27．1.1 圆的基本元素
知识点
1 圆的定义
1．下面关于圆的叙述正确的是()
A．圆是一个面
B．圆是一条封闭的曲线
C．圆是由圆心唯一确定的D．圆是到定点的距离等于或小于定长的点的集合2．以已知点O为圆心，线段a的长为半径作圆，可以作()
A．1个
B．2个
C．3个
D．无数个
3．如图27－1－1所示，以坐标原点O为圆心的圆与y轴交于点A，B，且OA＝1，则点B的坐标是________．
图27－1－1
知识点
2 圆的基本元素
4．如图27－1－2，AB是圆O的直径，则圆中的弦有______条，分别是________________________________________________________________________，劣弧有________条，分别是________________．
图27－1－2
5．圆内最长的弦的长为30
cm，则圆的半径是________________________________________________________________________．
6．如图27－1－3，⊙O的半径为2019，∠AOB＝60°，则弦长AB＝________．
图27－1－3
7．下列说法中，正确的是()
A．过圆心的线段是直径
B．小于半圆的弧是优弧
C．弦是直径
D．半圆是弧
8．图27－1－4中的∠1是圆心角的是()
图27－1－4
9．如图27－1－5所示，MN为⊙O的弦，∠M＝40°，则∠N等于()
图27－1－5
A．40°
B．60°
C．100°
D．120°
10．如图27－1－6所示，下列说法中正确的是()
图27－1－6
A．线段AB，AC，CD都是⊙O的弦
B．线段AC经过圆心O，所以线段AC是直径
C．弦AC把⊙O分成了两条不相等的弧
D．弦AB把圆分成两条弧，其中是劣弧
11．如图27－1－7所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，以点C为圆心，CB长为半径的圆交AB于点D，求∠ACD的度数．
图27－1－7
12．如图27－1－8，点A，B，C是⊙O上的三点，BO平分∠ABC.求证：BA＝BC.图27－1－8
13．如图27－1－9所示，AB是⊙O的直径，小芳给出以下判断：①是优弧；②是劣弧；③图中有四条弦；④弦AC所对的弧是劣弧；⑤AB＝2OB.其中正确的是()
图27－1－9
A．①⑤
B．③④
C．④⑤
D．②⑤
14．如图27－1－10，AB是⊙O的直径，D，C在⊙O上，AD∥OC，∠DAB＝60°，连结AC，则∠DAC等于()
图27－1－10
A．15°
B．30°
C．45°
D．60°
15．如图27－1－11，直线l1∥l2，以直线l1上的点A为圆心、适当长为半径画弧，与直线l1，l2分别交于点B，C，连接AC，BC.若∠ABC＝54°，则∠1的度数为()
图27－1－11
A．36°
B．54°
C．72°
D．73°
16．2017·义乌中考模拟有一半圆片(其中圆心角∠AED＝52°)在平面直角坐标系中，按图27－1－12所示位置放置，若点A可以沿y轴正半轴上下滑动，同时点B相应地在x轴正半轴上滑动，当∠OAB＝n°时，半圆片上的点D与原点O的距离最大，则n的值为()
图27－1－12
A．64
B．52
C．38
D．26
17．如图27－1－13，AB，CD是⊙O的两条弦，若∠AOB＋∠C＝180°，∠COD＝∠A，则∠AOB＝________．
图27－1－13
18．教材练习第1题变式设AB＝2
cm，作出满足下列要求的图形：
(1)到点A的距离等于1.5
cm，且到点B的距离等于1
cm的所有点组成的图形；
(2)到点A的距离小于1.5
cm，且到点B的距离小于1
cm的所有点组成的图形；
(3)到点A的距离大于1.5
cm，且到点B的距离小于1
cm的所有点组成的图形．
19．如图27－1－14，直线AB经过⊙O的圆心，与⊙O相交于点A，B，点C在⊙O上，且∠AOC＝30°，点P是直线AB上的一个动点(不与点O重合)，直线PC与⊙O相交于点Q，点P在直线AB上的什么位置时，QP＝QO？这样的点P共有几个？并相应地求出∠OCP的度数．
图27－1－14
详解详析
1．B [解析]
圆是一条封闭的曲线，它是由圆心和半径确定的，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，圆是到定点的距离等于定长的点的集合，故A，C，D均错误．
2．A
3．(0，－1)
4．2 CD，AB 5，，5．15
cm [解析]
圆内最长的弦是直径．
6．2019 [解析]
因为OA＝OB，∠AOB＝60°，所以△AOB为等边三角形，所以AB＝2019.7．D
8．D [解析]
根据“圆心角的顶点是圆心”，判断出D选项是正确的．
9．A [解析]
∵OM＝ON，∴∠N＝∠M＝40°.故选A.10．B [解析]
因为弦的两个端点都在圆上，所以线段CD不是弦，所以A错误；经过圆心的弦是圆的直径，所以B正确；直径把圆分成两个半圆，它们相等，所以C错误；大于半圆周的弧称为优弧，所以D错误．
11．解：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，∴∠B＝50°.∵CB＝CD，∴∠BDC＝∠B＝50°.∵∠BDC是△ADC的一个外角，∴∠BDC＝∠A＋∠ACD，∴∠ACD＝10°.12．证明：如图，连结OA，OC.∵OA＝OB，OB＝OC，∴∠ABO＝∠BAO，∠CBO＝∠BCO.∵BO平分∠ABC，∴∠ABO＝∠CBO，∴∠BAO＝∠BCO.又∵BO＝BO，∴△OAB≌△OCB，∴BA＝BC.13．D [解析]
①弧ACB是半圆；③图中有三条弦：AC，AB，CB；④弦AC所对的弧有两条，分别是劣弧和优弧，所以正确的是②⑤.14．B [解析]
∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO.∵AD∥OC，∴∠DAC＝∠ACO，∴∠DAC＝∠CAO.∵∠DAB＝60°，∴∠DAC＝∠DAB＝30°.故选B.15．C
16．D [解析]
连结OE，OD，如图．
当点O，E，D共线时，半圆片上的点D与原点O的距离最大．
因为EA＝EB，所以EA＝EO＝EB，所以∠EAO＝∠EOA，则∠AED＝∠EAO＋∠EOA，所以∠EAO＝∠AED＝26°，所以n＝26.17．108° [解析]
设∠COD＝∠A＝x°，则∠AOB＝(180－2x)°，∠C＝∠ODC＝()°.∵∠AOB＋∠C＝180°，∴180－2x＋＝180，解得x＝36，∴∠AOB＝(180－2x)°＝108°.故答案为108°.18．[解析]
(1)分别以A点和B点为圆心，1.5
cm和1
cm为半径作⊙A与⊙B，则它们的交点为所求；
(2)分别以A点和B点为圆心，1.5
cm和1
cm为半径作⊙A与⊙B，则它们的公共部分为所求(边界除外)；
(3)分别以A点和B点为圆心，1.5
cm和1
cm为半径作⊙A与⊙B，则⊙B中除掉它们的公共部分为所求(边界除外)．
解：(1)如图①，点P和点Q为所求．
(2)如图②，阴影部分为所求(不含边界)．
(3)如图③，阴影部分为所求(不含边界)．
19．解：(1)当点P在线段OA上时(如图①)，在△QOC中，CO＝QO，∴∠OQC＝∠OCQ.在△OPQ中，QP＝QO，∴∠QOP＝∠QPO.又∵∠QPO＝∠OCQ＋∠AOC，∠AOC＝30°，∠QOP＋∠QPO＋∠OQC＝180°，∴3∠OCP＝120°，∴∠OCP＝40°.(2)当点P在线段OA的延长线上时(如图②)，∵CO＝QO，∴∠OQP＝①.∵QO＝QP，∴∠OPQ＝②.在△OQP中，30°＋∠QOC＋∠OQP＋∠OPQ＝180°③，把①②代入③，得∠QOC＝20°，则∠OQP＝80°，∴∠OCP＝100°.(3)当点P在线段OB的延长线上时(如图③)，∵CO＝QO，∴∠OCP＝∠OQC.∵QO＝QP，∴∠QPO＝∠POQ，∴2∠QPO＝∠OCP＝∠OQC.∵∠AOC＝30°，∴∠QPO＋2∠QPO＝30°，∴∠QPO＝10°，∴∠OCP＝2∠QPO＝20°.(4)当点P在线段OB上时，QP＜QO，此时符合要求的点P不存在．
综上可知，这样的点P共有3个，当点P在线段OA上时，∠OCP＝40°；当点P在线段OA的延长线上时，∠OCP＝100°；当点P在线段OB的延长线上时，∠OCP＝20°.
点击咨询