐统中学 李发娣 【摘要】在教学中渗透数学建模思想,适当开展数学建模的活动,对培养学生的能力发挥重要的作用,也是数学教学改革推进素质教育的一个切入口,本文是本人对教学中渗透数学建摸思想活动的方法及一些简单的体会.【关键词】数学建模 建模思想 能力培养 引言: 初中九年级义务教育数学课程标准强调指出：“在教学中，应注重让学生在实际背景中理解基本的数量关系和变化规律，注重使学生经历从实际问题中建立数学模型，估计，求解验证解的正确性和合理性的过程”【1】.从而体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用知识的意识，培养运用代数知识与方法解决问题的能力.数学新课程改革的一个重要目标就是要加强综合性.应用性内容，重视联系学生生活实际和社会实践.而数学建模作为重要的数学思想初中学生应该了解，而数学模型作为解决应用问题的最有效手段之一，中学生更应该掌握．在数学课堂教学中及时渗透数学建模思想，不仅可以让学生感受数学建模思想，而且可以利用数学模型提高学生解决实际问题的能力．本文就创设情景教学体验数学建模.以教材为载体，向学生渗透建模思想.通过实际应用体会建模思想在数学中的应用，谈谈自己的感想.初中学生的数学知识有限，在初中阶段数学教学中渗透数学建模思想，应以教材为载体，以改革教学方法为突破口，通过对教学内容的科学加工.处理和再创造达到在学中用，在用中学，进一步培养学生用数学意识以及分析和解决实际问题的能力.下面结合两年来的教学体会粗略的谈谈数学建模在初中教学中的应用 一、创设情景教学 体验数学建模 数学教育学家弗赖登塔尔说“数学来源于现实，存在于现实，并且应用于现实，而且每个学生有各自不同的‘数学现实’” 【2】.数学只有在生活中存在才能生存于大脑.教育心理学研究表明，学习内容与学生已有的潜意识知识及生活经验相关性越大，学生对此的学习兴趣越浓.我们应重视数学与生产、生活的联系，激发学生的建模兴趣，而生活、生产与数学又密切相关，在数学的教学活 动中，我们若能挖掘出具有典型意义，能激发学生兴趣问题，创设问题情景，充分展现数学的应用价值，就能激发学生的求知欲.例题1 我市某商场为做好“家电下乡”的惠农服务，决定从厂家购进甲、乙、丙三种不同型号的电视机108台，其中甲种电视机的台数是丙种的4倍，购进三种电视机的总金额不超过147000元，已知甲、乙、丙三种型号的电视机的出厂价分别为1000元/台、1500元/台、2000元/台．(1)求该商场至少购买丙种电视机多少台？ (2)若要求甲种电视机的台数不超过乙种电视机的台数，问有哪些购买方案？[3] 解： （1）设购买丙种电视机x台，则购买甲种电视机4x台，购买乙种电视机（108-5x）台，根据题意，得 1000×4x+1500×（108-5x）+2000x≤147000 解这个不等式得 x≥10 因此至少购买丙种电视机10台；（2）根据题意，得 4x≤108-5x 解得 x≤12 又∵x是正整数，由（1）得 10≤x≤12 ∴x可以取10，11，12，因此有三种方案． 方案一：购进甲，乙，丙三种不同型号的电视机分别为40台，58台，10台； 方案二：购进甲，乙，丙三种不同型号的电视机分别为44台，53台，11台； 方案三：购进甲，乙，丙三种不同型号的电视机分别为48台，48台，12台.二.以教材为载体，把握策略，渗透建模思想 在现行的义务教育课程标准实验教科书教材中，时常能遇到一些创设有关知识情境的问题，这些问题大多数可以结合数学思想、数学方法进行教学，在这个教学过程中就可以进行数学建模思想的渗透，不仅可以使学生体会到数学并非只 是一门抽象的学科，而且可以使学生感觉到利用数学建模的思想结合数学方法解决实际问题的好处，进而对数学产生更大的浓厚兴趣.数学建模解决应用性实际问题的步骤是：审题，寻找内在数学关系，准确建立数学模型，求解数学模型．其中关键是建模，而建模的关键环节是审题，所以，首先要教学生掌握审题策略： 1.细读重点字、词、句、式，通过阅读材料，观察图表，找出题设中的关键性字、词、句、式，如不到、超过、增加到、增加了、变化、不变、至多、至少、大于、小于等，结合实际意义，深入挖掘题中隐藏着的数量关系与数学意义，捕捉题中的数学模型.2.借助表格或画图.在某些应用题中，数量关系比较复杂，审题时难以把复杂的数量关系清晰化，怎么办？可以根据事物类别、时间先后、问题的项目等列出表格或画出图形.3.关注问题的实际背景.从现实生产生活中提炼出的应用题，一般都有较浓厚的生活气息，且题设多以文字叙述的方式给出，显得比较抽象，理解难度较大，若我们能多联想问题的原始背景，往往可帮助理解题意，有时会有豁然开朗的感觉.例如:“有理数的加法”这一节的第一部分就是学习有理数的加法法则，课文是按提出问题——进行实验——探索——概括的步骤来得出法则的.在实际教学中我先给学生提出问题“一位同学在一条东西向的路上，先走了30米，又走了20米，能否确定他现在位于原来位置的哪个方向，与原来位置相距多少？”，然后让学生回答出这个问题的答案.（结果在实际教学中我发现学生所回答的答案中包括了全部可能的答案，这时我顺便提问回答出答案的同学是如何想出来的，并把他们的回答按顺序都写在黑板上.）在学生回答完之后，就可以结合这个问题顺便介绍数学建模的数学思想和分类讨论的数学方法，本题数学建模的一般步骤：首先，由问题的意思可以知道求两次运动的总结果，是用加法来解答；然后对这个问题进行适当的假设：①先向东走，再向东走；②先向东走，再向西走；③先向西走，再向东走；④先向西走，再向西走；接下来根据四种假设的条件规定向东为正，向西为负，列出算式分别进行计算，根据实际意思求出这个问题的结果.再引导学生观察上述四个算式，归纳出有理数的加法法则.这样一来，不仅可以使学生学习有理数的加法法则，理解有理数的加法法则，而且在这个过程中也使学生学习到了分类讨论的数学方法，并且对数学建模有了一个初步的印象，为今后进一步学习数学建模打下了良好的基础.利用课本知识的教学，在学生学习知识的过程中渗透数学建模的思想，能够使学生初步体会数学建模的思想，了解数学建模的一般步骤，进而培养学生用数学建模的思想来处理实际中的某些问题，提高解决这些问题的能力，促进数学素质的提高.例题3 某中学新建了一栋7层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出这栋大楼共有8道门，其中4道正门大小相同，4道侧门也大小相同.安全检查中对8道门进行了测试:当同时开启一道正门和2道侧门时,2分钟可以通过560名学生;当同时开启一道正门和一道侧门时,4分钟之内可以通过800名学生.【3】 (1)求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生?(2)检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率降低30%.安全检查规定：在紧急情况下，全大楼的学生应在5分钟内通过这8道门安全撤离.假如这栋教学大楼每间教室最多有45名学生.问：建造的这8道们是否符合安全规定？请说明理由检查中发现.解：（1）设平均每分钟一道正门可以通过x名学生，一道侧门可以通过y名学生，由题意得： 2(x2y)560 4(xy)800 x120 解得：y80 答：平均每分钟一道正门可以通过120名学生，一道侧门可以通过80名学生.（2）这栋楼最多有学生4×8×45＝1440（名） 拥挤时5分钟4道门能通过：52(12080)(120%)＝1600（名） ∵1600＞1440 ∴建造的4道门符合安全规定.以学生学习生活为背景题材编制应用题，使学生感觉到数学就在身边,必然会提高学生用数学的意识，以及增加学生对学习数学的兴趣.三.实践活动，综合应用，课内外相结合，向学生渗透建模思想 初中九年级义务教育数学课程标准强调指出：强调数学与生活经验的联系（实践性）；强调学生主体化的活动；突出学生的主体性.强调了综合应用（综 【1】合应用的含义—不是围绕知识点来进行的，而是综合运用知识来解决问题的）.如，某班要去三个景点游览，时间为8：00—16：00，请你设计一份游览计划，包括时间、费用、路线等.这是一个综合性的实践活动，要完成这一活动，学生需要做如下几方面的工作：①了解有关信息，包括景点之间的路线图及乘车所需时间.车型与租车费用、同学喜爱的食品和游览时需要的物品等；②借助数、图形、统计图表等表述有关信息；③计算乘车所需的总时间、每个景点的游览时间、所需的总费用、每个同学需要交纳的费用等.通过经历观察、操作、实验、调查、推理等实践活动，能运用所学的知识和方法解决简单问题，感受数学在日常生活中的作用等，渗透数学建模思想.传统的课堂教学模式，常是教师提供素材，学生被动地参与学习与讨论，学生真正碰到实际问题，往往仍感到无从下手.因此要培养学生建模能力，需要突破传统教学模式.教学形式实行开放，让学生走出课堂.可采用兴趣小组活动，通过社会实践或社会调查形式来实行.例如 一次水灾中，大约有20万人的生活受到影响，灾情将持续一个月.请推断：大约需要组织多少顶帐篷？多少吨粮食？ 说明 假如平均一个家庭有4口人，那么20万人需要5万顶帐篷；假如一个人平均一天需要0．5千克的粮食，那么一天需要10万千克的粮食…… 例如 用一张正方形的纸制作一个无盖的长方体，怎样制作使得体积较大？ 说明 这是一个综合性的问题，学生可能会从以下几个方面进行思考：(1)无盖长方体展开后是什么样？(2)用一张正方形的纸怎样才能制作一个无盖长方体？基本的操作步骤是什么？(3)制成的无盖长方体的体积应当怎样去表达？(4)什么情况下无盖长方体的体积会较大？(5)如果是用一张正方形的纸制作一个有盖的长方体，怎样去制作？制作过程中的主要困难可能是什么？ 通过这个主题的学习，学生进一步丰富自己的空间观念，体会函数思想以及符号表示在实际问题中的应用，进而体验从实际问题抽象出数学问题、建立数学模型、综合应用已有的知识解决问题的过程，并从中加深对相关知识的理解、发展自己的思维能力.综上所述，在数学教学过程中进行渗透数学建模思想，不仅可以让学生体会到感受数学知识与我们日常生活间的相互联系，还可以让学生感受到利用数学建模思想和结合数学方法解决实际问题的好处，进而对数学产生更大的兴趣.数学建模的思想与培养学生的能力关系密切.通过建模教学，可以加深学生对数学知识和方法的理解及掌握，调整学生的知识结构，深化知识层次.学生通过观察.收集.比较.分析.综合.归纳.转化.构建.解答等一系列认识活动来完成建模过程，认识和掌握数学与相关学科及现实生活的联系，感受到数学的广泛应用.同时，培养学生应用数学的意识和自主.合作.探索.创新的精神，使学生能成为学习数学的主体.因此在数学课堂教学中，教师应适当培养学生数学建模的思想.方法，形成学生良好的思维习惯和用数学的能力.参考文献 [1]全日制义务教育数学课程标准（实验稿）.北京：北京师范大学出版社2001 [2]数学教育概论/张奠宙，宋乃庆主编.北京：高等教育出版社，2004.10 [3]初中数学基础知识手册，薛金星总主编.北京：北京教育出版社,2006.第五篇：浅谈数学建模思想在初中教学中的应用
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