韦达定理推广的证明

第一篇：韦达定理推广的证明

证明：

当Δ＝b^2-4ac≥0时,方程 ax^2+bx+c=0(a≠0)有两个实根,设为x1,x2.由求根公式x＝(-b±√Δ)/2a,不妨取 x1＝(-b-√Δ)/2a,x2＝(-b+√Δ)/2a, 则：x1+x2 =(-b-√Δ)/2a+(-b+√Δ)/2a =-2b/2a =-b/a, x1*x2=[(-b-√Δ)/2a][(-b+√Δ)/2a] =[(-b)^2-Δ]/4a^2 =4ac/4a^2 =c/a.综上,x1+x2=-b/a,x1*x2=c/a.烽火TA000DA 2014-11-04

若b^2-4ac=0 则方程有两个相等的实数根

若b^2-4ac<0 则方程没有实数解

韦达定理的推广

韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的，对一个一元n次方程∑AiX^i=0

它的根记作X1,X2…,Xn

我们有

∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)

∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)

…

ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n)

其中∑是求和，Π是求积。

如果一元二次方程

在复数集中的根是，那么

由代数基本定理可推得：任何一元 n 次方程

在复数集中必有根。因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积：

其中是该方程的个根。两端比较系数即得韦达定理。

法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。

(3)以x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是

x2-(x1+x2)x+x1x2=0．

3.二次三项式的因式分解(公式法)

在分解二次三项式ax^2+bx+c的因式时，如果可用公式求出方程ax2+bx+c=0的两个根是X1,x2，那么ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)．

另外这与射影定理是初中必须

射影定理图

掌握的.韦达定理推广的证明

设x1，x2，……，xn是一元n次方程∑AiX^i=0的n个解。

则有：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=0

所以：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=∑AiX^i（在打开(x-x1)(x-x2)……(x-xn)时最好用乘法原理）

通过系数对比可得：

A（n-1）=-An(∑xi)

A（n-2）=An(∑xixj)

…

A0==(-1)^n*An*ΠXi

所以：∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)

∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)

…

ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n)

其中∑是求和，Π是求积。

有关韦达定理的经典例题

例1 已知p＋q＝198，求方程x2＋px＋q＝0的整数根．

(’94祖冲之杯数学邀请赛试题)

解：设方程的两整数根为x1、x2，不妨设x1≤x2．由韦达定理，得

x1＋x2＝－p，x1x2＝q．

于是x1x2－(x1＋x2)＝p＋q＝198，即x1x2－x1－x2＋1＝199．

∴(x1－1)(x2－1)＝199．

注意到x1－

1、x2－1均为整数，解得x1＝2，x2＝200；x1＝－198，x2＝0．

例2 已知关于x的方程x2－(12－m)x＋m－1＝0的两个根都是正整数，求m的值．

解：设方程的两个正整数根为x1、x2，且不妨设x1≤x2．由韦达定理得

x1＋x2＝12－m，x1x2＝m－1．

于是x1x2＋x1＋x2＝11，即(x1＋1)(x2＋1)＝12．

∵x1、x2为正整数，解得x1＝1，x2＝5；x1＝2，x2＝3．

故有m＝6或7．

例3 求实数k，使得方程kx2＋(k＋1)x＋(k－1)＝0的根都是整数．

解：若k＝0，得x＝1，即k＝0符合要求．

若k≠0，设二次方程的两个整数根为x1、x2，由韦达定理得

∴x1x2－x1－x2＝2，(x1－1)(x2－1)＝3．

因为x1－

1、x2－1均为整数，所以

例4 已知二次函数y＝－x2＋px＋q的图像与x轴交于(α，0)、(β，0)两点，且α＞1＞β，求证：p＋q＞1．

(’97四川省初中数学竞赛试题)

证明：由题意，可知方程－x2＋px＋q＝0的两根为α、β．由韦达定理得

α＋β＝p，αβ＝－q．

于是p＋q＝α＋β－αβ，＝－(αβ－α－β＋1)＋1

＝－(α－1)(β－1)＋1＞1(因α＞1＞β)．

映射定理

正玄定理与余弦定理

第二篇：初中数学之韦达定理

初中数学之韦达定理

韦达定理：对于一元二次方程ax2bxc0(a0)，如果方程有两个实数根

bcx1,x2，那么x1x2,x1x2 aa

说明：定理成立的条件0

1.不解方程写出下列方程的两根和与两根差

（1）x23x100（2）3x25x10（3）2x43x220

2.如果一元二次方程x2mxn0的两根互为相反数，那么m；如果两根互为倒数，那么n=.3.若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为224.已知方程2x23x40的两根为x1，x2，那么x1x2

5.若方程x26xm0的一个根是32，则另一根是，m的值是 6.已知方程x23x20的两根为x1、x2，且x1 >x2,求下列各式的值:

2（1）x12x2；2（2）11 x1x2

（3）(x1x2)2；（4）(x11)(x21)7.已知关于x的方程x2(5k1)xk220，是否存在负数k，使方程的两个实数根的倒数和等于4？若存在，求出满足条件的k的值；若不存在，说明理由。

8.关于x的方程2x28xp＝０有一个正根，一个负根，则p的值是（）

（A）0（B）正数（C）－8（D）－4

9.已知方程x22x1=0的两根是x1，x2，那么x12x2x1x221（）

(A)－7(B)3(C)7(D)－3

1110.已知方程2x2x30的两根为x1，x2，那么=（）x1x2

11(A)－(B)(C)3(D)－3 33

11.若方程4x2(a23a10)x4a0的两根互为相反数，则a的值是（）

(A)5或－2(B)5(C)－2(D)－5或2

12.若方程2x23x40的两根是x1，x2，那么(x11)(x21)的值是（）

115(A)－(B)－6(C)(D)－ 222

213.分别以方程x2x1=0两根的平方为根的方程是（）

（A）y26y10（B）y26y10

（C）y26y10（D）y26y10

第三篇：韦达定理教案

教案：韦达定理

一、教学目标

1．通过根与系数的关系的发现与推导，进一步培养学生分析、观察、归纳、猜想的能力和推理论证的能力；

2．通过本节课的学习，向学生渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律。培养逻辑思维及创新思维能力。

二、教学重点、难点

1．教学重点：根与系数的关系的发现及其推导． 2．教学难点：韦达定理的灵活应用．

三、教学过程

（一）定理的发现及论证提出问题：已知，是方程2x23x10的两根，如何求33的值

1.你能否写出一个一元二次方程，使它的两个根分别为 1）2和3 2）—4和7

问题1：从求这些方程的过程中你发现根与各项系数之间有什么关系？

观察、思考、探索：2x-5x+3=0,这个方程的两根之和，两根之积与各项系数之间有什么关系？请猜想？ 2问题2；对于一元二次方程的一般式ax+bx+c=0（a≠0）是否也具备这个特征？

22结论1．如果ax+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1x2bc,x1x2 aa结论2．如果方程x+px+q＝0的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝-p，x1·x2=q． 2结论1具有一般形式，结论2有时给研究问题带来方便．

（二）定理的应用

例

1、关于x的方程x-2x+m=0 的一根为2，求另一根和m的值。2例2.已知,是方程2x23x10的两根,不解方程，求下列各式的值.11(1)(2)(1)(1)

(3)22（5）33(4)||例

2、已知x1,x2是关于x的方程x26xk0的两个实数根且x1x2(x1x2)115，求k值。

例3已知实数a,b分别满足a2a2,b2b2且ab,求222211的值 ab

（三）总结

一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行．它深化了两根的和与积和系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，为进一步学习使用打下坚实基础．

韦达定理的内容

2①如果ax+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-

ba，1·2=

xx

ca

②如果方程x+px+q＝0的两个根是x1，x2，那么 x1＋x2＝-p，x1·x2=q． 2

第四篇：韦达定理代数式的值教案

根与系数的关系2

教学目标：

1、会利用韦达定理求出与根有关的代数式的值

2、学会灵活多变的代数式变形

3、会求作新方程

一、知识回顾

1、设、代数式是方程=。的两根，则两根之和为

两根之积为

则

学生讲出做题依据，复习根与系数的关系。

2、如果关于x的一元二次方程x+px+q=0的两根分别为x1=2，x2=1，那么p=，q=

2本题可能有学生用代人法，联立方程组，引导用韦达定理。

二、自主探究1|

3、设x1.、x2是方程的两根，求 ：（1）2x12x

2（2）2x12x2

（3）

111（4） x1x2x1x2重点训练利用韦达定理求出与根有关的代数式的值，和学生一起总结解题步骤。

（1）韦达定理

（2）代数式变形

变式训练

4、方程x2-2x-1=0的两个实数根分别为x1，x2，求：（1）（x1-1）（x2-1）

（2）x1+x

2（3）

22x2x1

（4）(x1x2)2 x1x2

三、合作探究

25、如果关于x的一元二次方程x+px+q=0的两根分别为x1=2，x2=1，则方程为

6、如果关于x的一元二次方程x+px+q=0的两根分别为32和32，则方程为

如果第5题用代人法，联立方程组还可以解决的话，那么的第6题用此法则太繁琐，引导学生善于思考，善于比较，选择最简单的方法。

7、如果关于x的一元二次方程x+px+q=0的两根分别为x1、x2，那么p=，q= 则方程为

28、设x1.、x2是方程程

引导学生总结求作新方程的解题步骤

（1）求出原方程的两根和与积（2）写出新方程的两根

（3）求出新方程的两根和与积（4）写出新方程

四、反思总结：

五、课堂小测： 的两根，求作一个新方程，使它的两根是方的两根的倒数。

9、已知x1，x2是方程x2＋6x＋3＝0的两实数根，则

x2x1的值为________ x1x210、方程x2-2x-1=0的两个实数根分别为x1，x2，求作一个新方程，使它的两根分别是2x1和2x2。

第五篇：关于判别式法与韦达定理的论述

关于判别式法与韦达定理论述

weiqingsong

摘要：判别式法与韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，讨论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。

关键词：判别式法韦达定理

在中学解题中判别式法与韦达定理的应用极其普遍，因此系统的研究一下利用判别式法与韦达定理解题是有必要的。别式法与韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系。它们都有着广泛的应用在整个中学阶段。

一、韦达定理的由来

法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。判别式法与韦达定理在方程论中有着广泛的应用。

二、对判别式法的介绍及概括

一般的关于一元二次方程ax^2+bx+c=0（a、b、c属于R，a≠0）根的判别，△=b^2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。

关于x的一元二次方程x^2+mx+n=0有两个相等的实数根，求符合条件的一组的实数值。这是应注意以下问题：如果说方程有实数根，即应当包括方程只有一个实根和有两个不等实根或有两个相等实根三种情况；如果方程不是一般形式，要化为一般形式，再确定a、b、c的值；使用判别式的前提是方程为一元二次方程，即二次项系数a≠0；当二次项系数含字母时，解题时要加以考虑。

判别式的主要应用有：不解方程就可以直接判定方程的根的情况；已知方程根的情况，确定方程中未知系数（或参数）的取值范围；判别或证明一元二次方程的根的性质；判别二次三项式ax^2+bx+c(a≠0)能否在实数范围内分解因式(1)当△≥0 时，二次三项式在实数范围内能分解因式；（2）当△≤0 时，二次三项式在实数范围内不能分解因式。

三、某些利用别式法解题的例题

“判别式法”是我们解题时常用的方法，对初高中同学来说，在解题中常常用到，掌握它很有必要，下面举例说明它的作用。

1.求最值

例： 已知a2bab30，且a0，b0，试求实数a、b为何值时，ab

1取得最大值。

解：构造关于a的二次方程，应用“判别式法”。设aby

由已知得a2by30（2）

（3）（1）2ab由（1）（2）消去，对a整理得(y30)a2y0

22对于（3），由(y30)42y0，y68y9000，解得y50或

y18。由yab30，舍去y50，得y18。

2把y18代入（3）（注意此时0），得a12a360，即a6，从而

b3。

故当a6，b3时，ab取得最大值为18。

2.求参数的取值范围

例：对于函数f(x)，若存在x0R，使f(x0)x0成立，则称x0为f(x)的2f(x)ax(b1)xb1(a0)，不动点。已知函数对于任意实数b，函数f(x)

恒有两个相异的不动点，求a的取值范围。

解：对任意实数b，f(x)恒有两个相异的不动点对任意实数b,ax2(b1)xb1x恒有两个不等实根对任意实数b，ax2bxb10

2恒有两个不等实根对任意实数b,b4a(b1)0恒成立。

22b4a(b1)b4ab4a看作关于b的二次函数，可以将则对任意实

22b，b4ab4a0'(4a)44a0a(a1)0 数恒成立

0a1

故a的取值范围是(0，1)

四、对韦达定理的介绍及概括

韦达定理说明了一元n次方程中根和系数之间的关系。这里讲一元二次方程两根之间的关系。一元二次方程aX^2+bX+C=0﹙a≠0﹚中，两根X1,X2有如下关系：X1+ X2=-b/a，X1·X2=c/a.韦达定理（即根与系数的关系）虽然是初中数学的内容，但它的应用却贯穿于整个中学数学教学的始终，用它来解决一些数学问题非常简捷巧妙，简捷得使人惊叹，巧妙的令人叫绝，能激发学生的学习兴

2趣。有利于创造思维能力的培养。

五、某些利用韦达定理解题的例题

1.利用根与系数的关系求值

112例：若方程x3x10的两根为x1,x2，则x1x2的值为_____.x1x2b3c13,x1x21a1a1解：根据韦达定理得：

11x1x233x1x2x1x2

12.利用根与系数的关系构造新方程

理论：以两个数为根的一元二次方程是。例：解方程组

解：显然，x，y是方程z2-5z+6＝0 ① 的两根

由方程①解得 z1=2,z2=

3∴原方程组的解为 x1=2,y1=3

x2=3,y2=

2六、判别式法与韦达定理相结合的综合应用

例1.如图所示，抛物线y2=4x的顶点为O，点A的坐标为(5，0)，倾斜角为

4的直线l与线段OA相交(不经过点O或点A)且交抛物线于M、N两点，求△AMN面积最大时直线l的方程，并求△AMN的最大面积解：由题意，可设l的方程为y=x+m,其中－5＜m＜0由方yxm2程组y4x,消去y,得x2+(2m－4)x+m2=0①∵直线l线有两个不同交点M、N，∴方程①的判别式Δ=(2m－4)2－4m2=16(1－m)＞0,解得m＜1,又－5＜m＜0,∴m的范围为(－5，0)

设M(x1,y1),N(x2,y2)则x1+x2=4－2m，x1·x2=m2,∴|MN|=42(1m)点

A到直线l的距离为∴S△=2(5+m)m,从而S△2=4(1－m)(5+m)2=2(2－2m)·(5+m)(5+m)≤

322m5m5m

32()3=128

∴S△≤82,当且仅当2－2m=5+m,即m=－1时取等号故直线l的方程为y=x－1，△AMN的最大面积为

解法二由题意，可设l与x轴相交于B（m,0）, l的方程为x = y +m,其中0＜m＜5xym2y4x由方程组,消去x,得y 2－4 y －4m=0①∵直线l与抛物线有

两个不同交点M、N，∴方程①的判别式Δ=(－4)2+16m=16(1+m)＞0必成立,设M(x1,y1),N(x2,y2)则y 1+ y 2=4，y 1·y 2=－4m,11(5m)|y1y2|(5m2∴S△

=251(m)＝42

2∴S△≤851(m)(1m)22即m=1时取等号2,当且仅当

故直线l的方程为y=x－1，△AMN的最大面积为

82y例2.已知抛物线4x的焦点为F，过F作两条互相垂直的弦AB、CD，设AB、CD的中点分别为M、N。求证：直线MN必过定点，并求出定点的坐标。

解：设直线AB的方程为yk(x1)（k0），则

4yk(x1)xx2Bk2x2(2k24)xk20Ak22y4xxAxB1，42yAyBxCxD24kyCyD4kk22M12,yAyB2xx1kkyCyD2，CD从而有。同理，有，N(12k,2k)。因此，直线MN的斜率2kMNk

1k2，从而直线MN的方程为

y2kkk2(x12k)y(x3)21k21k，即。显然，直线MN必过定点(3,0)； 参考文献：①《浅谈“判别式法”的作用》作者：徐国锋、袁玉凤

②《 2008年安徽省安庆一中高考模拟试卷》

③《 2009年乌鲁木齐地区高三年级第二次诊断性测验试卷》