海伦公式与四边形面积公式

时间:2019-05-14 15:39:29下载本文作者:会员上传
简介:写写帮文库小编为你整理了多篇相关的《海伦公式与四边形面积公式》,但愿对你工作学习有帮助,当然你在写写帮文库还可以找到更多《海伦公式与四边形面积公式》。

第一篇:海伦公式与四边形面积公式

海伦公式与四边形面积公式

2007年08月01日 星期三 00:43 我们知道,已知三角形的三条边长度a,b,c(2p=a+b+c),就可以由海伦公式得到三角形的面积:

所以:已知圆内接三角形的三边长,其面积公式为海伦公式。事实上,对于圆内接四边形,已知其四边形的四边长(不妨设其为a,b,c,d,2p=a+b+c+d),也可以求其面积,而且公式的形式与海伦公式相类似:

证明:

设圆内接四边形ABCD中,AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,设∠BAD=θ,则∠BCD=180°-θ,设其对角线BD=x,由余弦定理有:

联立两式解得:

第二篇:海伦公式

海伦公式

与海伦在他的著作“Metrica”(《度量论》)中的原始证明不同,在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C,则余弦定理为下述推导[1]

cosC =(a^2+b^2-c^2)/2ab

S=1/2*ab*sinC

=1/2*ab*√(1-cos^2 C)

=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]

=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]

=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]

=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]

=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]

设p=(a+b+c)/2

则p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]

=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

所以,三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

证明⑵

中国宋代的数学家秦九韶在1247年也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样,其实在《九章算术》中,已经有求三角形公式“底乘高的一半”,在实际丈量土地面积时,由于土地的面积并不是三角形,要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积?直到南宋,中国著名的数学家秦九韶提出了“三斜求积术”。

秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方,送到中斜平方,取相减后余数的一半,自乘而得一个数,小斜平方乘以大斜平方,送到上面得到的那个。相减后余数被4除,所得的数作为“实”,作1作为“隅”,开平方后即得面积。

所谓“实”、“隅”指的是,在方程px 2=q,p为“隅”,q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜,所以

q=1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2}

当P=1时,△ 2=q,△=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2}

因式分解得

△ ^2=1/4[4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2)^2]

=1/4[(c+a)^2-b ^2][b^ 2-(c-a)^ 2]

=1/4(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)

=1/4(c+a+b)(a+b+c-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)

=1/4[2p(2p-2a)(2p-2b)(2p-2c)]

=p(p-a)(p-b)(p-c)

由此可得:

S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

其中p=1/2(a+b+c)

这与海伦公式完全一致,所以这一公式也被称为“海伦-秦九韶公式”。

S=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2}.其中c>b>a.根据海伦公式,我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如下题:

已知四边形ABCD为圆的内接四边形,且AB=BC=4,CD=2,DA=6,求四边形ABCD的面积

这里用海伦公式的推广

S圆内接四边形= 根号下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)(其中p为周长一半,a,b,c,d,为4边)

代入解得s=8√ 3

证明⑶

在△ABC中∠A、∠B、∠C对应边a、b、c

O为其内切圆圆心,r为其内切圆半径,p为其半周长

有tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2=1

r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2)=r

∵r=(p-a)tanA/2=(p-b)tanB/2=(p-c)tanC/2

∴ r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2)

=[(p-a)+(p-b)+(p-c)]tanA/2tanB/2tanC/2

=ptanA/2tanB/2tanC/2

=r

∴p^2r^2tanA/2tanB/2tanC/2=pr^3

∴S^2=p^2r^2=(pr^3)/(tanA/2tanB/2tanC/2)

=p(p-a)(p-b)(p-c)

∴S=√p(p-a)(p-b)(p-c)

第三篇:不规则四边形公式

如果没有别的条件,可以用对角线把四边形分成两个三角形,知道两个三角形的各边长,可以用海伦公式算出两个三角形的面积。海伦公式:

假设有一个三角形,边长分别为a、b、c,三角形的面积S可由以下公式求得:

S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

而公式里的p为三角形半周长:

p=(a+b+c)/2 由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形,所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式

假设四边形为ABCD,对角线AC=m,BD=n,对角线夹角为α,由sin(180°-α)=sinα,我们知道sin∠AOB=sin∠BOC=sin∠COD=sin∠AOD=sinα,因为四边形ABCD的面积=S△AOB+S△BOC+S△COD+S△AOD,而S△AOB=0.5*OA*OB*sin∠AOB;

S△BOC=0.5*OB*OC*sin∠BOC;

S△COD=0.5*OC*OD*sin∠COD;

S△AOD=0.5*OA*OD*sin∠AOD;

左右两边相加,得:

S△AOB+S△BOC+S△COD+S△AOD=0.5*OA*OB*sin∠AOB+0.5*OB*OC*sin ∠BOC+0.5*OC*OD*sin∠COD+0.5*OA*OD*sin∠AOD =0.5sinα(OA*OB+OB*OC+OC*OD+OA*OD)=0.5sinα[OB*(OA+OC)+OD*(OA+OC)] =0.5sinα(OA+OC)*(OB+OD)=0.5sinα*m*n =1/2*m*n*sinα

即四边形的面积为1/2*m*n*sinα

参考资料: 不知道

第四篇:求三角形面积——海伦公式

证明:海伦公式:若ΔABC的三边长为a、b、c,则

SΔABC=√((a+b+c)×(-a+b+c)×(a-b+c)×(a+b-c))/4(这是海伦公式的变形,“负号“-”从a左则向右经过a、b、c”,负号从x轴负轴向正轴扫描一个周期!我觉得这么记更简单,还设个什么l=(a+b=c)/2啊,多此一举!)

证明:设边c上的高为 h,则有

√(a^2-h^2)+√(b^2-h^2)=c

√(a^2-h^2)=c-√(b^2-h^2)

两边平方,化简得:

2c√(b^2-h^2)=b^2+c^2-a^2

两边平方,化简得:

h=√(b^2-(b^2+c^2-a^2)^2/(4c^2))

SΔABC=ch/2

=c√(b^2-(b^2+c^2-a^2)^2/(4c^2))/2

仔细化简一下,得:

SΔABC=√((a+b+c)×(-a+b+c)×(a-b+c)×(a+b-c))/4

用三角函数证明!

证明:

SΔABC=absinC/2

=ab√(1-(cosC)^2)/2————(1)

∵cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)

∴代入(1)式,(仔细)化简得:

SΔABC=√((a+b+c)×(-a+b+c)×(a-b+c)×(a+b-c))/4

第五篇:海伦公式的证明

与海伦在他的著作“Metrica”(《度量论》)中的原始证明不同,在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C,则余弦定理为cosC =(a^2+b^2-c^2)/2abS=1/2*ab*sinC=1/2*ab*√(1-cos^2 C)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]设p=(a+b+c)/2则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]所以,三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

下载海伦公式与四边形面积公式word格式文档
下载海伦公式与四边形面积公式.doc
将本文档下载到自己电脑,方便修改和收藏,请勿使用迅雷等下载。
点此处下载文档

文档为doc格式


声明:本文内容由互联网用户自发贡献自行上传,本网站不拥有所有权,未作人工编辑处理,也不承担相关法律责任。如果您发现有涉嫌版权的内容,欢迎发送邮件至:645879355@qq.com 进行举报,并提供相关证据,工作人员会在5个工作日内联系你,一经查实,本站将立刻删除涉嫌侵权内容。

相关范文推荐

    海伦公式原理简介

    原理简介 我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”,它与海伦公式基本一样。 假设在平面内,有一个三角形,边长分别为a、b、c,三角形的面积S可由以下公式求得: S=√[p(p-a)(p......

    海伦公式的几种证明与推广

    海伦公式的几种证明与推广古镇高级中学付增德高中数学必修⑤第一章在阅读与思考栏目向学生介绍一个非常重要且优美的公式——海伦公式〔Heron's Formula〕:假设有一个三角形,......

    直角梯形面积公式

    直角梯形面积公式S=(上底+下底)×高÷2 梯形是上下两条边平行的四边形状,你按照一个对角线可以把它分成两个高相同的三角形,三角形面积公式是“底乘以高除以2”,所以梯形就是:“上......

    高中数学三角形面积公式

    高中数学三角形面积公式 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形。平面上三条直线或球面上三条弧线所围成的图形。 三条直线所围成的图形叫平......

    三角形面积公式教案

    课题: §1. 2解三角形应用举例 教学目标: 知识与技能:能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题, 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用 过程与方......

    圆锥台侧面积公式

    大弧长为:2πR,小弧长为:2πr,设小扇形的半径为a,则:R/r=(a+l)/a 所以,a=rL/(R-r)这是怎么推出来的?这么做,大弧长为:2πR,小弧长为:2πr,设小扇形的半径为a,大扇形半径为l+a 两扇形圆......

    高中数学必修五《海伦公式探究》

    海伦公式探究 背景:海伦公式在数学学习中使用非常广泛,它方便了日常数学学习中三角形的面积计算,使我们只需知道任意三角形的三边长度,就可以用公式求得三角形的面积大小。但是......

    简单任意四边形的求积公式(推荐5篇)

    简单任意四边形的求积公式 ----扩展后的婆罗摩笈多公式和海伦公式 设四边形的的边长分别为a、b、c、d,两对角线长分别为e、f,其夹角θ,四边形的四顶点分别为A、B、C、D (如图所......