《分式》知识点归纳与总结
一、分式的定义:
一般地,如果A,B表示两个整数,并且B中含有字母,那么式子叫做分式,A为分子,B为分母。
二、与分式有关的条件
①分式有意义:分母不为0()
②分式无意义:分母为0()
③分式值为0:分子为0且分母不为0()
④分式值为正或大于0:分子分母同号(或)
⑤分式值为负或小于0:分子分母异号(或)
⑥分式值为1:分子分母值相等(A=B)
⑦分式值为-1:分子分母值互为相反数(A+B=0,)
三、分式的基本性质
分式的分子和分母同乘(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变。
字母表示:,其中A、B、C是整式,C0。
拓展:分式的符号法则:分式的分子、分母与分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变,即:
注意:在应用分式的基本性质时,要注意C0这个限制条件和隐含条件B0。
四、分式的约分
1.定义:根据分式的基本性质,把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分。
2.步骤:把分式分子分母因式分解,然后约去分子与分母的公因式。
3.注意:①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分,约去分子、分母系数的最大公约数,然后约去分子分母相同因式的最低次幂。
②分子分母若为多项式,先对分子分母进行因式分解,再约分。
4.最简分式的定义:一个分式的分子与分母没有公因式时,叫做最简分式。
◆约分时。分子分母公因式的确定方法:
1)系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数.2)取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式.3)如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母分解因式,然后判断公因式.五、分式的通分
1.定义:把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式,叫做分式的通分。
(依据:分式的基本性质!)
2.最简公分母:取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母,这样的公分母叫做最简公分母。
◆通分时,最简公分母的确定方法:
1.系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数.2.取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式.3.如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母.六、分式的四则运算与分式的乘方
①
分式的乘除法法则:
分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母。式子表示为:
分式除以分式:把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘。式子表示为:
②
分式的乘方:把分子、分母分别乘方。式子表示为:
③
分式的加减法则:同分母分式加减法:分母不变,把分子相加减。式子表示为:
异分母分式加减法:先通分,化为同分母的分式,然后再加减。式子表示为:
整式与分式加减法:可以把整式当作一个整数,整式前面是负号,要加括号,看作是分母为1的分式,再通分。
④
分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序
先乘方、再乘除、后加减,同级运算中,谁在前先算谁,有括号的先算括号里面的,也要注意灵活,提高解题质量。
注意:在运算过程中,要明确每一步变形的目的和依据,注意解题的格式要规范,不要随便跳步,以便查对有无错误或分析出错的原因。
加减后得出的结果一定要化成最简分式(或整式)。
七、整数指数幂
①
引入负整数、零指数幂后,指数的取值范围就推广到了全体实数,并且正正整数幂的法则对对负整数指数幂一样适用。即:
())
()
(任何不等于零的数的零次幂都等于1)
其中m,n均为整数。
八、分式方程的解的步骤:
⑴去分母,把方程两边同乘以各分母的最简公分母。(产生增根的过程)
⑵解整式方程,得到整式方程的解。
⑶检验,把所得的整式方程的解代入最简公分母中:
如果最简公分母为0,则原方程无解,这个未知数的值是原方程的增根;如果最简公分母不为0,则是原方程的解。
产生增根的条件是:①是得到的整式方程的解;②代入最简公分母后值为0。
九、列分式方程——基本步骤:
①
审:仔细审题,找出等量关系。
②
设:合理设未知数。
③
列:根据等量关系列出方程(组)。
④
解:解出方程(组)。
⑤
验:检验
⑥
答:答题。