课题：两角差的余弦公式教案说明[全文5篇]

第一篇：课题：两角差的余弦公式教案说明

《两角差的余弦公式》教案说明

湖南师大附中

吴菲

一、授课内容的数学本质与教学目标定位：

《两角差的余弦公式》这节课的主要内容是公式的探究及应用，它揭示了单角三角函数与复角三角函数之间的内在联系，在学生的认知世界中，开辟了三角函数研究的新领域．针对学生已有的认知结构，我对教学目标进行了如下定位：

1、知识与技能目标：

学生在前两章的学习内容中，学习了单角三角函数以及向量的相关知识；初步掌握了一些同角三角函数关系式；对三角函数的定义也由锐角三角函数扩展到任意角的三角函数；会借助单位圆分析有关三角函数的问题．本节课的知识技能目标定位在掌握公式的两种证明方法上：数形结合法和向量法；学会运用分类讨论思想完善证明；学会正用、逆用、变用公式；学会运用整体思想，抓住公式的本质．在新旧知识的冲撞过程中，让学生自主地对知识进行重组、构建．让每个学生在头脑中再生教材，形成属于自己的知识结构体系． ２、过程与方法目标：

发展心理学的研究成果表明，学生的思维发展呈现一定的阶段性，高中学生在学习时有时仍要借助于具体运演思维甚至是前运演思维，具体经验对他们学习新的知识仍是必不可少的．所以在情景引入时，以学生学习向量数量积时物理学中力做功的例子为引例，创设问题情景，调动学生已有的认知结构，激发学生的问题意识，展开提出问题、分析问题、解决问题的学习活动，让学生体会从“特殊”到“一般”的探究过程；不断激发师生之间、生生之间的互动，让学生在探究过程中体会化归、数形结合等数学思想在数学探究过程中的运用．在公式的证明过程中，培养学生反思的好习惯，打开学生多角度、多方面分析问题的视野；在公式的理解记忆过程中，让学生发现数学中的简洁、对称美；在公式的运用过程中，通过对题目的一题多解、一题多变，培养学生严谨的思维习惯和自我纠错能力．

3、情感、态度与价值观目标： 高中数学课程标准中指出：学生的数学活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应提倡自主探索、动手实践、合作交流、阅读交流等学习数学的方式．这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程．因此，将情感、态度与价值观目标定位如下：体验科学探索的过程，鼓励学生大胆质疑、大胆猜想，培养学生的“问题意识”，使学生感受科学探索的乐趣，激励学生科学探索的勇气，培养学生的创新精神和良好的团队合作意识． 通过对猜想的验证，对公式证明的完善，培养学生实事求是的科学态度和科学精神，感受运用新知解决实际问题的成就感．

二、学习内容的基础及今后作用：

《两角差的余弦公式》是新课标人教版数学必修四第三章第一课时的教学内容，是本模块第一章《锐角三角函数》和第二章《平面向量》相关知识的延续和拓展，也是本章节中推导两角和、差，倍角、半角等三角恒等变换公式的基础，可以说是起着承上启下，串联全书的作用．在教学内容的设计上，与物理（功的定义）、哲学（透过表面寻求本质）等相关学科相联系，扩大学生对知识的理解角度和运用范围．

三、教学诊断分析：

学生最大的困惑在于如何得到公式．在之前的学习过程中, 课堂上已基本形成了对知识大胆质疑,合作探讨的学习氛围．在本节课的教学中学生希望通过自己的努力收获成功!教学重点：两角差的余弦公式的探究和应用

教学难点：两角差的余弦公式的由来及证明,引导学生通过主动参与,独立探索,自己得到结果.四、教法特点及预期效果分析：

教法特点：

从知识的认知程序上看，老师看问题从整体到局部，而学生却是从局部到整体。本节课尝试将“带着知识走向学生”的接受式教学模式转变为“带着学生走向知识”的探究式教学模式，充分尊重学生的主体地位．设置了从生活走入知识，从特殊到一般，从猜想到理论证明的探究过程，在学生自主构建知识体系的过程中，设置了多条成功路径，将学习主体由学生群体转移到学生个体上，让学生在头脑中主动地对知识进行自主构建，再生课堂，达到提高认识，举一反三的作用．鼓励学生多角度、多方面思考问题，为突破知识难点，在课件中设置多个链接，将学生可能出现的解答思路直观地呈现在学生面前，用多种方法的对比呈现，激发学生互相评价的动机，实现预设与生成的和谐统一．

本节课的教法采用了“一个主题两种教学”的设计模式．一个主题：公式探究与应用，两种教学：显形教学（知识能力教学）、隐性教学（情商培养），利用学生已有知识提出新问题，巧借学生对未知领域的好奇和自我展现的欲望，集思广益，多角度分析问题，强化团队合作意识，完善知识体系，剖析部分学生出现的错误，培养学生严密的思维习惯，突破易错点，尝试自我提高的喜悦，实践两种教学相互促进的人性化教学理念．

开放课堂，在课堂上营造民主、开放、平等的教学氛围，注重教学评价的多元性，将单一的教师评价转换为学生自主评价和同伴合作评价；将简单的结果评价上升为对过程的评价；将一味的知识评价拓展为能力评价，突出学生的主体性，体现学生的主体意识，实现显形教学与隐性教学的双重评价，为全面发展学生打下基础．

利用思维的多元性，引发师生、生生之间的讨论，实践证明用学生自己的语言、自己的理解、自己的表述方式更能引发学生之间的共鸣，更能达到对已有知识进行重组、自主构建新知识的教学目的。作为老师，要以更高的视角从学生的眼中看问题，和学生一起征服尚未被他们所知（甚至是尚未被老师所知）的领域，享受在征服过程中随时可能得到的意外惊喜。不需要害怕学生犯错，因为谬误本身也有它的认识价值，也是一种很好的课堂教学资源，主要是看老师怎样正确的引导和评价。

设计探究报告，帮助学生整理、构建知识体系．在重、难点突破，作业布置、课后思考等环节，都给学生留出空间，既可以实现课堂知识的再生，又可以为下节课做预习准备；既符合学生探索思维的连续性，又培养学生的创新意识和实践探索能力．

现代信息技术在数学的教学过程中运用越来越广泛，能够利用计算机进行一些简单的数学实验也将成为将来数学教学的一个发展趋势，本节课利用几何画板，通过计算机技术，给学生提供一种验证猜想合理性的途径． 预期效果: 基于上述分析，我们希望通过这节课：

１、让学生在掌握《两角差的余弦公式》探究方法的基础上，能够自我总结形成公式探究的一般方法．

２、激发学生的探究欲望，能够独立或合作提出推导其它三角恒等式的方案，形成对三角恒等变换的本质认识，加深对灵活运用公式的理解．

３、培养学生的“问题意识”，在探索的过程中学会将“知识问题化”，大胆、合理地提出猜测，通过证明、完善，最终达到将“问题知识化”的目的．

４、让学生在与同伴的合作探讨过程中，学会运用数学语言进行交流，学会辨证地看问题，学会倾听、学会发现同伴的优点，学会进行信息整合，能从同伴的发言中提出自己的观点．

第二篇：3.1.1两角差的余弦公式教案

3.1.1两角差的余弦公式

一、教材分析

《两角差的余弦公式》是人教A版高中数学必修4第三章《三角恒等变换》第一节《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》第一节课的内容。本节主要给出了两角差的余弦公式的推导，要引导学生主动参与，独立思索，自己得出相应的结论。

二、教学目标

1.引导学生建立两角差的余弦公式。通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构 及其功能，并为建立其他和差公式打好基础。

2.通过课题背景的设计，增强学生的应用意识，激发学生的学习积极性。

3.在探究公式的过程中，逐步培养学生学会分析问题、解决问题的能力，培养学生学会合作交流的能力。

三、教学重点难点

重点

两角差余弦公式的探索和简单应用。难点

探索过程的组织和引导。

四、学情分析

之前学习了三角函数的性质，以及平面向量的运算和应用，在此基础上，要考虑如何利用任意角，的正弦余弦值来表示cos()，牢固的掌握这个公式，并会灵活运用公式进行下一节内容的学习。

五、教学方法

1.自主性学习法：通过自学掌握两角差的余弦公式.2.探究式学习法：通过分析、探索、掌握两角差的余弦公式的过程.3.反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距

六、课前准备

1.学生准备：预习《两角差的余弦公式》，理解两种方法的推理过程。2.教师准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。

七、课时安排：1课时

八、教学过程

（一）创设情景，揭示课题

以学校教学楼为背景素材（见课件）引入问题。并针对问题中的cos15用计算器或不用计算器计算求值，以激趣激疑，导入课题。

教师问：想一想: 学校因某次活动的需要,需从楼顶的C点处往该点正对的地面上的A点处拉一条钢绳,为了在购买钢绳时不至于浪费,你能算一算到底需要多长钢绳吗?(要求在地面上测量,测量工具:皮尺,测角器)

0

问题：（1）能不能不用计算器求值 ：cos45，cos30，cos15（2）cos(4530)cos45cos30是否成立？

设计意图：由给出的背景素材，使学生感受数学源于生活，又应用于生活，唤起学生解决问题的兴趣，和抛出新知识引起学生的疑惑，在兴趣和疑惑中，激发学生的求知欲，引导学习方向。

（二）、研探新知 00000001.三角函数线法：

问：①怎样作出角、、的终边。②怎样作出角的余弦线OM

③怎样利用几何直观寻找OM的表示式。设计意图：尽量用动画课件把探索过程展示出来，使学生能从几何直观角度加强对公式结构形式的认识。

Yp1ACβαOBα-βMXP

（1）设角终边与单位圆地交点为P1，POP1,则POx。（2）过点P作PM⊥X轴于点M，那么OM就是 的余弦线。

（3）过点P作PA⊥OP1于A，过点A作AB⊥x轴于B，过点P作PC⊥AB于C

那么

OA表示

cos，AP 表示sin，并且PACPOx.1于是

OM=OB+BM

=OB+CP

=OAcos+APsin

=coscossinsin

最后要提醒学生注意，公式推导的前提条件：

、、都是锐角，且

2.向量法：

问：①结合图形，明确应选哪几个向量，它们怎么表示？ ② 怎样利用向量数量积的概念和计算公式得到结果。③ 对探索的过程进一步严谨性的思考和处理，从而得到合理的科学结论。设计意图：让学生经历利用向量知识解决一个数学问题的过程，体会向量方法解决数学问题的简洁性。

如图,建立单位圆O 则OAcos,sin,OBcos,sin由向量数量积的概念,有A

由向量数量积的坐标表示,有

因为 、、都是任 意 角,所以也是任意角,但由诱导公式以总可找到一个[0,2)，使得 coscos()。

例1.利用差角余弦公式求cos15的值

（求解过程让学生独立完成，注意引导学生多方向、多维度思考问题）解法1：

cos150cos(450300)cos450cos300sin450sin300…=解法2：

B O x

于是对于任意角、都有

简记C

（）0y 624 cos150cos(600450)cos600cos450sin600sin450…=变式训练：利用两角差的余弦公式证明下列诱导公式：（1）cos(264

2)sin；（2）cos(2)cos

4π5例2.已知sinα=，α（，π），cosβ=-，β第三象限角，求cos（）的值5213（让学生联系公式C和本题的条件，考虑清楚要计算cos，应作那些准备。）

3442解：由sin,,，得cos1sin1

555212552又由cos，是第三象限角，得sin1cos1

1313133541233所以coscoscossinsin()

51351365让学生结合公式cos()coscossinsin，明确需要再求哪些三角函数值，可使问题得到解决。变式训练：已知sin2215，是第二象限角，求cos（）的值 173

（三）、质疑答辩，排难解惑，发展思维

1.利用两角和（差）的余弦公式，求cos750,cos1050

【点评】：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：cos1050cos(1500450)，要学会灵活运用.2)2.求值 cos75cos30sin75sin30(200003．化简cos()cossin()sin(cos)

115（）4.已知，为锐角，cos，sin（）3，求cos

2714提示：利用拆角思想coscos[()]的变换技巧

（设计意图：通过变式训练，进一步加深学生对公式的理解和应用，体验公式既可正用、逆用，还可变用.还可使学生掌握“变角”和“拆角”的思想方法解决问题，培养了学生的灵活思维品质，提高学生的数学交流能力，促进思维的创新。）

（四）发导学案、布置预习

本节我们学习了两角和与差的余弦公式，要求同学们掌握公式C()的推导，能熟练运用公式C()，注意公式C()的逆用。在解题过程中注意角、的象限，也就是符号问题，学会灵活运用.课下完成本节的课后练习以及课后延展作业，课本P137习题2.3.4(设计意图：布置下节课的预习作业，并对本节课巩固提高。教师课后及时批阅本节的延伸拓展训练。)

九、板书设计

两角差的余弦公式

1.三角函数线法 2.向量法

例1 变式训练 例2 变式训练 当堂训练1.2.3.4.十、教学反思

本节主要考察如何用任意角，的正弦余弦值来表示cos()，回顾公式

C（）的推导过程，观察公式的特征，注意符号区别以及公式中角，的任意性，特别要注意公式既可正用、逆用，还可变用(即要活用).还要注意掌握“变角”和“拆角”的思想方法解决问题.设计意图：让学生通过自己小结，反思学习过程，加深对公式及其推导过程（包括发现、猜想、论证的数学化的过程）的理解。

第三篇：4-3.1.1 两角差的余弦公式教案（定稿）

第三章 三角恒等变换

一、课标要求：

本章学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦、和正切公式，以及运用这些公式进行简单的恒等变换.三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.通过本章学习，要使学生在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中，发展推理能力和运算能力，使学生体会三角恒等变换的工具性作用，学会它们在数学中的一些应用.1.了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用； 2.理解以两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；

3.运用上述公式进行简单的恒等变换，以引导学生推导半角公式，积化和差、和差化积公式（不要求记忆）作为基本训练，使学生进一步提高运用转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想，换元的思想，方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的应用.二、编写意图与特色

1.本章的内容分为两节：“两角和与差的正弦、余弦和正切公式”，“简单的三角恒等变换”，在学习本章之前我们学习了向量的相关知识，因此作者的意图是选择两角差的余弦公式作为基础，运用向量的知识来予以证明，降低了难度，使学生容易接受； 2.本章是以两角差的余弦公式作为基础来推导其它的公式；

3.本章在内容的安排上有明暗两条线，明线是建立公式，学会变换，暗线是发展推理和运算的能力，因此在本章全部内容的安排上，特别注意恰时恰点的提出问题，引导学生用对比、联系、化归的观点去分析、处理问题，强化运用数学思想方法指导设计变换思路的意识； 4.本章在内容的安排上贯彻“删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末叶的内容”的理念，严格控制了三角恒等变换及其应用的繁、难程度，尤其注意不以半角公式、积化和差、和差化积公式作为变换的依据，而只把这些公式的推导作为变换的基本练习.三、教学内容及课时安排建议

本章教学时间约8课时，具体分配如下：

3.1两角和与差的正弦、余弦、和正切公式

约3课时 3.2简单的恒等变换

约3课时 复习

约2课时

§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

一、课标要求：

本节的中心内容是建立相关的十一个公式，通过探索证明和初步应用，体会和认识公式的特征及作用.二、编写意图与特色

本节内容可分为四个部分，即引入，两角差的余弦公式的探索、证明及初步应用，和差公式的探索、证明和初步应用，倍角公式的探索、证明及初步应用.三、教学重点与难点

1.重点：引导学生通过独立探索和讨论交流，导出两角和差的三角函数的十一个公式，并了解它们的内在联系，为运用这些公式进行简单的恒等变换打好基础； 2.难点：两角差的余弦公式的探索与证明.3.1.1 两角差的余弦公式

一、教学目标

掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础.二、教学重、难点

1.教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式；

2.教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等.三、学法与教学用具 1.学法：启发式教学 2.教学用具：多媒体

四、教学设想：

（一）导入：我们在初中时就知道 cos4523，cos30，由此我们能否得到22cos15cos4530?大家可以猜想，是不是等于cos45cos30呢？

根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式cos?

（二）探讨过程：

在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角的终边与单位圆的交点为P1，cos等于角与单位圆交点的横坐标，也可以用角的余弦线来表示，大家思考：怎样构造角和角？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.）

展示多媒体动画课件，通过正、余弦线及它们之间的几何关系探索cos与cos、cos、sin、sin之间的关系，由此得到cos()coscossinsin，认识两角差余弦公式的结构.思考：我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差余弦公式我们能否用向量的知识来证明？

提示：

1、结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？

2、怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？ 展示多媒体课件

比较用几何知识和向量知识解决问题的不同之处，体会向量方法的作用与便利之处.思考：cos?，coscos，再利用两角差的余弦公式得出

coscoscoscossinsincoscossinsin

（三）例题讲解

例

1、利用和、差角余弦公式求cos75、cos15的值.解：分析：把75、15构造成两个特殊角的和、差.cos75cos4530cos45cos30sin45sin30cos4523216222224126

cos1530cos45cos30232sin45sin3022224点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：cos15cos6045，要学会灵活运用.例

2、已知sin45，,,cos,是第三象限角，求cos的值.51323442解：因为,，sin由此得cos1sin1

555212552又因为cos,是第三象限角，所以sin1cos1

131313所以cos()coscossinsin223335412 51351365点评：注意角、的象限，也就是符号问题.（四）小结：本节我们学习了两角差的余弦公式，首先要认识公式结构的特征，了解公式的推导过程，熟知由此衍变的两角和的余弦公式.在解题过程中注意角、的象限，也就是符号问题，学会灵活运用.（五）作业：P150.T1T2

第四篇：两角差的余弦公式教案（小编推荐）

两角差的余弦公式

———数学092叶鹏程

【知识与技能目标】：理解两角差的余弦公式的推导过程，熟记两角差的余弦公式，运用两角和与差的余弦公式，解决相关数学问题。

【过程与方法】：培养自己严密而准确的数学表达能力；培养自己逆向思维和发【散思维能力】；培养自己的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。

【情感态度价值观目标】：通过观察、培养良好的数学表达和思考的能力，学会从已有知识出发主动探索未知世界的意识及对待新知识的良好情感态度

【教学重点】：两角差的余弦公式的理解与灵活运用。【教学难点】：两角差的余弦公式的推导。

【教材分析】：这节内容是教材必修4的第三章《三角恒等变换》第一节，教材在学生掌握了任意角的三角函数的概念、向量的坐标表示以及向量数量积的坐标表示的基础上，进一步研究用单角的三角函数表示的两角差的三角函数．“两角差的余弦公式”在教科书中采用了一种易于教学的推导方法，即先借助于单位圆中的三角函数线，推出α，β，α－β均为锐角时成立．对于α，β为任意角的情况，教材运用向量的知识进行了探究．同时，补充了用向量的方法推导过程中的不严谨之处，这样，两角差的余弦公式便具有了一般性。

【学情分析】：本课时面对的学生是高一年级的学生，数学表达能力和逻辑推理能力正处于高度发展的时期，学生对探索未知世界有主动意识，对新知识充满探求的渴望。他们经过半个多学期的高中生活，储备了一定的数学知识，掌握了一些高中数学的学习方法，这为本节课的学习建立了良好的知识基础。而且，通过上节课的学习，学生已经掌握了两角和的余弦公式及推导方法。【教学教法】： 独立思考，生生交流探究，小组合作

【教学过程】：

一.自主探究，引发思考 层层深入，得出结论（8分钟）1.独立思考以下问题

怎样利用单位圆中的三角函数线探究两角差的余弦（试画出图像加以说明）

（目的：回忆单位圆表示角，同时推导公式）

2.继续探究

怎样利用向量数量积概念的计算公式探究两角差的余弦。（试画出图像加以说明）

（目的：用向量的方式，推导公式）两角差的余弦公式： cos()_____________________

公式特点（记忆方法。）

二．互相交流 小组活动 公式应用闯关（20分钟）

请用特殊角（可以使30,45,60等）分别代替、你有几种方法1.求cos15：

(1)cos150(2)cos150

（目的：比较简单的分解问题，为了加深运用和理解）

2.若β固定，分别用 , 代替α，你将会发现什么结论呢？

2(1)cos()

(2)cos(2)

(3)cos(3) 2（目的：余弦诱导公式的推导，强化理解运用）

3.倘若让你对C(α±β)公式中的α、β自由赋值，你又将发现什么结论呢？(1)cos（-4）

（-）(2)cos(3)cos）（cos(_____)cos(_____)_____sin(_____)sin(_____)

）cos(_____)(4)cos（（）cos(_____)____sin(_____)sin(_____)

（目的：难度逐渐加深，体会理解公式的变形。）4.例题：如何应用两角差的余弦公式化简求值

（1）cos80cos20sin80sin20(2)cos15sin1522(3)cos80cos35cos10cos55（目的：巩固练习，灵活运用公式）

三.师生共同活动 数学运用（12分钟）例1．已知sin的值.（目的：比较深入的公式运用，锻炼学生的数学思维。在讲题的过程中，强调“象限角”）变式练习：

已知,都是锐角，cos45,cos(),求cos的值。513(目的：例题1的变式，让学生体会此类题目的灵活性)五．自我学习反思（4分钟）

（首先教师回顾总结课堂内容，然后让学生自己来讲讲这节可学到什么。

主要目的是为了加深学生的记忆，同时，比较发散的讨论，能让学生真正参与到学习中来）

六．作业布置：

1.教材第142页，课后练习45，,,cos,是第三象限角，求cos51322．课后自主探究：知道了cos(-)，你觉得sin()也有类似的规律吗？（目的：给学有余力的同学做，一是预习，再是通过找规律，加深本节课的理解）

第五篇：两角和差正余弦公式的证明

两角和差正余弦公式的证明

北京四中数学组 皇甫力超

论文摘要：

本文对两角和差的正余弦公式的推导进行了探讨。在单位圆的框架下 , 我们得到了和角余弦公式(方法 1)与差角余弦公式(方法 2)。在三角形的框架下 , 我们得到了和角正弦公式(方法 3 ~11)与差角正弦公式(方法 12,13)。

关键词：

两角和差的正余弦公式 正文：

两角和差的正余弦公式是三角学中很重要的一组公式。下面我们就它们的推导证明方法进行探讨。

由角 , 的三角函数值表示 的正弦或余弦值 , 这正是两角和差的正余弦公式的功能。换言之 , 要推导两角和差的正余弦公式 , 就是希望能得到一个等式或方程 , 将 或

与 , 的三角函数联系起来。的三角函数。因此 , 由和角公式容根据诱导公式 , 由角 的三角函数可以得到

易得到对应的差角公式 , 也可以由差角公式得到对应的和角公式。又因为 , 即原角的余弦等于其余角的正弦 , 据此 , 可以实现正弦公式和余弦公式的相互推导。因此 , 只要解决这组公式中的一个 , 其余的公式将很容易得到。

(一)在单位圆的框架下推导和差角余弦公式 注意到单位圆比较容易表示 ，和 , 而且角的终边与单位圆的交点坐标可

与 , 的三以用三角函数值表示 , 因此 , 我们可以用单位圆来构造联系 角函数值的等式。

1.和角余弦公式

(方法 1)如图所示, 在直角坐标系 角 的始边为 于点 C；角 , 交 始边为 ,由两点间距离公式得

；

于点 A, 终边交 , 终边交

中作单位圆 , 并作角 , 和 , 使

于点 B；角 始边为 , 终边交 ，于点。从而点 A, B, C和 D的坐标分别为,。

注意到 , 因此。

注记：这是教材上给出的经典证法。它借助单位圆的框架 , 利用平面内两点间距离公式表达两条相等线段, 从而得到我们所要的等式。注意, 公式中的 和 为任意角。

2.差角余弦公式

仍然在单位圆的框架下 , 用平面内两点间距离公式和余弦定理表达同一线段, 也可以得到我们希望的三角等式。这就是

(方法2)如图所示, 在坐标系 的始边均为 , 交

于点 C, 角 ,中作单位圆 终边交

。, 并作角 和 , 使角 和

于点 A,角 终边交 于点。从而点 A, B的坐标为由两点间距离公式得。

由余弦定理得。

从而有。

注记：方法 2 中用到了余弦定理 , 它依赖于 要补充讨论角 和 的终边共线, 以及 情形中依然成立。

在上边的证明中 , 用余弦定理计算

是三角形的内角。因此, 还需

大于 的情形。容易验证 , 公式在以上的过程也可以用勾股定理来进行。

(二)在三角形的框架下推导和差角正弦公式

除了在单位圆的框架下推导和差角的余弦公式 , 还可以在三角形中构造和角或差角来证明和差角的正弦公式。

1.和角正弦公式(一)

(方法3)如图所示, , ，为 的

边上的高 ，为

边上的高。设 , 则。从而有 , , 。

因此 。

注意到 从而有 , , 整理可得。

注记：在方法 3 中 , 用 边上高

和与底角 , 相关的三角函数, 从两个角度来表示 , 从而得到所希望的等式关系。这一证明所用的图形是基于钝角三角形的 , 对基于直角或锐角三角形的情形 , 证明过程类似。

利用方法 3 中的图形 , 我们用类似于恒等变形的方式 , 可以得到下面的

(方法 4)如图所示, , , 则

为 的。

边上的高 ，为

边上的高。设

注意到 , 则有,即。从而有。

利用正弦定理和射影定理 , 将得到下面这个非常简洁的证法。注意证明利用的图形框架与方法 3,4 所用的图形框架是相同的。

(方法 5)如图所示 , 则有

为 的

边上的高。设 , , ,。由正弦定理可得 , 其中 d为 的外接圆直径。

由 得 , 从而有。

2.和角正弦公式(二)方法 3,4 和 5 利用的图形框架是将角 , 放在三角形的两个底角上。如果将这两个角的和作为三角形的一个内角 , 将会有下面的几种证法(方法 6~11)。

(方法 6)如图所示 , 作 , , 则

于D, 交 , ,外接圆于 E, 连。

和

。设设 的外接,圆直径,为 d, 则有。

所以有。

注意到 , 从而。

(方法 7)如图所示 , , , 则

为 的

边上的高 , , 则

为

边上的高。设

。设 , , ,。, 又

从而。整理可得。

(方法 8)如图所示 , 作 设 。

于D, 过 D作 , 则 ,于 F, ,设

于G。, 从而 ,所以。

注意到 , 则有。

注记：我们用两种不同的方法计算 法来计算 , 得到了和角的正弦公式。如果我们用两种方, 则可以得到和角的余弦公式。由上图可得 , , 从而有而可得。

。注意到 , 从方法 6,7 和 8 都是用角 , 的三角函数从两个角度表示图形中的同一线段 , 从而构造出我们所希望的等式关系。

(方法 9)如图所示 , 设 ,，为 的

边上的高。设 , , 从而有

方法 9 利用面积关系构造三角恒等式。下面这两个证法的思路则有所不同。

(方法 10)如图所示 , 设 , 则

为 , 从而 的外接圆直径d, 长度为d。设 ，注记：这一证明用到了托勒密定理：若 和。

是圆内接四边形的对角线 , 则有

(方法 11)如图所示 , 则。设

为 , 则 的

边上的高。设 , ，方法 10 和 11 将某一线段作为基本量 , 利用与角 ，相关的三角函数表示其它线段 , 再通过联系这些线段的几何定理(托勒密定理或正弦定理), 构造出我们希望的等式关系。

3.差角正弦公式

仍然还是在三角形中 , 我们可以在三角形的内角里构造出差角来。方法 12 和 13 便是用这种想法来证明的。

(方法 12)如图所示 ,于 E, 则 。设 , , 从而有 , 记 , 作

(方法 13)如图所示 , , 则 ，为 的外接圆直径 , 长度为 d。设。从而 ，方法 12 和 13 的基本思路仍然是用两种不同方法计算同一线段 , 借此来构造等式关系。

很显然 , 在这十二种证法中 , 方法 1 和 2 更具普遍性。换言之 , 这两种方法中出现的角 , 是任意角。而其余方法中 , 角 和 则有一定的限制 , 它们都是三角形的内角(甚至都是锐角)。因此 , 对于方法 3~13, 我们需要将我们的结果推广到角 和

是任意角的情形。具体而言 , 我们要证明：如果公式对任意 任意角也成立。

容易验证 , 角 和

成立 , 则对

中至少有一个是轴上角(即终边在坐标轴上的角), 我们的公式是成立的。下面证明 , 角 和 都是象限角(即终边在坐标系的某一象限中的角)时 , 我们的公式也成立。不妨设 为第二象限角 , 为第三象限角 , 从而有

从而

同理可证, 公式对于象限角 3~13 推导的公式推广到角

和 的其它组合方式都成立。因此 , 我们可以将方法 , 是任意角的情形。

两角和差的正余弦公式是三角学中很基本的一组公式。其推导证明对指导学生进行探究性学习很有帮助。从上文中可以看到 , 这一探究过程可分为四个步骤：

(1)明确推导证明的目标：构造联系 和 等式或方程 ；

(2)简化课题：四个公式只要解决一个 , 其余的都可由它推出 ；(3)解决问题：利用单位圆或三角形作为联系

和

三角函数与

或

三角函数与

或 的的工具 , 寻找我们希望的等式关系 ；

(4)完善解决问题的方法：考察方法是否有普遍性。如果普遍性有欠缺 , 可考虑将其化归为已解决的情形 , 必要时还要进行分类讨论。

参考文献：

1.谷丹：全面数学教育观与知识形成过程的教学——三个教学个案及分析 , 《开放的视野 , 务实的努力》, 中央民族大学出版社 ,2006 年 3 月第 27 ~32 页。

2.人民教育出版社中学数学室：全日制普通高级中学教科书 << 数学(第一册下)>>(必修), 人民教育出版社 ,2003 年 12 月第 34 ~ 35 页。