高中数学《3.1.1两角差的余弦公式》教案（合集五篇）

第一篇：高中数学《3.1.1两角差的余弦公式》教案

3.1.1 两角差的余弦公式

一、教学目标

掌握用单位圆法和向量方法建立两角差的余弦公式。通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础。

二、教学重、难点

1.教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式；

2.教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等。

三、教学设想：

（一）导入：问题1： 我们在初中时就知道 cos4523，cos30，由此我们能否得到cos15cos4530?22大家可以猜想，是不是等于cos45cos30呢？

我们可以用计算器来算算: cos15°≈0.966, cos45°≈0.7, cos30°≈0.866,显然，我们的猜想是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式cos?

（二）探讨过程：

请同学们回忆下，在第一章三角函数的学习当中，我们构建过什么图形来帮助我们求解角的三角函数值的？对，我们是在坐标系中画单位圆，通过在单位圆里构建直角三角形来计算角的三角函数值的。那今天我们也用同样的方法来求解两角差的余弦值。

思考1：怎样在单位圆中构造角和角，进而求得cos?（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来。）

思考2：我们构造的角都是锐角，但它们为钝角的时候，这个公司是否也成立呢？

思考3：我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差余弦公式特点极似两向量的内积公式，我们能否用向量的知识来证明？

（1）怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？

（2）两向量之间的角是夹角〔0，〕，而为任意角，当角(,2)时，公式是否正确呢？

两角差的余弦公式：cos()coscossinsin

（三）例题讲解

例

1、利用和、差角余弦公式求cos15、sin75°的值.解：分析：把15构造成两个特殊角的差。

cos15cos4530cos45cos30232sin45sin302221264 2点评：把一个具体角构造成两个角差的形式，有很多种构造方法，例如：cos15cos6045，要学会灵活运用。

sin75°= sin(90°－15°)=cos15° 例

2、已知sin45，,,cos,是第三象限角，求cos的值。513223442解：因为,，sin由此得cos1sin1

555212552又因为cos,是第三象限角，所以sin1cos1

131313所以cos()coscossinsin23335412 65513513点评：注意角、的象限，也就是符号问题。

思考：本题中没有,)，呢？ 

2（四）练习：1.不查表计算下列各式的值：

（1）cos80cos20sin80sin20

13（2）cos15sin15

22cos80cos20sin80sin20 cos(8020)cos60解:（1）1 2

（五）小结：两角差的余弦公式，首先要认识公式结构的特征，了解公式的推导过程，熟记两角差的余弦公式。在解题过程中注意角、的象限，也就是符号问题，学会灵活运用。

（1）牢记公式C()CCSS．

（2）在“给值求值”题型中，要能灵活处理已、未知关系．

（六）作业：翻到教科书本节的课后练习题……

第二篇：3.1.1两角差的余弦公式教案

3.1.1两角差的余弦公式

一、教材分析

《两角差的余弦公式》是人教A版高中数学必修4第三章《三角恒等变换》第一节《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》第一节课的内容。本节主要给出了两角差的余弦公式的推导，要引导学生主动参与，独立思索，自己得出相应的结论。

二、教学目标

1.引导学生建立两角差的余弦公式。通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构 及其功能，并为建立其他和差公式打好基础。

2.通过课题背景的设计，增强学生的应用意识，激发学生的学习积极性。

3.在探究公式的过程中，逐步培养学生学会分析问题、解决问题的能力，培养学生学会合作交流的能力。

三、教学重点难点

重点

两角差余弦公式的探索和简单应用。难点

探索过程的组织和引导。

四、学情分析

之前学习了三角函数的性质，以及平面向量的运算和应用，在此基础上，要考虑如何利用任意角，的正弦余弦值来表示cos()，牢固的掌握这个公式，并会灵活运用公式进行下一节内容的学习。

五、教学方法

1.自主性学习法：通过自学掌握两角差的余弦公式.2.探究式学习法：通过分析、探索、掌握两角差的余弦公式的过程.3.反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距

六、课前准备

1.学生准备：预习《两角差的余弦公式》，理解两种方法的推理过程。2.教师准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。

七、课时安排：1课时

八、教学过程

（一）创设情景，揭示课题

以学校教学楼为背景素材（见课件）引入问题。并针对问题中的cos15用计算器或不用计算器计算求值，以激趣激疑，导入课题。

教师问：想一想: 学校因某次活动的需要,需从楼顶的C点处往该点正对的地面上的A点处拉一条钢绳,为了在购买钢绳时不至于浪费,你能算一算到底需要多长钢绳吗?(要求在地面上测量,测量工具:皮尺,测角器)

0

问题：（1）能不能不用计算器求值 ：cos45，cos30，cos15（2）cos(4530)cos45cos30是否成立？

设计意图：由给出的背景素材，使学生感受数学源于生活，又应用于生活，唤起学生解决问题的兴趣，和抛出新知识引起学生的疑惑，在兴趣和疑惑中，激发学生的求知欲，引导学习方向。

（二）、研探新知 00000001.三角函数线法：

问：①怎样作出角、、的终边。②怎样作出角的余弦线OM

③怎样利用几何直观寻找OM的表示式。设计意图：尽量用动画课件把探索过程展示出来，使学生能从几何直观角度加强对公式结构形式的认识。

Yp1ACβαOBα-βMXP

（1）设角终边与单位圆地交点为P1，POP1,则POx。（2）过点P作PM⊥X轴于点M，那么OM就是 的余弦线。

（3）过点P作PA⊥OP1于A，过点A作AB⊥x轴于B，过点P作PC⊥AB于C

那么

OA表示

cos，AP 表示sin，并且PACPOx.1于是

OM=OB+BM

=OB+CP

=OAcos+APsin

=coscossinsin

最后要提醒学生注意，公式推导的前提条件：

、、都是锐角，且

2.向量法：

问：①结合图形，明确应选哪几个向量，它们怎么表示？ ② 怎样利用向量数量积的概念和计算公式得到结果。③ 对探索的过程进一步严谨性的思考和处理，从而得到合理的科学结论。设计意图：让学生经历利用向量知识解决一个数学问题的过程，体会向量方法解决数学问题的简洁性。

如图,建立单位圆O 则OAcos,sin,OBcos,sin由向量数量积的概念,有A

由向量数量积的坐标表示,有

因为 、、都是任 意 角,所以也是任意角,但由诱导公式以总可找到一个[0,2)，使得 coscos()。

例1.利用差角余弦公式求cos15的值

（求解过程让学生独立完成，注意引导学生多方向、多维度思考问题）解法1：

cos150cos(450300)cos450cos300sin450sin300…=解法2：

B O x

于是对于任意角、都有

简记C

（）0y 624 cos150cos(600450)cos600cos450sin600sin450…=变式训练：利用两角差的余弦公式证明下列诱导公式：（1）cos(264

2)sin；（2）cos(2)cos

4π5例2.已知sinα=，α（，π），cosβ=-，β第三象限角，求cos（）的值5213（让学生联系公式C和本题的条件，考虑清楚要计算cos，应作那些准备。）

3442解：由sin,,，得cos1sin1

555212552又由cos，是第三象限角，得sin1cos1

1313133541233所以coscoscossinsin()

51351365让学生结合公式cos()coscossinsin，明确需要再求哪些三角函数值，可使问题得到解决。变式训练：已知sin2215，是第二象限角，求cos（）的值 173

（三）、质疑答辩，排难解惑，发展思维

1.利用两角和（差）的余弦公式，求cos750,cos1050

【点评】：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：cos1050cos(1500450)，要学会灵活运用.2)2.求值 cos75cos30sin75sin30(200003．化简cos()cossin()sin(cos)

115（）4.已知，为锐角，cos，sin（）3，求cos

2714提示：利用拆角思想coscos[()]的变换技巧

（设计意图：通过变式训练，进一步加深学生对公式的理解和应用，体验公式既可正用、逆用，还可变用.还可使学生掌握“变角”和“拆角”的思想方法解决问题，培养了学生的灵活思维品质，提高学生的数学交流能力，促进思维的创新。）

（四）发导学案、布置预习

本节我们学习了两角和与差的余弦公式，要求同学们掌握公式C()的推导，能熟练运用公式C()，注意公式C()的逆用。在解题过程中注意角、的象限，也就是符号问题，学会灵活运用.课下完成本节的课后练习以及课后延展作业，课本P137习题2.3.4(设计意图：布置下节课的预习作业，并对本节课巩固提高。教师课后及时批阅本节的延伸拓展训练。)

九、板书设计

两角差的余弦公式

1.三角函数线法 2.向量法

例1 变式训练 例2 变式训练 当堂训练1.2.3.4.十、教学反思

本节主要考察如何用任意角，的正弦余弦值来表示cos()，回顾公式

C（）的推导过程，观察公式的特征，注意符号区别以及公式中角，的任意性，特别要注意公式既可正用、逆用，还可变用(即要活用).还要注意掌握“变角”和“拆角”的思想方法解决问题.设计意图：让学生通过自己小结，反思学习过程，加深对公式及其推导过程（包括发现、猜想、论证的数学化的过程）的理解。

第三篇：4-3.1.1 两角差的余弦公式教案（定稿）

第三章 三角恒等变换

一、课标要求：

本章学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦、和正切公式，以及运用这些公式进行简单的恒等变换.三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.通过本章学习，要使学生在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中，发展推理能力和运算能力，使学生体会三角恒等变换的工具性作用，学会它们在数学中的一些应用.1.了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用； 2.理解以两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；

3.运用上述公式进行简单的恒等变换，以引导学生推导半角公式，积化和差、和差化积公式（不要求记忆）作为基本训练，使学生进一步提高运用转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想，换元的思想，方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的应用.二、编写意图与特色

1.本章的内容分为两节：“两角和与差的正弦、余弦和正切公式”，“简单的三角恒等变换”，在学习本章之前我们学习了向量的相关知识，因此作者的意图是选择两角差的余弦公式作为基础，运用向量的知识来予以证明，降低了难度，使学生容易接受； 2.本章是以两角差的余弦公式作为基础来推导其它的公式；

3.本章在内容的安排上有明暗两条线，明线是建立公式，学会变换，暗线是发展推理和运算的能力，因此在本章全部内容的安排上，特别注意恰时恰点的提出问题，引导学生用对比、联系、化归的观点去分析、处理问题，强化运用数学思想方法指导设计变换思路的意识； 4.本章在内容的安排上贯彻“删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末叶的内容”的理念，严格控制了三角恒等变换及其应用的繁、难程度，尤其注意不以半角公式、积化和差、和差化积公式作为变换的依据，而只把这些公式的推导作为变换的基本练习.三、教学内容及课时安排建议

本章教学时间约8课时，具体分配如下：

3.1两角和与差的正弦、余弦、和正切公式

约3课时 3.2简单的恒等变换

约3课时 复习

约2课时

§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

一、课标要求：

本节的中心内容是建立相关的十一个公式，通过探索证明和初步应用，体会和认识公式的特征及作用.二、编写意图与特色

本节内容可分为四个部分，即引入，两角差的余弦公式的探索、证明及初步应用，和差公式的探索、证明和初步应用，倍角公式的探索、证明及初步应用.三、教学重点与难点

1.重点：引导学生通过独立探索和讨论交流，导出两角和差的三角函数的十一个公式，并了解它们的内在联系，为运用这些公式进行简单的恒等变换打好基础； 2.难点：两角差的余弦公式的探索与证明.3.1.1 两角差的余弦公式

一、教学目标

掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础.二、教学重、难点

1.教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式；

2.教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等.三、学法与教学用具 1.学法：启发式教学 2.教学用具：多媒体

四、教学设想：

（一）导入：我们在初中时就知道 cos4523，cos30，由此我们能否得到22cos15cos4530?大家可以猜想，是不是等于cos45cos30呢？

根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式cos?

（二）探讨过程：

在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角的终边与单位圆的交点为P1，cos等于角与单位圆交点的横坐标，也可以用角的余弦线来表示，大家思考：怎样构造角和角？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.）

展示多媒体动画课件，通过正、余弦线及它们之间的几何关系探索cos与cos、cos、sin、sin之间的关系，由此得到cos()coscossinsin，认识两角差余弦公式的结构.思考：我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差余弦公式我们能否用向量的知识来证明？

提示：

1、结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？

2、怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？ 展示多媒体课件

比较用几何知识和向量知识解决问题的不同之处，体会向量方法的作用与便利之处.思考：cos?，coscos，再利用两角差的余弦公式得出

coscoscoscossinsincoscossinsin

（三）例题讲解

例

1、利用和、差角余弦公式求cos75、cos15的值.解：分析：把75、15构造成两个特殊角的和、差.cos75cos4530cos45cos30sin45sin30cos4523216222224126

cos1530cos45cos30232sin45sin3022224点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：cos15cos6045，要学会灵活运用.例

2、已知sin45，,,cos,是第三象限角，求cos的值.51323442解：因为,，sin由此得cos1sin1

555212552又因为cos,是第三象限角，所以sin1cos1

131313所以cos()coscossinsin223335412 51351365点评：注意角、的象限，也就是符号问题.（四）小结：本节我们学习了两角差的余弦公式，首先要认识公式结构的特征，了解公式的推导过程，熟知由此衍变的两角和的余弦公式.在解题过程中注意角、的象限，也就是符号问题，学会灵活运用.（五）作业：P150.T1T2

第四篇：河北省容城县2013学年高中数学 3.1.1 两角差的余弦公式教案 新人教A版必修4

3.1.1 两角差的余弦公式

一、教学目标

掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础.二、教学重、难点

1.教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式；

2.教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等.三、教学设想：

（一）导入：问题1：

cos45我们在初中时就知道

23cos302，2，由此我们能否得到

cos15cos4530?大家可以猜想，是不是等于cos45cos30呢？

根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式cos?

（二）探讨过程：

在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角的终边与单位圆的交点为角与单位圆交点的横坐标，也可以用角的余弦线来表示。

思考1：怎样构造角和角？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.）思考2：我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差余弦公式我们能否用向量的知识来证明？

（1）结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？（2）怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？

P1cos，等于

)coscossinsin 两角差的余弦公式：cos（（三）例题讲解

例

1、利用和、差角余弦公式求cos75、cos15的值.解：分析：把75、15构造成两个特殊角的和、差.cos75cos4530cos45cos30sin45sin30cos15cos4530cos45cos30sin45sin3023216222224 23216222224

点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：

cos15cos6045，要学会灵活运用.sin例

2、已知4,,cos5,13是第三象限角，求cos的值.25，234cos1sin21,sin4552，5由此得解：因为 1255sin1cos1cos,131313又因为是第三象限角，所以

223335412cos()coscossinsin65 513513所以点评：注意角、的象限，也就是符号问题.,)思考：本题中没有

2，呢？

（四）练习：1.不查表计算下列各式的值：

（1）cos80cos20sin80sin20 13（2）cos15sin1522

（1）cos80cos20sin80sin20 解:

cos(8020)cos6012

2．教材P127面1、2、3、4题

（五）小结：两角差的余弦公式，首先要认识公式结构的特征，了解公式的推导过程，熟知由此衍变的两角和的余弦公式.在解题过程中注意角、的象限，也就是符号问题，学会灵活运用.（1）牢记公式C()CCSS．

（2）在“给值求值”题型中，要能灵活处理已、未知关系．

（六）作业：《习案》作业二十九

第五篇：两角差的余弦公式教案（小编推荐）

两角差的余弦公式

———数学092叶鹏程

【知识与技能目标】：理解两角差的余弦公式的推导过程，熟记两角差的余弦公式，运用两角和与差的余弦公式，解决相关数学问题。

【过程与方法】：培养自己严密而准确的数学表达能力；培养自己逆向思维和发【散思维能力】；培养自己的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。

【情感态度价值观目标】：通过观察、培养良好的数学表达和思考的能力，学会从已有知识出发主动探索未知世界的意识及对待新知识的良好情感态度

【教学重点】：两角差的余弦公式的理解与灵活运用。【教学难点】：两角差的余弦公式的推导。

【教材分析】：这节内容是教材必修4的第三章《三角恒等变换》第一节，教材在学生掌握了任意角的三角函数的概念、向量的坐标表示以及向量数量积的坐标表示的基础上，进一步研究用单角的三角函数表示的两角差的三角函数．“两角差的余弦公式”在教科书中采用了一种易于教学的推导方法，即先借助于单位圆中的三角函数线，推出α，β，α－β均为锐角时成立．对于α，β为任意角的情况，教材运用向量的知识进行了探究．同时，补充了用向量的方法推导过程中的不严谨之处，这样，两角差的余弦公式便具有了一般性。

【学情分析】：本课时面对的学生是高一年级的学生，数学表达能力和逻辑推理能力正处于高度发展的时期，学生对探索未知世界有主动意识，对新知识充满探求的渴望。他们经过半个多学期的高中生活，储备了一定的数学知识，掌握了一些高中数学的学习方法，这为本节课的学习建立了良好的知识基础。而且，通过上节课的学习，学生已经掌握了两角和的余弦公式及推导方法。【教学教法】： 独立思考，生生交流探究，小组合作

【教学过程】：

一.自主探究，引发思考 层层深入，得出结论（8分钟）1.独立思考以下问题

怎样利用单位圆中的三角函数线探究两角差的余弦（试画出图像加以说明）

（目的：回忆单位圆表示角，同时推导公式）

2.继续探究

怎样利用向量数量积概念的计算公式探究两角差的余弦。（试画出图像加以说明）

（目的：用向量的方式，推导公式）两角差的余弦公式： cos()_____________________

公式特点（记忆方法。）

二．互相交流 小组活动 公式应用闯关（20分钟）

请用特殊角（可以使30,45,60等）分别代替、你有几种方法1.求cos15：

(1)cos150(2)cos150

（目的：比较简单的分解问题，为了加深运用和理解）

2.若β固定，分别用 , 代替α，你将会发现什么结论呢？

2(1)cos()

(2)cos(2)

(3)cos(3) 2（目的：余弦诱导公式的推导，强化理解运用）

3.倘若让你对C(α±β)公式中的α、β自由赋值，你又将发现什么结论呢？(1)cos（-4）

（-）(2)cos(3)cos）（cos(_____)cos(_____)_____sin(_____)sin(_____)

）cos(_____)(4)cos（（）cos(_____)____sin(_____)sin(_____)

（目的：难度逐渐加深，体会理解公式的变形。）4.例题：如何应用两角差的余弦公式化简求值

（1）cos80cos20sin80sin20(2)cos15sin1522(3)cos80cos35cos10cos55（目的：巩固练习，灵活运用公式）

三.师生共同活动 数学运用（12分钟）例1．已知sin的值.（目的：比较深入的公式运用，锻炼学生的数学思维。在讲题的过程中，强调“象限角”）变式练习：

已知,都是锐角，cos45,cos(),求cos的值。513(目的：例题1的变式，让学生体会此类题目的灵活性)五．自我学习反思（4分钟）

（首先教师回顾总结课堂内容，然后让学生自己来讲讲这节可学到什么。

主要目的是为了加深学生的记忆，同时，比较发散的讨论，能让学生真正参与到学习中来）

六．作业布置：

1.教材第142页，课后练习45，,,cos,是第三象限角，求cos51322．课后自主探究：知道了cos(-)，你觉得sin()也有类似的规律吗？（目的：给学有余力的同学做，一是预习，再是通过找规律，加深本节课的理解）