【精品分析】江苏省苏州市2021-2022学年中考数学模仿试题（三模）
（原卷版）
一、选一选（共10小题，每小题3分，满分30分）
1.的倒数是（）
A.B.C.D.2.下列运算正确的是（）
A.a2+a5=a7
B.（﹣a2）3=a6
C.a2﹣1=（a+1）（a﹣1）
D.（a+b）2=a2+b2
3.下列图形中，对称图形有（）
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
4.有一种细胞直径约为0.000
058cm．用科学记数法表示这个数为（）
A.5.8×10﹣6
B.5.8×10﹣5
C.0.58×10﹣5
D.58×10﹣6
5.在“我为震灾献爱心”的捐赠中，某班40位同窗捐款金额统计如下：
金额（元）
先生数（人）
则在这次中，该班同窗捐款金额众数和中位数是（）
A.30，35
B.50，35
C.50，50
D.15，50
6.使有意义的x的取值范围是（）
A.x＞
B.x＞-
C.x≥
D.x≥-
7.如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1、l2、l3分别相交于A、B、C和点D、E、F．若，DE＝4，则EF的长是（）
A.B.C.6
D.10
8.下列命题正确的是（）
A.两个等边三角形全等
B.各有一个角是40°的两个等腰三角形全等
C.对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
9.如图是由几个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该地位小立方块的个数，则这个几何体的主视图为（）
A.B.C.D.10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点P以每秒一个单位的速度沿着B—C—A运动，⊙P一直与AB相切，设点P运动的工夫为t，⊙P的面积为y，则y与t之间的函数关系图像大致是
A.B.C.D.二、填
空
题（共8小题，每小题3分，满分24分）
11.2﹣1等于__．
12.分解因式：2x2﹣8=_______
13.“五一”期间，某服装商店举行促销，全部商品八折，小华购买一件原价为140元的运动服，打折后他比按原价购买节省了_____元．
14.某校正先生上学方式进行了抽样调查，并根据此次调查结果绘制了一个不残缺扇形统计图，其中“其他”部分所对应的圆心角是36°，则“步行”部分所占百分比是_____．
15.已知圆锥的底面圆半径为3cm，高为4cm，则圆锥的侧面积是________cm2.16.如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需_____个五边形．
17.如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD、AE分别为△ABC的中线和角平分线，过点C作CH⊥AE于点H，并延伸交AB于点F，连结DH，则线段DH的长为_____．
18.（2015孝感，第16题，3分）如图，四边形ABCD是矩形纸片，AB=2．对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，折痕为EF；展平后再过点B折叠矩形纸片，使点A落在EF上的点N，折痕BM与EF相交于点Q；再次展平，连接BN，MN，延伸MN交BC于点G．有如下结论：
①∠ABN=60°；②AM=1；③QN=；④△BMG是等边三角形；⑤P为线段BM上一动点，H是BN的中点，则PN+PH的最小值是．其中正确结论的序号是__________．
三、解
答
题（共10小题，满分76分）
19.计算：．
20.解不等式组．
21.先化简，再从0，1，2中选一个合适的x的值代入求值．
22.为处理“一公里”的交通接驳成绩，北京市投放了大量公租自行车供市民运用．到2013年底，全市已有公租自行车25000辆，租赁点600个．估计到2015年底，全市将有公租自行车50000辆，并且平均每个租赁点的公租自行车数量是2013年成平均每个租赁点的公租自行车数量的1.2倍．估计2015年底，全市将租赁点多少个？
23.关于的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2．
（1）求k的取值范围；
（2）如果x1+x2﹣x1x2＜﹣1且k为整数，求k的值．
24.A、B、C三人玩篮球传球游戏，游戏规则是：次传球由A将球随机地传给B、C两人中的某一人，当前的每传球都是由上次的传球者随机地传给其他两人中的某一人．
（1）求两次传球后，球恰在B手中的概率；
（2）求三次传球后，球恰在A手中的概率．
25.（8分）如图，已知直线y=x+k和双曲线y=（k为正整数）交于A，B两点．
（1）当k=1时，求A、B两点的坐标；
（2）当k=2时，求△AOB的面积；
（3）当k=1时，△OAB的面积记为S1，当k=2时，△OAB的面积记为S2，…，依此类推，当k=n时，△OAB的面积记为Sn，若S1+S2+…+Sn=，求n的值．
26.在一个三角形中，各边和它所对角正弦的比相等．即．利用上述结论可以求解如下标题．如：
在中，若，，求．
解：中，成绩处理：
如图，甲船以每小时海里速度向正航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏东方向的处，且乙船从处按北偏东方向匀速直线航行，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏东方向的处，此时两船相距海里．
（1）判断的外形，并给出证明．
（2）乙船每小时航行多少海里？
如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ=90°，AQ：AB=3：4，作△ABQ的外接圆O．点C在点P右侧，PC=4，过点C作直线m⊥l，过点O作OD⊥m于点D，交AB右侧的圆弧于点E．在射线CD上取点F，使DF=CD，以DE，DF为邻边作矩形DEGF．设AQ=3x
27.（1）用关于x的代数式表示BQ，DF．
28.（2）当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90，求AP的长．
29.（3）在点P的整个运动过程中，①当AP为何值时，矩形DEGF是正方形？
②作直线BG交⊙O于点N，若BN的弦心距为1，求AP的长（直接写出答案）．
30.如图，抛物线y=x2﹣4x与x轴交于O，A两点，P为抛物线上一点，过点P的直线y=x+m与对称轴交于点Q．
（1）这条抛物线的对称轴是，直线PQ与x轴所夹锐角的度数是；
（2）若两个三角形面积满足S△POQ=S△PAQ，求m的值；
（3）当点P在x轴下方的抛物线上时，过点C（2，2）的直线AC与直线PQ交于点D，求：①PD+DQ的值；②PD•DQ的值．
【精品分析】江苏省苏州市2021-2022学年中考数学模仿试题（三模）
（解析版）
一、选一选（共10小题，每小题3分，满分30分）
1.的倒数是（）
A.B.C.D.【答案】C
【解析】
【分析】由互为倒数的两数之积为1，即可求解．
【详解】∵，∴的倒数是.故选C
2.下列运算正确的是（）
A.a2+a5=a7
B.（﹣a2）3=a6
C.a2﹣1=（a+1）（a﹣1）
D.（a+b）2=a2+b2
【答案】C
【解析】
【详解】A选项：a2+a5不能进行合并同类项，故A选项错误；
B选项：（－a2）3=－a6，故B选项错误；
C选项正确；
D选项：（a+b））2=a2+2ab+b2，D选项错误.故选C.点睛：（1）留意完全平方公式和平方差公式的区别；
（2）进行幂运算时，留意符号成绩.3.下列图形中，对称图形有（）
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
【答案】B
【解析】
【分析】根据对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做对称图形进行解答．
【详解】解：、二、三个图形是对称图形，第四个图形是轴对称图形，不是对称图形.综上所述，是对称图形的有3个.故选：B.【点睛】本题考查了对称图形，解题的关键是纯熟的掌握对称图形的定义.4.有一种细胞直径约为0.000
058cm．用科学记数法表示这个数为（）
A.5.8×10﹣6
B.5.8×10﹣5
C.0.58×10﹣5
D.58×10﹣6
【答案】B
【解析】
【详解】科学记数法的表示方式为a×10n的方式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点挪动了多少位，n的值与小数点挪动的位数相反．当原数值大于1时，n是负数；当原数的值小于1时，n是负数．0.000058
mm，用科学记数法表示为5.8×10，故选B
5.在“我为震灾献爱心”的捐赠中，某班40位同窗捐款金额统计如下：
金额（元）
先生数（人）
则在这次中，该班同窗捐款金额的众数和中位数是（）
A.30，35
B.50，35
C.50，50
D.15，50
【答案】C
【解析】
【分析】根据众数、中位数的概念求解．
【详解】捐款为50元的人数最多15人，故捐款金额的众数为50，将捐款金额按照有小到大的顺序陈列,处于两头的数为第20、21两个数，中位数为，故中位数为50．
故选C
【点睛】此题考查了众数和中位数的概念，掌握众数和中位数的概念运用是处理成绩的关键．
6.使有意义的x的取值范围是（）
A.x＞
B.x＞-
C.x≥
D.x≥-
【答案】C
【解析】
【详解】由题意得：3x－1≥0，解得x≥．
故选C．
7.如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1、l2、l3分别相交于A、B、C和点D、E、F．若，DE＝4，则EF的长是（）
A.B.C.6
D.10
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例可得，代入计算即可解答．
【详解】解：∵l1∥l2∥l3，∴，即，解得：EF＝6．
故选：C．
【点睛】本题次要考查平行线分线段成比例定理，熟习定理是解题的关键．
8.下列命题正确的是（）
A.两个等边三角形全等
B.各有一个角是40°的两个等腰三角形全等
C.对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
【答案】C
【解析】
【详解】A．两个等边三角形不一定全等，有可能类似，故错误
B．各有一个顶角是40°的两个等腰三角形全等，故错误
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，正确
D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故错误
故选C
9.如图是由几个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该地位小立方块的个数，则这个几何体的主视图为（）
A.B.C.D.【答案】D
【解析】
【分析】根据各层小正方体的个数，然后得出三视图中主视图的外形，即可得出答案．
【详解】解：综合三视图，这个几何体中，根据各层小正方体的个数可得：主视图一共三列，左边一列1个正方体，左边一列1个正方体，两头一列有3个正方体，故选D．
【点睛】此题次要考查了先生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也表现了对空间想象能力方面的考查．
10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点P以每秒一个单位的速度沿着B—C—A运动，⊙P一直与AB相切，设点P运动的工夫为t，⊙P的面积为y，则y与t之间的函数关系图像大致是
A.B.C.D.【答案】B
【解析】
【分析】由勾股定理可求得AB的长度，分点P在BC上和在AC上两种情况，根据类似三角形对应边成比例求出⊙P的半径，从而可求得圆的面积，根据面积关系式即可确定答案．
【详解】在Rt△ABC中，由勾股定理得：
如图，过点P作PD⊥AB于D，由题意知，PD为⊙P半径
①当点P在BC上时
由题意得PB=t，则
∵
∴PD=
∴，其中
因此为二次函数，且开口向上，且t＞0时，y随t的增大而增大．
②当点P在AC边上时，如图
由题意得：，则
∵
∴
∴，其中
因此为二次函数，且开口向上，且时，y随t的增大而减小．
即y关于t的函数是由两段抛物线组成的，这只要B选项符合．
故选：B
【点睛】本题考查了动点成绩的函数图象，锐角三角函数等知识，根据题意分别求出点P在BC、AC上的函数解析式是解题的关键，也是难点．
二、填
空
题（共8小题，每小题3分，满分24分）
11.2﹣1等于__．
【答案】
【解析】
【详解】2﹣1=.故答案为.点睛：
=（a≠0）.12.分解因式：2x2﹣8=_______
【答案】2（x+2）（x﹣2）
【解析】
【分析】先提公因式，再运用平方差公式．
【详解】2x2﹣8，=2（x2﹣4），=2（x+2）（x﹣2）．
【点睛】考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键．
13.“五一”期间，某服装商店举行促销，全部商品八折，小华购买一件原价为140元的运动服，打折后他比按原价购买节省了_____元．
【答案】28
【解析】
【详解】根据题意，节省了140×（1-80%）=28元
14.某校正先生上学方式进行了抽样调查，并根据此次调查结果绘制了一个不残缺的扇形统计图，其中“其他”部分所对应的圆心角是36°，则“步行”部分所占百分比是_____．
【答案】40%
【解析】
【详解】试题分析：根据扇形统计图可得，其他所占的百分比为：，因此步行占的百分比为：1-15%-35%-10%=40%．
考点：扇形统计图
15.已知圆锥的底面圆半径为3cm，高为4cm，则圆锥的侧面积是________cm2.【答案】15π
【解析】
【详解】【分析】设圆锥母线长为l，根据勾股定理求出母线长，再根据圆锥侧面积公式即可得出答案.【详解】设圆锥母线长l，∵r=3，h=4，∴母线l=，∴S侧=×2πr×5=×2π×3×5=15π，故答案为15π.【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，熟知圆锥的母线长、底面半径、圆锥的高以及圆锥的侧面积公式是解题的关键.16.如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需_____个五边形．
【答案】7
【解析】
【分析】延伸正五边形的相邻两边交于圆心，求得该圆心角的度数后，用360°除以该圆心角的度数即可得到正五边形的个数，减去3后即可得到本题答案．
【详解】延伸正五边形的相邻两边，交于圆心，∵正五边形的外角等于360°÷5=72°，∴延伸正五边形的相邻两边围成的角的度数为：180°-72°-72°=36°，∴360°÷36°=10，∴排成圆环需求10个正五边形，故
排成圆环还需
7个五边形．
故答案7．
【点睛】本题考查了正五边形与圆的有关运算，属于层次较低的标题，解题的关键是正确地构造圆心角．
17.如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD、AE分别为△ABC的中线和角平分线，过点C作CH⊥AE于点H，并延伸交AB于点F，连结DH，则线段DH的长为_____．
【答案】1
【解析】
【分析】首先证明△ACF是等腰三角形，则AF=AC=3，HF=CH，则DH是△BCF的中位线，利用三角形的中位线定理即可求解．
【详解】∵AE为△ABC的角平分线，CH⊥AE，∴△ACF是等腰三角形，∴AF=AC，∵AC=3，∴AF=AC=3，HF=CH，∵AD为△ABC的中线，∴DH是△BCF的中位线，∴DH=BF，∵AB=5，∴BF=AB﹣AF=5﹣3=2．
∴DH=1，故答案为1．
考点：1．三角形中位线定理；2．等腰三角形的判定与性质．
18.（2015孝感，第16题，3分）如图，四边形ABCD是矩形纸片，AB=2．对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，折痕为EF；展平后再过点B折叠矩形纸片，使点A落在EF上的点N，折痕BM与EF相交于点Q；再次展平，连接BN，MN，延伸MN交BC于点G．有如下结论：
①∠ABN=60°；②AM=1；③QN=；④△BMG是等边三角形；⑤P为线段BM上一动点，H是BN的中点，则PN+PH的最小值是．其中正确结论的序号是__________．
【答案】①④⑤．
【解析】
【详解】解：如图1，连接AN，∵EF垂直平分AB，∴AN=BN，根据折叠的性质，可得：AB=BN，∴AN=AB=BN，∴△ABN为等边三角形，∴∠ABN=60°，∠PBN=60°÷2=30°，即结论①正确；
∵∠ABN=60°，∠ABM=∠M，∴∠ABM=∠M=60°÷2=30°，∴AM=AB•tan30°==，即结论②不正确；
∵EF∥BC，QN是△MBG的中位线，∴QN=BG，∵BG=BM=AB÷cos∠ABM==，∴QN==，即结论③不正确；
∵∠ABM=∠MBN=30°，∠BNM=∠BAM=90°，∴∠BMG=∠BNM﹣∠MBN=90°﹣30°=60°，∴∠MBG=∠ABG﹣∠ABM=90°﹣30°=60°，∴∠BGM=180°﹣60°﹣60°=60°，∴∠MBG=∠BMG=∠BGM=60°，∴△BMG为等边三角形，即结论④正确；
∵△BMG是等边三角形，点N是MG的中点，∴BN⊥MG，∴BN=BG•sin60°==2，P与Q重合时，PN+PH的值最小，∵P是BM的中点，H是BN的中点，∴PH∥MG，∵MG⊥BN，∴PH⊥BN，又∵PE⊥AB，∴PH=PE，∴PN+PH=PN+PE=EN，∵EN===，∴PN+PH=，∴PN+PH的最小值是，即结论⑤正确．
故答案为①④⑤．
三、解
答
题（共10小题，满分76分）
19.计算：．
【答案】
【解析】
【分析】先根据一个数的负指数幂等于正指数幂的倒数，一个不等于零的数的零指数幂为１，一个数的值是非负数，角三角函数值sin60°=，求出各项的值即可．
【详解】解：原式
【点睛】本题考查实数的混合运算；角三角函数值．
20.解不等式组．
【答案】-2≤x<.【解析】
【详解】试题分析：先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分.试题解析：
解：解不等式4（x+1）≤7x+10，得：x≥－2，解不等式x－5＜，得：x＜，则不等式组的解集为：－2≤x＜.点睛:不等式左右两边除以同一个负数，不等式的符号要改变.21.先化简，再从0，1，2中选一个合适的x的值代入求值．
【答案】，.【解析】
【详解】试题分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把x=1代入计算即可求出值．
试题解析：原式=
⋅
=，当x=0或2时，分式有意义，当x=1时,原式=.22.为处理“一公里”的交通接驳成绩，北京市投放了大量公租自行车供市民运用．到2013年底，全市已有公租自行车25000辆，租赁点600个．估计到2015年底，全市将有公租自行车50000辆，并且平均每个租赁点的公租自行车数量是2013年成平均每个租赁点的公租自行车数量的1.2倍．估计2015年底，全市将租赁点多少个？
【答案】估计到2015年底，全市将有租赁点1000个
【解析】
【分析】设2015年底全市租赁点有x个．根据“2013年成平均每个租赁点的公租自行车数量的1.2倍．”列方程，解方程即可得出答案．
【详解】解：设2015年底全市租赁点有x个．，解得：x＝1000，经检验：x＝1000是原方程的解，且符合实践情况．
答：估计到2015年底，全市将有租赁点1000个．
【点睛】本题次要考查了分式方程的运用，明确题意，精确得到等量关系是解题的关键．
23.关于的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2．
（1）求k的取值范围；
（2）如果x1+x2﹣x1x2＜﹣1且k为整数，求k的值．
【答案】解：（1）k≤0．（2）k的值为﹣1和0．
【解析】
【分析】（1）方程有两个实数根，必须满足△=b2-4ac≥0，从而求出实数k的取值范围；（2）先由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=-2，x1x2=k+1．再代入不等式x1+x2-x1x2<-1，即可求得k的取值范围，然后根据k为整数，求出k的值．
【详解】(1)∵方程有实数根，∴△=22−4(k+1)≥0，解得k
≤0.故k的取值范围是k≤0.(2)根据一元二次方程根与系数的关系,得=−2,=k+1，−=−2−(k+1).由已知,得−2−(k+1)<−1，解得k>−2.又由(1)k≤0，∴−2 （1）求两次传球后，球恰在B手中的概率； （2）求三次传球后，球恰在A手中的概率． 【答案】（1）；（2） .【解析】 【详解】试题分析：（1）直接列举出两次传球的一切结果，球球恰在B手中的结果只要一种即可求概率；（2）画出树状图，表示出三次传球的一切结果，三次传球后，球恰在A手中的结果有2种，即可求出三次传球后，球恰在A手中的概率． 试题解析: 解：（1）两次传球的一切结果有4种，分别是A→B→C，A→B→A，A→C→B，A→C→A．每种结果发生的可能性相等，球球恰在B手中的结果只要一种，所以两次传球后，球恰在B手中的概率是； （2）树状图如下，由树状图可知，三次传球的一切结果有8种，每种结果发生的可能性相等．其中，三次传球后，球恰在A手中的结果有A→B→C→A，A→C→B→A这两种，所以三次传球后，球恰在A手中的概率是． 考点：用列举法求概率． 25.（8分）如图，已知直线y=x+k和双曲线y=（k正整数）交于A，B两点． （1）当k=1时，求A、B两点的坐标； （2）当k=2时，求△AOB的面积； （3）当k=1时，△OAB的面积记为S1，当k=2时，△OAB的面积记为S2，…，依此类推，当k=n时，△OAB的面积记为Sn，若S1+S2+…+Sn=，求n的值． 【答案】（1）A（1，2），B（﹣2，﹣1）；（2）4；（3）6.【解析】 【详解】试题分析：（1）由k=1得到直线和双曲线的解析式，组成方程组，求出方程组的解，即可得到A、B两点的坐标；（2）先由k=2得到直线和双曲线的解析式，组成方程组，求出方程组的解，即可得到A、B两点的坐标；再求出直线AB的解析式，得到直线AB与y轴的交点（0，2），利用三角形的面积公式，即可解答．（3）根据当k=1时，S1=×1×（1+2）=，当k=2时，S2=×2×（1+3）=4，…得到当k=n时，Sn=n（1+n+1）=n2+n，根据若S1+S2+…+Sn=，列出等式，即可解答． 试题解析：（1）当k=1时,直线y=x+k和双曲线化为：y=x+1和y=，解得，∴A(1,2),B(−2,−1)，(2)当k=2时,直线y=x+k和双曲线化为：y=x+2和y=，解得，∴A(1,3),B(−3,−1) 设直线AB的解析式为：y=mx+n，∴，∴，∴直线AB的解析式为：y=x+2 ∴直线AB与y轴的交点(0,2)，∴S△AOB=×2×1+×2×3=4； (3)当k=1时,S1=×1×(1+2)=，当k=2时,S2=×2×(1+3)=4，… 当k=n时,Sn=n(1+n+1)= n2+n，∵S1+S2+…+Sn=，∴×(12+22+32+…+n2)+(1+2+3+…n)=，整理得：×n(n+1)(2n+1)6+n(n+1)2=，解得：n=6.26.在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．即．利用上述结论可以求解如下标题．如： 在中，若，，求． 解：中，成绩处理： 如图，甲船以每小时海里的速度向正航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏东方向的处，且乙船从处按北偏东方向匀速直线航行，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏东方向的处，此时两船相距海里． （1）判断的外形，并给出证明． （2）乙船每小时航行多少海里？ 【答案】（1）是等边三角形．（2）海里 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据图形和已知可得，及，可证得是等边三角形； （2）由图可求，然后可求，由，再根据正弦定理可求解，然后根据乙船行驶的工夫求出速度即可． 试题解析：解：（1）是等边三角形． 证明：如图，由已知，，又，是等边三角形． （2）是等边三角形，由已知，．，在中，由正弦定理得： 因此，乙船的速度的大小为（海里/小时）． 答：乙船每小时航行海里． 考点：等边三角形，正弦定理 如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ=90°，AQ：AB=3：4，作△ABQ的外接圆O．点C在点P右侧，PC=4，过点C作直线m⊥l，过点O作OD⊥m于点D，交AB右侧的圆弧于点E．在射线CD上取点F，使DF=CD，以DE，DF为邻边作矩形DEGF．设AQ=3x 27.（1）用关于x的代数式表示BQ，DF． 28.（2）当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90，求AP的长． 29.（3）在点P的整个运动过程中，①当AP为何值时，矩形DEGF是正方形？ ②作直线BG交⊙O于点N，若BN的弦心距为1，求AP的长（直接写出答案）． 【答案】27.BQ=5x，FD=3x； 28.9； 29.①12或或3；②6或． 【解析】 【分析】（1）根据Rt△ABQ中AQ:AB=3:4得出AQ=3x，AB=4x，BQ=5x，根据CD⊥m，l⊥m得出OD∥l，则OB=OQ，AH=BH=2x，则CD=2x，则FD=CD=3x； （2）AP=AQ=3x，PC=4，CQ=6x+4 作OM⊥AQ于点M（如图①）根据外接圆的性质得出∠BAQ=90°，则点O是BQ的中点，则QM=AM=x，则OD=MC=x+4，OE=x，ED=2x+4，根据矩形的面积求出x的值，从而的可得AP的长度； （3）①当矩形为正方形时，则ED=FD，点P在点A的右侧时，画出图形得出2x+4=3x，得出x的值和AP的长度；点P在点A的左侧时，当点C在点Q右侧当 0＜x＜时，画出图形得出ED=4－7x，FD=3x，求出x的值和AP的长度；当≤x＜时，ED=7－4x，DF=3x，从而求出x的值；当点C在点Q左侧时，即x≥画出图形可得：DE=7x－4，DF=3x，然后求出x的值和AP的长度； ②、连结NQ，有点O到BN的弦心距为1得：NQ=2，当点N在AB的左侧时画出图形，过点B作BM⊥EG于点M，根据GM=x，BM=x得出∠GBM=45°，根据BM∥AQ，AB=4x“，IQ=x，NQ==2，从而求出x的值，得出AP的长度；当点N在AB的右侧时，画出图形，然后利用异样的方法求出AP的长度． 【27题详解】 解：在Rt△ABQ中，记的交点为 ∵AQ:AB=3:4 ∴AQ=3x ∴AB=4x BQ= 又∵OD⊥m，l⊥m，∴，∠HDC=∠DCA=90° ∵OB=OQ ∴AH=BH=AB=2x ∵∠BAQ=90°，∴∠HAC=180°-∠BAQ=90° ∵∠HDC=∠DCA=∠HAC =90°，∴四边形ACDH为矩形，∴AH=CD，∴CD=2x ∴FD=CD=3x； 【28题详解】 解：∵AP=AQ=3x PC=4，∴CQ=6x+4，作OM⊥AQ于点M（如图①），∴，∵O是△ABQ的外接圆 ∠BAQ=90°，∴点O是BQ的中点，∴QM=AM=x，∴OD=MC=x+4，∴OE=BQ=x，∴ED=2x+4，∴矩形DEGF的面积=DF·DE=3x（2x+4）=90，整理得： ∴=－5（舍去）=3，∴AP=3x=9； 【29题详解】 解：①若矩形DEGF是正方形 则ED=FD，I、点P在点A的右侧时（如图①） ∴2x+4=3x，解得：x=4，∴AP=3x=12，II、点P在点A的左侧时 当点C在点Q右侧 0＜x＜时（如图②） ∵ED=4－7x，FD=3x，∴4－7x=3x，解得：x=，∴AP=，当≤x＜时（如图③） ED=7－4x，DF=3x，∴7－4x=3x，解得：x=1（舍去），当点C在点Q左侧时，即x≥（如图④） DE=7x－4，DF=3x，∴7x－4=3x，解得：x=1，∴AP=3，综上所述：当AP为12或或3时，矩形DEGF是正方形 ②AP的长为6或，连结NQ，OD交AB于S，OU⊥BN于U，∵点O到BN的弦心距为1 ∴OU=1，∵OU⊥BN，∴BU=NU，OB=OQ，∴NQ=2OU=2 当点N在AB的左侧时（如图⑤） 过点B作BM⊥EG于点M ∵GM=OE-OS=，BM=GE-BS=3x-2x=x ∴∠GBM=45°，∴，∴AI=AB=4x ∴IQ=IA-AQ=x，∵，∴∠NIQ=∠GBM=45°，∴IN=NQ，根据勾股定理即，∴NQ==2，∴x=2，∴AP=6； 当点N在AB的右侧时（如图⑥），过点B作BJ⊥GE于点J ∵GJ=GE-，BJ=OE+，∴tan∠GBJ=，∴BJ∥AC，∴∠GBJ=∠BIA，∴tan∠BIA= tan∠GBJ=，∴AI=16x，∴QI=AI+AQ=16x+3x=19x，∴tan∠NIQ=，∴IN=4QN，根据勾股定理即，∴NQ==2，∴x=，∴AP=.【点睛】本题考查直径所对圆周角性质，矩形判定与性质，勾股定理，一元二次方程，锐角三角函数，线段的和差，平行线性质，掌握直径所对圆周角性质，矩形判定与性质，勾股定理，一元二次方程，锐角三角函数，线段的和差，平行线性质是解题关键． 30.如图，抛物线y=x2﹣4x与x轴交于O，A两点，P为抛物线上一点，过点P的直线y=x+m与对称轴交于点Q． （1）这条抛物线的对称轴是，直线PQ与x轴所夹锐角的度数是； （2）若两个三角形面积满足S△POQ=S△PAQ，求m的值； （3）当点P在x轴下方的抛物线上时，过点C（2，2）的直线AC与直线PQ交于点D，求：①PD+DQ的值；②PD•DQ的值． 【答案】（1）2，45°；（2）﹣1或2；（3）①6；②18.【解析】 【详解】试题分析：（1）把解析式转化成顶点式，或利用对称轴公式即可得该抛物线的对称轴，利用直线y=x+m与坐标轴的交点坐标即可求得直线PQ与x轴所夹锐角的度数；（2）分情况讨论，即直线PQ与x轴的交点落在OA的延伸线上，OA上，AO的延伸线上三种情况讨论m值.设直线PQ交x轴于点B，分别过O点，A点作PQ的垂线，垂足分别是E、F，当点B在OA的延伸线时，S△POQ=S△PAQ不成立；当点B落在线段OA上时，由△OBE∽△ABF得，由对称轴求出A点坐标，再由比例式求出B点坐标，代入直线PQ解析式，即可求得m值；当点B落在线段AO的延伸线上时，同理由比例式求出B点坐标，进而确定m值；(3)①由题意可过点C作CH∥x轴交直线PQ于点H，可得△CHQ是等腰三角形，AD⊥PH，DQ=DH，PD＋DQ=PH，过P点作PM⊥CH于点M，可得△PMH是等腰直角三角形，PH=PM，即当PM时，PH，显然当点P在抛物线顶点处时，PM，此时PM=6，于是求得PH的值.即PD＋DQ的值；②上题求得PD+DQ的值为6．即PD+DQ ≤6，设PD=a，则DQ ≤6－a，所以PDDQ≤a（6－a）=－（a－3）2＋18，即当PD=DQ=3时求得PDDQ的值 试题解析：（1）∵y=x2－4x=(x－2)2－4，∴抛物线的对称轴是直线x=2，∵直线y=x+m与坐标轴的交点坐标为(－m，0)，(0，m)，∴交点到原点的距离相等，∴直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，∴直线PQ与x轴所夹锐角的度数是45°.故答案为x=2；45°．（2）设直线PQ交x轴于点B，分别过O点，A点作PQ的垂线，垂足分别是E、F，显然当点B在OA的延伸线时，OE>AF,S△POQ=S△PAQ不成立；①当点B落在线段OA上时，如图①，由△OBE∽△ABF得，∴AB=3OB，∴OB =OA，由y=x2－4x得点A（4，0），∴OB=1，∴B（1，0），代入y=x+m,∴1＋m=0，∴m=－1；②当点B落在线段AO的延伸线上时，如图②，同理可得OB =OA=2，∴B（－2，0），∴－2＋m=0，∴m=2，；综上所述，当m=－1或2时，S△POQ=S△PAQ； （3）①过点C作CH∥x轴交直线PQ于点H，如图③，可得△CHQ是等腰三角形，∵=45°+45°=90°，∴AD⊥PH，∴DQ=DH，∴PD＋DQ=PH，过P点作PM⊥CH于点M，则△PMH是等腰直角三角形，∴PH=PM，∴当PM时，PH，∴当点P在抛物线顶点处时，PM，此时PM=6，∴PH的值为6，即PD+DQ的值为6．②由①可知：PD+DQ ≤6，设PD=a，则DQ ≤6－a，∴PDDQ ≤a（6－a）=－a2＋6a=－（a－3）2＋18，∵当点P在抛物线的顶点时，a=3，∴PDDQ ≤18．；∴PDDQ的值为18． 考点：1.二次函数与函数综合题；2.二次函数的值成绩；3.函数与图形面积综合题.
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