专题18
直角三角形
阅读与思考从代数角度，考察方程的正整数解，古希腊人找到了这个方程的全部整数解：
其中，是自然数，，一奇一偶.17世纪，法国数学家提出猜想：当时，方程无正整数解.1994年，美国普林斯顿大学教授维尔斯证明了费尔马猜想.直角三角形是一类特殊三角形，有以下丰富的性质：
角的关系：两锐角互余；
边的关系：斜边的平方等于两直角边的平方和；
边角关系：所对的直角边等于斜边的一半.这些性质广泛应用于线段计算、证明线段倍分关系、证明线段平方关系等方面.在现阶段，勾股定理是求线段的长度的主要方法，若图形缺少条件直角条件，则可通过作辅助垂线的方法，构造直角三角形为勾股定理的应用创造必要条件；运用勾股定理的逆定理，通过代数方法计算，也是证明两直线垂直的一种方法.熟悉以下基本图形基本结论：
例题与求解
【例l】（1）直角△ABC三边的长分别是，和5，则△ABC的周长＝_____________.△ABC的面积＝_____________.（2）如图，已知Rt△ABC的两直角边AC＝5，BC＝12，D是BC上一点，当AD是∠A的平分线时，则CD＝_____________.（太原市竞赛试题）
解题思路：对于（1），应分类讨论；对于（2），能在Rt△ACD中求出CD吗？从角平分线性质入手.【例2】如图所示的方格纸中，点A，B，C，都在方格线的交点，则∠ACB＝（）
A.120°
B.135°
C.150°
D.165°
（“希望杯”邀请赛试题）
解题思路：方格纸有许多隐含条件，这是解本例的基础.【例3】如图，P为△ABC边BC上的一点，且PC＝2PB，已知∠ABC＝45°，∠APC＝60°，求∠ACB的度数.（“祖冲之杯”邀请赛试题）
解题思路：不能简单地由角的关系推出∠ACB的度数，综合运用条件PC＝2PB及∠APC＝60°，构造出含30°的直角三角形是解本例的关键.【例4】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，分别以AB，AC为边在△ABC的外侧作等边△ABE和等边△ACD，DE与AB交于F，求证：EF＝FD.（上海市竞赛试题）
解题思路：已知FD为Rt△FAD的斜边，因此需作辅助线，构造以EF为斜边的直角三角形，通过全等三角形证明.【例5】在证明含有线段平方之间的和（差）关系时，常常要联想到勾股定理，若图中缺少直角条件，则可通过作辅助线，构造直角三角形.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，AD＝CD，求证：
（北京市竞赛试题）
解题思路：由待证结论易联想到勾股定理，因此，三条线段可构成直角三角形，应设法将这三条线段集中在同一三角形中.【例6】在运用勾股定理时，常常对进行变形，运用乘法公式、整数与方程知识综合求解.斯特瓦尔特定理：
如图，设D为△ABC的边BC上任意一点，a，b，c为△ABC三边长，则.请证明结论成立.解题思路：本题充分体现了勾股定理运用中的数形结合思想.能力训练
A级
1.在很多情况下，需要由线段的数量关系去判断线段的垂直位置关系，这就要熟悉一些常用的勾股数组.如图，D为△ABC的边BC上一点，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，则BC＝_____________.2.如图，在Rt△ABC中∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于E，DE是斜边AB的垂直平分线，且DE＝1cm，则AC＝_____________cm.3.如图，四边形ABCD中，已知AB∶BC∶CD∶DA＝2∶2∶3∶1，且∠B＝90°，则∠DAB＝_____________.（上海市竞赛试题）
4.如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，边BC上的中线AD＝6，则BC的长为_____________.（湖北省预赛试题）
5.如果一个三角形的一条边是另一条边的2倍，并且有一个角是30
º，那么这个三角形的形状是（）
A.直角三角形
B.钝角三角形
C.锐角三角形
D.不能确定
（山东省竞赛试题）
6.如图，小正方形边长为1，连结小正方形的三个顶点可得△ABC，则AC边上的高为（）
A.B.C.D.（福州市中考试题）
7.如图，一个长为25分米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距墙底端7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑（）
A.15分米
B.9分米
C.8分米
D.5分米
8.如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝60°，AB＝4，AD＝5，那么等于（）
A.1
B.2
C.D.9.如图，△ABC中，AB＝BC＝CA，AE＝CD，AD，BE相交于P，BQ⊥AD于Q，求证：BP＝2PQ.（北京市竞赛试题）
10.如图，△ABC中，AB＝AC.（1）若P是BC边上中点，连结AP，求证：
（2）P是BC边上任意一点，上面的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）若P是BC边延长线上一点，线段AB，AP，BP，CP之间有什么样的关系？请证明你的结论.11.如图，直线OB是一次函数图象，点A的坐标为（0，2），在直线OB
上找点C，使得△ACO为等腰三角形，求点C的坐标.12.已知：如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在处，交AD于E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面积.（山西省中考试题）
B级
1.若△ABC的三边a,b,c满足条件：，则这个三角形最长边上的高为_____________.2.如图，在等腰Rt△ABC中，∠A＝90°，P是△ABC内的一点，PA＝1，PB＝3，PC＝，则∠CPA＝_____________.3.在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为_____________.4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB交CD于E，交CB于F，且EG∥AB交CB于G，则CF与GB的大小关系是（）
A.CF＞GB
B.CF＝GB
C.CF＜GB
D.无法确定
5.在△ABC中，∠B是钝角，AB＝6，CB＝8，则AD的范围是（）
A.8＜AC＜10
B.8＜AC＜14
C.2＜AC＜14
D.10＜AC＜14
（江苏省竞赛试题）
6.满足两条直角边长均为整数，且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有（）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
（浙江省竞赛试题）
7.如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，D是斜边BC的中点，E，F分别是AB，AC边上的点，且DE⊥DF，若BE＝12，CF＝5，求△DEF的面积.（四川省联赛试题）
8.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，D为斜边BC中点，DE⊥DF，求证：
（江苏省竞赛试题）
9.探索性试题是指问题中的题设条件或结论不完整，从而有深入探讨的余地，存在型命题的探索，是给定条件后，判断所研究的对象是否存在.周长为6，面积为整数的直角三角形是否存在？若不存在，请给出证明；若存在，请证明有几个.（全国联赛试题）
10.如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝3，CD＝2，求△ABC面积.（天津市竞赛试题）
11.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，E，F分别是BC上两点，若∠EAF＝45°，试推断BE，CF，EF之间数量关系，并说明理由.12.已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠MCN＝45°.（1）如图1，当M，N在AB上时，求证：
（2）如图2，将∠MCN绕点C旋转，当M在BA的延长线上时，上述结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.（天津市中考试题）
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