HPM视角下的对数概念教学（推荐）

第一篇：HPM视角下的对数概念教学（推荐）

【编者按】 本刊自2014年第5期开始，陆续刊发了华东师范大学汪晓勤教授及其团队开发的3则针对中学的HPM教学案例，深受教师们的欢迎。本期，我们来分享金惠萍、王芳老师的研究成果。

金惠萍，王芳（浙江省义乌中学,322000）

摘要：对数的发展史大体上可分为简化运算思想的形成、对数表的发明、指数与对数关系的发现3个阶段。随着计算工具的不断变革与普及，教材的编写略去了对数发展史的前2个阶段，导致学生缺乏对对数产生背景的了解，难以领悟其中的“算理”。沿着对数的发展脉络，把前2个阶段也纳入到课堂教学之中，进行了一次历史的“重构”，通过“感受运算之繁”、“发现数表之妙”、“享受用表之乐”、“体验查表之缺”等环节，促进了学生对对数概念的理解，对对数表的应用，获得了良好的教学效果以及来自学生的认可。关键词：HPM 对数 概念教学 教学设计 反馈

在人教版高中数学必修1中，对数概念是通过人口增长模型y=13×1.01x，在已知底数和幂值的条件下求指数的问题引入的。这种引入方式结合实际问题，简明扼要地指出了对数研究的必要性，揭示了对数与指数之间的内在关系，有利于保持《基本初等函数（Ⅰ）》这一章的系统性。尽管如此，对学生而言，对数毕竟是一种新的运算，它的表示及运算规则都是之前所不熟悉的。

在对数概念学习中，学生普遍存在着两种现象：一是对对数价值、作用的认识比较模糊，不知道为什么要引入对数；二是盲目套用对数运算法则，出现如loga(MN)=logaM·logaN、loga(M+N)=logaM·logaN之类的错误。导致上述现象的原因，是学生缺乏对对数产生背景的了解——未能领悟其中的“算理”，接受起来自然比较困难。英国数学史家福弗尔（J.Fauvel，1947～2001）认为，这种透过指数的定义方式太过于抽象和形式化，非但“无法带给学生任何的启蒙”，而且还会造成学生在对数概念学习上的“内在洞察力的丧失”。

为了弥补这一缺憾，教材在课后的“阅读与思考”栏目中，特别介绍了“对数的发明”，供学生了解对数的发展史。但从教学实施的情况来看，大部分学生并未对此给予应有的关注，而很多教师则常常因为课时的限制而未能将之纳入到课堂内，他们都辜负了教材编写者的良苦用心。能否寻求一种既不挤占教学时间又能清楚地诠释对数的“算理”，既不至于让本节课异化为“数学史课”又能够还学生一个“有血有肉”的对数概念的教学方式？

一、数学史对教学设计的启迪

由于人们常用的等比数列，其公比都是大于1的正整数，随着项数的增大，相邻两项的间隔越来越大，因而在实际计算中用处不大。鉴于此，苏格兰数学家纳皮尔（J.Napier,1550～1617）采用了十分接近于1的公比，将递减的等比数列与首项为0、公差为1的等差数列相对应，保证在一定范围内相邻两项的间隔非常小，在该范围内小于107的任何整数均可在同一个等比数列中找到。这样，就可以利用对应关系来简化乘除运算了。此外，纳皮尔还将离散的数列模型转化为连续的运动模型。1614年，纳皮尔出版《奇妙的对数定律说明书》，成为了对数的发明者。为了这一具有划时代意义的发明，纳皮尔整整花费了20年时间！不久，布里格斯（H.Briggs,1561～1630）改造了纳皮尔的对数，发明了常用对数。

虽然对数的发现早于指数，但直到1728年，瑞士的大数学家欧拉（L.Euler,1707～1783）理顺了指数与对数的关系，提出了“对数源于指数”之后，对数才被世人广泛接受。

由上可知，对数的发展史大体上可分为简化运算思想的形成、对数表的发明、指数与对数关系的发现3个阶段。随着计算工具的不断变革与普及，对数表逐渐淡出了人们的视野，新版教材也应时而变，略去了对数发展史的前2个阶段。但这段横跨200多年跌宕起伏、动人心魄的发展史，仍然耐人寻味，而其间每个阶段所凝聚的思想、智慧与精神，至今闪烁着动人的光芒。

为此，我们沿着对数的发展脉络，把前2个阶段也纳入到课堂教学之中，进行了一次历史的“重构”。

对于“第1阶段”，依据当时的历史事实，设计了一个“天文数字计算”的情境，以繁杂的计算为映衬，凸显出简化运算的迫切性。对于“第2阶段”，则进行适当的教育加工，设计了一场从“指数表”演化为“对数表”的探究活动。考虑到高一学生的认知水平，用“以2为底”代替“以10为底”，以提高规律的识别度，突出数表的强大作用，使学生的思维专注于“算理”的探究与运用上，进而深层次地理解对数概念的数学本质。

对于“第3阶段”的“指对关系”，并不单独呈现，而是将之作为一种思想方法，渗透至上述各个环节之中。

整合后的教学流程如图1所示。

二、课堂实录

下面给出本节课中几个主要环节的课堂实录。

（一）感受运算之繁

师（出示算式：299792.468+31536000=?）今天老师想考验大家的速算水平，请计算此式。生31835792.468。

师那把“＋”变成“×”的话呢?（学生众说不一，抱怨数据太大。）

师看来乘法比加法要难算。这个数据确实太大，但来自现实：299792.468（km/s）是光在真空中的速度，31536000是一年的总秒数，因此两数的乘积就是天文学中一光年的大小。光年是天文学单位，天文学中计算的数据就是以这个数据为基础的。生这么大，难怪叫天文数字。

师在16～17世纪，天文学开始迅速发展，并带动了很多领域的发展。天文学家为了计算一个行星的位置，时常需要耗费几个月甚至几年的时间，问题主要就集图1中在复杂的数据运算上。因此，改进运算方法成为了天文学家们的当务之急。

（二）发现数表之妙

师（出示表1）当时的数学家们也在试图改进运算方法，并在研究中发现了一些规律。请大家填写此表，并找出它的规律。

师那你能继续算一下x=10时，y所对应的数是多少吗？ 生1024。

师那15对应的数呢？（稍作停顿）大家能算吗？动手试试。生15个2相乘可得。

（教师和其他学生都笑了。）生

（新颖的想法激起了很多学生的兴趣。）

生我觉得它可以有很多种拆法，只要拆出来的2个数对应的指数之和等于15，就可以了。师很好！那还能算213、214以及其他的式子吗？ 生可以，只要像上面一样拆，就可以了。师通过这种方法，我们可以制作出一张表格。

（三）享受用表之乐

师（出示算式：16×128=?）同学们来看第2个算式。生2048。师算得很快。（出示算式：128×256=?）能不能再算一个？ 生32768。

师怎么可以算得这么快？我们请这位同学说说他的方法。生

师是吗？居然不用计算，查查表就可以了！（出示算式：0.125×1024=?）你们愿意再挑战一下吗？ 生

师（出示算式：4096×16384=?）那这个算式呢？ 生16384是2的几次方？

师请同学们拿出老师课前发给大家的表格A（见表2），看看有没有？ 生

生若要算67108864×512呢？表格A中没有啊！

生这个表最大只能查到230，要算235就不行了。有没有更大的表？ 师请查看课前发给大家的表格B（见表3）。

生表格B也只能算到260，虽然数据已经很大，但还是不一定够用啊！

生我认为这个问题可以解决，只要我们按照上面的方法把表格造出来，就可以了。但我觉得还有一个更大的问题：这样的表只能查2的整数指数幂，而对于其他数值，比如3×5，就不行了。

师看来还有很大问题。那怎么办？

生能不能把表做得更细一点，把3是2的几次方、5是2的几次方都做进去？

师可以。在16世纪，数学家们已经可以借助微积分计算出分数、小数指数幂的近似值。（出示《中学数学用表》）这个是《中学数学用表》，里面有张表格可以用来查询你所需要的数据，但要说明一下，它是以10为底的，不过原理是一样的。其实，这个表初中时也给大家发过，只是很少应用。生哇，好厉害！

师虽然表很好用，但造表的难度却相当大，不过一旦做好了，就能一劳永逸。500年前苏格兰数学家约翰·纳皮尔，用了人生中宝贵的20年时间，研究运算规律，并制作了一张可查的表格。数学家拉普拉斯说：“对数用缩短计算的时间来使天文学家的寿命加倍。”伽利略更是发出了豪言壮语：“给我时间、空间和对数，我可以创造出一个宇宙来。”对数表曾在几个世纪内为数学家、会计师、航海家和科学家广泛使用。（稍作停顿）想象一下，整整20年的时间里，约翰·纳皮尔每天都在不停地计算、计算„„而我们有时候可能计算个5分钟的时间，就已经没有耐心了。如果我们也能花这样的精力去做一件事情的话，每个人或许都能成为伟人了。

（学生被历史故事深深吸引，有的点头表示认同，有的陷入沉思之中。）师约翰·纳皮尔把表中上行的数称为“logarithm”。这个数表在康熙年间传入中国，《数理精蕴》中把表中下行的数称为“真数”，把“真数”上面那个“借来用一下”的数称为“借数”。“真数”一直沿用至今，而“借数”——“真数”上面那个“所对应”的数，后来被称为“对数”。

生（顿悟）原来“对数”不是指“对”（“错”的反义词）的数，而是指“对应”的数啊！

（四）体验查表之缺

师请大家思考之前的问题：299792.458×31536000，如何解决？

生如果有表格，则只需要找到299792.458所对应的x和31536000所对应的y，并求得x+y的值，再查表即得299792.458×31536000的结果。

师我们利用Excel操作模拟查表。请同学们观察这个计算存在什么问题。生查表所得到的乘积跟手算所得到的值不相等，查表所得只是近似值。生那能不能精确表示呢？

（师生共同讨论，发现数表解决不了这个问题。学生感觉比较失望。）

（五）引入符号之需

师大家一起回顾一下初中学习无理数时的场景，生它是一个符号，表示x2=2的正解。师是估计值吗？ 生是精确值。

生（小声嘀咕，不太敢说）对了，我们是不是也可以找一个记号来表示它们？

师嗯，你的意思是通过“定义”一个记号来表示新产生的对数。如何表示呢？（稍作停顿）历史上曾采用“logarithm”的缩写“log”来表示对数。例如，2x=3中的x就表示为log3。那么，2x=5呢？ 生x=log5。

生老师，这样好像有问题。如果我要表示3y=3中的y，那不也是log3了吗？重复使用了。师是有这个问题，怎么解决呢？

生我觉得是不是可以把底数也表示进去？ 师嗯，数学家们也这么认为，他们把底数也写入到记号中。例如，2x=3中的 x=log23，而3y=3中的y=log33。生哦。

师把这些记号一般化，就有了对数的定义：若ax=N，则数x就叫作以a为底N的对数，记作x=logaN，其中的a称为底数，N称为真数。

三、课后调查

本节课的授课对象是一所普通高中的一个高一普通班，课后的问卷调查结果显示：（1）在概念的理解上，86.4%的学生认同符号“log”，95.5%的学生能够准确判断“log”与“a”、“N”的关系，87.7%的学生看到对数式“x=logab”时的第一反应是“ax=b”，4道“指对互化”小题的答题正确率达98%——这说明本节课的教学并未影响学生对指对关系的认识。虽然本节课未讲授对数运算法则，但有75%的学生认为log2(a+b)=log2a·log2b(a>0,b>0）是“错误的”——这一数据明显高于该年级的其他班，表明学生已充分认识了对数中蕴含的简化运算思想，基本理解了对数“化乘法为加法”的“算理”。

（2）在数表的应用上，89.5%的学生认为“数表是在课前发的，且上课时仅仅用到了其中的若干数据，并无繁杂之感”；92%的学生认为“这些貌似冰冷的数字居然蕴含了如此丰厚的数学思想”，觉得大开眼界；54%的学生“突然明白了初中时发下来的那本‘数表’居然这么有用”，还有3位同学提出“把那本陈旧的‘数表’翻出来再研究一番”——这一结果令人惊喜，也打消了笔者课前存有的顾虑：对数表中的数据多，会不会让学生感觉到繁杂？教材中已经略去了对数表，现在虽经改良，但在短暂的时间内能不能起到应有的作用？

（3）在教学形式的认可上，95.5%的学生表示能够适应这节课的形式，93.2%的学生认为这节课的内容比教材中介绍的丰富多了，93.2%的学生对这节课所涉及的数学史知识，包括纳皮尔的故事、简易对数表格的制作、常用对数表的查表等，很感兴趣。

在进一步的访谈中，不少学生认为，现在的数学课比较单调，像这样有生动背景的课正是他们所喜欢和想要的；很多学生认为，这种授课方式可以拓宽他们的知识面，增进他们对数学的理解；所有的学生都认为，纳皮尔的执着与坚持给了自己很大的触动，要学习科学家们潜心研究、创新的精神。

四、结语 对数的出现，源于航海、天文等方面计算的需求。看似深奥的对数理论，其起源却是朴素的，因而更能贴近学生的思维，打动学生的心灵。早在2010年，章建跃先生就曾提出，“理解数学、理解学生、理解教学”是高中数学课程改革的基石。而要真正践行这“三个理解”，数学史是不可或缺的重要载体。以史为鉴，即是把“现成的知识”还原为“现实的问题”，在问题解决中经历数学知识的发生、发展过程，并通过追寻大师的足迹、仰望大师的风采，汲取人类文明中的无穷智慧。这，正是开展高品质教育的“人间正道”。

*本文系课程与教材研究所“十二五”规划课题《数学史融入高中数学教材研究》的HPM案例之一，由浙江省义乌市王芳数学教育工作室设计和实施。

第二篇：HPM视角下的角平分线教学

HPM视角下的角平分线教学

汪晓勤

（华东师大数学系, 上海, 200241）

笔者在文[1]中指出，如何将数学史融入数学教学，是HPM研究的中心课题之一。在与中学一线教师合作开发HPM案例的过程中，我们发现，教师手头缺乏有关的数学史材料；在我们提供材料之后，他们在材料的取舍上也存在一定困难。

“角平分线”是初中数学中的一个知识点，在上教版、苏教版和人教版三种教材中的具体信息见表1。

表1 三种教材中有关角平分线的内容

教材 上教版 年级 六下

所在章节

7.5 画角的和、差、倍

内 容

用折纸方法引出角平分线概念；用量角器画角平分线；角平分线的尺规作图法

苏教版 七上 七下

人教版 七上 6.2 角

11.3 探索全等三角形的条件 4.3 角

用折纸方法引出角平分线概念 用角尺的方法引出角平分线的作图 先给出角平分线的定义；再介绍折纸作角平分线的方法

八上 11.3 角的平分线的性质

通过角平分线仪器引出角平分线的作图法，通过折纸方法引出角平分线的性质定理，通过集贸市场选址问题引出上述性质定理的逆定理。

三种教材都没有涉及角平分线的具体历史，内容呈现也未采用历史的视角。1 历史、文化素材

1.1 角平分线的起源

角平分线问题或许源于生活实际，但古希腊数学家并不重视数学的实际应用，因而我们很难在古希腊数学文献中找到有关证据。而从数学内部看，角平分线问题的起源应该是很清楚的，那就是三大几何难题之一的化圆为方问题的求解。公元前5世纪，著名辩士、诗人安提丰（Antiphon）首次采用圆内接正多边形试图解决该问题：从圆内接正方形出发，不断倍增边数，当边数无限多时，圆就被化成了方，即圆面积得以求出。而倍增边数，需要通过作角平分线来完成。

古希腊人的作图工具是没有刻度的直尺和易散的圆规（双脚离开纸面后自动合拢），今称欧几里得工具。

1.2 角平分线的作图

欧几里得《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角。”[2]此即：作一个已知角的平分线。

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图1 《几何原本》卷1命题9

图2 欧几里得的角平分线作图法

欧几里得在《几何原本》中给出如下的作图法：在OA和OB上分别取点D和E，连接DE，在DE上作等边三角形DEF，则OF就是角AOB的平分线。欧几里得的作图法是书本 上作图法的特殊情形。其中，在一条已知线段上做一个正三角形，是《几何原本》第一卷的第一个命题。

1.3 角平分线的推广

知道角平分线的作图之后，我们很容易得到四等分角、八等分角、十六等分角、„的作图。问题是：我们能用尺规将一个角三等分吗？这也是古希腊三大几何难题之一——三等分角问题。古希腊数学家一次又一次的尝试均以失败而告终。直到19世纪，数学家彻底证明：三等分角的尺规作图是不可能的。一些古希腊数学家找到了解决这个问题的其他办法，有些人借助尺规以外的机械工具（如尼科梅德的蚌线），有些人构造两种不同运动（如希皮亚斯割圆曲线、阿基米德螺线），都涉及超越曲线。在欧几里得看来，这些办法都是不作数的，因为，它们不能通过尺规作图来实现。

1.4 角平分线的应用

美国数学史家和数学教育家史密斯（D.E.Smith, 1860-1944）在教师培训教材《几何教学法》中，提供了角平分线的两种实际应用[3]。如图3，要在两条街道所形成的岔路之间、距路口若干远处安装一盏路灯，问灯柱该立在何处？显然，要使路灯照在两条街上“一样亮”，就必须将灯柱立于两街所成角的平分线处。

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图3 岔路口的路灯

图4 日影实验

第二个例子是，选择一个晴天，让学生在上午9点左右，在操场上一点N处立一根高约5英尺的直竿，测量直竿影子的长度，并在影子的末端W处作一个记号；到下午3点左 右，再测量直竿的影长，等到影长与上午测得的影长NW完全相等时，在影子的末端E处做一个标记。于是，角WNE的平分线位于正南北方向，如图4所示。当太阳的影子位于NS上时，时间到了真太阳时的正午时分（与钟表上的12点有出入）。教学设计

将数学史、数学文化知识融入数学教学，必须遵循以下原则。

● 趣味性。教学内容应让学生觉得有趣才行。应该讲述数学背后的故事（当然，不能占太多时间）。

● 科学性。数学史材料应符合史实，而不是胡乱编造；数学上不能有错误。● 有效性。不是为数学史而数学史，而是为有效地完成三维目标而应用数学史。● 可学性。教学设计一定要符合学生的认知基础，易于为学生接受。

● 新颖性。HPM视角下的教学设计必须有新意、有特色，对教师专业发展起引领作用；而不是完全照本宣科，或网上下载，或人云亦云。

在上述原则，特别是有效性原则的指导下，我们来设计角平分线的教学。

2.1 引入

我们不可能按照历史上数学内部的需要来设计引入部分，而需要重构角平分线知识的发生过程。利用岔路口的路灯安装问题来引入，一方面，将教学建立在一个学生易于理解的生活情境的基础之上；另一方面，可以有效地激发学生的学习动机。这是发生教学法的基本思想。

2.2.作图

在介绍书本上的作图法之后，问学生：古代数学家又是如何作图的呢？为了体现趣味性，HPM教学设计强调恢复被课本所剥离的“人的元素”，除了增加趣味性，更重要的是让学生体会“数学有着悠久的历史”以及“数学是人类的文化活动，是人参与了数学活动”的道理。教师简单介绍古希腊数学家欧几里得和他的《几何原本》，接着介绍他的作图法。

引导学生讨论作图法背后的几何原理。2.3 引申

在向学生提出三等分角问题后，学生可能会提出用量角器作图。这时，教师可以提出问题：既然用量角器可以很快捷地解决作图问题，那为什么还要学尺规作图呢？尺规作图的意义何在呢？

除了准确性的原因以外，还有更深层次的原因。这里，教师有机会向学生讲解几何学的价值。我们为什么要学习几何学？利用几何学能解决现实问题，比如路灯安装问题。但这不是几何学的唯一价值。在古希腊，人们不看重、甚至十分鄙视这样的价值。在古希腊哲学家眼里，几何能将我们的灵魂引向真理，几何能让我们成为具有理性思维的高尚的人。所以，当一名来亚历山大向欧几里得求学的学生问：“我学了几何学，能获得什么实际好处？”欧几里得听后立即让下人丢给这名学生三个硬币，让他打道回府。在欧几里得眼里，这位实用主义者是不值一教的。

古希腊数学家坚持使用尺规，因为，尺规作图的每一步背后都是有理有据的，尺规作图是最可信的。尺规作图能够训练我们的逻辑思维，尺规作图体现了几何学在训练逻辑思维方面的价值。

为了加深学生对几何学价值的认识，教师不妨讲述美国总统林肯学习《几何原本》的真实故事。在1860年，林肯竞选总统时，他的简介上这么说[4]：

“自任国会议员以来，他学习并几乎精通了《几何原本》前6卷。他开始学习这门严密的学科，为的是提高他的能力，特别是逻辑和语言的能力。因此他酷爱《几何原本》，每次巡行，他总是随身携带它；直到能够轻而易举地证明前六卷中的所有命题为止。他常常学到深更半夜，枕边烛光摇曳，而同事们的鼾声却已此起彼伏、不绝于耳。”

2.4 应用

利用角平分线来解决一些几何问题，最后解决引入时提出的实际问题，实现首尾呼应。结语

“角的平分线”是一个平凡的课题，似乎无关HPM。所以，当笔者与昔日的一名教育硕士商量，选择一个该课题进行HPM进行设计并付诸实施时，引起在读研究生们的质疑。事实上，对于多数中学教师来说，中学数学的很多知识点，其背后的历史都是一个盲点。言有易，说无难。诚然，中学数学中，并不是所有知识点都需要从HPM视角进行教学设计。但是，很多知识点之所以会被认为不适合HPM教学，是因为人们对它们背后的历史知识知之甚少。任何知识都不是从天而降，都有其自然发生、发展的历史。只有了解一个知识点的历史，我们才能对其进行HPM教学设计。所以，数学史是HPM的基础，教育取向的数学史研究是HPM研究不可或缺的一个方向。

我们可以采用“五、四、三、二、一”来总结本教学设计的特点。本设计在五项原则的指导下，采用附加式（欧几里得、林肯的故事）、复制式（欧几里得作图法）、顺应式（三等分角问题）、重构式（由实际问题引入）四种方式，在实现知识和技能、过程与方法目标的同时，有效地实现了情感、态度、价值观目标。本设计寻求平衡，采用“两条腿”走路：既强调几何学在训练逻辑思维方面的价值，也体现几何学的实际应用价值。最后，我们可以将本设计定性为一种HPM视角下的教学设计。

参考文献：

[1] 汪晓勤.数学史与数学教育.教育研究与评论(中学教育教学), 2014,(1): 8-14 [2] Heath, T.L.The Thirteen Books of Euclid’s Elements.Cambridge: The University Press, 1968.264-267 [3] Smith, D.E.The Teaching of Geometry.Boston: Ginn and Company, 1911.137-139 [4] 汪晓勤.数学文化透视.上海: 上海科技出版社, 2013

第三篇：对数的概念教学反思

对数的概念教学反思

正确理解对数定义中底数的限制，为以后对数函数定义域的确定作准备。同时注意对数的书写，避免因书写不规范而产生的错误。本教学设计先由引例出发，创设情境，激发学生对对数的兴趣；在讲授新课部分，通过结合多媒体教学以及一系列的课堂探究活动，加深学生对对数的认识；最后通过课堂练习来巩固学生对对数的掌握。

第四篇：高一数学教案：对数的概念1

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课

题：2.3.1 对数-对数的概念

教学目的：1．理解对数的概念，能够进行对数式与指数式的互化；

2．渗透应用意识，培养归纳思维能力和逻辑推理能力，提高数学发现能力。

教学重点：对数的概念

教学难点：对数概念的理解.授课类型：新授课 课时安排：1课时

教 具：多媒体、背投

教材分析：17世纪初，为了解决很多位数的数字繁杂的计算而产生了对数。现在用对数进行大数的计算已被新的运算工具所取代，因此中学对于传统的对数内容进行了大量的删减。但对数函数应用还是广泛的，后续的教学内容也经常用到。

本节讲对数的定义和运算性质的目的主要是为了学习对数函数。对数概念与指数概念有关，是在指数概念的基础上定义的，在一般对数定义logaN(a0,a1)之后，给出两个特殊的对数：一个是当底数a10时，称为常用对数，简记作lgNb；另一个是底数ae(一个无理数)时，称为自然对数，简记作lnNb。这样既为学生以后学习或读有关的科技书给出了初步知识，也使教材大大简化，只保留到学习对数函数知识够用即可。教学过程：

一、复习引入：

在第2．2．2节的例4中，我们研究了一种放射性物质不断变化为其他物质的过程，设该物质最初的质量是1，则经过x年，该物质的剩留量y0.84，由此，知道了经过的时间x，就能求出的该物质的剩留量y；反过来，知道了该物质的剩留量y，怎样求出所经过的时间x呢？

●特别地，经过多少年这种物质的剩留量为原来的一半？

二、新授内容：

上述问题也就是求满足0.840.5中的x，此时问题就转化为已知底数和幂的值求指数。定义：一般地，如果 aa0,a1的b次幂等于N, 即 aN，那么就称b是以a为

bxx底 N的对数，记作 logaNb，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。

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b由对数的定义可知，aN与blogaN两个等式所表示的是a,b,N三个量之间的11同一关系。例如：39log392；log42422

22根据对数的定义可知，要解决本节开头提出的问题，就只要计算log0.840.5的值。●对数式logaN的理解

⑴是一种运算：已知底a和幂N求指数的运算，即求关于x的方程aN的解 ⑵是一个记号：用和幂N表示对应的指数的记号，是指数式aN的另一种等价表示形式logaNx

●⑴底a的要求大于零不为1。

⑵负数与零没有对数（∵在指数式中N0）⑶loga10，logaa1

∵对任意 a0且 a1, 都有 a1 ∴loga10 同样易知： logaa1

三、讲解范例：

例1．将下列指数式改写成对数式：

⑴216； ⑵3a4xx03b1； 27⑶520； ⑷()0.45 解：⑴log2164 ⑵log3273

⑶log520a ⑷log10.45b

212例2．将下列对数式改写成指数式：

⑴log51253； ⑵log1332； ⑶log10a1.699

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解：⑴53125 ⑵(12)3 ⑶101.699a 3●常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。为了简便, N的常用对数log10N简记作lgNb。如log10a1.699简记作lga1.699

自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e2.71828……为底的对数，以e为底的对数叫自然对数，为了简便，N的自然对数logeN简记作lnNb。例如：loge3简记作ln3；loge10简记作ln10

例3．求下列各式的值：

⑴log264； ⑵log927 解：⑴由264，得log2646

⑵设xlog927，则 927,，即3例4．求下列各式中的x

⑴log8xx62x33, 得x33，所以log927 222⑵logx27 34⑶log2(log3x)1 ⑷log5(lnx)0

例5．证明对数恒等式：alogaNN

logaNb●如果把 aN 中的 b写成 logaN, 则有 aN

四、练习：

五、小结 本节课学习了以下内容：

⑴对数的定义，⑵指数式与对数式互换 ⑶求对数式的值

六、课后作业：

七、板书设计（略）

八、课后记：

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第五篇：《对数的概念3》巩固练习

涟水中学高一级部数学学科教学案（编号：024）

《对数的概念3》巩固练习

班级_________姓名_________等第_________日期_________

一、填空题

1、(lg2)2(lg5)22lg2lg5的值为

2、log281log216log220log230______________ 33333、①log148log13____________ ②lg222512lg48_____________

4、①2112log52=_________________ ② log2[log2(log381)]=_________________

lg12lg155、已知lg2a,lg3b，则

二、解答题

等于_________________

6、（1）若lg20.3010,lg30.4771,求lg

45;

b（2）已知log189a,185,试用a、b表示log365

7、已知 2x43y12,求63x2y的值

《对数函数1》预习材料和课堂笔记

涟水中学高一级部数学学科教学案（编号：024）第1页 【知识点分解与课堂探究】

一、课前预习

1、对数函数的概念：

2、对数函数的图象和性质：

例题

1、求下列函数的定义域：

(1)ylog0.2(4x)(2)ylogax1(a0,a1)

(3)y1log9(3x6)(4)ylog(x1)(3x)

例题

2、利用对数函数的性质，比较下列各组数中两个数的大小：

(1)log23.4 log23.8(2)log0.51.8 log0.52.1

(3)log75 log67(4)log25.1 log15.9 2

例题

3、（1）不等式lg(43x)1的解集为。

（2）不等式loga231的解集为。

例题

4、求下列函数的值域：

2xlog3x 1ylog1(x24)2ylog3(x9)3ylog32

二、随堂练习

1、解下列方程

152x12(2)lg(3x1)2

2、求函数的f(x)log1(x6x17)值域。

22涟水中学高一级部数学学科教学案（编号：024）第2页