(no.1)2013年高中数学教学论文 探索课堂教学中对“问题”设计的思考 新人教版

第一篇：(no.1)2013年高中数学教学论文 探索课堂教学中对“问题”设计的思考 新人教版

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探索高中数学课堂教学中对“问题”设计的思考

《诱思探究教学论》中已重点阐述：教学活动总是通过一定的情境，调动学生的情意过程，以激励学生进入学习过程。即“创设情境，激发情意”。要求从教学行为上去创设情境，在教学心理上落实激发学生积极学习的情意因素。在数学科教学过程中，经常采用“愤悱情境”或“问题情境”的形式设置教学情境。因为思维总是从疑问开始。所以“问题”是解决人类思维的一种普遍的表现形式。在数学教学中，从课堂提问到新概念的形成与确立，新知识的巩固与应用，和学生思维方法的训练与提高，以及实际应用能力和创新能力的增强，无不从“问题”开始，在研究问题、解决问题的过程中努力实现。因此，课堂教学实质上就是依据教材内容和学生实际，师生重组旧知识，不断发现问题、研究问题、解决问题的活动。可以这样说，课堂教学就是“问题”的教学，教学“问题”。

课堂教学中的“问题”一方面依据于教材，另一方面取源于学生，但很大部分需要教师的再加工――“问题”的设计，那么如何把握课堂教学中“问题”的设计呢？仅从教者角度提出以下八个方面的思考，供大家教学中参考。

1、“问题”设计的趣味性（联系实际，贴近生活）

学生是课堂的主体，兴趣是最好的“老师”。充分调动、激励学生学习的求知欲和积极性是每个教育工作者不断为之奋斗的宗旨。显然“问题”的设计当然也离不开这个宗旨，联系实际，贴近生活就能让“问题”走近学生，使学生对“问题”产生极大的兴趣，这就为研究问题、解决问题提供了基础、动力和保证。

2、“问题”设计的导向性（强化“双基”，突出重点）

强化双基，夯实基础是教学工作的基本原则。“问题”取源于双基，通过解决问题又强化了双基，“问题”围绕重点，通过解决问题又突出了重点。让学生在不断提出问题、解决问题的流程中扎实双基，并认识夯实双基的重要。

3、“问题”设计的整体性（整体设置，相似强化）

“问题”设计的整体性，就是围绕课标对“问题”的设计作整体的考虑。注重从同一模型、相近题类和方法的归类等形成问题链，不仅产生布局设计的整体效果，也同时取得相似强化的特出成效。

4、“问题”设计的针对性（目标明确，补漏、纠偏）

“问题”设计的针对性不仅表现在对课堂提问的设计，而且也产生于学生阶段学习中的存在问题，即针对性问题又明确意向地去进行“问题”设计。

5、“问题”设计的启发性（利于思考，富于启迪）

苏霍姆林斯基曾说过，学生心灵深处有一种根深蒂固的需要――希望自己是一个发现者、研究者、探索者。所以数学问题的设计更应有助并满足学生的这种需要，学生能够自己发现问题，教师绝不包办，学生能够自己思考的问题，教师决不暗示，“问题”设计的启发性就是针对学生的这种心理需要，以问促思，以问促问，促进学生不断的再思再问。

6、“问题”设计的层次性（铺设“阶梯”，逐步深入）

问题解决的有效策略之一是：手段――目的分析策略，它的基本点是把需要解决的问题分析成一系列子问题，通过解决子问题逐步消除初始状态与目标状态之间的差异，从而导致问题的解决。因此，围绕某个总“问题”的解决，而设计一些子“问题”铺垫，来降低思维难度，这就是“问题”设计的层次性。

7、“问题”设计的深刻性（小中见大，揭示规律）

学生中不良习惯的表征之一：“眼高手低”。他们往往热衷于大题、难题的习作，疏忽对小题的思考与研究。作为教师适时地从小题研究入手，并进行拓展性的“问题”设计，在用心 爱心 专心 知识改变命运

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师生互动中，让学生取得“小中见大，揭示规律”的教育效果，这就是“问题”设计的深刻性。

8、“问题”设计的创新性（强化思维，求异创新）

思维是从问题开始的，有问题才有思考，有思考才有进行创造性学习的可能，所以问题是创造的基础。爱因斯坦说过：“提出一个问题往往比解决一个问题更为重要”。发现问题，提出问题是有效开发创新学习潜能的开端，创新学习也由此开始，因此，教师要根据实际情况，通过“问题”设计将科学发现过程简捷地重演于课堂，让学生积极主动地参与学习，给予他们充分的时间和空间，进行探索、猜想和发现。

“问题”设计的优化，它不仅是数学课堂教学的需要，也是其他学科课堂教学的需要。它需要现代化教育手段的支持和烘托。

“问题”设计的优化不仅符合新课程改革的要求，而且是课堂教学改革中必须重视的十分重要的研究课题。它的效应不单单表现为课堂教学效益的提高，更为重要的是对学生在学习中如何发现问题、提出问题、研究问题、解决问题起着潜移默化的影响，在此良性循环的过程中，学生的思维方法、思维能力、创新意识、创新精神不断得到锤炼与增强，这样才能使他们从“学会”逐步走向“会学”。

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第二篇：对高中数学课堂教学中问题设计的几点看法

对高中数学课堂教学中问题设计的几点看法

上海市松江二中 艾卫锋

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在数学教学中，从概念的形成与深化，新知识的巩固与应用，学生思维方法的训练与提高，以及学生应用能力和创新能力的增强，无不是围绕着“问题”展开，并在研究问题、解决问题的过程中逐步实现的。美国著名数学家哈尔莫斯曾说:“问题是数学的心脏。”从数学教学的角度看，如何设计一个 “好”的问题，它的标准该是什么呢？

从2005年开始，我和同组的尚皓老师以《对高中数学教学中问题设计的研究》为课题，综合运用对比研究、问卷调查等方法，围绕高中数学课堂教学中问题的设计、高中数学作业中问题的设计、高中数学试卷中问题的设计这三个方面对“怎样的问题才是符合学生实际的好问题”进行了研究。整个研究过程进行了三年时间。根据这次研究的情况，再结合我在十年教学实践过程中总结的点滴感受，我想重点谈谈对高中数学课堂教学中问题设计的一些粗浅看法。

课堂问题的设计，应竭力点燃学生思维的火花，激发他们的求知欲望，并有意识地为他们解决问题提供桥梁和阶梯，引导他们逐步掌握全新的知识和能力。然而，并非所有的问题都能达到预期的目标，有些肤浅，平庸的问题，再加上单调的问法，只能置学生于被动地位，抑制学生的思维活动，与以开发学生智力为目标的数学教育背道而弛。所以，实现课堂问题的优化设计，不但要研究问题的类型和提问的策略，技巧等，更重要是要优化设计问题的标准和原则。（下面我的阐述，均以高二第一学期第七章“等比数列”教学为背景）

1、问题应该具有一定的“开放性”。

课堂问题的“开放性”，首先表现在问题来源的“开放”。问题应具有一定的现实意义，与现实社会、生活实际有着直接关系，这种对社会、生活的“开放”，能够使学生体会到数学的价值和开展“问题解决”的兴趣。而兴趣乃是学生学习的强大的动力，是提高教学质量的要素。因此教师要从材料中选择能引起学生兴趣的热点，富有新意，使学生喜闻乐答。

比如本教材在“等比数列的前n项和”这节课时，安排了这样一个具有较强趣味性的问题引入。

“引例：相传印度国王西拉谟要奖励国际象棋发明者，问他有什么要求，发明者说：“请在棋盘上的64格中的第1格放入1粒麦粒，第2格放入2粒麦粒，第3格放入4粒麦粒，第4格放入8粒麦粒，依此类推，每一个格子放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到放完64个格子为止。”国王立即答应了。问国王将会给发明者多少粒麦粒？”

每个孩子都喜欢故事，特别是历史故事，即使高中生也不例外。这个引例充分利用了学生的好奇心，激发他们学习的主动性和积极性，从而有利于知识的迁移，有利于他们明确知识的现实应用。

一开始，我先让同学们利用前面所学知识计算了一下第64个格子中的麦粒数。而当等比数列的前n项和公式推导出来之后，回过头来我又让同学们计算所有格子中的麦粒总数。同学们解决完这些问题后，发现这两个问题的答案

64远比他们想象中的要“可怕”的多。特别是当我摆出这样一个事实“S6421。据查每千克小麦约10万粒，S64约1.841011吨。有资料记载，2004年世界粮食总产量为2.25109吨，因此S64相当于那年世界粮食总产量的82倍。”这些事实对学生的冲击力还是很强的，让他们进一步意识到数学可以帮助他们更准确的认识客观世界。

同时，问题的“开放性”，还包括问题具有多种不同的解法，或者多种可能的解答，打破“每一问题都有唯一的标准解答”和“问题中所给的信息都有用”的传统观念，这对于学生的思想解放和创新能力的发挥具有极为重要的意

义。

在“等比数列的前n项和”这节课最后，我提出这样问题：“已知等比数列an的前5项和为10，前10项和为50，求这个数列的前15项和。”

a1(1q5)101qS10很多同学开始都走了这样一条路：由题得到5,即，10S5010a1(1q)501q进一步解出a1和q，最后利用a1和q，求出S15。“这种做法完全正确”，我对同学们的做法予以了充分肯定。但同时指出它的缺陷在于中间的计算相对较为繁杂，得到的数据也没有那么“齐整”，比较易错。

而后我让同学思考还有没有其他解法，同时做了一定的“引导”。我把“S15=a1a2…a6a7…a11a12…a15”在黑板上一写，请同学观察a1、a6和，于是我在黑板上写上a11三者之间的关系，同学很快回答说“成等比”a6a11aaq5。然后请同学继续观察a2、a7和a12，得到712q5。以此类推，同a1a6a2a7学得到a6a7a8a9a10a11a12a13a14a15SSSS，即1051510，a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10S5S10S5显然可以很方便的得到S15。

解决完这个问题后，我鼓励同学们继续努力，举一反三，去探索解决“Sm,S2mSm,S3mS2m,S4mS3m,……是否依然成等比？”这个问题。

到此，同学深刻的体会到数学问题的解决，并没有一成不变的方法，解放自己的思想，开拓自己的思维，可以让问题的解决过程“更精彩”。

2、问题应该具有一定的启发性和可发展空间。

课堂问题的启发性不仅指问题的解答中包含着重要的数学原理，对于这些问题或者能启发学生寻找应该能够识别的模式，或者通过基本技巧的某种运用很快地得到解决。课堂问题的可发展空间是说问题并不一定在找到解答时就会结束，所寻求的解答可能暗示着对原问题的各部分作种种变化，由此可以引出新的问题和进一步的结论。问题的发展性可以把问题延伸、拓广、扩充到一般

情形或其他特殊情形，它将给学生一个充分自由思考、充分展现自己思维的空间。正如美籍匈牙利数学家波利亚所说“我们这里所指的问题，不仅是寻常的，它们还要求人们具有某种程度的独立见解、判断力、能动性和创造精神”。

比如推导等比数列前n项和公式时，介绍完教科书上的“错位相减法”后，我鼓励同学去探求其他的推导方法。为此我设计了一系列问题：

“同学们，实际上，等比数列的前n项和公式的推导还有其他方法，你们可以在思考一下。”（给出明确的信息“还有其他方法”，强化他们继续探索的信心。）

“同学们再仔细观察Sna1a1qa1q2a1qn1这个式子，如果我将这个式子做这样的一个变化”。（同时原式后补“a1q(a1a1qa1q2a1qn2)”，再在“a1a1qa1q2a1qn2”下用红笔画条线。）

“你们看这红线部分其实是什么？”（马上有同学回答说就是Sn1，于是我在前面的式子继续接着写上“a1qSn1”。）

“那我们现在求什么？”（同学回答说是“Sn”）

“那Sn1怎么办？”（接着彻底放手让学生自己去解决后面的问题。）（于是我们的同学很快找到了这种推导方法的后续步骤：）“ a1qSn1a1q(Snan)即，(1q)Sna1qan 当q1时，Sna1qan。1q当q1时，a1a2an，则Snna1。”

“乘胜追击”，我鼓励同学们继续探求其它的推导方法。同时给出一定的提示：“充分利用等比数列的定义一种解法„„”

同学们兴致变得异常高涨，很快在大家的热烈讨论和积极思考下，得到了

aa2a3nq，再结合比例的性质和上a1a2an1

等比数列前n项和公式的另一种推导方法：

“由等比数列的定义，得

aa2a3nq，运用比例的性质，得 a1a2an1a2a3anSaq，即n1q

a1a2an1Snan当q1时，Sna1qan； 1q当q1时，a1a2an，则Snna1。” 至此，同学的聪明才智得到充分的调动。

3、问题应该具有较强的目的性。

课堂问题要能直观的体现教学想要达到的目的，设计的内容要有针对性结合教学内容，针对教学的重点、难点，有助于学生对知识的理解和掌握。同时所设计的问题必须准确、清楚，符合学生的认知特点，适应学生已有的认知水平，切忌含糊不清、模棱两可。教学如果不掌握重点，就不会有真正的教学质量。因此，课堂问题的设计尤为重要。

在“等比数列的前n项和”这节课中，在引导同学推导出等比数列前n项和公式后，我马上让同学完成教科书上的例7，迅速巩固对这个公式的基本运用。

（附例7：求下列等比数列的各项的和：（1）1，，27,9,3,,1。）2431111；（2）

24816但很明显这个公式在实际应用的时候有一个最大的易错点—那就是同学容易忽略在运用公式前必须先判别该数列公比q是否为1。而这在前面的例7中并没有体现出来。所以我就安排了这样一道例题：“已知a0，求21aa3a5…an。”

拿到这道题很多同学是这么做的： “解：由题知aaa…a352n1a(1a2n)。” 21a

显然此解法，忽视了应对此题中的a进行分类讨论，分a1和a1两种情况来解决。虽然只是一次失败的经历，但同学得到应有的“教训”，迅速强化掌握了运用等比数列前n项和公式时的这个注意点。

在“等比中项”这个内容的教学时，为了强化同学对等比数列的“奇数项同号、偶数项同号”这个特点的认识，我安排了这样一个问题：

“在等比数列中an中，已知a11，a59，求a3。”

因为刚刚讲过等比中项的概念，所以很多同学马上看出a3是a1和a5的等比中项，于是得到了“a32a1a59,a33”。正好掉入“预先挖好的陷阱”。大家都说“吃一堑，长一智”，通过这个问题，让我们的同学比较“深刻”的记住了等比数列的这个特点。

我通过实践研究，充分感受到加强数学问题设计的针对性，促进学生“问题解决”能力的提高对提高高中数学教学效率的重要性。课堂问题的设计是课堂教学的重要组成部分，如何从心理学、教育学的角度来研究课堂问题的设计，这是每一位老师应重视的问题。如果问题设计遵从学生认识发展规律，符合学生的学习心理，同时教师指导有方、鼓励及时将会增强学生学习数学的信心与决心，增强学生对数学的热爱和追求。

以上只是我对高中数学课堂教学中问题设计的一些浅显看法。在接下去的教学实践中，我继续努力研究思考这一问题，力争使自己的看法更加客观完善。

主要参考文献

（1）上海市教育委员会：《上海市中小学数学课程标准》（试行稿），上海教育出版社，2004年

（2）奚定华、查建国、陈嘉驹：《高中数学能力型问题》，上海教育出版社，2008年

（3）（美国）H·伊夫斯：《数学史概论》，山西经济出版社，1993年（4）张奠宙等:《数学教育学导论》，高等教育出版社，2003年

（5）傅海伦:《课题情境与数学问题解决》，载《数学通报》，1994年10月

（6）李让琼：《浅论数学问题解决》，载《教育科研》，2008年4月

第三篇：(no.1)2013年高中数学教学论文 教学中问题情境的创设

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数学教学中问题情境的创设

数学问题情境是学生掌握知识、形成能力的重要源泉.作为教育工作者，应该在民主和谐的气氛下，联系实际，运用多种方法创设生动活泼的问题情境，提高数学教学的有效性.数学是思维的体操，而思维从惊讶开始.数学学习过程是一个不断发现问题的动态过程，创设问题情境就是在教材内容和学生求知心理之间创造一种“不协调”，把学生引入与问题有关的情境中.问题情境是指教师有目的、有意识地创设的各种情境，以促使学生去质疑问难、探索求解.因此，数学教学要以问题为载体，这样才能抓住课堂教学中思维这个“魂”，从而抓住课堂教学的根本.问题情境对于学生来说，是引发认知冲突的条件，对于教师来说，是引发学生认知冲突的手段.教师可以利用各种各样的问题情境引发创新思维.创设合适的问题情境，能够改进数学教学的呈现方式，使学生的自主探索、动手实践、合作交流活动成为可能，从而改变学生的学习方式.学习方式的改变具有极其重要的意义，这是因为学习方式的转变将会牵引出思维方式、生活方式、生存方式的转变.学生的自主性、独立性、能动性和创造性将因此得到张扬，学生将成为学习的主人.面对问题情境，学生要亲历一个解决问题的“过程”，这是非常重要的.学生的学习过程不仅是一个接受知识的过程，而且也是一个发现问题、分析问题、解决问题的过程.在这个过程中，既能暴露学生产生的各种疑问、困难、障碍和矛盾，又能展示学生的聪明才智和创新成果，还可能会面临挫折和失败，结果造成表面上一无所获的局面，但这却是学生的学习、生存、成长、发展、创造所必须经历的过程，是学生能力智慧发展的内在要求.这些才是创设问题情境的深层次目的.一、创设问题情境的主要方式

1．创设与生活有关的问题情境

数学来源于生活，数学又应用于生活，数学与生活密不可分，所以作为数学教师，我们应积极创设与生活有关的问题情境，引导学生自己发现数学命题（公理、定理、性质、公式）.例如，在讲“均值不等式”时，教师可设计测物体质量的实验，引导学生从中发现关于均值不等式的定理及其推论．通过物理中的问题，贴近生活，贴近实际，给学生创设了一个观察、联想、抽象、概括、数学化的过程．在这样的问题情境中，教师注意给学生动手、动脑的空间和时间，学生一定会想学、乐学、主动学.2．创设趣味性问题情境，引发学生自主学习的兴趣

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第四篇：对高中数学课堂教学中问题设计的几点看法

对高中数学课堂教学中问题设计的几点看法

张献洛

美国教育家杜威提出：“教育就是教会学生适应社会、适应生活。”在“做”中学，在“学”中做，学生面对的是实际社会生活，从而提出了“问题教学法”。又美国著名教育家布鲁纳倡导的“发现法教学”体现了通过教师提出要求、解决或研究的问题，创设问题的情境，使学生面临矛盾，产生疑惑，明确探索的目标或中心，教师带领和指导学生进行探索和发现的过程。

课堂提问是一门艺术，也是一种教学方法。苏联教育界倡导的一种教学方法，就叫问题教学法，已成为有世界影响的教学方法之一。问题是思维的向导，课堂提问是课堂教学实践的催化剂。合适的课堂提问，往往能把学生带入一个奇妙的问题世界，使学生积极思考问题，寻求解决问题的途径和答案，从而培养学生分析问题、解决问题的能力，有效地提高课堂教学效率。

有效教学设计。任何有效教学总意味着“想方设法”地让学生在单位时间内获得有效的发展。为了让学生在单位时间内获得有效的发展，教师需要在“上课”之前作好准备。这种准备活动最初称为“备课”，后来发展成系统的“教学设计”。教学设计只是教学行为的一种备择的教学方案。它需要借助于一系列“教学行为”实现教学方案的理想和价值。

在数学教学中，从概念的形成与深化，新知识的巩固与应用，学生思维方法的训练与提高，以及学生应用能力和创新能力的增强，无不是围绕着“问题”展开，并在研究问题、解决问题的过程中逐步实现的。美国著名数学家哈尔莫斯曾说:“问题是数学的心脏。”从数学教学的角度看，如

何设计一个 “好”的问题，它的标准该是什么呢？

本学年，我们高中数学组的一些老师以《对高中数学教学中问题设计的研究》为课题，综合运用对比研究、问卷调查等方法，围绕高中数学课堂教学中问题的设计、高中数学作业中问题的设计、高中数学试卷中问题的设计这三个方面对“怎样的问题才是符合学生实际的好问题”进行了研究。再结合我在三十年教学实践过程中总结的点滴感受，我想重点谈谈对高中数学课堂教学中问题设计的一些粗浅看法。

课堂问题的设计，应竭力点燃学生思维的火花，激发他们的求知欲望，并有意识地为他们解决问题提供桥梁和阶梯，引导他们逐步掌握全新的知识和能力。然而，并非所有的问题都能达到预期的目标，有些肤浅，平庸的问题，再加上单调的问法，只能置学生于被动地位，抑制学生的思维活动，与以开发学生智力为目标的数学教育背道而弛。所以，实现课堂问题的优化设计，不但要研究问题的类型和提问的策略，技巧等，更重要是要优化设计问题的标准和原则。

1、问题应该具有一定的“开放性”。

课堂问题的“开放性”，首先表现在问题来源的“开放”。问题应具有一定的现实意义，与现实社会、生活实际有着直接关系，这种对社会、生活的“开放”，能够使学生体会到数学的价值和开展“问题解决”的兴趣。而兴趣乃是学生学习的强大的动力，是提高教学质量的要素。因此教师要从材料中选择能引起学生兴趣的热点，富有新意，使学生喜闻乐答。比如教材在“等比数列的前n项和”这节课时，安排了这样一个具有较强趣味性的问题引入。

a1(1q5)10S101q很多同学开始都走了这样一条路：由题得到5,即，10S5010a1(1q)501q进一步解出a1和q，最后利用a1和q，求出S15。“这种做法完全正确”，我对同学们的做法予以了充分肯定。但同时指出它的缺陷在于中间的计算相对较为繁杂，得到的数据也没有那么“齐整”，比较易错。

而后我让同学思考还有没有其他解法，同时做了一定的“引导”。我把“S15=a1a2…a6a7…a11a12…a15”在黑板上一写，请同学观察a1、a6和a11三者之间的关系，同学很快回答说“成等比”，于是我在黑板上写上a6a11aaq5。然后请同学继续观察a2、a7和a12，得到712q5。以此类推，a1a6a2a7同学得到a6a7a8a9a10a11a12a13a14a15SSSS，即1051510，a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10S5S10S5显然可以很方便的得到S15。

解决完这个问题后，我鼓励同学们继续努力，举一反三，去探索解决“Sm,S2mSm,S3mS2m,S4mS3m,……是否依然成等比？”这个问题。

到此，同学深刻的体会到数学问题的解决，并没有一成不变的方法，解放自己的思想，开拓自己的思维，可以让问题的解决过程“更精彩”。

2、问题应该具有一定的启发性和可发展空间。

课堂问题的启发性不仅指问题的解答中包含着重要的数学原理，对于这些问题或者能启发学生寻找应该能够识别的模式，或者通过基本技巧的某种运用很快地得到解决。课堂问题的可发展空间是说问题并不一定在找到解答时就会结束，所寻求的解答可能暗示着对原问题的各部分作种种变化，由此可以引出新的问题和进一步的结论。问题的发展性可以把问题延

的提示：“充分利用等比数列的定义a2a1a3a2anq，再结合比例的性质an1和上一种解法„„”

同学们兴致变得异常高涨，很快在大家的热烈讨论和积极思考下，得到了等比数列前n项和公式的另一种推导方法：

“由等比数列的定义，得

a2a3a1a2anq，运用比例的性质，得 an1a2a3anSaq，即n1q

a1a2an1Snan当q1时，Sna1qan； 1q当q1时，a1a2” an，则Snna1。至此，同学的聪明才智得到充分的调动。

3、问题应该具有较强的目的性。

课堂问题要能直观的体现教学想要达到的目的，设计的内容要有针对性结合教学内容，针对教学的重点、难点，有助于学生对知识的理解和掌握。同时所设计的问题必须准确、清楚，符合学生的认知特点，适应学生已有的认知水平，切忌含糊不清、模棱两可。教学如果不掌握重点，就不会有真正的教学质量。因此，课堂问题的设计尤为重要。

在“等比数列的前n项和”这节课中，在引导同学推导出等比数列前n项和公式后，我马上让同学完成教科书上的例7，迅速巩固对这个公式的基本运用。

（附例7：求下列等比数列的各项的和：（1）1，，27,9,3，1。）243-6

在课堂教学中，只有对课堂问题进行艺术设计，巧妙使用，恰到好处，才能产生积极作用，达到良好的效果。

第五篇：(no.1)2013年高中数学教学论文 《对一道数学题的展开》

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对一道数学题的展开

在数学复习教学中，选好一道例题。通过一题多思，一题多解，一题多讲。可以巩固学生知识，训练学生思维，开拓学生视野。例题：已知ｘ，ｙ∈Ｒ且法一：均值不等式法

x,yR11x＋

1x9y1，求ｘ＋ｙ的最小值。

9y1x6xy9y⑴（当且仅当xy6即y9x时取等号）

xy⑵又xy2(当且仅当xy时取等号）⑶12xy12xy的最小值是此题答案有误。因为⑴，⑵式的等号不能同时成立，所以⑶式等号不能取。但事实上推导过程无误，只不过扩大了ｘ＋ｙ的范围。此种推导在选择题时，其选择项若是6，8，12，16，当可排除6，8，12得16。此法作为例子强调使用重要不等式时等号成立条件的必不可少。法2，1的妙用

1x9y11x9yyx9xyxy(xy)(当且仅当yx)10161b

9xy时即x4,y12时取等号1a又如a,b,cR,abc1,求证（1)(1)(1c1)8

用心 爱心 专心 1 知识改变命运

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再如a,b,c是不等正数且abc1,求证abc11ab1c

法3，构造x+y不等式法

由1x9y1得（x1)(y9)9(xy102

2)可得变式：已知x+xy+4y=5（x,y∈R＋）求xy取值范围 法4，换元后构造均值不等式法

由1x9y1得y99x1(x1)所以xyx99x110x19

x116(当且仅当x19即x1x4时取等号）法5，用判别式法

由1x9y1得y9xx1(x1)令xyz,则zx9xx1x28xx1得关于x的二次方程x2(8z)xz0

20且z8(8z)2可由△(8z)4z4z20解得z的范围从而得到xy的最小值。注意实根分布情况讨论。类似地，如2x+y=6,求11xy的范围也可用判别式法。

法6，三角代换法

用心 爱心 专心 2 知识改变命运

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令1x(cos),29y2(sin),22

10(tan)9(cot)22则xy(sec）＋（9csc)16变：00,b>0，则法7，导数法

zx99x1a2xb21x的最小值

(x1),z0中，x4，此极值必为最值)

(在区间内有一个极值点以上所涉及到的方法都是学生应掌握的。通过一道例题讲解即可复习多种方法。

用心 爱心 专心 3