人教版教材五年级下册《不规则物体的体积》教学设计

人教版教材五年级下册《不规则物体的体积》教学设计

教材简析：

“不规则物体的体积”这一教学内容是人教版教材五年级下册第三单元《长方体和正方体》中最后一个例题，属图形与几何领域。本节课的教学是在学生已经认识了长方体和正方体，会计算长方体和正方体的表面积与体积，以及认识了容积和容积单位后学习的。旨在让学生利用已建立的体积（容积）概念想到可以用排水法求得不规则物体的体积，加深对体积概念的认识。同时，在实验活动过程中，培养学生的动手实践能力，积累一定的数学活动经验，渗透转化思想和等积变形思想，感受其意义和价值，进一步提高解决问题的能力和激发学生的学习兴趣。

“不规则物体的体积”这一教学内容是人教版教材五年级下册第三单元《长方体和正方体》中最后一个例题，是在学生已经掌握了规则的长方体和正方体体积计算方法后安排的此例题，需要注意的是教材将这一内容作为问题解决来编排，目的是要突破传统意义上解决问题等同于应用题的认识，想借此例，引导学生将之前学习所获得的知识应用于新的、不熟悉的情境，寻找解决问题的策略和方法，形成数学基本思想，积累数学基本活动经验，发展核心素养。

教材以求出橡皮泥、梨这两种物体的体积为例，用“这些物体分别有什么特点？”这样的启发性问题，引导学生想到可利用橡皮泥的可塑性将其捏压成规则的长方体或正方体的形状，再求体积，突出体会等积变形的思想。再以“不能改变形状的梨该怎么办呢？”制造冲突，迫使学生另想它法。在学生看到老师给准备的实验用具时，会勾起“体积和体积单位”一课中所做的鹅卵石放水杯中的活动经验，想到用排水法测梨的体积。进而发现一个基本的数量关系：“水的体积+物体的体积=总体积”，则“总体积－水的体积=物体的体积”。在求两种不规则物体的体积时，所用的方法虽然不同，但本质上都是利用了转化的思想。这样来看，教材编排的目的也不仅仅是让学生掌握求不规则物体体积的方法，更重要的是体会解决问题的策略，即将未知转化为已知的“转化思想”。

最后，教材在回顾与反思环节要求学生思考：可以用上面的方法测量乒乓球、冰块的体积吗？为什么？旨在让学生认识到“排水法”的局限性，当条件发生变化时，排水法并不能对所有物体都适用。促使学生思考别的方法测量，由此培养学生的创新精神。

设计理念

《义务教育数学课程标准》（2022年版）在第二部分课程理念中指出：教学活动应利用观察、猜测、实验、计算、推理、验证、数据分析、直观想象等方法分析问题和解决问题；促进学生理解和掌握数学的基础知识和基本技能，体会和运用数学的思想与方法，获得基本的数学活动经验。在第三学段目标中指出：应用数学和其他学科知识与方法解决问题，积累数学活动经验，形成数感、量感、模型意识、应用意识和创新意识。在第三学段的内容要求中明确要求体验不规则物体体积的测量方法。在课程实施的教学建议中又指出：在用数学方法解决问题的过程中，会用数学的语言表达现实世界。通过丰富的教学方式让学生在实践、探究、体验、反思、合作、交流等学习过程中感悟基本思想、积累基本活动经验，发挥每一种教学方式的育人价值，促进学生核心素养的发展。

另外，建构主义学习理论的基本内容包括“学习的含义”（即关于“什么是学习”）与“学习的方法”（即关于“如何进行学习”）这两个方面。从学习的含义来讲：“意义建构”是整个学习过程的终极目标。所要建构的意义是指：事物的性质、规律以及事物之间的内在联系。在学习过程中帮助学生建构意义就是要帮助学生对当前学习内容所反映的事物的性质、规律以及该事物与其它事物之间的内在联系达到较深刻的理解。这种理解就是关于当前所学内容的认知结构。

设计思路

2022年版《义务教育数学课程标准》强化了课程育人导向，基于义务教育培养目标，将党的教育方针具体化细化为本课程应着力培养的核心素养，体现正确价值观、必备品格和关键能力的培养要求。确定了核心素养导向的课程目标。因此，我们在制定教学目标时要指向核心素养的落地，通过落实“四基”和培养“四能”发展学生的核心素养。从2022年版《义务教育数学课程标准》当中，我们也能看出核心素养导向对“四基”、“四能”的教学目标提出了更高的要求。比如：在用数学方法解决问题的过程中，会用数学的语言表达现实世界。在义务教育小学阶段，数学语言主要表现为：数据意识、模型意识和应用意识。在本节课中，我们要用观察、实验、推理等数学方法解决生活中的实际问题，在此过程中构建起与之相应的数学模型，可以简约、精确地描述不规则物体体积计算过程中的数量关系与空间形式，形成数学的表达与交流能力，发展应用意识和实践能力。

其次，第三学段的内容要求中提出了要体验不规则物体体积的测量方法的要求。这就需要我们在教学过程中设计特定的数学活动，让学生有目的的参与其中，主动认识或验证对象的特征，获得一些具体经验。最后，根据建构主义学习理论，我们需要在本节课的学习过程中，帮助学生对不规则物体的体积与规则物体体积之间的内在联系达到较为深刻的理解，这就要求教师要把当前学习的不规则物体的体积与之前学习过的规则物体的体积计算相联系，并引导学生对这种联系加以认真的思考。“联系”与“思考”是意义构建的关键，如果能把联系和思考的过程与合作学习中的交流、讨论过程相结合，则学生建构意义的效率会更高，质量会更好。因此，我们在设计本节课的特定活动时采用了小组合作学习的方式。

学情分析

在学习本节课内容之前，我们需要知道学生的知识储备和已有经验都有哪些？这样才能找准学生学习的起点，以及学习过程中可能存在的难点。本节课内容的学习是建立在学生已经学习了体积与容积，长、正方体体积计算公式的基础上延伸到不规则物体的体积测量方法。对于规则的长方体和正方体的体积和容积计算基本掌握（利用公式计算），并且对转化思想也有一定的了解。另外，对于捏橡皮泥，学生有着丰富的经验，借此经验可以很容易的得出求可变形的不规则物体体积的方法，初步感受等积变形的数学思想。其次，学生对“乌鸦喝水”的故事十分熟悉，而且在学习“体积与体积单位”一课时，曾做过往水杯里放鹅卵石的实验，这些经验的积累都有助于让学生想到“排水法”这种测量方法。

但是，对于学生来说“求像石块、梨、土豆等不可变形的不规则物体的体积”仍然是一个抽象的内容，因为前面学习的长方体和正方体的体积可以用公式来计算，而不规则物体的体积没有计算公式，学生学起来就感到困难，不易理解。对这个内容的学习将使学生的空间观念得到一次飞跃。

设计思考

基于以上学情的分析，我们设计了复习长方体和正方体的体积计算公式，以及充分利用学生的已有经验引导学生感知“等积变形”的转化思想，为突破学生学习的难点做好铺垫。同时，我们也注意到曹培英老师在《怎样培养、发展小学生的空间观念》一文（载于《小学数学教育》2010年第5期）中所提到的“加强两种直观”的论述。曹培英老师指出：小学生形成、发展空间观念主要依靠“视”和“触”，亦即主要途径、手段是观察和操作，这两种都属于直观教学的范畴。本节课的学习内容对于学生来说仍然是一个抽象的内容，而且本课的学习会使学生的空间观念得到进一步的发展。因此，我们在设计教学时应充分利用视觉直观和动作直观（即观察和操作）帮助学生发展空间观念，在体验求不规则物体体积的测量方法过程中，形成数学基本思想，积累基本活动经验，使核心素养落地。

教学实录与评析

【教学目标】

1.通过想象、操作、实验等方法探究不规则物体体积的计算方法，能运用“排水法”计算不规则物体的体积。

2.经历探究测量不规则物体体积方法的过程，体验“等积变形”的转化过程，获得综合运用所学知识解决问题的活动经验和具体方法，培养小组的合作精神、创新精神和解决问题的能力。

3.感受数学和生活的密切联系，从探究过程中获得成功的体验，激发学习数学的兴趣。

【教学重点】探究不规则物体体积的计算方法。

【教学难点】感悟“等积变形”的转化思想，灵活选择合适的测量方法。

【教学准备】课件，实验单，土豆，量杯，长方体水槽，橡皮泥，适量的水，刻度尺。

【教学过程】

一、复习旧知，为新知学习做铺垫

师：前面我们学习了长方体和正方体，大家会计算它们的体积吗？

学生异口同声说：会。（叫两位同学分别说出长方体和正方体体积的计算公式）教师适时板书。

师：长方体和正方体是规则的物体，我们可以用公式计算出体积，但是生活中很多物体都不是规则的。今天我们就一起来探讨和研究“不规则物体的体积”的计算方法。板书课题：不规则物体的体积。

【评析】长方体和正方体的体积计算是学习求不规则物体体积的知识基础，本环节通过复习这两个体积计算公式，为实验探究不规则物体的体积计算做好铺垫。同时，吕老师在复习过程中进一步明确长方体和正方体为规则的物体，为渗透转化思想打下了良好的基础。

二、启发诱导，实验探究

（一）探究可变形的不规则物体的体积计算。

师：请同学们看一看，这是什么？（出示一块不规则的橡皮泥）生：橡皮泥

师：你能计算出它的体积吗？（引导学生观察思考，橡皮泥有什么特点？）

生：可以把他捏成一个正方体或者长方体，再用公式进行计算。

师：孩子，你的主意真好！我们可以利用橡皮泥可变形的特点，将其捏成规则的长方体或正方体，虽然形状发生了改变，但是它的体积......生：它的体积没有变。

【评析】对于捏橡皮泥，学生有着丰富的经验，凭借此经验学生很容易就想到将具有可塑性的橡皮泥捏成规则的长方体或正方体，再进行计算。可变形的不规则物体的体积计算不是本课的重点，吕老师只是让学生说一说方法，用数学的语言去描述思维过程，既节省了时间又让学生初步感受到“等积变形”的数学思想。

（二）探究不可变形的不规则物体的体积计算。

师：可变形的不规则物体可以用这样的方法计算出它的体积。但是还有一些像土豆这样的不可变形的物体（拿出土豆），你会求它的体积吗？

生：可以把土豆切成规则物体进行计算。

师：那样你会发现它体积会有什么变化？生：体积会变小。

师：对，这样就改变了原来土豆的体积。那我们如果在不破坏这颗土豆原样的情况下想求出它的体积，能有什么好办法吗？（给予学生适当的思考时间）

生：吕老师，我发现你给我们每个组都准备了一个量杯、水槽和一些水，是不是可以借助这些测出土豆的体积啊？

师：你真是个善于观察的孩子。还记我们在学习体积和体积单位那节课时做过的实验吗？

生：记得，水里放入鹅卵石，水面会升高，甚至溢出来。师：那么请大家利用这个现象和老师给准备的量杯，在小组内交流一下，能不能借助这个量杯求出这颗土豆的体积？1.小组交流、探讨方法。引导学生在小组内交流讨论，指名汇报，集体评议方法的可行性。

2.小组合作，实验探究。师：到底这颗土豆的体积是多少呢？根据大家刚才讨论出的方法，一起动手做一做吧。（学生开始小组合作实验探究，教师巡视指导）

（小组内几位同学分工合作，有动手操作的，有观察数据的，有填写实验报告单的。）师：通过刚才的实验，你发现了什么？

生：我发现土豆放进量杯里，量杯中的水面升高了，水的体积由原来的500ml，变成了700ml。

师：为什么水面会上升呢？

生：因为土豆占据了水的空间，所以水面会上升。

师：那么，我们能不能根据这个实验求出土豆的体积呢？怎么求？谁可以说说你的想法？

生：可以求出土豆的体积，在没放入土豆之前，水的体积是500ml，放入土豆后量杯中水的体积变成了700ml，增加了200ml,这增加的部分就是土豆的体积，所以用700-500=200ml，200ml=200立方厘米，这就是土豆的体积。师：放入土豆后量杯的刻度由原来的500ml变成了700ml，这700ml还是水的体积吗？生：不是了，这700ml包括原来水的体积和放进去的土豆的体积。师：我们可以把它称之为“总体积”，总体积减去水的体积就是土豆的体积？生：总体积减去原来水的体积就是土豆的体积。

【评析】在开始探究不可变形的土豆的体积时，由于学生受到求橡皮泥体积的“迁移”影响，想要将土豆切成规则的长方体（或正方体）再计算，此时吕老师及时引导学生思考并发现这样会改变土豆原来的体积。在给予学生适当的思考时间后，有学生被桌上的实验工具所启发，想到借助量杯、水槽和水等工具去测量土豆的体积，吕老师适时的引导学生回顾之前的经历，成功勾起学生的已有经验，使学生有了思考和探究的方向。之后，在交流、讨论和集体评议中明确了测量的方法，并进行了小组合作式的实验探究，初步体验了测量不规则物体体积的方法，同时也为后面的实验打下了良好的基础。师：真好，同学们，一个小实验就帮助我们解决了大问题。但是，生活中不可能处处有量杯，如果没有量杯，还有其他方法能求出土豆的体积吗？（学生沉默了）

师引导：请大家再看看我们小组桌上的实验材料，你能想到别的方法吗？（片刻后，有学生举手）

生1：吕老师，我看到桌上有一个长方体的水槽，里面有些水，还有尺子，我觉得可以先用尺子量出现在水的高度，再把土豆放进去，再量一下水面升高后的高度，就可以求出土豆的体积了。

生2（着急的举手）：光测出水的高度是不够的，还得测出长和宽。师：你能再给大家说清楚些吗？

生2：这个水槽没有刻度，不像量杯那样可以直接读出体积，但是它是一个长方体形状的，我们可以通过测量这个水槽的长和宽，再测一下水面的高度，就可以算出水的体积了。把土豆放进水槽中，水面就会上升，我们再测出放入土豆后，水的体积，多出来的体积就是土豆的体积。师：同学们听明白他说的意思了吗？生：明白了。师：好。请同学们小组合作进行分工测量，根据测量结果组内交流如何求这颗土豆的体积？

小组合作探究（学生小组合作探究，教师巡视指导）师：哪组同学愿意分享你们的方法？

生1：我们组先测量了水槽的长和宽，又测量了水的高度，利用长×宽×高，算出了水现在的体积是2592ml，然后放进去土豆，长和宽没有变，我们又测量了现在水的高度，算出了放入土豆后水的体积是3024ml，然后用3024-2592=432ml，也就是土豆的体积是432立方厘米。

生2：我们组有更简便的方法，我们组测量了水槽的长和宽，然后测量了没放土豆前水的高度，又测量了放入土豆后水的高度，我们发现放入土豆后水面升高了1厘米。我们就用水槽的长×宽，再乘水面上升的高度1厘米，就算出了土豆的体积。师：谁明白了他们组的这种算法？给大家再说说。

生3：他们组的这种算法是将土豆的体积转化成了上升那部分的水的体积，所以只需要算上升那部分水的体积就可以了。上升那部分水的体积就是水槽的底面积乘水面上升的高度。师：老师特别喜欢你刚才说到的一个词，“转化”（适时板书）。师：也就是说土豆的体积和谁的体积是相等的？生：土豆的体积和上升那部分水的体积相等。师：我们可以将它们的关系写成：

（教师适时板书）

【评析】有了刚才用量杯测量土豆的活动经验，再利用没有刻度的水槽测量土豆的体积时，学生会比较容易想到用放入土豆后水的体积减去没放土豆前水的体积这一思路。可是在具体的测量方案的细节方面，学生还是会存在很多问题。吕老师在实验探究前让学生先用语言表述了基本的做法，让大部分学生听明白后才开始小组分工合作进行测量、记录并计算出土豆的体积，避免了实验的盲目性。在此过程中，吕老师不断巡视各组实验情况，参与学生的实验过程，给予适时的指导，如测量水槽的长和宽要从水槽里面量等等，充分体现了教师是学习的组织者、引导者与合作者的新课程理念。在这一环节中，使学生的动手实践和合作交流等能力得到了提高。师小结：

像刚才我们用量杯和长方体水槽算出了不规则土豆的体积，这样的方法我们称之为“排水法”。（板书：排水法）还有一种和排水法类似的求不规则物体体积的方法叫“溢水法”，大家想了解一下吗？生：想。（课件播放“溢水法”求不规则土豆的体积动画演示过程）

师：这种求不规则土豆体积的方法，大家看懂了吗？谁能说一说？生：这个“溢水法”其实就是将土豆的体积转化成了溢出去的水的体积。只要求出溢出去那部分水的体积，也就知道了土豆的体积。师：对，就是这样的原理。关于这个“溢水法”的发明还有一个有趣的小故事呢。（课件出示阿基米德测量皇冠的故事）

【评析】本环节中充分利用动画演示的直观手段让学生理解“溢水法”的原理，加深对转化思想的理解。通过阿基米德测量皇冠的故事渗透数学文化，让学生了解数学的价值，提高学习数学的兴趣。（三）回顾与反思。

师：用排水法求不规则物体的体积时需要记录哪些数据呢？

生1：需要记录水的体积和放入不规则物体后的总体积。

生2：我有补充，如果是用没有刻度的规则容器测量的话，我们需要记录这个容器的长、宽，还有水面上升的高度。师：同学们讲的非常全面。我们这节课学习了求不规则物体的体积，其中可以变形的物体我们可以通过捏压的方法，不可变形的物体我们可以用排水法或溢水法求它们的体积，不管是哪种方法，其实都是要将不规则的物体......生：（异口同声）转化成规则的物体进行计算。师：对，“转化”是数学中非常重要的一种思想，我们经常在解决一些未知的问题时，将其“转化”为已知的问题去解决。

【评析】在学生学习的过程中，无论是新知的构建、思想方法的感悟，还是活动经验的积累，都离不开及时的回顾与反思。这一环节中通过引领学生回顾利用排水法求不规则物体的体积所需要的数据，让学生进一步明确了解决这类问题的策略。引导学生对“捏压法”、“排水法”、“溢水法”进行必要的对比、思考，发现它们都是把不规则物体的体积转化成规则物体的体积，从而感悟转化思想，积累数学活动经验，发现知识的本质。

三、拓展延伸，培养创新意识

师：生活中所有的不规则物体是不是都可以用今天学习的方法求体积呢？（课件出示乒乓球、冰块）师：乒乓球和冰块的体积可以用今天学习的方法去测量吗？

生：不可以，因为乒乓球会浮起来，不会沉到水里；冰块放入水中会融化掉，所以不能用排水法测量。师：既然刚才的方法不能测量它们的体积，那么，还有别的方法可以测量它们的体积吗？（给予学生思考的时间）

生：可以用手把乒乓球按到水中，再测量水的体积。师：嗯，可以去尝试一下。还有好办法吗？（师继续引导）既然借助水不能测量了，能不能用别的什么替代水呢？

生：（惊喜状，迅速举手）我觉得测乒乓球可以用沙子代替水，把乒乓球放到沙子里，具体做法跟排水法一样。

师：你的想法真不错，很有创新。那么冰块呢？有办法测量它的体积吗？（学生沉思状，无人举手）师：暂时想不出办法没有关系，我们课后可以去查阅一些资料，一起研究一下，好吗？生：好。

【评析】现实世界中物体的属性各不相同，当教师将乒乓球和冰块出示给学生时，势必会造成学生的认知冲突，让学生深刻的认识到排水法和溢水法的局限性。在吕老师的引导下，激活了学生的思维，针对不同物体的属性，有学生想到用沙代替水的“排沙法”，为解决不同属性的物体体积提供了思路，学生的创新意识也会不断增强，同时也加深了学生对转化思想的理解。课上求冰块的体积方法没能呈现出来，此时，吕老师没有直接告诉学生具体方法，而是鼓励学生课后查阅资料，继续研究，形成对数学的好奇心。

四、巩固应用，发展能力

师：老师这里有一个非常小的东西，你能帮老师测出它的体积吗？（课件出示一颗小图钉）（学生思考片刻）

生：可以将100颗这样的图钉放到水里，利用排水法求出体积，再用求出的体积除以100就是一个图钉的体积了。

师：（给这位同学竖大拇指）你真了不起，能灵活的运用排水法解决问题。师：同学们今天的表现都非常棒，下面我们就利用这节课学到的这些知识，解决生活中的实际问题吧。（课件依次出示下面各题）（一）明明在一个长10cm,宽8cm的装有适量水的长方体透明玻璃缸里放了一个苹果（水面淹没苹果），水面上升了2cm，苹果的体积是多少?（二）从里面量，一个底面长和宽都是2dm的长方体玻璃容器装有5.6L水。将一个鹅卵石完全浸没在水中，这时水深15cm。这个鹅卵石的体积是多少？

（三）一个长方体水箱，从里面量长是40cm，宽是35cm，水箱中浸没一个钢球(水未溢出)，水深15cm，取出钢球后，水深12cm。

如果每立方分米钢重7.8kg，这个钢球重多少千克？

（四）一个棱长是50cm的正方体水缸中原有46cm高的水，放入一个石块后，水面上涨并溢出了缸外。

经测量，溢出缸外的水正好1.2L，这个石块的体积是多少？

处理方式：（1）学生独立思考解答。（2）指名汇报，集中反馈。

【评析】本环节开始吕老师提出一个新的问题“一颗小图钉怎样测出它的体积？”学生思考片刻便有了解决的办法，很好的训练了学生的发散思维和综合运用知识解决实际问题的能力。之后的巩固练习分为三个层次，从思维层面上看是逐步深入，层层递进。特别是第（四）小题，将石块的体积转化为水的体积，既有上升部分又有溢出部分，更具有挑战性。

五、全课总结，再次回顾思想方法

师：同学们，不知不觉就要下课了，说说这节课你都有哪些收获？

生：......【总评】本节课在学生充分动手实践，合作探究的活动基础上，让学生进一步理解体积的含义，在体验求不规则物体体积的测量方法过程中，形成数学基本思想，积累基本活动经验，发展学生的核心素养。本节课的教学具有以下两个特点。

一、激活经验，沟通联系。

上课伊始，先让学生回顾了长方体和正方体的体积计算公式，为运用转化思想求不规则物体的体积作铺垫。在实验探究过程中，教师引导学生回顾之前的学习经历，激活已有活动经验，为学生打开思路，沟通不规则物体的体积与规则物体的体积之间的联系。整节课紧紧围绕体积的意义，让学生发现被测的不规则物体占据了水的体积，使得水面上升或下降，将被测的不规则物体的体积与上升（或下降）部分水的体积建立联系，利用转化思想使得问题得以解决。二、重视直观，促进理解。对于学生而言，规则的长方体和正方体可以用公式来计算，而不规则物体的体积没有计算公式，学生学起来就感到困难，不易理解。在本节课中学生通过动手操作实验，观察实验结果，用“排水法”测算出不规则物体的体积，在此过程中内化了知识，掌握了求不规则物体体积的方法。教师在整节课中充分利用观察和操作这两种直观手段，促进学生对不规则物体体积的测量与计算方法的理解。由此还迁移类推出不同的计算方法，发展了空间观念，提高了学生解决实际问题的能力。