第一篇：高等数学中极限思想在中学数学中的渗透
本科生毕业论文
题目：高等数学中极限思想在中学数学中的渗透
学生姓名：段锡朋
学 号：20121050225 专 业：数理基础科学 指导教师：葛瑜
2016年4月27日
目录
摘要...........................................................................................................................................3 绪论.......................................................................................................................................5 2.2 极限在抛物线上的应用.............................................................................................6 第三章 极限在数列中的应用...............................................................................................8 3.1 极限在等比数列中的应用.........................................................................................8 3.2 洛必达法则在等比数列中的应用.............................................................................9 第四章 极限在不等式中的应用.........................................................................................10 4.1 极限比较不等式的大小...........................................................................................11 4.2证明不等式..................................................................................................................12 第五章 极限在立体几何中的应用.....................................................................................13 5.1极限确定角度的大小...................................................................................................13 结论.........................................................................................................................................16 致谢.........................................................................................................................................17 参考文献.................................................................................................................................18
摘要
大学数学主要以极限为基础，中学数学主要锻炼人的形象思维，随着中学数学课程的改革，在中学数学中渗透入大学数学的基础内容已成为常态，因此，了解和应用一些简单的大学数学中极限方法对于中学生来说是非常有必要的。极限思想是大学数学中比较重要的一种思想，它从数量上描述了变量在运动过程中的变化趋势。极限思想不仅在高等数学中有广泛的应用，而且在中等数学中的应用也十分广泛，特别是在几何，函数，数列求解，三角函数，不等式等方面也有着密切的联系。因此，极限的方法在解决中学数学的部分问题时有着不可忽视的作用。对于有些较难的数学问题，通过对问题的极端状态的讨论和研究，运用极限思想求解，可以避开一些复杂的运算，优化了解题的过程，降低了问题的难度，达到事半功倍的效果。
关键字：大学数学，中等数学，极限，几何，数列，函数，不等式。
Abstract
College mathematics is based on the limit while the main purpose of mathematics teaching in middle school is to cultivate students’ ability of imaginal thinking.With the reform of math course in middle school, it has become normal state to infiltrate basic components of college mathematics into math teaching in middle school.Thus, it is necessary for middle school students to learn the limit method.The limit cognition which describes the variation tendency of variables in movement, is an important thinking in college math study.It has been widely applied not only in advanced mathematics but only in mathematical teaching in middle school, especially in geometry, function, sequence calculation, trigonometric function and inequation.That is to say, limit method is assignable in solving some problems of middle school mathematics.It is effective.Through the discussion and study of the extreme condition, the application of the limit cognition in solving intricate mathematical problems can simplify and optimize the concrete operations, ease the difficulty level and get twofold results with half the effort.key: College mathematics，limit，geometry, function, sequence calculation, trigonometric function and inequation
绪论
极限思想是近代数学发展中的一种比较重要的思想。所谓的极限思想就是指用极限的概念分析问题和解决问题的一种重要的数学思想。极限思想的核心就是极限，极限简单点来说就是永远接近的意思。极限思想解决问题的一般步骤分为：确定问题的未知量，再构造一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果。随着中学课程的改革，中高考中逐渐加强对极限思想的考查，通过一些创新题，让学生感受其中蕴含的极限思想。所以这就对学生的要求越来越高，需要对大学数学中的极限初步掌握。在解决数学问题的过程中，有些题目虽然和极限无关，但若运用变化的观点，灵活地用极限思想来思考，往往可以降低解题难度。
本课题就从大学数学中极限思想在解决中学数学中的几类数学问题的应用进行了探究，用无限逼近的方式从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变。
研究意义
极限思想作为一种重要思想，在大学数学中乃至整个数学发展史中都占有重要的地位。极限思想在大学数学和中学数学中都有着广泛的应用，这是由它本身固有的思维功能所决定的。极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系。用极限思想解决问题，往往能突破思维上的禁锢，化繁为简。
本课题解决的主要问题
本文主要对大学数中的学极限思想在中学数学中函数、数列、立体几何、不等式中的应用进行分析，然后具体比较大学数学中的极限思想的解法和中学数学中的不同，进而体现出极限思想的优点。
极限的定义
极限是高等数学中比较重要的一个模块，内容涉及到了函数，数列，导数，定积分等多个领域，学习和掌握难度较大。而由于极限在中学中的渗透，且应用相对于高等数学来说，难度较小。所以，对于中学生来说，掌握一些简单的极限以及极限的应用是十分必要的。极限在中学中的渗透主要体现于函数极限和数列极限。下面就介绍函数极限的定义和数列极限的定义及其极限之间的简单运算。
函数极限的定义：设y=f(x)是一个函数，A是一个常数，x0 是一个点，f(x)在x0的一个去心邻域内有定义。如果当x越来越接近x0时，函数值越来越接近常数A，则称A为趋于x0的函数的极限。记为
或
数列极限的定义：设{}是一个数列，如果存在实数a，对于任意正数
|<ε(不论ε多么小)，总存在正整数N，使得当n>N时，均有不等式│ε成立，那么称常数a是数列{或
}的极限，记作
极限的四则运算
数列极限的四则运算法则：若{{}，{
}和{
}为收敛数列，则{
}，}也都是收敛数列，且有
第二章 极限思想在函数中的应用
2.2 极限在抛物线上的应用
例1.抛物线
与过焦点F的直线m交于两点P、Q，F分线段PQ为两个
等于（）线段，其长分别为p,q则A,4 B, C,8 D,2
图一
解：（1）中学数学解法：由题意可得抛物线的焦点F（0，）由直线的参数方程可得过点F的直线m的参数方程为
联立方程（1）和（2）并消去x和y得
韦达定理：一个一元二次方程
+根据韦达定理得方程的两个根
,的关系为
=
（3）的两个根为
（1）(2)
=
=
（2）极限的解法：因为F是抛物线的焦点，所以可以得出F的坐标为F（0,）
因为直线m是经过点F任意运动的。
所以利用极限的思想，我们可以让P点运动到顶点O点，此时点Q就是运动到无穷远点 所以可以得到q∝∞，即∝0 于是.即答案为C
解析：本题是探究抛物线的不动点问题，中学数学的解法是探求p，q之间的关系，中间还应用到了参数方程和韦达定理，其过程比较繁琐，计算比较复杂，不适合于解答选择题。而利用大学数学中极限的解法，只要能认识到动点的极限状态，借助于极限的思想就会使问题变得简单：将线段PQ绕点F运动到无穷远处，因为PF=OF=p=，QF=q→∞，所以很快就可以得到种解法充分的体现了思维的灵活性和敏捷性。
→∞。极限的这第三章 极限在数列中的应用
在大学数学中我们就学过了数列极限的四则运算法则，在中学阶段主要学习最基础的等差数列和等比数列。而在中学的解题过程中同意可以运用极限的思想来解决部分问题。
下面看一下极限在数列中的应用
3.1 极限在等比数列中的应用
例.已知数列{P 解：设数列{
}的公比为q，则 }，其中=,且数列{
}为等比数列，求常数
q===
对上式两边求极限 当p=3时，当p≠3时，q=q=
（1）
=
此时 即
整理得
即 4-2p=6-3p 所以p=2或p=3 解析：此题采用中学数学中的解法：根据等比数列的定义用后一项和前一项之比来表示公比q，经过运算后发现根据中学数学的常规计算很难得到公比q，而（1）式正好是大学数学中极限的简单运算，采用极限的运算很快得出公比q的值。这道题是中学数学解法与极限相辅相成的体现。并不能用两种方法单独解答，但是也很好的体现了极限思想在中学数学中的渗透。
3.2 洛必达法则在等比数列中的应用
例.解：中学数学解法：
已知一个公比为x的等比数列的前n项和为：
=
所以
所以
=
=
用极限的思想的解法：
洛必达法则是用于无穷比无穷或0/0型，分子分母同时求导，可以多次求导，在求导过程中不断寻找等价的无穷小，或削去无穷因子。此题符合洛必达法则。
解析：观察题目的分子分母可知分子分母符合等比数列的前项和公式，再通过极限的计算得出结果。而采用大学数学的极限的方法，我们可以看出整个式子符合运用洛必达法则的条件，所以通过洛必达法则对分子和分母同时求导就可以得出结果。此题是一道填空题，我们通过解答可以看出极限思想的优越性。中学数学解法过程比较繁琐和耗时，而极限的解法简单省时，甚至可以达到秒杀的效果，应当掌握
第四章 极限在不等式中的应用
不等式是中学数学中一个重要的模块，在大学数学中不等式的应用十分广泛，例如极限的证明，夹逼法则的应用等等。而极限同样也在不等式中有着十分广泛的应用。4.1 极限比较不等式的大小
例：已知的大小。，，比较，解：中学数学的解法：采用赋值法，已知假设p=3，q=6 则，=3
所以可得 极限的解法：当
时，，由
得
解析:中学数学的解法在比较不等式时最先想到的是赋值法，而本题采用赋值法的难点是p，q赋值的大小。我们看到根号里的分母是3，后两个式子又分别开3次幂和6次幂，这就时比较大小变得不容易，所以我们必须使p,q的值假设为3的倍数，为了减小计算量，设p=3，q=6，通过计算就可以比较出不等式的大小。采用极限的解法，假设其中的一个值，把不等式转化成与q有关的值，求出不等式的极限值就可以直接比较大小。赋值法在一般情况下简单实用，但是比较考察赋值的把握能力。本题采用极限法只是应用了极限的简单思想和进行了简单的计算，值得掌握。
4.2证明不等式
设n为自然数，求证：解：用数学归纳法
当 n=1时，不等式显然成立。设n=k（那么，当n=k+1时，)时，不等式成立，即
（1）
由于
所以，数学归纳法不可行
之所以用数学归纳法思路行不通，其原因在于是一个常数，从k 到(k+1)右边常量不变，而左边在增大，这样，无法使用归纳假设。当联想可以将题目转化为:
=
时，（2），不等式（2）成立，证明：①当n=1时，②设n=k(k1)时，不等式（2）成立，即
那么，当n=k+1时，+
<即当n=k+1时，不等式（2）成立 即原式
解析：中学数学的解法：采用数学归纳法，我们可以看出n=1时，不等式显然成立，假设n=k时不等式也成立，如果再证明出n=k+1时，不等式成立，则假设的n=k就成立，那么就可以用数学归纳法证明出不等式成立，但此题在证明n=k+1时，使不等式的左边的值增大了，所以就达不到证明不等式左边小于右边的效果。极限的方法使不等式的右边的常数值转化成了一个等价的变量，使在证明n=k+1时，不等式左右两边的值同时增大，通过比较不等式的大小就证明出了n=k+1时不等式成立，继而得出假设的n=k时的不等式也同样成立，所以不等式就成立了。此题如果一味的采用数学归纳法是证明不出不等式成立的，而引入极限的思想，用极限值来构造新的不等式就可以证明出了不等式成立，本题中引入的极限可以说是达到了一个四两拨千斤的效果，作用非常大，这也正是极限的思想在中学数学中的渗透的一个体现。
第五章 极限在立体几何中的应用
5.1极限确定角度的大小
立体几何作为中学数学中一个重要的模块，往往因为抽象而让学生感觉学习难度较大。极限思想也成为了解决这类问题重要的一种方法。
例。正三棱锥相邻两个侧面所成的角为α，则α的取值范围是（Ｄ）A．（0，π）B.(0,π/3)C.(π/3,π/2)D.(π/3,π)
解：利用中学数学的解法： 首先作SO⊥底面ABC于O点。
因为S—ABC为正三棱锥，所以△ABC为正三角形，O点为△ABC的中心。作AD⊥SC于D点，连接BD，则BD⊥SC 所以∟ADB为相邻的两个侧面A—SC-B的二面角 ∟ADB=α
设AB=AC=BC=m,∟SCB=β 所以AD=BD=m由余弦定理可得
=1-
所以α的余弦值与β的值有关。再由余弦定理得
cos∟BOC=
因为 所以 因为
cos∟BSC=
BO<ＢＳ
cos∟BOC< cos∟BSC
∟BＯC＝并且余弦函数在［0，π］上是减函数。
所以 ∟BSC<
在△ＳＣＢ中，由三角形的内角和定理 所以
2β＋∟BSC＝π
β>
所以
即 ＝1-
即<α<π
所以答案为Ｄ
利用极限的思想求解
如图所示，O为正三角形ABC的中心，SO为正三棱锥S-ABC的高，把O看作定点,S看作动点，当0→OS时，两相邻侧面趋向于一个平面，此时相邻两侧面的夹角α→π；当OS→∞时，正三棱锥无限趋向正三棱柱，两相邻侧面的夹角愈来愈小，趋向于底面三角形ABC的一个内角，即α→π/3 所以α∈（π/3,π），答案即为D 解析：中学数学的解法：首先构造出相邻两个侧面的二面角的平面角∟ADB，然后通过余弦定理来探求α和β之间的关系，由三角形的内角和定理确定β的取值范围，继而确定出了α的取值范围，就可以得出答案，思路比较简单明了，但是计算过程比较繁琐。采用极限的解法:通过动点S的移动，把相邻的两个侧面转化为一个平面，把二面角的平面角转化为三角形的内角，再根据动点的极限状态求出极限值这是一道选择题，采用中学数学的人解法步骤复杂，计算耗时较长，而采用极限的方法求解不仅简单省时，而且有利于锻炼学生的灵活性和创造性，此题充分体现了极限方法的优越性。
5.2极限在计算立体几何面积中的应用
例.设三棱柱ABC-DEF的体积为V，P、Q分别是侧棱AD、CF上的点，且PA=QF，则四棱锥B-APQC的体积为（）A.V B.V C.V D.V
结论
中学数学是大学数学的基础，许多中学数学的内容都是大学数学的模型。大学数学正是在中学数学的基础上发展起来的。所以说中学数学与大学数学之间存在着必然的联系，许多在中学数学中无法解决的问题在大学数学中得以解决，这就要求中学生在中学学习阶段必须掌握大学数学的一些基础知识。本文通过站在大学数学的角度，运用大学数学的知识、方法和思想，从不同角度重新去审视，分析和解决中学数学的问题。大学四年的学习对我来说是一个知识的储备过程。我在学习大学数学的同时，吸收了许多蕴含在数学知识中的数学思想，数学方法，正是这些数学思想和方法锻炼了我的思维的条理性和连贯性，加强了逻辑思维在分析问题和解决问题的能力。
通过对大学数学中的极限思想在中学数学中的渗透的研究，我发现大学数学极限思想能够化繁为简，具有较强的应用性，深受人们的喜爱。极限思想可以用在我们中学数学的方方面面。在解题过程中，它能化无限为有限，节省大量运算，提高解题速度和准确性。灵活巧妙、正确的运用数学极限思想能提高人们解题的正确率和策略意识，从而加深知识的理解和掌握。
对于中学生来说，能否熟练地应用和掌握极限的思想和方法就要看我们是否有去用它的意识，而且能否掌握其中的技巧，如果我们具备了就会使复杂问题简化，解题更加方便、快捷，收到事半功倍的效果。根据问题的不同条件和特点，合理选择运算途径是关键，而极限思想的灵活运用就成为减少运算量的一条重要途径。
致谢
四年的读书生活在这个季节即将划上一个句号，而于我的人生却只是一个逗号，我将面对又一次征程的开始。从开始进入课题到论文的顺利完成，有多少可敬的师长、同学、朋友给了我许多的帮助，通过对本课题的研究，我自己学到了许多东西。在此，我特别感谢爸爸妈妈在我四年的学习生活中对我的关爱和支持。感谢朋友帮助我使用几何画板画出数学图形。感谢舍友在查找和研究资料时对我的帮助。感谢学校提供的学习环境。更非常感谢导师对我的课题的指导。
参考文献
1.欧阳光中，朱学炎：《数学分析》，高等教育出版社1983年版 2.刘来刚：《图解基础数学手册》，吉林大学出版社2011年版 3.李朝东：《高中数学选修2-1》，中国少年儿童出版社2009年版 4孙翔峰：《三维设计2015新课标高考总复习》，光明日报出版社2015年版
5章建跃：《数学必修4》，人民教育出版社2007年版 6.李建华：《数学必修5》，人民教育出版社2007年版 7王申怀：《数学必修2》，人民教育出版社2007年版
第二篇：浅谈数学模型思想在课堂教学中的有效渗透
浅谈数学模型思想在课堂教学中的有效渗透
数学模型思想的建立是帮助学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径，数学模型思想是靠数学方法实现的。在我校图形与几何教学中，通过对数学模型思想的渗透进行实践研究，提炼出以下四个渗透的途径，能在课堂实践中让学生充分感知数学模型思想的奇妙，使学生了解数学学科特有的内在魅力。
一、创设问题情景，开启数学“建模”的起点
确定数学建模问题时，教师要充分考虑小学生的年龄特点、生活经验和实际解决问题的能力，合理选择能调动学生积极性的内容，成为数学建模的起点。
选择合适的问题，不仅能激起学生的建模积极性，更能较顺利地让学生感受到“数学模型”的雏形，尽管不够完善，也不够正确，但是良好的开端乃成功一半，再适度地调整和修改必能找到正确而有效的数学模型。
1．利用动手操作，创设问题情景
在课堂教学中，利用动手操作创设问题情境，会使学生的手脑达到有机结合，学生的思维将会更加活跃。教师能有方向的引导，学生就能发现问题，提问问题，并思考解决问题的方法，这就是“数学建模”的起点。
案例：利用A4纸剪一个最大的圆
如：在执教“圆的周长和面积整理复习”这一课，老师边移动白板上A4纸中剪下最大的圆，边让同学们也拿出自己在A4纸上已经剪好的最大的圆。情景中的问题是这样创设的：
问题一：通过动手操作，你发现自己手中圆的直径与A4纸之间有什么关系？
问题二：现在老师告诉你这个长方形的纸张长30厘米，宽20厘米，这个圆的周长和面积如何计算呢？学生说出计算公式C=∏d（C=2∏r）；
S=∏r2。
这样的操作与回忆为公式应用起着以旧换新的作用，也是新模型的起点。
2.利用谜语内容，创设问题情景
猜谜语、儿歌是学生喜爱的学习方式，能吸引学生的注意力，使浅显平淡、枯燥无味的图形与几何教学内容转为妙趣横生的学习活动。融知识教学于情趣之中，把课上得有声有色，富有趣味。
教师根据教材中知识特点，将要探究的问题编成谜语或儿歌引导学生学习，不仅有利于概括知识，发现规律，更利于学生在脑海中已有模型的“雏形”。
案例：三角形的概念
如：“三角形的特性”这一课，利用这样的谜语创设问题情景：“形状似座山，稳定性能坚，三竿首尾连，学问不简单。（打一图形）”学生看完谜语内容，老师问：“从哪句话你判断出这个图形是三角形？”学生兴趣盎然地说“三竿首尾连”。
这样的问题情景，抓住建模“起点”，为下一步的操作摆三角形、画三角形、画三角形的高学习铺好路，学生很容易解理有关三角形的概
念，明白三角形的特点。
二、挖掘内在联系，展现数学“建模”的过程
数学家华罗庚说过：“对书中的某些原理、定律、公式，在学习的时候不仅应该记住它的结论、懂得其中的道理，更应该设想一下人家是怎样想出来的，怎样提炼出来的。”
数学家的学习经验也告诉我们一个简单的数学学习方法，就是注重知识的探究过程，因为只有经历这样一步步追根溯源的探索过程，数学模型思想方法才能得以展示和提炼，从而使数学知识具有更大的实用价值。
分析数学问题，建立数学模型，这是“模型思想渗透”的核心。因此，我们在数学教学中要引导学生对学习素材和有效发现进行梳理归纳，逐步构建出科学合理的数学模型。
1.模型假设：把握本质特征，提出合理假设
当学生把现实问题转化为数学问题时，就需要学生根据建模的目的，先对实际问题进行细致观察、对比、分析、概括，然后用简化的数学语言提炼出问题的本质特征，进而提出合理假设，这就是数学模型成立的前提条件，也可以说“建模”关键步骤。
案例：利用梯形的面积公式计算多边形的面积
如：教学“多边形的面积整理与复习”这一内容。教师提出这样的假设“梯形的面积公式能计算我们学过的多边形的面积，你们相信吗？让我们用行动来验证好吗？
师：你能将这个梯形动一动，使它成为三角形吗？（在几何画板中
出示梯形，指名学生进行演示。）你看到了梯形的什么在变化？
生：梯形的上底变成“0”。指名学生一个用梯形面积公式计算三角形的面积，一个用三角形面积公式直接计算。
师：你能再动一动让这个梯形变成平行四边形吗？（在几何画板中出示梯形，指名学生进行演示。）你又看到了梯形的什么在变化？
生：看到梯形的上、下底一样长。并指两名学生一个用梯形面积公式计算平行四边面积，一个用平行四边形面积公式直接计算。
师：对比两种计算过程你有什么想说的？
生：梯形的面积公式不仅可以计算梯形的面积，同样还可以计算三角形和平行四边形的面积。（追问：梯形的面积公式还可以计算哪些图形的面积？）生：长方形和正方形。
师：对，因为它们都是特殊的平行四边形。看来梯形的面积公式与其它学过的多边形面积公式有着密切的联系。
以上教学活动，教师抓住了知识间的本质联系而展开，教师不再直接地讲解示范，而是让学生充分展开尝试探索，学生边尝试边思考这么做的理由，让学生能积极理解推理过程，从而对今后推理学习同类问题肯定有积极作用。
2.模型定型：亲历建模过程，确定科学模型
数学模型的建构对于小学生而言，最重要的是通过模型建构的探究过程，感受到数学思维方法的灵活性和巧妙性。
因而，不管是一些数学概念的得出，一些数学规律的发现，一些数学公式推导，一些数学问题的解决，甚至整个小学阶段的数学知识体系的构建，核心都在于数学模型思想方法的提炼。
案例：借圆的周长和面积公式推导出扇形周长和面积公式
如：在上“圆的周长和面积整理复习”一课时，老师抛出问题引导学生进行建模。
问题一：请你将剪下的圆对折，得到一个什么图形？学生的操作对应着教师白板演示，都得到圆的二分之一。
问题二：你会计算二分之一圆的周长和面积吗？在展示计算结果时进行对比、分析、归纳得出：二分之一圆的周长计算公式是C=1/2∏d+d，面积是S=1/2∏r2。
在观察、验证、对比中学生体验到这样综合公式，使计算简洁明了，不易遗漏。在进一步对折中习得圆的1/4，圆的3/4，圆的1/8，圆的1/16等。
在学生动手操作、合作交流基础上构建圆的几分之几周长和面积计算公式模型。归纳总结出，扇形的周长就是圆的周长的几分之几加直径。扇形的面积就是圆的面积的几分之几。
从上述案例得出：小学数学教学中，教师要注意在学生的认知过程的基础上，逐步建立通过具体情境得出的具有数学知识结构特征的“模型”，通过这样的具体“模型”，帮助学生提升抽象思维能力水平，为学生今后的数学学习提供强有力的能力支撑。
三、回归生活问题，检验数学“建模”的成果
对数学模型的每一次应用都可以视为对模型思想渗透的一次检验。数学模型检验的重点放在模型的应用上。数学模型检验及应用数学模型
有三个层次：模型求解，行之有效；模型解题，举一反三；模型变形，触类旁通。
1.模型求解，行之有效
数学模型在很大程度上是用数学的语言对一种实际问题的表达，是很多共性特征的表达，要应用它解决问题，还需要展开对这个问题的求解过程。
只有通过数学工具对其求解，才能找到问题的结果，得出结论。只有学生能够对模型正确求解，这个建构的数学模型才有意义，才能够有效地解决实际问题。
案例：计算1/5圆的周长
评测练习设计：计算1/5圆的周长，公式：C＝1/5∏d+d，先写出模型公式，后正确计算，学生用求解来验证构建的数学模型，进一步理解知识之间的内在联系。
今天构建的数学模型的分率就是圆周角与圆心角的比值，为今后扇形周长和面积的求解奠定坚实的基础。
2.模型解题，举一反三
数学模型的目的是为了解决问题，所以一旦建立了数学模型，这个原始的问题情境中的内容只是一个代号，一个有特殊范围的替代物，应用数学模型的解决方法是可以让学生举一反三的，只有尝试了举一反三的检验，学生才能了解数学模型的价值。
3.模型变形，触类旁通
将数学模型还原为具体的数学直观或可感知的数学现实，解决相应的实际问题并不是数学模型建构的终结。而利用建模过程中所采用的策略，或者对模型进行“微整形”后变成另一个模型，从而能解决其他问题，这才能使所建立的数学模型具有生命力。
案例：圆与圆环，圆柱与圆管，圆柱与直柱
学习了圆的面积后，圆环的面积求解方法也马上得到，方法只要是圆中去圆，公式为S=∏(R2-r2)。
学习了圆柱的体积后，圆管的体积求解方法也马上得到，方法是圆柱中去圆柱，公式为V＝h(S大-S小)
学习了圆柱的体积后，直柱的体积求解也得到了，把直柱用极限思维考虑为无数相同的横截面堆积而成，方法为底面积乘高（即V＝Sh）。
这些模型稍加变形，就得到了新数学模型，如同一个光源点亮相连一片，真正会学习数学的人，往往善于改变原有模型，重组成新模型，解决新问题。这是模型检验的最高境界。
四、利用多元评价，激发数学“建模”的热情
在数学模型建构和应用过程中，由于每一个教学内容不同，课堂教学方式不同，教学方法也不同，所以针对数学模型建构和应用的教学评价教师也应采用多种形式，并应针对不同程度的学生，以及不同的学习活动内容，灵活选用不同教学评价方法和评价用语。同时，也可让学生自评，可让家长参与评价，激发学生探究的热情。
在数学建模活动过程中，老师要相信学生身上所蕴藏的巨大学习潜能，鼓励让学生学会自己学习，鼓励学生自己发现数学问题，自己解决问题数学问题，不能过多地包办代替。
教师应注重评价学生对知识的理解和综合运用能力，注重评价学生在知识学习过程中的思维能力，而不是考查死记硬背的知识。检测学生的数学学习和应用能力，可采用多种方法如调查报告，家庭实践作业，阅读数学杂志，小组活动，问题解决等。
因此，在数学教学中渗透模型思想，灵活地应用数学模型。能够让学生再次感受知识的内在本质关系，能够使学生深刻领会所学数学知识，能够促进学生对零散的数学知识进行有效整合知识体系，也能够提高学生解决实际问题的能力，最终使学生数学素养得以足够的提升。
第三篇：模型思想在小学数学教学中渗透
《数学课程标准》中关于课程内容中阐述“在教学中，应帮助学生建立数感和符号意识，发展运算能力和推理能力，初步形成模型思想。”在基本理念的第二条中阐述“数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具，能够帮助人们处理数据、进行计算、推理和证明，数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象。”
在数学教学中应当引导学生感悟建模过程，发展“模型思想”。在小学，进行数学建模教学具有鲜明的阶段性、初始性特征，即要从学生熟悉的生活和已有的经验出发，引导他们经历将实际问题初步抽象成数学模型并进行解释与运用的过程，进而对数学和数学学习获得更加深刻的理解。数学模型不仅为数学表达和交流提供有效途径，也为解决现实问题提供重要工具，可以帮助学生准确、清晰地认识、理解数学的意义。在小学教学活动中，教师应采取有效措施，加强教学模型思想的渗透，提高学生的学习兴趣，培养学生用数学意识以及分析和解决实际问题的能力，将模型思想渗透到教学中。
关键词：模型；数学建模；建模教学；小学数学教学《数学课程标准》指出：“数学教学应该从学生已有生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并理解运用。”
一、在创设情境时，感知数学建模思想。情景的创设要与社会生活实际，时代热点问题，自然，社会文化等与数学有关系的各种因素相结合。激发学生的兴趣，使学生用积累的生活经验来感受其中隐含的数学问题，从而促进学生将生活问题抽象成数学问题，感知数感
知数学模型的存在。学习数学的起点是培养学生以数学眼光发现数学问题，提出数学问题。在教学中教师就应根据学生的年龄及心理特征，为儿童提供有趣的、可探索的、与学生生活实际密切联系的现实情境，引导他们饶有兴趣地走进情境中，去发现数学问题，并提出数学问题。
二、在探究知识的过程中，体验模型思想。
善于引导学生自主探索、合作交流，对学习过程、学习材料、主动归纳。力求建构出人人都能理解的数学模型。
例如：在推导圆柱体积公式一节课中，教师要有目的让学生回顾平行四边形，三角形、梯形、圆几种平面图形面积的推导过程是怎样的？学生会想起通过割、补、平移、旋转等方 法拼成学过的图形，那么今天我们要探究的是圆柱的体积，你们怎样来推导它的公式？这样 学生很自然的想到一个新知识都是用旧知识来分解，从中找到新知识的内在模型。
三、新知识的结论，就是建立数学模型。
加法，减法，乘法、除法之间的内在联系。各类应用题的解题规律，各类图形的周长 与面积、体积的公式都是各种数学模型，学生有了这种模型思想才能应用它解释生活中的现 实问题。
在解决问题中，拓展应用数学模型。用所建立的数学模型来解答生活实际中的问题，让学生能体会到数学模型的实际应用价值，体验到所学知识的用途和益处，进一步培养学生应用数学的意识和综合应用数学解决问题的能力，让学生体验实际应用带来的快乐。
例如:我在教学“平行四边形面积的计算”时，采用了探究式的学习方法，使学生在获取数学知识的同时，数学思维和学习能力也得到了培养。
1.让学生充分参与与操作活动
数学知识具有抽象性，但来源于生活实际，加强教学中的实践活动，不仅有助于学生理解抽象的数学知识，而且可以通过让学生参与操作活动，促进学生的思维发展。如：在探究平行四边形面积的计算方法时，我为学生设计了这样的操作活动：让他们通过剪一剪，拼一拼，想办法把平行四边形转化为已学过的图形，然后利用已有知识来推导它的面积计算方法，这就为学生创设一个“做数学”的机会，学生在操作前必须动脑思考，想好了才能动手剪拼，通过实际操作，多数学生都将平行四边形剪拼成了长方形，这样学生在积极参与操作活动的过程中，不仅促进了他们的思维发展，而且提高了他们的操作技能。
2.让学生积极参与交流活动
四、解释与应用中体验模型思想的实用性。
如在学生掌握了速度、时间、路程之间关系后，先进行单项练习，然后出示这样的变式题：
1.汽车3小时行驶了270千米，5小时可行驶多少千米？
2.飞机的速度是每小时900千米，飞机早上11：00起飞，14：00到站，两站之间的距离是多少千米？
学生在掌握了速度乘时间等于路程这一模型后，进行变式练习，学生基本能正确解答，说明学生对基本数学模型已经掌握，并能够从3小时行驶了270千米中找到需要的速度，从11：00至14：00中找到所需时间。虽然两题叙述不同，但都可以运用同一个数学模型进行解答。掌握了数学模型，学生解答起数学问题来得心应手。综上所述，数学建模思想的形成过程是一个综合性的过程，是数学能力和其他各种能力协同发展的过程。在数学教学过程中进行数学建模思想的渗透，可以使学生感觉到利用数学建模的思想解决实际问题的妙处，进而对数学产生更大的兴趣。这也给我们一些启发：在对学生进行模型思想渗透时，要从现实生活出发，从实物出发，这样才可以让学生更快地接受，更快地理解；在渗透这些思想时，教师首先需站在更高的高度上去考虑；在教学过程中，通 过引导学生处理问题，可以让学生更快、更有兴趣地跟踪教师的思路。在小学数学教材中，模型无处不在。小学生学习数学知识的过程，实际上就是对一系列数学模型的理解、把握的 过程。在小学数学教学中，重视渗透模型化思想，帮助小学生建立并把握有关的数学模型，有利于学生握住数学的本质。通过建模教学，培养学生应用数学的意识和自主、合作、探索、创新的精神，为学生的终身学习、可持续发展奠定基础。因此在数学课堂教学中，逐步培养
第四篇：数学建模思想在小学数学教学中如何渗透
数学建模思想在小学数学教学中如何渗透
一、数学模型的概念
数学模型是对某种事物系统的特征或数量依存关系概括或近似表述的数学结构。数学中的各种概念、公式和理论都是由现实世界的原型抽象出来的,从这个意义上讲,所有的数学知识都是刻画现实世界的模型。狭义地理解,数学模型指那些反映了特定问题或特定具体事物系统的数学关系结构,是相应系统中各变量及其相互关系的数学表达。
二、小学数学教学渗透数学建模思想的可行性 数学模型不仅为数学表达和交流提供有效途径，也为解决现实问题提供重要工具，可以帮助学生准确、清晰地认识、理解数学的意义。在小学数学教学活动中，教师应采取有效措施，加强数学建模思想的渗透，提高学生的学习兴趣，培养学生用数学意识以及分析和解决实际问题的能力。
三、小学生如何形成自己的数学建模
一、创设情境，感知数学建模思想。
数学来源于生活，又服务于生活，因此，要将现实生活中发生的与数学学习有关的素材及时引入课堂，要将教材上的内容通过生活中熟悉的事例，以情境的方式在课堂上展示给学生，描述数学问题产生的背景。
二、参与探究，主动建构数学模型
数学家华罗庚通过多年的学习、研究经历总结出：对书
本中的某些原理、定律、公式，我们在学习的时候不仅应该记住它的结论、懂得它的道理，而且还应该设想一下人家是怎样想出来的，怎样一步一步提炼出来的。只有经历这样的探索过程，数学的思想、法才能沉积、凝聚，1、动手验证
教师给学生提供多个圆柱、长方体、正方体和圆锥空盒（其中圆柱和圆锥有等底等高关系的、有不等底不等高关系的，圆锥与其他形体没有等底或等高关系）、沙子等学具，学生分小组动手实验。
2、反馈交流
3、归纳总结。
教师提供丰富的实验材料，学生需要从中挑选出解决问题必须的材料进行研究。学生的问题不是一步到位的，通过不断地猜测、验证、修订实验方案，再猜测、再验证这样的过程，逐步过渡到复杂的.三、解决问题，拓展应用数学模型
综上所述，小学数学建模思想的形成过程是一个综合性的过程，是数学能力和其他各种能力协同发展的过程。在数学教学过程中进行数学建模思想的渗透，不仅可以使学生体会到数学并非只是一门抽象的学科，而且可以使学生感觉到利用数学建模的思想结合数学方法解决实际问题的妙处，进而对数学产生更大的兴趣。
数学建模思想在小学数学教学中如何渗透
(2012年-2013年第二学期)
苏元俊
第五篇：浅析数学思想在小学数学教学中的渗透
浅析数学思想在小学数学教学中的渗透
摘 要：数学思想对于数学学科的教学实践活动有着重要的影响，对于学生综合能力的培养和提升也起着重要作用，在教学过程中渗透数学思想应该落实到数学教学的各个阶段。随着素质教育理念在基础教育阶段的深入落实，数学思想在小学数学教学中的渗透问题日渐被广大一线教师关注和探索。
关键词：数学思想；小学数学；教学；渗透
对于小学生来说，数学知识是抽象的，逻辑性比较强，学起来可能不是很容易。新课标的提出，要求在小学数学教学中渗透数学思想，帮助学生从数学的角度去解决数学问题，并能合理地运用数学思维去解决其他学习和生活中的问题。通过对小学生数学思维的培养，来锻炼学生的逻辑思维能力和空间想象力，帮助学生全面发展。
一、数学思想的简述
数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。简单来说，就是从数学的角度去思考问题。对于一些特定的符号会引发一定的数学思维。比如，哪里有等式，哪里就有方程；问题中参量多，需要设未知数解决；把空间问题转化为坐标问题等。在小学数学教学过程中，适当地渗透数学思想，可以有效地将问题简化，增加学生的学习乐趣和学习的积极性。老师在讲课过程中，需要结合学生的特质，教导学生从数学的角度去思考问题，提高学生的思维能力和分析能力，促进学生的全面发展。
二、数学思想对小学数学教学的作用
数学思想来源于数学，同时也作用于数学，是人们在数学学习和积累过程中形成的一种对数学的认识，对数学知识的感觉，就像语文、英语阅读中的语感一样。数学思维不是只有数学家们才有的思维模式，而是每一个学习数学的学生都能具备的素质。数学思维，对数学的学习有启发和促进作用，在小学教学中适当地渗透数学思维，可有效地提高学生的学习效率。
此外，数学思维的培养还能使小学生产生对数学学习的兴趣，能让他们主动地去学习知识。而在传统教学中，一味地给学生灌输知识的方法，不仅让数学学习变得枯燥乏味，还极大地打击了学生学习数学知识的积极性，不利于学生的学习和发展。
对数学思维进行合理的运用，不仅能增添数学学习的趣味性，还能有效地加强学生对知识的掌握能力。而且，从数学的角度去理解数学概念和数学的理论知识也比较容易，能让学生的学习更高效，更有意义。
三、将数学思想渗透于小学数学教学的策略
1.学会问题的转化
问题转化法是小学数学教学中常用的方法，通过转化的方法把一个比较难的问题转化为简单的问题进行讨论、解决，或者把一些难懂的知识点转化为实际问题，帮助学生进行理解记忆。比如，在对有关分数的知识进行教学时，学生总是弄不懂分母和分子的位置，不理解分数的意义。老师在教学中就可以用实际的问题，帮助学生进行理解。“假如，我们班有一个同学过生日，他收到一个很大很大的生日蛋糕，要与我们进行分享，那么这个蛋糕应该平均分成多少份呢？”学生会根据班级人数说出相应份数，假设算上老师一共30人，“那我们把这个蛋糕分成三十份，分母就是这个总的份数30，现在每个同学分到一分，这个‘1’就是分数中的分子，因此我们每个人都得到了1/30的蛋糕。”这样的一个转化，就把分?档挠泄馗拍钚蜗蟮刈?化为蛋糕问题，以后学生在做题时就会想到分蛋糕的故事，然后对比着进行答题，有效地提高了学生对问题的理解能力。
2.将问题进行分类
在学习过程中，把知识进行整理分类，不但能增强学生对每个知识点的理解，还能整体把握，以一个新的高度去思考问题，把问题简化。同时，将问题分类，进行对比记忆，可以使知识点更清晰，不容易弄混，在做题时思路就会更明确。例如，对小学阶段的应用题进行分类，就可分为盈亏问题、行船问题、列车问题、鸡兔同笼问题、牛吃草问题等几大类，分别掌握每一类题型的特点，对做题方法进行整理，可以有效地缩短做题时间，提高学习效率。
3.从问题的答案中总结知识
学习的过程就是不断积累的过程，数学思维就是要学生从不断的解决问题中积累做题方法，根据题型的类比，去解决一系列的数学问题。比如，鸡兔同笼问题，在做题过程中发现，虽然都是一类题但也有所区别，在设未知数时可以根据不同的提问方式设兔为x只，或者鸡为x只，如果设对了，所列出的方程也会比较简单，解决起来也会更容易。
4.巧用极限思维
虽然极限的知识是到高中才具体讲解的，但在小学阶段就可对有关知识进行渗透。启发学生用极限的思维去思考问题，不仅能看到问题的动态特点，还能使学生对问题的理解认识更深刻。同时让学生对数学思维有一个更好的认识。比如，在学习分数比较大小时，运用极限思维，假如分子不变，让分母无限地增大，在分母增大过程中，分数值就会越来越小。
数学知识是深奥的，同样也是有趣的。在数学教学中，引导学生巧用数学思维，帮助学生更好地认识问题的本质，解决问题。
总之，在小学数学教学中要通过不断学习、钻研教材、备好课；积极研讨与实践、上好课；精心设计作业、恰当点评；指导和组织学生课外活动等环节，不失时机地渗透数学思想方法，逐步培养学生的数学兴趣和素养，让学生学会用数学的眼光看世界，用数学思想方法解决处理实际问题；让学生形成科学的思维方式和思维习惯，参与社会实践；让学生今后科学地、有效地、正确地从事各种工作，服务于人民，服务于社会，服务于人类，受益终生。
参考文献
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