27.1.3 圆周角
知识点
1 圆周角的概念
1．下列图形中的角是圆周角的是()
图27－1－43
2．如图27－1－44，在图中标出的4个角中，圆周角有________个．
图27－1－44
知识点
2 圆周角定理
3．2018·聊城如图27－1－45，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连结AB，OC.若∠A＝60°，∠ADC＝85°，则∠C的度数是()
图27－1－45
A．25°
B．27.5°
C．30°
D．35°
4．2016·绍兴如图27－1－46，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，＝，∠AOB＝60°，则∠BDC的度数是()
图27－1－46
A．60°
B．45°
C．35°
D．30°
5．如图27－1－47，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠A＝35°，则∠B的度数为()
图27－1－47
A．25°
B．45°
C．55°
D．65°
6．2017·衡阳如图27－1－48，点A，B，C都在⊙O上，且点C在弦AB所对的优弧上，如果∠AOB＝64°，那么∠ACB的度数是()
图27－1－48
A．26°
B．30°
C．32°
D．64°
7．如图27－1－49，点A，B，C，P在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠DCE＝40°，则∠P的度数为()
图27－1－49
A．140°
B．70°
C．60°
D．40°
8．2018·咸宁如图27－1－50，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD＝6，则弦AB的长为()
图27－1－50
A．6
B．8
C．5
D．5
9．如图27－1－51，已知A，B，C，D是⊙O上的四个点，AB＝BC，BD交AC于点E，连结CD，AD.求证：DB平分∠ADC.图27－1－51
10．如图27－1－52，△ABC的三个顶点都在⊙O上，直径AD＝6
cm，∠DAC＝2∠B，求AC的长．
图27－1－52
知识点
3 圆周角定理的推论
11．2018·邵阳如图27－1－53所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的大小是()
图27－1－53
A．80°
B．120°
C．100°
D．90°
12．从下列三角尺与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是()
图27－1－54
13．如图27－1－55，点D(0，3)，O(0，0)，C(4，0)在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则cos∠OBD等于()
图27－1－55
A.B.C.D.14.如图27－1－56，已知经过原点的⊙P与x轴、y轴分别交于A，B两点，C是劣弧上一点，则∠ACB等于()
图27－1－56
A．80°
B．90°
C．100°
D．无法确定
15．2016·杭州如图27－1－57，已知AC是⊙O的直径，点B在圆周上(不与点A，C重合)，点D在AC的延长线上，连结BD交⊙O于点E，若∠AOB＝3∠ADB，则()
图27－1－57
A．DE＝EB
B.DE＝EB
C.DE＝DO
D．DE＝OB
16．如图27－1－58，已知等腰直角三角形ABC的三个顶点都在⊙O上，点D是上一点，BD交AC于点E，若BC＝4，AD＝，则AE的长是()
图27－1－58
A．3
B．2
C．1
D．1.2
17．如图27－1－59，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点．若∠BCD＝28°，则∠ABD＝________°.图27－1－59
18．如图27－1－60，海边立有两座灯塔A，B，暗礁分布在经过A，B两点的弓形(弓形的弧是⊙O的一部分)区域内，∠AOB＝80°.为了避免触礁，轮船P与A，B两点的张角∠APB的最大值为________．
图27－1－60
19．如图27－1－61，AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，直径DE⊥AC于点P.若点D在优弧上，AB＝8，BC＝3，则DP＝________.图27－1－61
20．如图27－1－62，已知AB是半径为1的⊙O的直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一点，过点D的直线交AC于点E，交AB于点F，且△AEF为等边三角形.(1)求证：△DFB是等腰三角形；
(2)若DA＝AF，求证：CF⊥AB.图27－1－62
21．如图27－1－63，AB是⊙O的直径，弦BC＝4
cm，F是弦BC的中点，∠ABC＝60°.若动点E以2
cm/s的速度从点A出发沿着A→B→A的方向运动，设运动时间为t
s(0≤t＜6)，连结EF，当△BEF是直角三角形时，t的值为________．
图27－1－63
详解详析
1．B [解析]
顶点在圆上，两边与圆相交的角叫圆周角．满足条件的是选项B.2．2
3．D [解析]
∵∠A＝60°，∠ADC＝85°，∴∠B＝85°－60°＝25°，∠CDO＝95°，∴∠AOC＝2∠B＝50°，∴∠C＝180°－95°－50°＝35°.故选D.4．D
5．C [解析]
∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°.∵∠A＝35°，∴∠B＝55°.故选C.6．C [解析]
根据圆周角定理，同一条弧所对的圆周角等于该弧所对圆心角的一半，可知∠ACB＝∠AOB＝32°.故选C.7．B [解析]
∵CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠DCE＝40°，∴∠DOE＝180°－40°＝140°，∴∠P＝∠DOE＝70°.8．B [解析]
如图，延长AO交⊙O于点E，连结BE，则∠AOB＋∠BOE＝180°.又∵∠AOB＋∠COD＝180°，∴∠BOE＝∠COD，∴BE＝CD＝6.∵AE为⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，∴AB＝＝＝8.故选B.9．证明：∵AB＝BC，∴＝，∴∠BDC＝∠ADB，∴DB平分∠ADC.10．[解析]
连结OC，先判定△AOC是等边三角形，进而得到AC＝AO＝AD＝3
cm.解：如图，连接OC，∵∠AOC＝2∠B，∠DAC＝2∠B，∴∠AOC＝∠DAC，∴OC＝AC.又∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴AC＝AO＝AD＝3
cm.11．B [解析]
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠A＝180°－∠BCD＝60°.由圆周角定理，得∠BOD＝2∠A＝120°.故选B.12．B
13．C [解析]
连结CD，如图所示，∵D(0，3)，C(4，0)，∴OD＝3，OC＝4.∵∠COD＝90°，∴CD＝＝5.∵∠OBD＝∠OCD，∴cos∠OBD＝cos∠OCD＝＝.故选C.14．B [解析]
∵∠AOB与∠ACB是所对的圆周角，∴∠AOB＝∠ACB.∵∠AOB＝90°，∴∠ACB＝90°.故选B.15．D [解析]
如图，连结EO.∵OB＝OE，∴∠B＝∠OEB.∵∠OEB＝∠D＋∠DOE，∠AOB＝3∠D，∴∠B＋∠D＝∠D＋∠DOE＋∠D＝3∠D，∴∠DOE＝∠D，∴DE＝OE＝OB.故选D.16．C
17．62 [解析]
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵∠BCD＝28°，∴∠ACD＝62°.由圆周角定理得∠ABD＝∠ACD＝62°.18．40° [解析]
如图，当点P在⊙O上的点P′时，∠AP′B的度数最大，∠AP′B＝∠AOB＝40°.19．5.5 [解析]
∵AB和DE是⊙O的直径，∴OA＝OB＝OD＝4，∠C＝90°.又∵DE⊥AC，∴AP＝CP，∴OP是△ABC的中位线，∴OP＝1.5，∴DP＝OD＋OP＝5.5.20．证明：(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵△AEF为等边三角形，∴∠CAB＝∠EFA＝60°，∴∠B＝30°.∵∠EFA＝∠B＋∠FDB，∴∠FDB＝30°＝∠B，∴△DFB是等腰三角形．
(2)如图，过点A作AM⊥DF于点M，设AF＝2a.∵△AEF是等边三角形，∴FM＝EM＝a，AM＝a.在Rt△DAM中，DA＝AF＝2 a，AM＝a，∴DM＝5a，∴DF＝BF＝6a，∴AB＝AF＋BF＝8a.在Rt△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，∴AC＝4a.∵AE＝EF＝AF＝2a，∴CE＝AC－AE＝2a＝EF，∴∠ECF＝∠EFC.∵∠AEF＝∠ECF＋∠EFC＝60°，∴∠EFC＝30°，∴∠AFC＝∠EFA＋∠EFC＝60°＋30°＝90°，即CF⊥AB.21．2，[解析]
∵0≤t＜6，动点E以2
cm/s的速度从点A出发沿着A→B→A的方向运动，∴当t＝6时，点E运动的路程是2×6＝12(cm)，即点E运动的路程小于12
cm，设点E运动的路程是s
cm，则0≤s＜12.∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°.∵F为BC的中点，BC＝4
cm，∴BF＝CF＝2
cm.∵∠C＝90°，∠B＝60°，∴∠A＝30°，∴AB＝2BC＝8
cm.分为以下三种情况：
(1)当∠EFB＝90°时，如图①.∵∠C＝90°，∴∠EFB＝∠C，∴AC∥EF.∵FC＝BF，∴AE＝BE，即点E和点O重合，AE＝4
cm，∴t＝4÷2＝2；
(2)当∠FEB＝90°时，如图②.∵∠ABC＝60°，∴∠BFE＝30°，∴BE＝BF＝1
cm，∴AE＝8－1＝7(cm)，∴t＝7÷2＝；
(3)当点E到达点B后再返回到点O的过程中，∠FEB＝90°，如图③.此时点E运动的路程是8＋1＝9(cm)，∴t＝9÷2＝.综上所述，当△BEF是直角三角形时，t的值为2，.
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