8.4
三元一次方程组的解法
基础训练
知识点1
三元一次方程(组)的有关概念
1.下列方程是三元一次方程的是_________.(填序号)
①x+y-z=1;
②4xy+3z=7;
③+y-7z=0;
④6x+4y-3=0.2.①
②
③
④
⑤其中是三元一次方程组的是__________.(填序号)
3.若(a-1)x+5yb+1+2z2-|a|=10是一个关于x,y,z的三元一次方程,那么a=__________,b=__________.知识点2
三元一次方程组的解法
4.解三元一次方程组先消去_________,化为关于_________、_________的二元一次方程组较简便.5.解方程组若要使运算简便,消元的方法应选()
A.消去x
B.消去y
C.消去z
D.以上说法都不对
6.已知三元一次方程组经过步骤①-③和③×4+②消去未知数z后,得到的二元一次方程组是()
A.B.C.D.知识点3
三元一次方程组的应用
7.已知单项式-8a3x+y-zb12cx+y+z与2a2b2x-yc6是同类项,则x= ,y= ,z=.8.已知式子ax2+bx+c,当x=1时,其值为-4;当x=2时,其值为3;当x=4时,其值为35.当x=3时,其值为.9.桌面上有甲、乙、丙三个杯子,三杯内原本均装有一些水,先将甲杯的水全部倒入丙杯,此时丙杯的水量为原本甲杯内水量的2倍多40毫升;再将乙杯的水全部倒入丙杯,此时丙杯的水量为原本乙杯内水量的3倍少180毫升.若过程中水没有溢出,则原本甲、乙两杯内的水量相差多少毫升?()
A.80
B.110
C.140
D.220
10.解方程组
提升训练
11.解方程组
12.解方程组
13.解方程组:
14.用两种消元法解方程组:
探究培优
15.如图是一个有三条边的算法图,每个“”里有一个数,这个数等于它所在边的两个“”里的数之和,请你通过计算确定三个“”里的数之和,并且确定三个“”里应填入的数.16.已知甲、乙二人解关于x,y的方程组甲正确地解得而乙把c抄错了,解得求a,b,c的值.解三元一次方程组的消元技巧:
(1)先消去某个方程缺少的未知数;(2)先消去系数最简单的未知数;(3)先消去系数成整倍数关系的未知数.另外,在“消元”的过程中必须保证每个方程至少用一次.参考答案
1.【答案】① 2.【答案】①② 3.【答案】-1;0 4.【答案】z;x;y
5.【答案】B
解：因为y的系数的绝对值都是1,所以消去y较简便.6.【答案】A 7.【答案】4;-4;6 8.【答案】16
9.【答案】B
解：设甲杯中原有水a毫升,乙杯中原有水b毫升,丙杯中原有水c毫升.根据题意得
②-①,得b-a=110.故选B.10.解:由②+①×2,得4x+3x+6z+2z=2+2,即7x+8z=4.④
由③+②×2,得6x-4x+4z-z=4-1,即2x+3z=3.⑤
由④⑤组成方程组,得解得
把代入①,得y=-2.所以原方程组的解为
分析：解三元一次方程组时,通常需在某些方程两边同乘以某常数,以便于消去同一未知数;在变形过程中,易漏乘常数项而出现方程①变形为4x+2y+6z=1的错误.11.解:设=a,=b,=c,则原方程组可化为
①+②,得2a+2c=1,④
②+③,得2a+4c=4.⑤
④与⑤组成方程组,得
解这个方程组,得
把代入①,得b=6.因此,x=-1,y=,z=.即原方程组的解为
分析：本题运用了换元法,将，分别用a,b,c表示,将原方程组化为关于a,b,c的三元一次方程组,求出a,b,c的值后,进一步再求x,y,z的值,这种方法可使解题过程变简便.12.解:设x=k,y=2k,z=3k,代入②,得
2k+2k-9k=15.解得k=-3.所以原方程组的解为
分析：像这种已知未知数之间数量比的问题,通常采用设参数的方法,将“多元”化为“一元”,使解题过程变简便.13.解:①+②+③,得2x+2y+2z=12,所以x+y+z=6.④
④-①,得z=3.④-②,得x=1.④-③,得y=2.所以原方程组的解为
分析：本题没有采用常规的消元方法求解,而是利用整体加减的方法求出未知数的值,给解题过程带来了简便.14.解:方法一:用代入法解方程组.把②变形为2y=3x-4z-8,④
将④代入①,得2x+2(3x-4z-8)-3z=9,整理,得
8x-11z=25.⑤
将④代入③,得5x-3(3x-4z-8)-5z=7,整理,得
4x-7z=17.⑥
由⑤⑥组成方程组,得解得
将代入④,得y=.所以原方程组的解为
方法二:用加减法解方程组.①+②×2,得8x-11z=25.④
①×3+③×2,得16x-19z=41.⑤
由④⑤,得解得
将代入①,得y=.所以原方程组的解为
15.解:如图,如果把三个“”里的数分别记作x,y,z,则
①+②+③,得2(x+y+z)=142,即x+y+z=71.④
④-①,得z=-12.④-②,得x=50.④-③,得y=33.所以三元一次方程组的解为
所以三个“”里的数之和为71,三个“”里应填入的数按先上后下,先左后右的顺序依次为50,33,-12.16.解:甲正确地解得故可把代入原方程组.乙仅抄错了题中的c,解得故可把代入第一个方程.由题意得解得
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