2021-2022学年浙江省杭州市八年级（上）数学试题（解析版）教师用

2021-2022学年浙江省杭州市八年级（上）数学试题（解析版）精编汇总

精编汇总

一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）精编汇总精编汇总

1.点关于轴的对称点在（）．精编汇总精编汇总

A.象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限精编汇总

【答案】C

【解析】精编汇总精编汇总

【详解】∵点P（-5，8）在第二象限，∴点P关于x的对称点在第三象限.精编汇总

故选C.精编汇总

2.下列判断正确的是（）．精编汇总

A.有一直角边相等的两个直角三角形全等

B.斜边相等的两个等腰直角三角形全等精编汇总精编汇总

C.腰相等的两个等腰三角形全等

D.两个锐角对应相等的两个直角三角形全等精编汇总

【答案】B精编汇总

【解析】

【详解】A选项中，因为一条直角边相等时，另两条边的大小关系并不确定，所以不能确定两三角形是否全等，所以A中说法错误；精编汇总

B选项中，斜边相等的两个等腰直角三角形全等，因为此时两直角边一定相等，所以B中说确；精编汇总

C选项中，腰相等的两个等腰三角形的顶角不一定相等，因此不能确定这样的等腰三角形全等，所以C中说法错误；精编汇总精编汇总精编汇总

D选项中，两个锐角对应相等的两个直角三角形不一定全等，因为两三角形全等至少要有一条边对应相等，所以D中说法错误．

故选B．精编汇总精编汇总

3.已知△ABC中，则它的三条边之比为（）精编汇总

A.B.C.D.精编汇总

【答案】B精编汇总

【解析】精编汇总精编汇总

【分析】根据给出的条件和三角形的内角和定理计算出三角形的角，再计算出它们的边的比．精编汇总

【详解】精编汇总

精编汇总精编汇总精编汇总

∴

则三边之比为1：：2，精编汇总

故选B.【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和勾股定理，通过知道角的度数计算三角形边的比．精编汇总

4.下列定理中，没有逆定理的是（）．

A.全等三角形对应角相等

B.线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等

C.一个三角形中，等角对等边

D.两直线平行，同位角相等

【答案】A精编汇总

【解析】精编汇总精编汇总

【详解】A选项中，因为“对应角相等不一定是全等三角形”，所以A中定理没有有逆定理；

B选项中，因为“到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上”，所以B中定理有逆定理；精编汇总

C选项中，因为“在同一个三角形中，等边对等角”，所以C中定理有逆定理；精编汇总

D选项中，因为“同位角相等，两直线平行”，所以D中定理有逆定理．精编汇总精编汇总

故选A．

5.不等式组无解，的取值范围是（）．精编汇总

A.B.C.D.精编汇总

【答案】B精编汇总

【解析】精编汇总

【详解】∵

不等式组无解，精编汇总

∴的取值范围为．

故选．精编汇总精编汇总

6.已知是等边三角形的一个内角，是顶角为的等腰三角形的一个底角，是等腰直角三角形的一个底角，则（）．精编汇总

A.B.C.D.精编汇总精编汇总

【答案】B精编汇总

【解析】精编汇总精编汇总

【详解】∵是等边三角形的一个内角，∴；

∵是顶角为的等腰三角形的一个底角，精编汇总精编汇总

∴；精编汇总

∵是等腰直角三角形的一个底角，精编汇总

∴；精编汇总精编汇总

∴．

故选B．

7.等腰的周长为，则其腰长的取值范围是（）．

A.B.C.D.精编汇总

【答案】C精编汇总

【解析】

【详解】设腰长为，则底边长为，由三角形三边间的关系定理可得：精编汇总，解得：．精编汇总

故选C．精编汇总

点睛：任何一个三角形中，三边间都必须满足：（1）任意两边的和大于第三边；（2）任意两边的差小于第三边.精编汇总精编汇总

8.已知不等式组只有一个整数解，则的取值范围一定只能为（）．精编汇总

A.B.C.D.精编汇总精编汇总

【答案】C精编汇总精编汇总

【解析】精编汇总精编汇总

【详解】∵不等式组只有一个整数解，精编汇总

∴此整数解为，精编汇总

∴．精编汇总

故选C．精编汇总

9.如图，将正方形对折后展开（图④是连续两次对折后再展开），再按图示方法折叠，能够得到一个直角三角形（阴影部分），且它的一条直角边等于斜边的一半，这样的图形有（）．

精编汇总精编汇总

A.个

B.个

C.个

D.个

【答案】C精编汇总精编汇总

【解析】精编汇总精编汇总

【详解】试题分析：根据含30°角所对的直角边等于斜边一半，然后依次判断直角三角形中能否找到一个角等于30°，从而判断出答案．精编汇总

试题解析：设正方形的边长为a，精编汇总

精编汇总

在图①中，CE=ED=a，BC=DB=a，精编汇总

故∠EBC=∠CEB≠30°，故△ECB，故不能满足它的一条直角边等于斜边的一半．精编汇总

在图②中，BC=a，AC=AE=a，故∠BAC=30°，精编汇总

从而可得∠CAD=∠EAD=30°，故能满足它的一条直角边等于斜边的一半．精编汇总精编汇总

在图③中，AC=a，AB=a，精编汇总

故∠ABC=∠DBC≠30°，故不能满足它的一条直角边等于斜边的一半．精编汇总精编汇总

在图④中，AE=a，AB=AD=a，故∠ABE=30°，∠EAB=60°，精编汇总精编汇总

从而可得∠BAC=∠DAC=60°，∠ACB=30°，故能满足它的一条直角边等于斜边的一半．精编汇总

综上可得有2个满足条件．精编汇总

故选C．精编汇总精编汇总

考点：翻折变换（折叠问题）．精编汇总精编汇总

10.已知中，．如图，将进行折叠，使点落在线段上（包括点和点），设点的落点为，折痕为，当是等腰三角形时，点可能的位置共有（）．

精编汇总精编汇总

A.种

B.种

C.种

D.种

【答案】B精编汇总

【解析】精编汇总

【详解】（1）当点D与C重合时，精编汇总精编汇总

∵AC=BC，AE=DE（即CE），AF=DF（即CF），精编汇总精编汇总

∴此时△AFC（即△AFD）是等腰直角三角形，点E是斜边AC的中点，∴EF=DE，精编汇总精编汇总精编汇总

∴△EDF为等腰三角形．精编汇总

（2）当点D与B点重合时，点C与E重合，∵AC=BC，AF=DF（即BF），∴此时EF=AB=DF（即BF），精编汇总

∴△DEF是等腰三角形；精编汇总

（3）当点D移动到使DE=DF的位置时，△DEF是等腰三角形．精编汇总

综上所述，当△DEF为等腰三角形时，点D的位置存在3中可能.精编汇总

故选B.二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）

11.已知点的坐标为，则点到轴的距离为__________．精编汇总精编汇总

【答案】4精编汇总

【解析】精编汇总精编汇总

【详解】∵点P的坐标为（4，-2），精编汇总

∴点P到轴的距离为4.精编汇总

点睛：点P到轴的距离=，点P到轴的距离=.精编汇总精编汇总精编汇总

12.等腰三角形中有一个角等于，则这个等腰三角形的顶角度数是__________．精编汇总精编汇总

【答案】或

【解析】

【详解】（1）当30°的角为顶角时，这个等腰三角形的顶角度数为30°；精编汇总

（2）当30°的角为底角时，这个等腰三角形的顶角度数为：180°-30°-30°=120°.综上所述，这个等腰三角形的顶角度数为30°或120°.点睛：在已知等腰三角形的一个内角度数，求顶角时，存在两种情况：（1）若这个已知角是锐角，则这个角既可以是顶角，也可以是底角，此时需分两种情况讨论；（2）若这个角是直角或钝角，则这个角只能是顶角.精编汇总

13.不等式的正整数解为__________．

【答案】1

【解析】精编汇总

【详解】解不等式，得：，精编汇总

∵小于2的正整数只有1，精编汇总

∴不等式的正整数解为：1.精编汇总

14.如图，在矩形中，，点为的中点，将沿折叠，使点落在矩形内点处，连接，则的长为__________．精编汇总

【答案】7.2精编汇总精编汇总

【解析】

【详解】∵为的中点，∴，在中，精编汇总

又∵翻折前后三角形全等，精编汇总精编汇总

∴，精编汇总精编汇总

∴△为等腰三角形，精编汇总精编汇总

如下图，过点作，交于点，精编汇总精编汇总

则，∴，精编汇总精编汇总

又∵，精编汇总

∴，∴，精编汇总

∴即．精编汇总精编汇总精编汇总

∴，精编汇总精编汇总

又∵为等腰三角形，精编汇总

∴．精编汇总

15.如图，在平面直角坐标系中，两点的坐标分别为，连接，若以点，为顶点的三角形是等腰直角三角形，则点坐标为__________．精编汇总

精编汇总

【答案】，，，精编汇总精编汇总

【解析】

【详解】∵A、B两点的坐标分别为（-4，0）、（0，2）精编汇总

∴OA=4，OB=2.精编汇总

（1）如图，当∠APB=90°时，作PE⊥OA于点E，精编汇总精编汇总

易证△APE≌△BPD，则PD=PE=OE=OD，AE=BD，设PD=，精编汇总

则，解得：，精编汇总

∴此时点P的坐标为（-3，3）；

同理可得：点P1的坐标为（-1，-1）.精编汇总

精编汇总

（2）如图2，当∠ABP=90°时，作PD⊥OB于点D，精编汇总

易证△ABO≌△BPD，则PD=OB=2，BD=AO=4，精编汇总

∴OD=OB+BD=6，∴点P的坐标为（-2，6）.精编汇总精编汇总

同理可得P2的坐标为（2，-2）.精编汇总

精编汇总

（3）如图3，过点P作PD⊥OA于点D，精编汇总精编汇总

易证△PDA≌△AOB，则AD=BO=2，PD=AO=4，精编汇总

∴OD=AD+OA=6，精编汇总

∴点P的坐标为（-6，4）.精编汇总

同理可得点P3的坐标为（-2，-4）.精编汇总

综上所述，若△PAB为等腰直角三角形，则点P的坐标为：（-3，3）、（-1，-1）、（-2，6）、（2，-2）、（-6，4）和（-2，-4）.16.如图与都是以为直角顶点的等腰直角三角形，交于点，若，当是直角三角形时，则的长为__________．精编汇总

精编汇总精编汇总

【答案】或精编汇总

【解析】精编汇总精编汇总

【详解】∵△ABC、△ADE都是以A为直角顶点的等腰直角三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，精编汇总精编汇总精编汇总

∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE，精编汇总

∴在△ABD和△ACE中：，精编汇总精编汇总

∴△ABD≌△ACE，精编汇总

∴BD=CE.精编汇总

①如图，当∠CFE=90°时，AF⊥DE，精编汇总精编汇总精编汇总

∴AF=EF=AE=，∴CF=AC-AF=5-3=2，∴在Rt△CEF中，CE=，精编汇总

∴BD=CE=精编汇总

精编汇总

②如图：当∠CEF=90°时，∠AEC=90°+45°=135°，精编汇总

∵△ABD≌△ACE，精编汇总精编汇总

∴∠ADB=∠AEC=135°，精编汇总

∴∠ADB+∠ADE=135°+45°=180°，精编汇总精编汇总

∴点B、D、F三点共线，精编汇总精编汇总

过点A作AG⊥DE于点G，精编汇总精编汇总

则AG=DG=AD=，∴在Rt△ABG中，BG=，精编汇总精编汇总

∴BD=BG-DG=4-3=1.精编汇总

精编汇总

综上所述，BD=或.精编汇总

三、全面答一答（本题有7个小题，共66分）精编汇总精编汇总

17.解下列不等式（组）．精编汇总

（）．

（）．精编汇总精编汇总

【答案】（）;（）．精编汇总

【解析】精编汇总精编汇总

【详解】试题分析：

（1）按解一元不等式的一般步骤解答即可；精编汇总

（2）先分别求出两个不等式的解集，再求出两个解集的公共部分即可得到不等式组的解集.精编汇总

试题解析精编汇总

（），精编汇总精编汇总

去括号得：，移项、合并同类项得：，精编汇总

系数化为1得：．精编汇总

（），精编汇总

解不等式①得：，精编汇总

解不等式②得：．精编汇总精编汇总

∴不等式组的解集为：．精编汇总精编汇总精编汇总

18.求证：三角形一条边的两个端点到这条边上的中线所在的直线的距离相等．精编汇总

精编汇总

【答案】证明见解析.【解析】精编汇总

【分析】（1）首先根据题意画出符合要求的图形，待证“命题”的题设和结论改写出“已知”和“求证”事项；精编汇总

（2）根据改写出的“已知”和“求证”图形分析证明即可；精编汇总

【详解】（1）已知：如图，△ABC中，AD是中线，BF⊥AD交AD的延长线于点F，CE⊥AD于点E，求证：BF=CE.精编汇总

精编汇总精编汇总

（2）证明：如图，作BF⊥AD于点F，作CE⊥AD于点E，精编汇总

∵AD是△ABC的中线，精编汇总

∴BD=CD.精编汇总

∵于点，于点，精编汇总精编汇总

∴∠BFD=∠CED=90°，在与中，∴≌，精编汇总

∴．精编汇总

即三角形一条边的两个端点到这条边上的中线所在直线的距离相等．

精编汇总

【点睛】证明这类“文字命题”时，需完成下列步骤：（1）先根据题意画出符合要求的图形，图形和“命题”的题设、结论，改写出“已知”和“求证”；（2）再根据改写的“已知”和“求证”，分析完成证明，得出结论.19.健身运动已成为时尚，某公司计划组装、两种型号的健身器材共套，捐给社区健身．组装一套型健身器材需甲种部件个和乙种部件个，组装一套型健身器材需甲种部件个和乙种部件个．公司现有甲种部件个，乙种部件个．精编汇总

（）公司在组装、两种型号的健身器材时，共有多少种组装？精编汇总

（）组装一套型健身器材需费用元，组装一套型健身器材需费用元，求总组装费用最少的组装，并求出最少组装费用？精编汇总

【答案】（）共种．（）A26套，B14套时，花费最少，为772元．

【解析】

【详解】试题分析：精编汇总精编汇总

（1）设公司组装A型号健身器材套，则组装B型号健身器材套，由此可分别表达出所需的甲种部件的总数和乙种部件的总数，根据甲种部件总数不超过236、乙种部件不超过188，即可列出不等式组，解不等式组求得其正整数解的个数即可得到答案；精编汇总

（2）根据（1）中所得，分别计算出每种所需组装费进行比较即可得到费用最少的.精编汇总精编汇总

试题解析：

（）设公司组第套型号健身器材，则组装套型号健身器材．，解①得，解②得．

∴．精编汇总

又∵只能取整数，精编汇总

∴或或或，精编汇总

∴共有种组装，见下表：精编汇总精编汇总

A精编汇总

26精编汇总

27精编汇总精编汇总

29精编汇总精编汇总

B精编汇总

14精编汇总

13精编汇总

12精编汇总

（）解：第①种花费（元），精编汇总

第②种花费（元），精编汇总

第③种花费（元），第④种花费（元）．精编汇总精编汇总精编汇总

综上上述，第①种花费最少．精编汇总

答：

套，套时，花费最少，最少为元．精编汇总精编汇总

20.如图，平分，，求的面积．精编汇总精编汇总

精编汇总精编汇总

【答案】1.5精编汇总

【解析】精编汇总精编汇总

【详解】试题分析：

如图，过D点作DE⊥AB交AB于点E，由已知条件可证△AED≌△ACD，从而可得DE=DC=，AE=AC；在Rt△BDE中，先求得BD，再由勾股定理可求得BE，设AE=，则AC=，同时可由AB=AE+BE表达出AB，在Rt△ABC中由勾股定理可建立关于“”的方程，解方程即可求得“”的值，从而可得AC的长，由AC和BC的长即可求出△ABC的面积了.试题解析：

过点作交于点，∵平分，精编汇总

∴，精编汇总精编汇总

在与中，精编汇总精编汇总，∴≌，精编汇总精编汇总

∴，．

∵，精编汇总

∴，在中，精编汇总

设，则，精编汇总

中，精编汇总精编汇总精编汇总，精编汇总，精编汇总

．

则．精编汇总精编汇总

21.如图，平分，平分，和交于点，为的中点，连结．

精编汇总精编汇总

（）找出图中所有的等腰三角形．精编汇总

（）若，求的长．精编汇总

【答案】（）所有的等腰三角形有：，，;（）．精编汇总精编汇总精编汇总

【解析】

【详解】试题分析：精编汇总

（1）由AB∥CD，AC平分∠BAD可得∠C=∠BAC=∠DAC，从而可得AD=CD，得到△ADC是等腰三角形；同理可△ABD是等腰三角形；证∠AED=90°，点F是AD中点，可得EF=FD=FA，从而可得△DEF和△AEF是等腰三角形；即图中共有4个等腰三角形；精编汇总

（2）由∠AED=90°，AE=4，DE=3，由勾股定理可得AD=5，点FAD中点，可得EF=AD=2.5.精编汇总精编汇总

试题解析：精编汇总

（）图中等腰三角形共有4个，分别是：，，．理由如下：精编汇总精编汇总

∵AB∥CD，AC平分∠BAD，∴∠C=∠BAC，∠BAC=∠DAC，精编汇总

∴∠C=∠DAC，精编汇总

∴AD=CD，∴△ADC是等腰三角形；精编汇总精编汇总

同理可得：△ABD是等腰三角形；精编汇总精编汇总

∵BD平分∠ADC，AD=CD，精编汇总

∴BD⊥AC，精编汇总

∴∠AED=90°，又∵点F是AD的中点，∴EF=AF=DF，∴△AEF和△DEF是等腰三角形；精编汇总

综上所述，图中共有四个等腰三角形，分别是：△ADC、△ABD、△AEF和△DEF；精编汇总

（）∵∠AED=90°，AE=4，DE=3，∴AD=，精编汇总精编汇总

又∵点F是AD的中点，精编汇总

∴EF=AD=.22.如图，等边△ABC中，AO是∠BAC的角平分线，D为

AO上一点，以

CD为一边且在CD下方作等边△CDE，连接BE．

（1）求证：△ACD≌△BCE．

（2）延长BE至Q，P为BQ上一点，连接

CP、CQ使

CP=CQ=5，若

BC=6，求PQ的长．

精编汇总

精编汇总精编汇总精编汇总

【答案】（1）详见解析；（2）PQ=8.精编汇总

【解析】精编汇总

【分析】（1）根据等边三角形得∠ACD=∠BCE,即可证明△ACD≌△BCE（SAS）,精编汇总

（2）过C作CH⊥BQ，垂足为

H，由角平分线得到∠CAD=

∠BAC=30°,通过（1）得∠CAD=∠CBH=30°,根据30°角所对直角边等于斜边一半求出CH=3,勾股定理得HQ=4,三线合一性质即可求出PQ=8.【详解】（1）证明：∵△ABC，△CDE

均为等边三角形，精编汇总

∴∠ACB=∠DCE=60°，精编汇总

∴∠ACB-∠DCO=∠DCE-∠DCO，即∠ACD=∠BCE，精编汇总精编汇总

在△ACD

和△BCE

中，精编汇总，精编汇总

∴△ACD≌△BCE（SAS）；精编汇总

（2）解：∵等边△ABC中，AO平分∠BAC，精编汇总

∴∠CAD=

∠BAC=30°．精编汇总

如下图，过C点作CH⊥BQ，垂足为

H，精编汇总

精编汇总精编汇总

由（1）知△ACD≌△BCE，则∠CAD=∠CBH=30°，∴CH=BC=3，精编汇总

∴在Rt△CHQ

中，由CQ=5，根据勾股定理可得HQ=4，精编汇总精编汇总

又∵CP=CQ，CH⊥PQ，精编汇总

∴PH=HQ（三线合一）精编汇总

∴

PQ=8．精编汇总

【点睛】本题主要考查三角形的证明，包括直角三角形,等腰三角形的性质,勾股定理，中等难度,熟悉三角形的性质是解题关键．精编汇总

23.点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．精编汇总

（）在轴上否存在点，使为等腰三角形，求出点坐标．

（）在轴上方存在点，使以点，为顶点的三角形与全等，画出并请直接写出点的坐标．精编汇总

【答案】（），，;（）作图见解析,点的坐标为或．精编汇总精编汇总精编汇总

【解析】精编汇总精编汇总

【详解】试题分析：精编汇总精编汇总

（1）如图1，分别以点B、C为圆心，BC为半径作圆交轴于点P1、P2、P3，作BC的垂直平分线交轴于点P4，这4个点为所求点，已知条件求出它们的坐标即可；精编汇总

（2）如图2，根据成轴对称的两个三角形全等，作出点C关于直线AB的对称点D，连接BD、AD，所得△ABD为所求三角形；再作出点D关于直线的对称点D1，连接AD1、BD1，所得△ABD1也是所求三角形；即有两个符合要求的三角形；精编汇总精编汇总

试题解析：精编汇总

（）如图1，∵点B、C的坐标分别为（0，2）、（1，0），精编汇总

∴BC=.精编汇总

分别以点B、C为圆心，BC为半径作圆交轴于点P1、P2、P3，精编汇总

则OP1=OB+BP1=OB+BC=，OP2=BP2-OB=BC-OB=，OP3=OB=2；精编汇总

设OP4=，则BP4=CP4=，在Rt△OCP4中，由勾股定理可得：，解得：，即OP4=；精编汇总

∴①△P1BC是等腰三角形，BP1=BC，此时点P的坐标为；精编汇总

②△P2BC是等腰三角形，BP2=BC，此时点P的坐标为；精编汇总精编汇总

③△P3BC是等腰三角形，P3C=BC，此时点P的坐标为；精编汇总

④△P4BC是等腰三角形，BP4=CP4，此时点P坐标为.精编汇总

精编汇总

（）如图2，设点关于直线的对称点，则≌，设过点，的直线的解析式为．精编汇总

则，∴，精编汇总

∴．

∴直线的解析式为．精编汇总

由，精编汇总

解得，精编汇总

∴点．

∵，∴，根据对称性，点关于直线的对称点D1也满足条件．精编汇总

综上所述，满足条件的点的坐标为或．

点睛：（1）解第1小题时，通常是先通过作图找到所有符合条件的点，然后再已知条件去求这些点的坐标；（2）解第2小题时，由于△DAB和△CAB有公共边AB，它们又全等，因此两者存在对称关系，这样利用对称性就可找到符合条件的D点，再已知条件即可求出点D的坐标；（3）点P关于直线的对称点的坐标是.