浅谈数学模型思想在课堂教学中的有效渗透

浅谈数学模型思想在课堂教学中的有效渗透

数学模型思想的建立是帮助学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径，数学模型思想是靠数学方法实现的。在我校图形与几何教学中，通过对数学模型思想的渗透进行实践研究，提炼出以下四个渗透的途径，能在课堂实践中让学生充分感知数学模型思想的奇妙，使学生了解数学学科特有的内在魅力。

一、创设问题情景，开启数学“建模”的起点

确定数学建模问题时，教师要充分考虑小学生的年龄特点、生活经验和实际解决问题的能力，合理选择能调动学生积极性的内容，成为数学建模的起点。

选择合适的问题，不仅能激起学生的建模积极性，更能较顺利地让学生感受到“数学模型”的雏形，尽管不够完善，也不够正确，但是良好的开端乃成功一半，再适度地调整和修改必能找到正确而有效的数学模型。

1．利用动手操作，创设问题情景

在课堂教学中，利用动手操作创设问题情境，会使学生的手脑达到有机结合，学生的思维将会更加活跃。教师能有方向的引导，学生就能发现问题，提问问题，并思考解决问题的方法，这就是“数学建模”的起点。

案例：利用A4纸剪一个最大的圆

如：在执教“圆的周长和面积整理复习”这一课，老师边移动白板上A4纸中剪下最大的圆，边让同学们也拿出自己在A4纸上已经剪好的最大的圆。情景中的问题是这样创设的：

问题一：通过动手操作，你发现自己手中圆的直径与A4纸之间有什么关系？

问题二：现在老师告诉你这个长方形的纸张长30厘米，宽20厘米，这个圆的周长和面积如何计算呢？学生说出计算公式C=∏d（C=2∏r）；

S=∏r2。

这样的操作与回忆为公式应用起着以旧换新的作用，也是新模型的起点。

2.利用谜语内容，创设问题情景

猜谜语、儿歌是学生喜爱的学习方式，能吸引学生的注意力，使浅显平淡、枯燥无味的图形与几何教学内容转为妙趣横生的学习活动。融知识教学于情趣之中，把课上得有声有色，富有趣味。

教师根据教材中知识特点，将要探究的问题编成谜语或儿歌引导学生学习，不仅有利于概括知识，发现规律，更利于学生在脑海中已有模型的“雏形”。

案例：三角形的概念

如：“三角形的特性”这一课，利用这样的谜语创设问题情景：“形状似座山，稳定性能坚，三竿首尾连，学问不简单。（打一图形）”学生看完谜语内容，老师问：“从哪句话你判断出这个图形是三角形？”学生兴趣盎然地说“三竿首尾连”。

这样的问题情景，抓住建模“起点”，为下一步的操作摆三角形、画三角形、画三角形的高学习铺好路，学生很容易解理有关三角形的概

念，明白三角形的特点。

二、挖掘内在联系，展现数学“建模”的过程

数学家华罗庚说过：“对书中的某些原理、定律、公式，在学习的时候不仅应该记住它的结论、懂得其中的道理，更应该设想一下人家是怎样想出来的，怎样提炼出来的。”

数学家的学习经验也告诉我们一个简单的数学学习方法，就是注重知识的探究过程，因为只有经历这样一步步追根溯源的探索过程，数学模型思想方法才能得以展示和提炼，从而使数学知识具有更大的实用价值。

分析数学问题，建立数学模型，这是“模型思想渗透”的核心。因此，我们在数学教学中要引导学生对学习素材和有效发现进行梳理归纳，逐步构建出科学合理的数学模型。

1.模型假设：把握本质特征，提出合理假设

当学生把现实问题转化为数学问题时，就需要学生根据建模的目的，先对实际问题进行细致观察、对比、分析、概括，然后用简化的数学语言提炼出问题的本质特征，进而提出合理假设，这就是数学模型成立的前提条件，也可以说“建模”关键步骤。

案例：利用梯形的面积公式计算多边形的面积

如：教学“多边形的面积整理与复习”这一内容。教师提出这样的假设“梯形的面积公式能计算我们学过的多边形的面积，你们相信吗？让我们用行动来验证好吗？

师：你能将这个梯形动一动，使它成为三角形吗？（在几何画板中

出示梯形，指名学生进行演示。）你看到了梯形的什么在变化？

生：梯形的上底变成“0”。指名学生一个用梯形面积公式计算三角形的面积，一个用三角形面积公式直接计算。

师：你能再动一动让这个梯形变成平行四边形吗？（在几何画板中出示梯形，指名学生进行演示。）你又看到了梯形的什么在变化？

生：看到梯形的上、下底一样长。并指两名学生一个用梯形面积公式计算平行四边面积，一个用平行四边形面积公式直接计算。

师：对比两种计算过程你有什么想说的？

生：梯形的面积公式不仅可以计算梯形的面积，同样还可以计算三角形和平行四边形的面积。（追问：梯形的面积公式还可以计算哪些图形的面积？）生：长方形和正方形。

师：对，因为它们都是特殊的平行四边形。看来梯形的面积公式与其它学过的多边形面积公式有着密切的联系。

以上教学活动，教师抓住了知识间的本质联系而展开，教师不再直接地讲解示范，而是让学生充分展开尝试探索，学生边尝试边思考这么做的理由，让学生能积极理解推理过程，从而对今后推理学习同类问题肯定有积极作用。

2.模型定型：亲历建模过程，确定科学模型

数学模型的建构对于小学生而言，最重要的是通过模型建构的探究过程，感受到数学思维方法的灵活性和巧妙性。

因而，不管是一些数学概念的得出，一些数学规律的发现，一些数学公式推导，一些数学问题的解决，甚至整个小学阶段的数学知识体系的构建，核心都在于数学模型思想方法的提炼。

案例：借圆的周长和面积公式推导出扇形周长和面积公式

如：在上“圆的周长和面积整理复习”一课时，老师抛出问题引导学生进行建模。

问题一：请你将剪下的圆对折，得到一个什么图形？学生的操作对应着教师白板演示，都得到圆的二分之一。

问题二：你会计算二分之一圆的周长和面积吗？在展示计算结果时进行对比、分析、归纳得出：二分之一圆的周长计算公式是C=1/2∏d+d，面积是S=1/2∏r2。

在观察、验证、对比中学生体验到这样综合公式，使计算简洁明了，不易遗漏。在进一步对折中习得圆的1/4，圆的3/4，圆的1/8，圆的1/16等。

在学生动手操作、合作交流基础上构建圆的几分之几周长和面积计算公式模型。归纳总结出，扇形的周长就是圆的周长的几分之几加直径。扇形的面积就是圆的面积的几分之几。

从上述案例得出：小学数学教学中，教师要注意在学生的认知过程的基础上，逐步建立通过具体情境得出的具有数学知识结构特征的“模型”，通过这样的具体“模型”，帮助学生提升抽象思维能力水平，为学生今后的数学学习提供强有力的能力支撑。

三、回归生活问题，检验数学“建模”的成果

对数学模型的每一次应用都可以视为对模型思想渗透的一次检验。数学模型检验的重点放在模型的应用上。数学模型检验及应用数学模型

有三个层次：模型求解，行之有效；模型解题，举一反三；模型变形，触类旁通。

1.模型求解，行之有效

数学模型在很大程度上是用数学的语言对一种实际问题的表达，是很多共性特征的表达，要应用它解决问题，还需要展开对这个问题的求解过程。

只有通过数学工具对其求解，才能找到问题的结果，得出结论。只有学生能够对模型正确求解，这个建构的数学模型才有意义，才能够有效地解决实际问题。

案例：计算1/5圆的周长

评测练习设计：计算1/5圆的周长，公式：C＝1/5∏d+d，先写出模型公式，后正确计算，学生用求解来验证构建的数学模型，进一步理解知识之间的内在联系。

今天构建的数学模型的分率就是圆周角与圆心角的比值，为今后扇形周长和面积的求解奠定坚实的基础。

2.模型解题，举一反三

数学模型的目的是为了解决问题，所以一旦建立了数学模型，这个原始的问题情境中的内容只是一个代号，一个有特殊范围的替代物，应用数学模型的解决方法是可以让学生举一反三的，只有尝试了举一反三的检验，学生才能了解数学模型的价值。

3.模型变形，触类旁通

将数学模型还原为具体的数学直观或可感知的数学现实，解决相应的实际问题并不是数学模型建构的终结。而利用建模过程中所采用的策略，或者对模型进行“微整形”后变成另一个模型，从而能解决其他问题，这才能使所建立的数学模型具有生命力。

案例：圆与圆环，圆柱与圆管，圆柱与直柱

学习了圆的面积后，圆环的面积求解方法也马上得到，方法只要是圆中去圆，公式为S=∏(R2-r2)。

学习了圆柱的体积后，圆管的体积求解方法也马上得到，方法是圆柱中去圆柱，公式为V＝h(S大-S小)

学习了圆柱的体积后，直柱的体积求解也得到了，把直柱用极限思维考虑为无数相同的横截面堆积而成，方法为底面积乘高（即V＝Sh）。

这些模型稍加变形，就得到了新数学模型，如同一个光源点亮相连一片，真正会学习数学的人，往往善于改变原有模型，重组成新模型，解决新问题。这是模型检验的最高境界。

四、利用多元评价，激发数学“建模”的热情

在数学模型建构和应用过程中，由于每一个教学内容不同，课堂教学方式不同，教学方法也不同，所以针对数学模型建构和应用的教学评价教师也应采用多种形式，并应针对不同程度的学生，以及不同的学习活动内容，灵活选用不同教学评价方法和评价用语。同时，也可让学生自评，可让家长参与评价，激发学生探究的热情。

在数学建模活动过程中，老师要相信学生身上所蕴藏的巨大学习潜能，鼓励让学生学会自己学习，鼓励学生自己发现数学问题，自己解决问题数学问题，不能过多地包办代替。

教师应注重评价学生对知识的理解和综合运用能力，注重评价学生在知识学习过程中的思维能力，而不是考查死记硬背的知识。检测学生的数学学习和应用能力，可采用多种方法如调查报告，家庭实践作业，阅读数学杂志，小组活动，问题解决等。

因此，在数学教学中渗透模型思想，灵活地应用数学模型。能够让学生再次感受知识的内在本质关系，能够使学生深刻领会所学数学知识，能够促进学生对零散的数学知识进行有效整合知识体系，也能够提高学生解决实际问题的能力，最终使学生数学素养得以足够的提升。