函数的凸性与拐点解读

第一篇：函数的凸性与拐点解读

九江学院理学院

《数学分析》教案

§ 5 函数的凸性与拐点

一． 凸性的定义及判定：

1． 凸性的定义：由直观引入.强调曲线弯曲方向与上升方向的区别.定义1 设函数f(x)在区间I上连续.若对x1,x2I 和(0,1)恒有

f(x1(1)x2)f(x1)(1)f(x2)

则称曲线 yf(x)在区间I的凸函数, 反之, 如果总有

f(x1(1)x2)f(x1)(1)f(x2)

则称曲线 yf(x)在区间I的凹函数.若在上式中, 当x1x2时, 有严格不等号成立, 则称曲线yf(x)在区间[a,b]上是严格凸(或严格凹)的.引理 yf(x)为区间I上的凸函数的充要条件是:对I上任意三点: x1x2x3 , 总有

f(x2)f(x1)f(x3)f(x2)x2x1x3x2定理6.13 设函数f(x)在区间I上可导, 则下面条件等价:(i)

为I上凸函数

(ii)

为I上的增函数(iii)对I上的任意两点x1,x2 有

f(x2)f(x1)f(x1)(x2x1)

2． 利用二阶导数判断曲线的凸向: Th 6.14 设函数f(x)在区间(a,b)内存在二阶导数, 则在(a,b)内

⑴ f(x)0,  f(x)在(a,b)内严格上凸;⑵ f(x)0,  f(x)在(a,b)内严格下凸.证法一(用Taylor公式)对x1,x2(a,b), 设x0

x1x2, 把f(x)在点 2九江学院理学院

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x0展开成具Lagrange型余项的Taylor公式, 有

f(x1)f(x0)f(x0)(x1x0)f(1)(x1x0)2, 2f(2)(x2x0)2.2 f(x2)f(x0)f(x0)(x2x0)其中 1 和 2在 x1 与 x2 之间.注意到 x1x0(x2x0), 就有

f(x1)f(x2)2f(x0)1f(1)(x1x0)2f(2)(x2x0)2, 2于是, 若有f(x)0,  上式中0,  f(x1)f(x2)2f(x0), 即 f(x)严格上凸.若有f(x)0,  上式中0,  f(x1)f(x2)2f(x0), 即f(x)严格下凸.证法二(利用Lagrange中值定理.)若f(x)0, 则有f(x)↗↗.不妨设 x1x2, 并设 x0x1x2, 分别在区间[x1,x0]和[x0,x2]上应用2Lagrange中值定理, 有

1(x1,x0),  f(x0)f(x1)f(1)(x0x1), 2(x0,x2),  f(x2)f(x0)f(2)(x2x0).有x11x02x2,  f(1)f(2), 又由 x0x1x2x00，

f(1)(x0x1)

x1x2，f(x)严格下凸.2九江学院理学院

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3． 凸区间的分离: f(x)的正、负值区间分别对应函数f(x)的下凸和上凸区间.二.曲线的拐点: 拐点的定义.例1 确定函数f(x)xex的上凸、下凸区间和拐点.解 f的定义域为( , )，f(x)ex(12x2), f(x)2x(2x23)ex.令f(x)0, 解得

x12223 , x20 , x323.2在区间( , 3333),( , 0),(0 ,),(, )内f 的符号依次为 222233333232 ,  ,  , ， .拐点为: 2 , 2e ,(0 , 0),  2 , 2e.倘若注意到本题中的f(x)是奇函数, 可使解答更为简捷.Jensen不等式及其应用: Jensen不等式: 设函数f(x)为区间[a,b]上的凸函数, 则对任意 xi[a,b], i0,i1,,i1, 有Jensen不等式: i1nf(ixi)if(xi)，i1i1nn且等号当且仅当x1x2xn时成立.1n证 令x0xk, 把f(xk)表为点x0处具二阶Lagrange型余项的Taylor公式，仿nk1前述定理的证明，注意(xk1nkx0)0, 即得所证.九江学院理学院

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例2 证明: 对x,yR, 有不等式 exy21x(eey).2例3 证明均值不等式: 对a1,a2,,anR, 有均值不等式

aa2an na1a2an  1.111na1a2ann证 先证不等式 na1a2an  a1a2an.n 取f(x)lnx.f(x)在(0 , )内严格上凸, 由Jensen不等式, 有

1n1n1n1nlnnxklnxkf(xk)fxklnxk.nk1nk1k1nk1nk1由f(x)↗↗  na1a2an  na1a2an.n对111，,R用上述已证结果, 即得均值不等式的左半端.a1a2an例4 证明: 对x1,x2,,xnR, 有不等式

22x1x2xnx12x2xn .(平方根平均值)

nn222例5 设xyz6，证明 xyz12.2解 取f(x)x, 应用Jensen不等式.例6 在⊿ABC中, 求证 sinAsinBsinC33.2解 考虑函数f(x)sinx, 0x.fsinx 0 , 0x . sinx在 区间(0 , )内凹, 由Jensen不等式, 有

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sinAsinBsinCf(A)f(B)f(C)3ABC. fsin33332 sinAsinBsinC33.2例7 已知a,b,cR, abc1.求证 33a733b733c76.解 考虑函数f(x)3x, f(x)在(0 , )内严格上凸.由Jensen不等式, 有

3a733b733c7f(3a7)f(3b7)f(3c7)

f33a73b73c7f(abc7)f(8)382.

3 33a733b733c76.例8 已知 0 , 0 , 332.求证 2. 解 函数f(x)x在(0 , )内严格下凸.由Jensen不等式, 有

33332()3f()f()1,  f228222()38 ,  2.

第二篇：二阶导数与函数凹凸性证明

证明设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一阶和二阶导数，那么若在(a,b)内f“(x)>0，则f(x)在[a,b]上的图形是凹的。

设x1和x2是[a,b]内任意两点，且x1

对f'(x)在区间[x0-θ2h,x0+θ1h]上再利用拉格朗日中值公式，得

[f'(x0+θ1h)-f'(x0-θ2h)]h=f”(ξ)(θ1+θ2)h^2，其中x0-θ2h<ξ

因为f"(ξ)>0，所以f(x0+h)+f(x0-h)-2f(x0)>0，即[f(x0+h)+f(x0-h)]/2>f(x0)，亦即

[f(x1)+f(x2)]/2>f[(x1+x2)/2]，所以f(x)在[a,b]上的图形是凹的。

f(x)<=1/2f(x1)+1/2f(x2),x=(x1+x2)/2,注意到1/2=x2-x/x2-x1=x-x1/x2-x1,那么代入

f(x)<=(x2-x)/(x2-x1)f(x1)+(x-x1)/(x2-x1)f(x2),等价于f(x)(x2-x1)<=(x2-x)f(x1)+(x-x1)f(x2)

（1）

那个二阶条件是充要条件，必要性证明，假设是凹的，（1）式改写成，f(x)-f(x1)/x-x1<=f(x2)-f(x)/x2-x,其中x1=f(x2)-f(x1)/x2-x1,所以f'(x1)<=f'(x2),即导函数单调增，f''(x)>=0

充分性证明，由于f''(x)>=0,f'(x)单调增（广义的），这里要用拉格朗日定理了

f(x)-f(x1)/x-x1=f'(a),其中x1

显然与凹定义等价

证毕

第三篇：解读运营商半年报：结构性改变迎来拐点

解读运营商半年报：结构性改变迎来拐点

三大运营商8月下旬陆续交出的半年财报，可用“意料之中”四字形容。

根据三家运营商公布的2012年上半年财报，中国电信(微博)经营收入1380.12亿元，同比增长14.8%；扣除移动终端销售收入后，经营收入1265.8亿元，同比增长11.2%；股东应占利润88.14亿元，同比下降8.3%。

中国移动(微博)实现营收2665亿元，同比增长6.6%，净利润622亿元，同比增长1.5%。中国联通(微博)实现营收1216.9亿元，同比增长20%。实现净利润34.3亿元，同比增长31.9%。

从行业利润归属看，中国移动仍牢牢占据八成以上份额，一家短信猫独大的竞争格局并未改变。电信和联通的3G优势，并未给营收带来爆发式增长。

整体而言，目前中国移动市场2G用户仍是主流，也是利润高地，但2G用户向3G迁移趋势明显，电信和联通能否抓住3G窗口期实现真正三分天下，还待观察。电信、联通3G高速增长

中国电信和中国联通的3G增速维持在高位。

中国电信3G用户净增1467万户，用户总量达到5096万户。新增用户中3G占84%，中国电信董事长王晓初认为这一数字下半年会继续上升。3G用户ARPU值74元。

中国联通累计净增3G用户1751.1万，3G用户总数达到5753万户。3G用户的ARPU和手机用户月户均数据流量分别为91.8元。3G服务收入同比实现翻番，达到269亿元。目前中国近1.8亿的3G用户总量，三家运营商用户数占比基本实现1：1：1，格局均衡。但从10亿移动用户角度而言，中国移动的市场份额接近7成，竞争态势并未显著改变。王晓初认为，2G向3G迁移的大势方兴未艾，近9亿2G用户都已成为3G业务的潜在用户群。

流量井喷

移动互联网时代的到来，倒逼运营商从传统的话务量经营向数据流量经营转型。从三家财报看，流量经营已步入正轨。

中国电信上半年移动数据业务收入达到192.67亿元，同比增长46.7%，移动数据业务占收比达到45.3%。3G用户户均流量达到111M。

中国移动数据业务上半年收入达到760亿元，同比增长17.3%，占运营收入比重上升至28.5%。在数据业务中，无线上网业务收入达到292亿元，同比增长51.6%，占运营收入比重达到11%。

中国联通移动非语音业务收入对移动服务收入的贡献达到52.3%。移动服务收入达到604.8亿元，同比增长23.4%。3G用户户均流量138.3MB。

总体看，电信和联通移动非话收入已经超过或接近总收入的一半，中国移动虽然话音收入基数庞大，但非话收入份额也接近30%。从全球主流运营商转型指标看，这一数字已经标志着转型的成功。

中国移动董事长奚国华在董事长报告书中表示，传统电信行业和移动互联网领域两个层面的竞争正在不断发生变化，移动通信普及率不断提高，传统移动通信市场增长空间日益缩小，对客户价值的争夺将更为激烈。

分析师预测，全行业收入结构正在迎来拐点，2012年三大运营商全年财报这一特征会更加清晰。

第四篇：功函数总结解读

功函数:是体现电子传输能力的一个重要物理量,电子在深度为χ的势阱内,要使费米面上的电子逃离金属,至少使之获得W=X-E F的能量,W称为脱出功又称为功函数;脱出功越小,电子脱离金属越容易。另外,半导体的费米能级随掺杂和温度而改变,因此,半导体的功函数不是常数。

功函测量方法:光电子发射阈值法、开尔文探针法和热阴极发射阻挡电势法、热电子发射法、场发射法、光电子发射法以及电子束(或离子束减速电势(retarding potential法、扫描低能电子探针法等。

紫外光电谱(UPS测量功函数 1.测量所需仪器和条件

仪器:ESCALAB250多功能表面分析系统。

技术参数:基本真空为3×10-8Pa, UPS谱测量用Hel(21.22eV,样品加-3.5 V偏压;另外,测量前样品经Ar+离子溅射清洗, Ar+离子能量为2keV,束流密度为0.5μA/mm2。运用此方法一般除ITO靶材外, 其它样品都是纯金属标样。

2.原理

功函数:φ=hv+ E Cutoff-E Fermi 3.测量误差标定 E Fermi标定:费米边微分

E Cutoff标定:一是取截止边的中点, 另一种是由截止边拟合的直线与基线的交点。

4.注意事项

测试样品与样品托(接地要接触良好,特别是所测试样的表面与样品托之间不能存在电阻。

用Fowler-Nordheim(F-N公式测定ITO功函数 1.器件制备

双边注入型单载流子器件ITO/TPD(NPB/Cu 原料:较高迁移率的空穴传输材料TPD和NPB作有机层,功函数较高且比较稳定的Cu作电极,形成了双边空穴注入的器件。

制备过程:IT0玻璃衬底经有机溶剂和去离子水超声清洗并烘干后,立即置于钟罩内抽真空,在1×10-3 Pa的真空下依次蒸镀有机层(TPD或NPB和金属电极Cu。

2.功函测量方法

运用Fowle~Nordheim(F-N公式变换,消除了载流子有效质量和器件厚度因素的影响,提高了测量的精度,可以简单准确地测定了ITO的功函数。

其中TPD和NPB的电离势IP值分别为5.37eV、5.46 eV。

α:ln(J/V2-1/V的关系图,然后用直线模拟出了高场下的线性关系,α代表直线的斜率。

3.ITO功函测量值

测得值分别为4.85 eV、4.88 eV;ITO薄膜表面功函数一般是4.5eV左右,如果功函数提高到5.0eV或者更大,那么可进一步提高空穴的注入率。

新型功函数测量系统 1.1测量方法 采用接触势差法 1.2系统组成及原理

系统组成:信号发生单元、振动单元和检测单元组成。

工作原理:信号发生单元输出低频正弦信号使参比电极振动, 调节振动单元偏压使检测单元输出信号为零, 通过计算加载偏压和标准参比电极的偏差可得样品功函数值。

1.3功函计算

样品与参比电极通过导线连接相接触,两者的费米能级不同, 因此样品与参比电极间将会存在势差CPD。

CPD=(φc-φs/e

样品与参比电极之间距离为d0,音频震荡线圈使参比电极发生微小振动,两者之间距离为: D(t = d0+d1sin(wt 构成的电容发生变化:

振荡信号I(t:

其中U=V-CPD,而且U不是时间的函数,调节加载偏压V使振荡信号为零时,即i(t=0时,得到如下:

可得样品的功函φs。超高真空下电子束阻挡势技术 2.1主要目的

主要用作测量固体表面的功函的联系变化,一般用作功函数的相对测量;但是当用一个功函数稳定且已知的标准品作为参考,也可以测量样品的绝对功函。

2.2原理

在样品与电子枪的直热式阴极之间加一电压U R,组成一个热电子发射二机管。当U R为负值(样品相对于阴极为负, 使样品和直热式阴极之间的空间中存在一减速场(又称阻挡势,并如果我们假定阴极发射出的电子初速度均为零, 则阻挡势垒的作用使电子不能到达样品,此时二极管的电流为零。只有当U R达到如下条件: eU R ≥φs-φc⑴

其中φs、φc分别为样品和阴极的功函数。样品上可以收集到阴极的热电子发射电流, 得到相应的的二极管伏一安特性图。考虑阴极发射热电子的初速度分布, 伏一安特性图中电流从零到饱和之间有一个电流逐渐上升的过渡区域, 通常是以该段曲线的拐点所对应的U作为满足⑴功函数的实验量度。

2.3接触电势差

如果样品的功函数变化了Δφs,阴极则由于处在高温, 气体分子在其表面的吸附几乎可以忽略, 故其功函数在测量过程中可以认为是不变的, 于是二极管I-U R曲线的拐点位置将从原来的(φs-φc/e已移到(φs+Δφs-φc/e, 如上图所示, 即拐点移动的电位变化相应于样品的功函数变化。

I-U R曲线的拐点容易引入误差,特别是电流上升较慢时,一般采用伏安特性曲线的一次微商的峰点和二次微商的零点确定接触电势差,此时结果比较准确。

2.4绝对功函测量

用一个功函数稳定且已知的标准品作为参考,即可测量样品的绝对功函。半导体材料功函数 3.1功函数影响机理

功函数的大小表示电子逸出半导体需要能量的最小值,也反映对电子束缚能力的强弱;其通过影响光电子器件载流子注入,从而影响器件的性能;对于N型半导体器件,选择功函数小的金属,对于P型半导体,选择功函数大的金属,这样能够降低金属和半导体界面的肖特基势垒高度,有利于载流子的注入。

3.2外加电场对功函的影响

在受外电场作用时,由于能带在表面发生弯曲,电子势能发生变化,从而影响半导体的功函数;当外加电场是背向半导体表面时,表面势Vs<0,表面能带向上弯曲,形成电子势垒,电子从体内逸出体外,需要提高势能,而使功函数增加;如果外加电场是指向半导体表面,表面势Vs>0,则半导体的功函数减少,ΔW =-qVs,当Vs<0时,ΔW>0,表现为增加;当Vs>0时,ΔW<0,表现为减少。

3.3功函数的测定方法

功函数测量主要有光电子发射阈值法、开尔文探针法和热阴极发射阻挡电势法等。功函数测量主要是采用紫外光电子能谱(UPS法和开尔文(Kelvin探针方法。另外,两种方法都是在真空中测量功函数,对环境的要求较严格。

UPS法可以测量局部的功函数,即功函数的区域分布情况,用UPS在超高真空条件下测量功函数,没有外界环境干扰,表面状态非常稳定,得到的测量值比较可靠,特别是离子溅射清洗后,没有表面吸附,测得的是样品的真实功函数。

开尔文探针法已经有定型的测量仪器,可在超高真空中不同温度下测量,其优点是准确度较高,缺点是相对测量,准确度取决于参考电极。

Kelvin探针原理上与UPS不同,所以通常情况下测出的结果比UPS测量的结果稍高。

一种新的功函数的测量法 4.1方法

利用二次电子低能峰上升沿和功函数有关原理来测量功函数;测量所用设备为俄歇能谱仪,特别是具有电子束扫描功能时,还能具有一定的空间分辨率。

4.2原理

当样品表面受到入射电子轰击时,样品上将产生二次电子,图中表示出了二次电子分别在样品空间(左边部分和分析器空间(右边部分的动能分布曲线;Va为样品和分析器之间加的直流电位,又称为样品偏压。实验中测到的二次电子能量分布曲线为电子在分析器空间的

动能分布,图中右边曲线所示,该曲线和能量轴的交点为具有E0动能的电子是那种电子, 它们具有的能量正好能克服数值为φs的样品表面势垒,在样品空间,它们的动能为零。

4.3功函数测定方法

当由于某种原因导致样品的功函数发生变化时,如φs变小则二次电子的功能分布曲线如虚线所示,其移动量刚好和功函数的改变量相等。此时可从分析器测得的上升沿位移得到知样品功函数的变化,对比已知功函数的样品和待测功函数样品的上升沿的差别,即可获得待测样品的功函。

光电子能谱方法测量固体的功函数

5.1光电子能谱(ESCA法的优点

对于待测状态的样品,样品表面的组成情况可以通过ESCA方法进行检测,一般情况下,即使表面有0.01单层的沾污物,也可通过ESCA检测出来;在对功函数的测量中,样品表面的组成可以通过ESCA方法来精确监控,这样可以得到样品在具体表面状况下的功函数的精确值。

5.2功函数的测量原理

测量样品功函数时,样品和谱仪同时接地,此时它们的费米能级在同一水平上,如果样品的功函数大于电子能量分析器材料的功函数,则二次电子分布曲线的起始点所对应的能量值,就等于样品真空能级与分析器材料的真空能级之间的能量差,也等于它们之间的功函差;另外,分析器件材料的功函数可以通过标准谱线精确测量,通过相应的计算即可得到样品的功函数。

5.3功函数的测定

在实际功函数的测定中,为了抑制样品室中其它杂散电子的干扰,提高样品表面发射的二次电子的探测效率,通常在样品表面加载负偏置电压,下图为加负偏置电压后样品和谱仪分析器的能级位置。

根据以下公式： 上式中V为所加的偏置电压，φs和φsp分别为样品和谱仪分析材料的功函数，E k 为光电子在 样品室的动能，E k 为光电子进入分析器以后的动能，而谱仪测量的二次电子的起始点 E k 为 零，可得到如下结论： ' ' 其中V数值电压表读数，φsp由标准谱线定出，测出 E k 即可得到样品的功函数。功函数测量仪器 1.开尔文探针扫描系统 开尔文探针系统(Kelvin Probe 原产国：英国 开尔文探针(Kelvin Probe是一种非接触无损震荡电容装置，用于测量导体材料的功函数(Work Function或半导体、绝缘表面的表面势(Surface Potential。材料表面的功函数通常由

最上层的 1-3 层原子或分子决定，所以开尔文探针是一种最灵敏的表面分析技术。开尔文探针系统包括： 单点开尔文探针(大气环境及气氛控制环境；扫描开尔

文探针(大 气环境及气氛控制环境； 超高真空(UHV开尔文探针； 湿度控制的腐蚀开尔文探针。ASKP 系统是一款高端扫描开尔文探针系统，它是在 SKP 基础之上包括了彩色相机/TFT 显示器、2 毫米和 50 微米探针、外部数字示波镜等配置。2.表面功函数测试仪 公司：彩融上海特种光源 表面功函数测试仪主要用于测量 ITO 玻璃等半导体材料的表面功函数；主要有样 品测试台、功函数测试仪主机、示波器三部分组成。

第五篇：一、多元函数、极限与连续解读

一、多元函数、极限与连续 ㈠二元函数 ．二元函数的定义：设 D 是平面上的一个点集，如果对于每个点 P（x，y）∈ D，变量 按照

一定法则总有确定的值与它对应，则称 是变量 x、y 的二元函数（或点 P 的函数），记为

（或），点集 D 为该函数的定义域，x、y 为自

为该函数值域。由此变量，为因变量，数集也可定义三元函数以及三元以上的函数。二元函数的图形通常是一张曲面。例如 面。

㈡二元函数的极限

⒈设函数 f（x,y）在开区域（或闭区域）D 内有定义，是 D 的内点或边界点，如果对于任意给定的正数，总存在正数，使得对于适合不等式，都有 的一切点

是球心在原点，半径为 1 的上半球

成立，则称常数 A 为函数f（x,y）当

或 , 这里 时的极限，记作

。为了区别一元函数的极限，我们把二元函数的极限叫做二重极限。⒉注意：二重极限存在是指 都无限接近A。因此，如果条定直线或定曲线趋于

沿任意路径趋于，函数

沿某一特殊路径，例如沿着一时，即使函数无限接近于某一确定值，我们也不能由此判定函数的极限存在。

㈢多元函数的连续性 ．定义：设函数 f（x，y）在开区间（或闭区间）D 内有定义，是 D 的内点或边界点且

。如果

连续。如果函，则称函数 f（x，y）在点

数 f（x，y）在开区间（或闭区间）D 内的每一点连续，那么就称函数 f（x，y）在 D 内连续，或者称 f（x，y）是 D 内的连续函数。2 ．性质

⑴一切多元初等函数在其定义域内是连续的；

⑵在有界闭区域 D 上的多元连续函数，在 D 上一定有最大值和最小值；

⑶在有界闭区域 D 上的多元连续函数，如果在 D 上取两个不同的函数值，则它在 D 上取得介于这两 个值之间的任何值至少一次；

⑷在有界闭区域 D 上的多元连续函数必定在 D 上一致连续。

二、偏导数和全微分 ㈠偏导数

⒈偏导数定义：设函数

在点 的某一邻域内有定义，时，相应地函数有增量

存在，则称此极限为

处对 的偏导数，记作，当 固定 在而 在处有增量，如果函数

或 类似，函数 在点

在点

处对 的偏导数定义为，记作

际中求，或。在实的偏导数，并不需要用新的方法，因为这里只有一个自变量在变动，另一个自变量是看作固定的，所以求 时只要将暂时看作常量而对 求导数；求 时，则只要将 暂时看作常量而对 求导数。偏导数可以推广到二元以上的函数 注意：对于一元函数来说 可以看作函数的微分 分 之商，而偏导数的记

与自变量微号是一个整体符号，不能看作分母与分子之商。⒉偏导数的几何意义：设 过 做平面，截此曲面得一曲线，此曲线在平面，则导数

上的方程为

为曲面

上的一点，即偏导数

对 轴的 斜率。同样，偏导数 截得的曲线在点 的切线

处，就是这曲线在点 处的切线 的几何意义是曲面被平面 所对 轴的斜率。

在区域 D 内具有偏导数，都是，⒊高阶偏导数：设函数，那么在 D 内 的函数，如果这两个函数的偏导数也存在，则称它们是函数 的二阶偏导数。按照对变量求导次序的不同有以下四个二阶偏导数： ,。二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。

定理：如果函数 的两个二阶混合偏导数 及 在区域 D 内连续，那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。（即二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关。）㈡全微分

⒈全微分定义：如果函数

可表示为

赖于、而仅与、有关，在点

可微分，而

称

在点 的全增量，其中 A、B 不依，则称函数

为函数

在点 的全微分，记作，即。如果函数在区域 D 内各点都可微分，那么称这函数在 D 内可微分。定理 1（必要条件）：如果函数 函数在点 的偏导数

在点 的全微分为 在点

可微分，则该必定存在，且函数

。定理2（充分条件）：如果函数续，则函数在该点可微分。的偏导数 在点 连以上关于二元函数全微分的定义及可微分的必要条件和充分条件，可以完全类似地推广到三元和三元以上的多元函数。习惯上将自变量的增量、分别记作、；并分别称为自变量的微分，则函数 的全微分可表示为 分等于它的两个偏微分之和

这件事称为二元函数的微分符合叠加原理。叠加原理也适用于二元以上的函数的情形。

三、多元复合函数的求导法则 ㈠复合函数的全导数：如果函数 函数 在对应点

在点 可导，且

及

都在点 可导。通常将二元函数的全微具有连续偏导数，则复合函数 其导数可用下列公式计算：。此定理可推广到中间变量多余两个的情况，例如，，则，其中 称为全导数。上述定理还可推广

到中间变量不是一元函数而是多元函数的情形。㈡复合函数的偏导数 : 设 则

是

可微，函数，对，并且，的复合函数。如果 的偏导数存在，则 复合函数

对 的偏导数存在，且

㈢全微分形式的不变性 : 设函数 则有全微分 果、又是，如 的函数、具有连续偏导数，且这两个函数也具有连续偏导数，则复合 函数 的全微分为

由此可见，无论 是自变量、的函数或中间变量、的函数，它的全微分形式是一样的，这个性质叫做全微分形式不变性。

四、隐函数的求导公式 ㈠、一个方程的情形 隐函数存在定理 1 ：设函数 有连续的偏导数，且，内恒能

唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数，它满，则方程

在点 的某一邻域

在点 的某一邻域内具 足条件，并有

隐函数存在定理 2 ：设函数 具有连续的偏导数，且，一邻域

内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数，它满足条件，则方程

在点 的某

在点 的某一邻域内，并有

㈡、方程组的情况 隐函数存在定理 3 ：设 某一邻域内、在点 的具有对各个变量的连续偏导数，又，且，偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比（Jacobi）行列式）：

在点 点 不等于零，则方程组，在的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数，它们满足条件，并有，，五、方向导数、梯度 ㈠、方向导数 1、定义：设函数

在点 的某一邻域 内有定义，自点 P 引射线。设轴正向到射线 的转角为 , 并设

为 上的另一点，且

。我们考虑函数的增量 的比

与 和 两点间的距离

值。当 沿着 趋于 时，如果这个比的极限存在，则称这极限为函数 在点沿着方向的方向导数，记作，即。、定理：如果函数 在点 是可微分的，那么函数，在该点沿任一方向 的方向导数都存在，且有 其中 为 x 轴到方向 的转角。上述定义也可推广到三元函数 着方向（设方向 的方向角为，其中，它在空间一点

沿）的方向导数可以定义为，如果函数在所考虑的点处可微，则函数在该点沿着方向 的方向导数为

㈡、梯度、定义(二元函数的情形)：设函数 内具有一阶连续偏导数，则对于每一点量，这个向量称为函数，即，在点

在平面区域 D，都可定出一个向的梯度，记作，由梯度的定义可知，梯度的模为： 当 不为零时，x 轴到梯度的转角的正切为 2、与方向导数的关系：如果设

是与方向 同方向的单位向量，则由方向导数的计算公式可知：

由此可知，就是梯度在 上的投影，当方向 与梯度的方向一致时，有，从而 有最大值。所以沿梯度方向的方向导数达最大值，也就是说，梯度的方向是函数

在该点增长最快的方向，因此，函数在某点的梯度的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值。※上述所讲的梯度的概念也可推广到三元函数的情况。设函数 续偏导数，则对于每一点，这个向量称为函数

六、多元函数的泰勒公式、极值和几何应用 ㈠、二元函数的泰勒公式 定理：设 的连续偏导数，在点 的某一邻域内连续且有直到

阶

在空间区域 G 内具有一阶连，都可定出一个向量

在点 的梯度，即 为此邻域内任一点，则有

一般地，记号 表示

设，则上式可表示为

⑴，公式⑴称为二元函数

在点的n阶泰勒公式，而的表达式为拉格朗日型余项。在泰勒公式⑴中，如果取 公式，则⑴式成为 n 阶麦克劳林

㈡、多元函数的极值 定理 1（必要条件）：设函数 数，且在点

在点（,）具有偏导(,)处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：

定理 2（充分条件）: 设函数 内连续且

有一阶及二阶连续偏导数，又)=A,(,)=B,(,)=C, 则 f(x,y)在（,）处是否取得极值的条件如下：，令

(,，在点（,）的某邻域⑴ AC->0 时具有极值，且当 A<0 时有极大值，当 A>0 时有极小值；

⑵ AC-<0 时没有极值；

⑶ AC-=0 时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。㈢、几何应用、空间曲线的切线和法平面： ⑴设空间曲线 的参数方程为 在曲线上取相应于 的一点，这里假设 解析几何中有，假设三个函数都可导，则曲线在点 M 处的切线方程为

均不为零。如果有个别为零，则应按空间关直线的对称式方程来理解。切线的方向向量成为曲线的切向量。向量

就是曲线 在点 M 处的一个切向量。

⑵通过点 M 而与切线垂直的平面称为曲线 在点 M 处的法平面，它是通过点

而与 T 为法向量的平面，因此方程为。

⑶若空间曲线 的方程以 为： 的形式给出 , 则切线方程，其中分母中带下标 0 的行列式表示

行列式在点 的值；曲线在点

处的法平面方程为 的值；曲线在点 处的法平面方程为、曲面的切平面和法线 ⑴若曲面方程为 M 处的

切平面的方程为：

；，是曲面上一点，则曲面在点

法线方程为： ⑵若曲面方程为，则切平面方程为

或 ；而法线方程为