数学9的教案（★）

第一篇：数学9的教案

数学——9的分解教案

活动目标：

1、通过游戏使孩子了解9的分解，掌握9的组合规律。

2、通过活动使孩子开发灵活的反应机制和表达能力。活动准备：

数学画册P、开始活动：

集合站队，按由小到大、女在前男在后站成一队，左右转练习，变成列队，按一至三报数，数二的向前一步走，数三地向后走，向前看齐，三队一至九、一队一队的报数，让孩子知道每队是九人。

老师提问，第一排一共是几人？第二排、第三排各是几人。

请注意！第一排是九人，请第一排的九人分成两组，请孩子们看一看，他们九人可以分成几和几；请第二排的回答九可以分成几和几，请第三排的判断第二排回答的对不对。孩子们请回答，几和几合起来就是九。

请注意！第二排也是九人，请第二排的九人分成两组，请孩子们看一看，他们九人可以分成几和几；请第三排的回答九可以分成几和几，请第一排的判断第三排回答的对不对。孩子们请回答，几和几合起来就是九。

请注意！第三排也是九人，请第三排的九人分成两组，请孩子们看一看，他们九人可以分成几和几；请第一排的回答九可以分成几和几，请第二排的判断第一排回答的对不对。孩子们请回答，几和几合起来就是九。

机智灵活练习：（看三组中，九没有分成的那组数，如8和1.老师命令三组同时分成8和1。）

请注意：你们三个组每组都是九个人，你们同时分成8和1，（看看孩子们的反应机制，能不能分好8和1；）同学们一起回答8和1合起来是几。

请注意：游戏到此结束。男女各站成一队，稍息，立正，向前看齐，向前看。男的在前走，女的跟着去厕所解手。

第二篇：2017一年级数学十几减9教案

教学目标

(一)使学生初步学会计算十几减9的减法．初步掌握、理解其计算方法．(二)在加强直观教学的同时，注意从具体到抽象，初步培养学生的抽象思维能力． 教学重点和难点

重点：学会运用加减法的关系计算十几减9．

难点：理解和掌握计算方法．

教学过程设计

(一)复习准备 1．口算：

9＋9＋9＋6

9＋9＋9

9＋8

2．看卡片，说出（）里应填几．

9＋（）=11

9＋(9＋（）=1

29＋(9＋（）=17

9＋(9＋（）=15

9＋((二)学习新课 1．教学例1．

9＋7

9＋2

9＋3)=14)=16)=13)=18

先出示9个红苹果，再出示2个青苹果．然后画集合图．

师：这幅图是什么意思？(左边有9个红苹果，右边有2个青苹果．合起来一共有多少个苹果)师：用什么方法计算？为什么？(因为要把9个红苹果和2个青苹果合起来，所以用加法)师：怎样列式？学生回答后，教师板书：9＋2=11．

师：苹果的总数是多少？(9个红苹果和2个青苹果，合起来一共是11个苹果)出示11个苹果图，教师一边把11个苹果画上集合圈，把9个红苹果画上虚线圈，一边提问：这幅图是什么意思？(一共有11个苹果，去掉9个，还剩几个)师：用什么方法计算？为什么？(因为要从11个苹果中去掉9个，所以用减法)师：怎样列式？学生回答后，教师板书：11－9= 师：11－9的计算我们没有学过，怎样算呢？请同学们分组讨论，把你怎样想的说一说．

可能有以下讨论结果：

(1)从图上看出从11个苹果里去掉9个，还剩2个苹果．(2)因为9加2得11，所以11减9等于2．

(3)把9分成1和8，先用11减1再减8，得2．(即：11－9=11－1－8)(4)把11分成10和1，先用10减9得1，再用剩下的1加1得2．(即：11－9=10－9＋1)师：通过讨论，我们知道一个问题的解决，可能会有许多方法．同学们积极开动脑筋，想出的这些方法都是对的．今天这节课我们重点研究第(2)种计算方法． 请同学们观察左图和加法算式，右图和减法算式，想一想：苹果的总数都是11个，其中一部分是9个红苹果，另一部分是2个青苹果．为什么一个用加法，另一个用减法解答呢？(左图是把两部分合起来，求总数．所以用加法．右图是从总数里去掉一部分数，求另一部分数．所以用减法)根据加法和减法的关系，又学过9＋2=11，那么在计算11减9时可以怎样想呢？(想：9加几得11，9加2得11，11减9得2)同时教师板书得数“2”．

指名复述想的过程．

读算式：9＋2=11，11－9=2．

2．教学例2．

师：这幅图是什么意思？(共有12朵花，去掉9朵，还剩几朵)怎样列式？学生回答后，板书：12－9= 师：得多少？怎样想的？(9加3得12，12减9得3)同时板书得数“3”．

师：这幅图是什么意思？(共有14个圆，去掉9个，还剩几个？)怎样列式？学生回答后，板书：14－9= 师：得多少？怎样想的？(9加5得14，14减9得5)同时板书得数“5”．

读算式：12－9=3，14－9=5．

3．教学例3．

让学生在桌上摆一摆(先摆13个五角星，用手势表示去掉9个，还剩几个？)，说一说(说出算式，并说出想的过程)算一算(学生说算式，教师板书：13－9=4)同样方法学习：16－9=7．

4．教学例4． 让学生看教科书，先独立在□里填数，教师行间指导，然后订正，并指定学生说出是怎么想的．同时板书算式：

15－9=6 17－9=8 18－9=9 5．小结．

教师指着减法算式，提问：今天学习的新知识是什么？(十几减9)教师板书：十几减9．

师：这些减法算式有什么相同的地方？(被减数都是十几的数，减数都是9)怎样计算这些题目呢？(在做十几减9的减法题时，可以想9加几得被减数，这题就得几)这种方法就是想加算减，今后学习中还要用到．

(三)巩固反馈

1．做教科书第2页上“做一做”中的第1题，让学生看图说一说怎么想的． 2．把教科书第2页上“做一做”中的第2题写成一组一组的卡片，让学生看卡片说得数．并可补充下面几组题：

9＋（）=15

9＋（）=12

9＋（）=17 15－9=（）

12－9=（）

17－9=（）3．做游戏：帮助小白兔回家．

准备8座小房子，在窗口处分别写上：“11－9”“12－9”„“18－9”的算式，再制作8只小白兔，小白兔身上分别写上：2，3，4，„，9的得数．(如下图)上述房子和小白兔分别悬挂在黑板两侧(顺序打乱)．每个学生手中都有一套数字卡片(2～9)．

教师任指一座小房子(上面的算式)问：这是谁(哪个小白兔)的房子？学生想好答数后，举起手中相应的卡片．然后教师将写有相应得数的小白兔和小房子配在一起，直到全部搭配好为止．

课堂教学设计说明

本节课运用加减法的关系教学十几减9的减法．在授课过程中注重让学生动手、动脑、动口进行学习．学习新课部分共分四个层次：

第一层次．教学例1，在教师的启发诱导下经过讨论初步理解算理；

第二层次．教学例2，借助已形成的表象加强说算理的训练，让学生说出想的过程，培养学生的口头表达能力；

第三层次．教学例3，重点引导学生动手摆、列、想、算，进一步掌握计算方法；

第四层次．教学例4，让学生独立填写得数，看算式说算理． 通过以上的安排，做到从具体到抽象，体现了由浅入深、层次渐进的原则．在学习新知识中，自始至终让学生参与学习的全过程，使学生主动地获取新知识．

在巩固练习的设计中，能够针对低年级学生的特点，开展游戏形式的练习．不仅增强了趣味性，而且充分调动了学生的积极性，做到及时获取全体学生学习的反馈信息，充分调动了学生学习的积极性．同时在游戏中渗透了帮助他人的思想教育内容．

板书设计

第三篇：三年级下册数学9单元教案

第九单元：单元教学计划

单元教学内容：第九单元（数学广角）

单元教材分析：

本单元的主要内容有：集合思想的渗透；等量代换思想的渗透。集合思想是数学中最基本的思想，甚至可以说，集合理论是数学的基础。从学生一开始学习数学，其实就已经在运用集合的思想方法了。在一年级上册第五单元学习的“分类”，实际上就是集合思想的启蒙。等量代换是指一个量用与它相等的量去代替，它是数学中一种基本的思想方法，也是代数思想方法的基础。三上“测量”单元中的“生活中的数学”一课中介绍的“曹冲称象”等都等量代换的思想在生活中的原型。在编排上有以下特点：

1、借助熟悉的题材，问题引入，在解决问题过程中渗透数学思想方法。

2、注重直观。例题和练习中都是利用直观图帮助学生理解，并解决问题。单元教学要求：

1、使学生会借助直观图，利用集合的思想方法解决简单的实际问题。

2、使学生在解决实际问题的过程中体会等量代换的思想。

单元教学重点：

利用集合的思想方法解决简单的实际问题，体会等量代换的思想。

单元教学难点：

1、用集合圈(韦恩图〉表示事物(元素〉。

2、充分利用学具,主题图等教学辅助手段,用直观的方式帮助学生理解。单元课时安排：

2课时

第一课时

教学内容：

数学广角108一109

教学目标：

1、使学生会借助直观图，利用集合的思想方法解决简单的实际问题。

2、使学生在解决实际问题的过程中体会等量代换的思想。

教学重点：会借助直观图，利用集合的思想方法解决简单的实际问题。教学难点：在解决实际问题的过程中体会等量代换的思想。

教学准备：小动物图片、“嘉年华”游乐园代币

教学过程：

一、借助熟悉题材，渗透集合思想

1、巧妙设疑，直观感悟

（1）谈话：老师知道同学们有很多的兴趣爱好，有的喜欢音乐，有的喜欢美术，有的两样都喜欢，老师想进一步了解你们，请允许我对其中的一个小组进行调查，好吗？

（2）（指定小组）分别在“音乐”和“美术”下面签上名字，两者都喜欢，两边都签。

（3）全班一起统计喜欢音乐和喜欢美术的人数。

（4）（故作惊讶）：咦，这个小组没有这么多人呀？问题出在哪儿呢？

（5）四人小组讨论发现：统计过程中有学生既喜欢音乐又喜欢美术，是重复的，在计算总人数时只能计算一次。

2、图示方法，加深理解

（1）出示：先是两个小组的集合圈，再把两个圈进行合并。

（2）让学生说一说图中不同位置所表示的不同意义。

（3）让学生列式求出喜欢音乐和喜欢美术的共有多少人。

（4）全班交流，说说想法。

（5）师根据课堂实际情况适当小结。

3、运用集合思想解决问题

（1）情境出示课本P110第2题。

（2）学生独立思考并解决。

（3）同桌交流，重点说说想法。

（4）反馈。（昨天和今天进货的重复部份用重点号显示）

二、在解决问题中体会等量代换的思想

1、（出示“嘉年华”游乐园代币）谈话：

在“嘉年华”游乐园，一个代币5元，玩一次“摩天大旋转”要12个代币，玩一次“摩天大旋转”要多少钱？

使学生明白：5元能买一个代币，一个代币需要5元，两者是等量的，可以互相代换。

2、情境出示P109“做一做”：

一只猪的质量和两只羊的质量相等，一头牛的质量和4只猪的质量相等，问两头牛的质量相当于几只羊的质量？

3、四人小组讨论寻求解决问题的方法。

（若有困难，可通过摆学具，比较容易找出相互之间的等量关系。）

4、师根据课堂实际情况适当小结。

三、灵活运用数学思想方法解决问题

1、谈话：

小动物在讨论在陆地上生活还是在水里生活好。一共来了10种动物，有6种动物可以在陆地上生活的，有6种动物可以在水里生活。这里面有几种动物既可以在陆地上生活也可以在水里生活？

（适当给学生介绍“两栖动物”的常识，扩展学生知识面。）

2、（情境出示）谈话：

小动物们要来个交换大行动，它们规定：6根胡萝卜换2个大萝卜，9个大萝卜换3棵大白菜。6棵大白菜换多少根胡萝卜？

3、谈话：动物们交换得正热闹，几个图形也来了，它们分别是“○、△、□”。你能求出○、△、□所代表的数吗？

（1）△+□=240 △=□+□+□△=？□=？

（2）○+□=91△+□=63△+○=46

△=？□=？○=？

四、小结。

1、谈谈这节课的收获。

2、小调查：生活中哪些地方要用到今天所学知识来解决。

五、课外作业：

板书设计：

集合思想

教学反思：

第二课时

教学内容：

数学广角

（二）109-111及练习二十四第3、4、5题。

教学目标：

1、让学生通过观察、猜测、操作、验证等活动，初步体会等量代换的数学思想。

2、培养学生有序地、全面地思考问题的意识和合作学习的习惯。

教学重点：利用天平或跷跷板的原理，使学生在解决实际问题的过程中初步体会等量代换的思想，为以后学习简单的代数知识做准备。

教学难点：初步体会等量代换的数学思想解决一些简单的实际问题或数学问题。教具、学具准备：卡片学具等。

教学过程：

一、情景引入。

师：看，今天水果园里正在进行“体重”大比拼呢？我们先来看看西瓜姐姐多重？（4千克）你是怎么知道的？

师说明：当天平平衡时，左右两边的物体一样重，所以西瓜姐姐重4千克。师：接下来进场的是苹果妹妹，我们假设每个苹果同样重。看！天平又平衡了，这又说明什么？（引导学生说出：4个苹果重1千克。）

师：看到这样的情景，你想提什么数学问题？

让学生自由提出问题，师生共同解答。

二、教学新知。

（一）引导学生发现问题，合作探究解决方案。

师：这个问题提得真棒，几个苹果与1个西瓜同样重呢？（10个、12个、15个、16个„„）

师：小朋友不要急着猜，好好动动脑筋。或者在小组内摆摆学具，通过合作解决这个问题。

(留给学生充足的独立思考、小组合作及操作学具的时间，老师巡视，给予学生适当的启发与指导。)

小组汇报：这时大部分的学生喊出：16个。

师：你们是怎么知道的？怎么想的？

生1：因为：一个西瓜4千克（等于4个砝码），1千克（1个砝码）等于4个苹果，我们用替换的方法，把一个1千克（1个砝码）换成4个苹果。西瓜重4千克（4个砝码），总共要换4次，因此是16个。

（师依学生的回答，一边摆学具，利用直观的方式帮助学生理解。）

生2：我们组认为：如果第二个图中天平的右边变成原来的4倍，左边也要变成原来的4倍，就是16个苹果，天平才能保持平衡。

生3：一个西瓜和4千克砝码同样重，而4个苹果和1千克砝码同样重，所以4千克砝码就有4个4，4×4=16（个）。

生4：„„

（二）进一步体会等量代换方法。

师：小朋友说得都对，（展示：1个西瓜等于16个苹果。）这时又来了波萝哥哥，1个波萝的“体重”等于2个苹果。一个西瓜与几个波萝一样重呢？为什么呢？ 让学生独立思考，同桌交流，汇报结果。

生1：32个。

（可能有些学生会出现这样的错误，老师要及时给予分析引导，再通过生生评析，帮助其改正。）

生2：8个。因为，2个苹果可以换1个波萝，1个西瓜等于16个苹果，就可以换8个的波萝。

生3： 2个苹果换一个波萝，16个苹果里面有8个2，16÷2=8（个），所以1个西瓜和8个波萝一样重。

生4：把2个苹果变成原来的8倍就是16个，等于1个西瓜的重量。把1个波萝也变成原来的8倍就是8个，这样天平也平衡，所以是8个。

师：（略小结。）

（三）应用新知，解决问题。

完成p109“做一做”

学生独立完成，老师巡视，个别辅导。

讲评时，让学生说说是怎么思考的，最后师生共同梳理解题思路：要求2头牛和多少头羊同样重，首先要知道2头牛和多少头猪同样重，再利用猪和羊的关系进行替换（计算），最后求出结果。

三、巩固练习。

1、完成练习二十四第3题。

引导学生读题、分析关系，并尝试抽象地推导（计算）一下。如果学生抽象地想象有困难，可以让学生先用学具摆一摆。

2、完成练习二十四第4题。

提示：直接比较1只鸡和1只鸭谁重一些比较困难，可以转化为2只鸡和2只鸭，或4只鸡和4只鸭的比较。

3、完成练习二十四第5题。

第1小题，把第一个等式中的△用□+□+□替代，就变成了□+□+□+□=240，所以□=60，而△=□+□+□,所以等于180。

第2小题,让学生在独立思考的基础上交流讨论，寻找方法。

建议：直接用等量代换的方法来解决比较困难，可以先把三个等式的左边相加，右边相加，可得到2×（○＋△＋□）＝200，所以○＋△＋□＝100，然后再利用等量代换，依次求出○、△、□的值。

四、课堂小结：

同学们今天的表现非常棒，相信大家一定会越学越好。

五、课外作业：

板书设计：

等量代换的思想

教学反思：

第四篇：初三数学第一轮复习教案9

初三数学第一轮复习教案

几何部分 第二章：三角形

教学目的：

1、掌握三角形的分类、边角关系、三条线段构成三角形的条件，内角和定理。

2、熟练掌握并灵活运用全等三角形的判定和性质来证明有关对应角，对应线段相等和线段平行与垂直及线段的和差、倍、分关系，并进行有关计算。

3、掌握有关三角形的数学思想和方法。

4、熟练掌握特殊三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，并能灵活运用。

5、掌握线段的垂直平分线、角的平分线的性质定理和逆定理，并能熟练灵活地加以运用。

6、会用尺规完成基本作图，能利用基本作图和已知条件作一般三角形，等腰三角形，直角三角形；会写已知，求作，作法。知识点：

一、关于三角形的一些概念

由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

组成三角形的线段叫三角形的边；相邻两边的公共端点叫三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫三角形的内角，简称三角形的角。

1、三角形的角平分线。

三角形的角平分线是一条线段（顶点与内角平分线和对边交线间的距离）

2、三角形的中线

三角形的中线也是一条线段（顶点到对边中点间的距离）

3．三角形的高

三角形的高线也是一条线段（顶点到对边的距离）

注意：三角形的中线和角平分线都在三角形内。

如图 2－l，AD、BE、CF都是么ABC的角平分线，它们都在△ABC内

如图2－2，AD、BE、CF都是△ABC的中线，它们都在△ABC内

而图2－3，说明高线不一定在 △ABC内，图2—3—（1）

图2—3—（2）

图2－3一（3）

图2－3—（1），中三条高线都在△ ABC内，图2－3－（2），中高线CD在△ABC内，而高线AC与BC是三角形的边；

图2－3一（3），中高线BE在△ABC内，而高线AD、CF在△ABC外。

三、三角形三条边的关系

三角形三边都不相等，叫不等边三角形；有两条边相等的叫等腰三角形；三边都相等的则叫等边三角形。

等腰三角形中，相等的两条边叫腰，另一边叫底边，腰和底边的夹角叫底角，两腰的夹角叫项角。

三角形接边相等关系来分类：

不等边三角形

三角形三角形底边和腰不相等的等腰等腰三角形等边三角形三角形

用集合表示，见图2－4

推论三角形两边的差小于第三边。

不符合定理的三条线段，不能组成三角形的三边。

例如三条线段长分别为5，6，1人因为5＋6＜12，所以这三条线段，不能作为三角形的三边。三、三角形的内角和

定理三角形三个内角的和等于180°

由定理可知，三角形的二个角已知，那么第三角可以由定理求得。

如已知△ABC的两个角为∠A＝90°，∠B＝40°，则∠C＝180°–90°–40°＝50°

由定理可以知道，三角形的三个内角中，只可能有一个内角是直角或钝角。

推论1：直角三角形的两个锐角互余。

三角形按角分类：

直角三角形

三角形锐角三角形斜三角形钝角三角形

用集合表示，见图

三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫三角形的外角。

推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

推论3：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

例如图2—6中

∠1 ＞∠3；∠1=∠3＋∠4；∠5＞∠3＋∠8；∠5＝∠3＋∠7＋∠8；

∠2＞∠8；∠2＝∠7＋∠8；∠4＞∠9；∠4＝∠9＋∠10等等。

四、全等三角形

能够完全重合的两个图形叫全等形。

两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫对应顶点，互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。

全等用符号“≌”表示

△ABC≌△A `B`C`表示 A和 A`，B和B`，C和C`是对应点。

全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。

如图2—7，△ABC≌△A `B`C`，则有A、B、C的对应点A`、B`、C`；AB、BC、CA的对应边是A`B`、B`C`、C`A`。∠A，∠B，∠C的对应角是∠A`、∠B`、∠C`。

∴AB＝A`B`，BC＝B`C`，CA＝C`A`；∠A＝∠A`，∠ B＝∠B`，∠C＝∠C`

五、全等三角形的判定

1、边角边公理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）

注意：一定要是两边夹角，而不能是边边角。

2、角边角公理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角“或“ASA”）

3、推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边’域“AAS”）

4、边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）

由边边边公理可知，三角形的重要性质：三角形的稳定性。

除了上面的判定定理外，“边边角”或“角角角”都不能保证两个三角形全等。

5、直角三角形全等的判定：斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边，直角边”或“HL”）

六、角的平分线

定理

1、在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

定理

2、一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。

由定理1、2可知：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。

可以证明三角形内存在一个点，它到三角形的三边的距离相等这个点就是三角形的三条角平分线的交点（交于一点）

在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互为逆命题，如果把其中的一个做原命题，那么另一个叫它的逆命题。

如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫互逆定理，其中一个叫另一个的逆定 理。

例如：“两直线平行，同位角相等”和“同位角相等，两直线平行”是互逆定理。

一个定理不一定有逆定理，例如定理：“对顶角相等”就没逆定理，因为“相等的角是对顶角”这是一个假命颗。

七、基本作图

限定用直尺和圆规来画图，称为尺规作网＿

最基本、最常用的尺规作图．通常称为基本作图，例如做一条线段等于己知线段。

1、作一个角等于已知角：作法是使三角形全等（SSS），从而得到对应角相等；

2、平分已知角：作法仍是使三角形全等（SSS）．从而得到对应角相等。

3、经过一点作已知直线的垂线：（1）若点在已知直线上，可看作是平分已知角平角；（2）若点在已知直线外，可用类似平分已知角的方法去做：已知点 C为圆心，适当长为半径作弧交已知真线于A、B两点，再以A、B为圆心，用相同的长为半径分别作弧交于D点，连结CD即为所求垂线。

4、作线段的垂直平分线： 线段的垂直平分线也叫中垂线。

做法的实质仍是全等三角形（SSS）。也可以用这个方法作线段的中点。

八、作图题举例

重要解决求作三角形的问题

1、已知两边一夹角，求作三角形 ．

2、已知底边上的高，求作等腰三角形

九、等腰三角形的性质定理

等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）

推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，就是说：等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°

例如：等腰三角形底边中线上的任一点到两腰的距离相等，因为等腰三角形底边中线就是顶角的角平分线、而角平分线上的点到角的两边距离相等n

十、等腰三角形的判定

定理：如果一个三角形有两个角相，那这两个角所对的两条边也相等。（简写成“等角对等动”）。

推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形

推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于3O°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

十一、线段的垂直平分线

定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

就是说：线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相等的所有点的集合。

十二、轴对称和轴对称图形

把一个图形沿着某一条直线折叠二如果能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线轴对称，两个图形中的对应点叫关于这条直线的对称点，这条直线叫对称轴。

两个图形关于直线对称也叫轴对称。

定理1：关于某条直线对称的两个图形是全等形。

定理2：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。

定理3：两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长相交。那么交点在对称轴上。

逆定理：如果两个图形的对应点连线被一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是对称轴。

例如：等腰三角形顶角的分角线就具有上面所述的特点，所以等腰三角形顶角的分角线是等腰三角形的一条对称轴，而等腰三角形是轴对称图形。

十三、勾股定理 勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方：abc

勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有下面关系： abc

那么这个三角形是直角三角形 例题：

例

1、已知：AB、CD相交于点O，AC∥DB，OC=OD,E、F为AB上两点，且AE=BF.求证：CE=DF 分析：要证CE=DF，可证△ACE≌△BDF，但由已知条件直接证不出全等，这时由已知条件可先证出△AOC≌△BOD，得出AC=BD，从而证出△ACE≌△BDF.证明：略

例

2、已知：如图，AB=CD，BC=DA，E、F是AC上两点，且AE=CF。求证：BF=DE 分析：观察图形，BF和DE分别在△CFB和△AED（或△ABF和△CDE）中，由已知条件不能直接证明这两个三角形全等。这时可由已知条件先证明△ABC≌△CDA,由此得∠1=∠2，从而证出△CFB≌△AED。

证明：略

例

3、已知：∠CAE是三角形ABC的外角, ∠1=∠2，AD∥BC。求证：AB=AC 证明：略

例

4、已知：如图 3－ 89，OE平分∠AOB，EC⊥OA于 C，ED⊥OB于 D．求证：（1）OC＝OD；（2）OE垂直平分CD．

分析：证明第（1）题时，利用“等角的余角相等”可得到∠OEC＝∠OED，再利用角平分线的性质定理得到 OC＝OD．这样处理，可避免证明两个三角形全等．

证明：略

22222

第五篇：数学竞赛教案讲义(9)——不等式

第九章 不等式

一、基础知识

不等式的基本性质：

（1）a>ba-b>0；

（2）a>b, b>ca>c；（3）a>ba+c>b+c；

（4）a>b, c>0ac>bc；

（5）a>b, c<0ac

（6）a>b>0, c>d>0ac>bd;（7）a>b>0, n∈N+an>bn;

（8）a>b>0, n∈N+nanb;（9）a>0, |x|ax>a或x<-a;（10）a, b∈R，则|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|;（11）a, b∈R，则(a-b)2≥0a2+b2≥2ab;（12）x, y, z∈R+，则x+y≥

2xy, x+y+z33xyz.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 前五条是显然的，以下从第六条开始给出证明。（6）因为a>b>0, c>d>0，所以ac>bc, bc>bd，所以ac>bd；重复利用性质（6），可得性质（7）；

nn再证性质（8），用反证法，若nanb，由性质（7）得(na)(nb)，即a≤b，与a>b矛盾，所以假设不成立，所以nanb；由绝对值的意义知（9）成立；-|a|≤a≤|a|,-|b|≤b≤|b|，所以-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|，所以|a+b|≤|a|+|b|；下面再证（10）的左边，因为|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|b|，所以|a|-|b|≤|a+b|，所以（10）成立；（11）显然成立；下证（12），因为x+y-2xy(x一不等式，令3y)2≥0，所以x+y≥2xy，当且仅当x=y时，等号成立，再证另xa,3yb,3zc，因为x3+b3+c3-3abc =(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc =(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)= 1(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2] ≥0，所以a3+b3+c3≥3abc，即x+y+z≥33xyz，等号当且仅当x=y=z2时成立。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

二、方法与例题

1．不等式证明的基本方法。

（1）比较法，在证明A>B或A

例1 设a, b, 22

2A（A，B>0）与1Bx，y，z，有

c∈R+，试证：对任意实数

ababcbccaxyyzxzx+y+z2.(ab)(bc)(ca)cab

例2 若a

例3 已知a, b, c∈R+，求证：a+b+c-33abc≥a+b2ab.（3）数学归纳法。

例5 对任意正整数n(≥3)，求证：nn+1>(n+1)n.（4）反证法。

例6 设实数a0, a1,„,an满足a0=an=0，且a0-2a1+a2≥0, a1-2a2+a3≥0,„, an-2-2an-1+an≥0，求证ak≤0(k=1, 2,„, n-1).（5）分类讨论法。

x2y2y2z2z2x20.例7 已知x, y, z∈R，求证：

yzzxxy+

（6）放缩法，即要证A>B，可证A>C1, C1≥C2,„,Cn-1≥Cn, Cn>B(n∈N+).例8 求证：1

例9 已知a, b, c是△ABC的三条边长，m>0，求证：111nn(n2).2321abc.ambmcm

（7）引入参变量法。

b3例10 已知x, y∈R, l, a, b为待定正数，求f(x, y)=22的最小值。

xy+

a3

例11 设x1≥x2≥x3≥x4≥2, x2+x3+x4≥x1，求证：(x1+x2+x3+x4)2≤4x1x2x3x4.（8）局部不等式。

例12 已知x, y, z∈R+，且x2+y2+z2=1，求证：

例13 已知0≤a, b, c≤1，求证：

（9）利用函数的思想。

例14 已知非负实数a, b, c满足ab+bc+ca=1，求f(a, b, c)=值。

2．几个常用的不等式。

33xyz.21x21y21z2abc≤2。bc1ca1ab1111的最小abbcca（1）柯西不等式：若ai∈R, bi∈R, i=1, 2, „, n，则(a)(b2ii1i1nn2i)(aibi)2.i1n等号当且仅当存在λ∈R，使得对任意i=1, 2, , n, ai=λbi，ai2变式1：若ai∈R, bi∈R, i=1, 2, „, n，则()bi1in(ai)2(bi)2i1i1nn.等号成立条件为ai=λbi,(i=1, 2, „, n)。

变式2：设ai, bi同号且不为0(i=1, 2, „, n)，则

aibi1in(ai)2nabii1i1n.i等号成立当且仅当b1=b2=„=bn.（2）平均值不等式：设a1, a2,„,an∈R+，记Hn=

n111a1a2an, Gn=na1a2an, aa2an,QnAn=1n22a12a2an，则Hn≤Gn≤An≤Qn.即调和平均≤几何平均≤

n算术平均≤平方平均。

其中等号成立的条件均为a1=a2=„=an.【证明】

由柯西不等式得An≤Qn，再由Gn≤An可得Hn≤Gn，以下仅证Gn≤An.1）当n=2时，显然成立；

2）设n=k时有Gk≤Ak，当n=k+1时，记1ka1a2akak1=Gk+1.k1因为a1+a2+„+ak+ak+1+(k-1)Gk+1≥kka1a2akkkak1Gk1 k12k≥2k2ka1a2ak1Gk12k2kGk12kGk+1，所以a1+a2+„+ak+1≥(k+1)Gk+1，即Ak+1≥Gk+1.所以由数学归纳法，结论成立。

（3）排序不等式：若两组实数a1≤a2≤„≤an且b1≤b2≤„≤bn，则对于b1, b2, „, bn的任意排列bi,bi,,bi，有a1bn+a2bn-1+„+anb1≤a1bia2bianbi≤a1b1+a2b2+„+anbn.12n12n【证明】

引理：记

A0=0，Ak=

ai1ki(1kn)，则

abii1ni

(si1nisi1)bi=si(bibi1)snbn（阿贝尔求和法）。

i1n1证法一：因为b1≤b2≤„≤bn，所以bibibi≥b1+b2+„+bk.12k记sk=bibibi-(b1+b2+„+bk)，则sk≥0(k=1, 2, „, n)。

12k所以a1bia2bianbi12k-(a1b1+a2b2+„+anbn)=

aj1nj(bibj)

jsj1nj(ajaj1)+snan≤0.最后一个不等式的理由是aj-aj+1≤0(j=1, 2, „, n-1, sn=0), 所以右侧不等式成立，同理可证左侧不等式。

证法二：（调整法）考察a1bia2bianbi，若bibn，则存在。

12kj若bibn(j≤n-1)，则将bi与bi互换。

jnj因为

banbnajbi(anbiajbn)(anaj)bn(ajan)bi(anaj)(bnbi)≥0，nnnn所 调整后，和是不减的，接下来若bin1bn1，则继续同样的调整。至多经n-1次调整就可将乱序和调整为顺序和，而且每次调整后和是不减的，这说明右边不等式成立，同理可得左边不等式。

222anana12a21a1+a2+„+an.例15 已知a1, a2,„,an∈R，求证；

a2a3ana1+

注：本讲的每种方法、定理都有极广泛的应用，希望读者在解题中再加以总结。

三、基础训练题

a2b21．已知0m，则m的最小值是____________.6．“a+b=4”是“不等式|x-a|+|x-b|<8的解集是{x|-2

11；②≤a3+b3<1；8411112③22；④ab2；⑤a22abab8．已知0<<，若sinb12ab；⑥

b1lgablga.22(1cos)43，则=____________.99．已知xx1x2xn，p=(x1-x)2+(x2-x)2+„+(xn-x)2, q=(x1-a)2+(x2-a)2+„

n+(xn-a)2, 若ax，则比较大小：p___________q.10．已知a>0, b>0且ab, m=aabb, n=abba, 则比较大小：m_________n.113n.22n22n1112．已知0

四、高考水平训练题

1．已知A=asin2x+bcos2x, B=acos2x+bsin2x(a, b, x∈R)，设m=AB, n=ab, P=A2+B2, q=a2+b2，则下列结论成立的有]__________.（1）m≥n, p≥q;（2）m≤n, p≤q；（3）m+p≥n+q；（4）m+q≥n+p.2．已知a, b, c, d∈R，M=4(a-b)(c-d), N=(a-b)(c-b)+(d-a)(d-c)+(c-d)(c-b)+(a-b)(a-d)，则比较大小：M________N.3．若ab,a,bR+，且a3，b________.4．已知△ABC的三边长a, b, c满足b+c≤2a, a+c≤2b，则

a3ab，将3,a,b,从小到大排列为a12b的取值范围是________.a5．若实数x, y满足|x|+|y|≤1，则z=x2-xy+y2的最大值与最小值的和为________.6．设函数f(x)=2x3x12(x∈[-4,2])，则f(x)的值域是________.7．对x1>x2>0, 1>a>0，记y1x1x2________y1y2.8．已知函数yx1axaxx2,y212，比较大小：1a1a1a1aasinx4的值域是,，则实数a的值为________.1cosx39．设a≤b

五、联赛一试水平训练题

1．已知a1, a2, b1, b2, c1, c∈R，a1c1-b1=a2c2b2>0, P=(a1-a2)(c1-c2), Q=(b1-b2)2，比较大小：P_______Q.2已知x2+y2-xy=1，则|x+y-3|+|x+y+2|=__________.3．二次函数f(x)=x2+ax+b，记M=max{|f(1)|, |f(2)|, |f(3)|}，则M的最小值为__________.4．设实数a, b, c, d满足a≤b≤c≤d或者a≥b≥c≥d，比较大小： 4(a+c+d)(a+b+d)__________(2a+3d+c)(2a+2b+c+d).5．已知xi∈R, i=1, 2, „,n且+

22xy2yz的最大值。222xyz11，则x1x2„xn的最小值为__________（这里1xi1inn>1）.6．已知x, y∈R, f(x, y)=x2+6y2-2xy-14x-6y+72的最小值为__________.7．已知0≤ak≤1(k=1, 2, „,2n)，记a2n+1=a1, a2n+2=a2，则__________.8．已知0≤x≤1, 0≤y≤1, 0≤z≤1，则

(ak12nkak1ak2)的最大值为

xyz的最大值为__________.yz1zx1xy19．已知3≤x≤5，求证：2x12x3153x219.2abc310abc.327=1。又0<λ1≤λ2≤„≤λn，求证：10．对于不全相等的正整数a, b, c，求证：

n11．已知ai>0(i=1, 2, „, n)，且

ai1inai(iai)i1i1in(1n)2≤.41n

六、联赛二试水平训练题

1．设正实数x, y, z满足x+y+z=1，求证：

xyxyyzyzyzxzxzxzxy2.22．设整数x1, x2, „,xn与y1, y2, „, yn满足1y1+y2+„+ym，求证：x1x2xn>y1y2„ym.3．设f(x)=x2+a，记f'(x)f(x), fn(x)=f(fn-1(x))(n=2, 3, „)，M={a∈R|对所有正整数n, |fn(0)| ≤2}，求证：M2,。

414．给定正数λ和正整数n(n≥2)，求最小的正数M（λ），使得对于所有非负数x1, x2,„,xn，有M(λ)(xk1nk)xxk.nnkk1k1nn1119.5．已知x, y, z∈R，求证：(xy+yz+zx)222(yz)(zx)4(xy)+6．已知非负实数a, b, c满足a+b+c=1，求证：2≤(1-a2)2+(1-b2)2+(1-c2)2≤(1+a)(1+b)(1+c)，并求出等号成立的条件。

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m