2.5.1平面几何中的向量方法(教学设计)5则范文

第一篇：2.5.1平面几何中的向量方法(教学设计)

SCH高中数学（南极数学）同步教学设计（人教A版必修4第二章《平面向量》）

2.5.1平面几何中的向量方法（教学设计）

[教学目标]

一、知识与能力：

1.运用向量方法解决某些简单的平面几何问题.二、过程与方法：

经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题；体会向量是一种处理几何问题的工具；发展运算能力和解决实际问题的能力.三、情感、态度与价值观：

培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题；树立学科之间相互联系、相互促进的辩证唯物主义观点.[教学重点] 运用向量方法解决某些简单的平面几何问题.[教学难点]

运用向量方法解决某些简单的平面几何问题

一、复习回顾 1． 向量的概念；

2． 向量的表示方法：几何表示、字母表示； 3． 零向量、单位向量、平行向量的概念；

4． 在不改变长度和方向的前提下，向量可以在空间自由移动； 5． 相等向量：长度（模）相等且方向相同的向量； 6． 共线向量：方向相同或相反的向量，也叫平行向量.7． 要熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能做出已知两个向量的和向量； 8． 要理解向量加法的交换律和结合律，能说出这两个向量运算律的几何意义； 9． 理解向量减法的意义；能作出两个向量的差向量.10． 理解实数与向量的积的意义，能说出实数与一个向量的积这与个向量的模及方向间的关系； 11． 能说出实数与向量的积的三条运算律，并会运用它们进行计算； 12． 能表述一个向量与非零向量共线的充要条件； 13． 会表示与非零向量共线的向量，会判断两个向量共线.二、师生互动，新课讲解

由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图像的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来.因此可用向量方法解决平面几何中的一些问题.例1： 证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.SCH高中数学（南极数学）同步教学设计（人教A版必修4第二章《平面向量》）

证明：设四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AOOC，BOOD.AB12AC1112DB，DC2DB2AC,ABDC, 即ABDC且AB//DC所以四边形ABCD是平行四边形，即对角线互相平分的四边形是平行四边形.变式训练1：已知DE是ABC的中位线，用向量的方法证明：DE12BC，且DE//BC.证明：易知AD12AB,AE12AC,所以DEAEAD12ACAB12BC.即DE12BC，又D不在BC上，所以DE//BC.例2： 用向量方法证明：三角形三条高线交于一点.证明：设H是高线BE、CF的交点，且设ABa,ACb,AHh则有BHha,CHhb,BCba,BHAC,CHAB,ha·bhb·a0

化简得，h·ba0AHBC所以，三角形三条高线交于一点.变式训练2：证明勾股定理，在RtABC中，ACBC，BCa，ACb，ABc，则c2b2a2.证明：由ABACCB，得BAB·ABAC·AC2AC CBCBCB即|AB|2|AC|20|CB|2，故c2b2a2.CA

例3：（课本P109例1）已知平行四边形ABCD的对角线为AC、BD.求证：|AC|2|DB|22|AB|2|AD|2 2

SCH高中数学（南极数学）同步教学设计（人教A版必修4第二章《平面向量》）

证明：由|AC|2ACABAD22|AB|2|AD|22AB AD|DB|2DBABAD2,2

|AB|2|AD|22AB AD得|AC|2|DB|22|AB|2|AD|2.变式训练3：用向量方法证明：对角线相等的平行四边形是矩形.解：如图，四边形ABCD对角线AC、BD交于点O，ABAOOB,ADAOOD,AB·ADAOOB·AOOD2DOC

AAOAO·ODOB·AOOB·OD0ABAD,即ABAD，四边形ABCD是矩形.B

三、课堂小结，巩固反思：

向量是沟通数与形的十分有效的工具，利用向量处理平面几何问题，最重要的是要先在平面图形中寻找向量的“影子”，然后合理引入向量，并通过向量的运算，达到快捷解题的效果.四、课时必记：

五、分层作业： A组：

1、（课本P118复习参考题 A组：NO：5）

2、（课本P118复习参考题 A组：NO：6）

3、（课本P118复习参考题 A组：NO：7）

4、（课本P118复习参考题 A组：NO：8）

5、（课本P118复习参考题 A组：NO：9）B组：

1、（课本P113习题2.5 A组NO：1）

2、（课本P113习题2.5 A组NO：2）SCH高中数学（南极数学）同步教学设计（人教A版必修4第二章《平面向量》）

3、用向量方法证明：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.证明：如图平行四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O，ABAOOB,BCBOOC|AB|2AOOB2|AO|22AO OBOB2|AO2OB2

|BC|2BOOC2|BO|22BO OC|OC|2|BO|2|OC|2,|AB||BC|，四边形ABCD是菱形.C组：

DCOAB4

第二篇：2.5.1平面几何中的向量方法(教案)

2.5 平面向量应用举例 2.5.1 平面几何中的向量方法

教学目标

1.通过平行四边形这个几何模型,归纳总结出用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”.2.明了平面几何图形中的有关性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示.教学重点:用向量方法解决实际问题的基本方法;向量法解决几何问题的“三步曲”.教学难点:如何将几何等实际问题化归为向量问题.教学过程 导入新课

前言：向量的概念和运算都有着明确的物理背景和几何背景,当向量和平面坐标系结合后,向量的运算就完全可以转化为代数运算.这就为我们解决物理问题和几何研究带来了极大的方便.本节专门研究平面几何中的向量方法.新知探究 提出问题

①平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型,如图1,你能观察、发现并猜想出平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系吗？

②你能利用所学知识证明你的猜想吗？能利用所学的向量方法证明吗？试一试可用哪些方法? ③你能总结一下利用平面向量解决平面几何问题的基本思路吗？

图1

图2

证明:方法一:如图2.作CE⊥AB于E,DF⊥AB于F,则Rt△ADF≌Rt△BCE.∴AD=BC,AF=BE.由于AC AE2+CE2=(AB+BE)2+CE2=AB2+2AB·BE+BE2+CE2=AB2+2AB·BE+BC2.BD2=BF2+DF2=(AB-AF)2+DF2=AB2-2AB·AF+AF2+DF2=AB2-2AB·AF+AD2=AB2-2AB·BE+BC2.∴AC2+BD2=2(AB2+BC2).方法二:如图3.以AB所在直线为x轴,A为坐标原点建立直角坐标系.设B(a,0),D(b,c),则C(a+b,c).∴|AC|2=(a+b)2+c2=a2+2ab+b2+c2, |BD|2=(a-b)2+(-c)2=a2-2ab+b2+c2.∴|AC|2+|BD|2=2a2+2(b2+c2)=2(|AB|2+|AD|2).用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”,即

(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;(3)把运算结果“翻译”成几何关系.应用示例

图3

例1 如图4, 解:如图4, ABCD中,点E、F分别是AD、DC边的中点,BE、BF分别与AC交于R、T两点,你能发现AR、RT、TC之间的关系吗? 设AB=a,AD=b,AR=r,AT=t,则AC=a+b.由于AR与AC共线,所以我们设r=n(a+b),n∈R.又因为EB=AB-AE=a-图4

1b, 21b).2ER与EB共线,所以我们设ER=mEB=m(a-因为ARAEER,所以r=即(n-m)a+(n+

111b+m(a-b).因此n(a+b)=b+m(a-b), 222m1)b=0.由于向量a、b不共线,要使上式为0,必须 2nm0,1解得n=m=.m13n0.2所以AR=变式训练 111AC,同理TC=AC.于是RT=AC.所以AR=RT=TC.333

图5

如图5,AD、BE、CF是△ABC的三条高.求证:AD、BE、CF相交于一点.证明:设BE、CF相交于H,并设AB=b,AC=c,AH=h，则BH=h-b,CH=h-c,BC=c-b.因为BH⊥AC,CH⊥AB, 所以(h-b)·c=0,(h-c)·b=0, 即(h-b)·c=(h-c)·b.化简得h·(c-b)=0.所以AH⊥BC.所以AH与AD共线, 即AD、BE、CF相交于一点H.课堂小结：用向量解决平面问题的三步曲：

课后作业：

1.有一边长为1的正方形ABCD,设AB=a,BC=b,AC=c,则|a-b+c|=_______________.2.已知|a|=2,|b|=,则使λb-a与a垂直的λ=____________.2,a与b的夹角为45°3.在等边△ABC中,AB=a,BC=b,CA=c,且|a|=1,则a·b+b·c+c·a=____________.4.已知四边形ABCD满足|AB|2+|BC|2=|AD|2+|DC|2,M为对角线AC的中点.求证:|MB|=|MD|.5.如图6,已知AC为⊙O的一条直径,∠ABC是圆周角.求证:∠ABC=90°.图6

第三篇：立体几何中的向量方法的教学设计

《立体几何中的向量方法》的教学设计

一、教材分析

本节课是坐标法与向量有效结合的典型范例，有利于培养学生利用向量解决立体几何问题的能力。

二、教学目标

通过类比平面内的点、线的位置可以由向量来确定，引导学生理解空间内的点、线、面的位置也可以由向量来表示，并进一步探究用空间向量的运算来表示空间线、面的位置关系。从应用其证明空间线面的平行与垂直问题中体会直线的方向向量与平面的法向量在解决立体几何中线面平行与垂直问题时的作用。从而树立学好用好向量法解决立体几何问题的兴趣和信心。

三、教学重点、难点

由于建系求点坐标是向量方法中最大的障碍，所以把坐标法与向量法结合作为重点，而适当地建立空间直角坐标系及添加辅助线作为难点。

四、教学手段

用几何画板直观展示图形给学生立体感，通过问题链让学生有效地进行数学思维。

五、教学流程

1、新课导入：

同学们，在前面的学习中，我们已经接触过一些用空间向量的运算方法，所以这节课我们将使用一些用空间向量知识证明点、线、面的位置关系。

为了运用向量来解决立体几何问题，首先要明确空间的点、线、面的位置是否可以用向量来确定？想一想平面内点、线的位置可以由向量来唯一确定吗？你能利用类比的方法，相应地得出空间点、线、面的位置也可以由向量来唯一确定的结论吗？

2、经典例题讲解：

<例一> 已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，C1CBC1CDBCD,求证：CC1BD.分析：题目是让我们求证CC1BD，我们可以利用向量垂直的方法来试着证明CC1.BD =0 <例二> 棱长都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,D,E分别是AC,CC1的中点，求证：A1E⊥平面DBC1。

分析：该题主要是考察学生是否可以根据已知题目给出的信息将建立空间直角坐标系，本题以D为坐标原点，DC所在的直线为x轴，连接BD以BD为y轴，Z轴则平行与CC1建立了D-XYZ的空间直角坐标系。接着根据平面法向量的性质来求证出结果。

六、练习

用向量的方法证明“平面与平面垂直的判定定理”。

七、总结

将空间向量的方法引入到立体几何中，通常的方法不必添加繁杂的辅助线，只要建立适当的空间直角坐标系，写出相关点的坐标，利用向量运算解决立体几何问题，这样使问题坐标化、符号化、数量化，从而降低推理问题的思维难度。

第四篇：3.2立体几何中的向量方法 教学设计 教案

教学准备

1.教学目标

（1）知识与技能：理解直线的方向向量和平面的法向量；会用向量及其运算表示线线、线面、面面间的位置关系.（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合的思想方法，加深对相关知识的理解。

（3）情感态度与价值观：开始体会把立方体几何几何转化为向量问题优势。

2.教学重点/难点

【教学重点】：平面的法向量.【教学难点】：用向量及其运算表示线线、线面、面面间的位置关系.3.教学用具

多媒体

4.标签

3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量

教学过程

课堂小结

1． 点、直线、平面的位置的向量表示。线线、线面、面面间的位置关系的向量表示。

第五篇：5.1教学设计

5.1 《我们都是公民》 教学设计

一、目标要求 1.知识与能力：

使学生掌握法律所规定的“公民”身份的含义，了解自己所具有的中国公民身份，并懂得运用相关的法律规定去分析一些与公民身份有关的情境问题和简单材料。使学生明白公民身份的基本内涵，即公民是受国家宪法和法律管辖和保护的个人，平等地享有法律规定的公民权利，同时也必须履行法律规定的公民义务。2.情感、态度与价值观：

通过本课的自主学习和引导性教学，唤起和强化学生对自己中国公民身份的认同感和责任感。感悟公民与祖国的血肉联系，从感情上热爱自己的国家；从理性上理解：作为公民，个人与国家所具有的法律关系；初步养成公民的权利和义务相一致的理念和态度。

重视公民意识的自我形成和公民素质的自我提高，深化国家观念，提高个人的公民道德水平和民主意识，养成关心家事、国事、天下事的良好习惯，增强法律观念，养成学法、守法、护法的好习惯。

二、教学重点、难点

教学难点：公民身份的确认与公民身份的内涵。教学难点：如何培养学生的公民意识。

三、教学过程

（一）导入

在国际交往中，人们通常会问：你是哪个国家的人？这实际是在问：你是哪国公民？我们可以自豪地说：我是中国人，我是中国公民。那什么是公民？什么又是中国公民？公民与国籍有什么关系？公民身份又有哪些内涵？接下来我们就一起来探讨这些问题的答案。讨论：怎样才算拥有一国公民资格？

（二）新课教学

一、公民身份的确认

1、活动：情境研讨——谁说对了？

（1）安排学生判断5个情境的图文内容。（2）指导学生阅读法律导航中的“公民身份的确认”内容，引导学生理解两个文本框中的法律原文和国际上认定国籍的两大惯例。（3）分组研讨。（4）小组代表发言

2、教师总结分析：（1）什么是公民？ 公民是指具有一国国籍，并根据该国法律规定享有权利和承担义务的人。分析：一是个人具有某国国籍就是该国公民；二是公民是按照国家法律规定享有权利和承担义务的个人。

（2）公民与国籍补充材料：国籍的取得，不同的国家有不同的规定。取得国籍的方式主要有两种：一种是因出生

在某国而取得某国国籍，这是取得国籍最普遍的方式；另一种是加入某国国籍，即通过婚姻关系、收养关系、自愿申请等方式而取得某果国籍。一般情况狭隘，一个人只有一个国籍，但也有双重国籍或无国籍的人。我国不承认双重国籍。在此基础上得出：中华人民共和国公民就是指具有中华人民共和国国籍的人。

（3）辩一辩：他们属于中国公民吗？ A我国被附加剥夺政治权 利的罪犯 B我国未满18周岁的在校学生 C美籍华人 D海外华侨 E在中国定居的人 二．公民身份的内涵

引导学生阅读课本P4：“新闻回放”，设计情境问题：（1）你能说说当时受阻于国外机场时的情景和感受吗？（2）你是怎样想到向祖国求助的？（3）回到祖国你有什么感受？（4）这件事给你什么教益？

（5）以后有机会你还会选择出国旅游吗？

（6）你对其他准备出国旅游的同胞们有什么建议？ 小结：我们是中国公民，祖国是保护公民权利的强大后盾，所以我们要有“国家观念”。

公民身份的内涵：

①公民是国家的成员。受国家法律保护

②享有宪法和法律规定的公民权利，履行宪法和法律规定的

公民义务。

③公民在法律上享有平等的权利。

④社会主义民主政治的根本和核心是人民当家作主。

知识点拓展：如何区分公民与人民？比较点公民人民内涵公民是法律概念，与之相对的概念是外国人人民是政治概念，与之相对的概念是敌人范围上公民的范围比人民广泛，除包括人民外，还包括人民的敌人，指全体社会成员凡是人民都是公民，而公民不一定都是人民 三．树立公民意识，做个合格公民

一：要树立国家观念；二：要培养坚定的公民意识和良好的公民道德；三：要增强法律意识，遵守国家法律。

思考问题：

1.为什么要树立国家观念？

2.为什么要培养良好的公民道德和民主意识？ 3.为什么要增强法律意识，遵守国家法律？

通过今天的学习，希望同学们都能树立公民意识，提高公民素质，做个合格公民。

课本P7 “个案研讨” ： 以“一个中学生的故事”为话题，说一段话。

要做一个合格公民，不仅要树立国家观念、民主观念、道德观念、权利义务相统一的观念，还要将这些观念外化为实实在在的行动。这个中学生以行动关心当地存在的社会问题，积极向有关部门反映、提出建议，就是好榜样。

思考问题：在我们身边有哪些公民责任需要担负？（学生讨论）

活动——创意方案 “我做合格小公民”。

以小组为单位，以“树立公民意识，争做合格小公民”为主题，起草一份行动方案，引导学生阅读课本P9：阅读与感悟 “康西瓦，永远的忠诚”。四．结束语

维护国家利益和尊严是我们的公民责任，遵守国家法律是我们的公民责任，遵守社会公德也是我们的公民责任！

五、板书设计

5.1我们都是公民

一、公民身份的确认

1、什 么是公民

2、什么是中华人民共和国公民

二、公民的内涵

三、做一个好公民的基本要求

第一，要树立国家观念

第二，要培养良好的公民道德和民主意识

第三，要增强法律意识，遵守国家法律

六、练习反馈

材料一：北京学生梁帆，应联合国儿童基金会的邀请，去荷兰参加会议。一进会场，只见宾馆门前的旗杆上，几十面色彩缤纷的各国国旗迎风招展，但没有看到我国的五星红旗。他震惊了，立即找到会议的组织人员说：“一定要升起中华人民共和国的国旗，因为我在这儿！”梁帆的庄严申明受到了重视，五星红旗终于飘扬在宾馆门前的旗杆上。梁帆也受到了外国人的敬重，被誉为“合格的中华人民共和国的代表”。

材料二：河北大冶市年仅12岁的小学生黄某和同班4名同学私自到距学校200米的鱼塘内游泳。黄某因体力不支，在水中挣扎。已上岸的4名同学看到后，其中一名哭着要喊救人，另一名同学却制止说：“如果现在喊人，老师就会知道我们私自游泳。”结果黄某沉入水底，溺水身亡。事后，4名同学还将黄某的衣服藏在距鱼塘300米远的一块南瓜地里，随后一同返校，直到黄某的家人报案，警方才从水中打捞出黄某的尸体。

阅读上述材料，思考：

（1）为什么梁帆被称誉为“合格的中华人民共和国的代表”？

（2）材料二中这几个同学的意识中缺少了什么？（3）你认为作为一个合格的中华人民共和国公民，应该怎样树立公民意识，提高公民素质？