第一篇：北师大版初二上-证明(一)讲义
第七章：证明
（一）◆7.1为什么要证明
1．推理证明的必要性
给出两条线段a，b，判断它们是否相等，我们就需要去测量，因为有误差，所以测量的结果可能相等，也可能不相等，这说明测量所得出的结论也不一定正确．
实验、观察、操作是人们认识事物的重要手段，但仅凭实验、观察、操作得到的结论有时是不全面的，甚至是错误的，所以正确地认识事物，不能单凭直觉，必须一步一步、有根有据地进行推理．
谈重点
证明的必要性
(1)直觉有时会产生错误，不是永远可信的；(2)图形的性质并不都是通过测量得出的；
(3)对少数具体例子的观察、测量或计算得出的结论，并不能保证一般情况下都成立；(4)只有通过推理的方法研究问题，才能揭示问题的本质． 【例1】 观察下图，左图中间的圆圈大还是右图中间的圆圈大？
2．检验数学结论常用的方法
(1)检验数学结论常用的方法
主要有：实验验证、举出反例、推理证明．实验验证是最基本的方法，它直接反映由具体到抽象、由特殊到一般的逻辑思维方法；举出反例常用于说明该数学结论不一定成立；推理证明是最可靠、最科学的方法，是我们要掌握的重点．实际上每一个正确的结论都需要我们进行严格的推理证明才能得出．
检验数学结论的具体过程：观察、度量、实验→猜想归纳→结论→推理正确结论．
(2)应用
检验数学结论常用的三种方法的应用：
实验验证法常用于检验一些比较直观、简单的结论；举出反例法多用于验证某结论是不正确的；推理证明主要用来进行严格的推理论证，既可以验证某结论是正确的，也可以验证某结论是不正确的．
【例2－1】 我们知道：2×2＝4,2＋2＝4.试问：对于任意数a与b，是否一定有结论a×b＝a＋b?
【例2－2】 如图，在ABCD中，DF⊥AC于点F，BE⊥AC于点E，试问DF与BE的位置关系和数量关系如何？你能肯定吗？请说明理由．
3．推理的应用
推理的应用在数学中很多，下面给出两种较常见的应用：(1)规律探究
给出形式上相同的一些代数式或几何图形，观察、猜想其中蕴含的规律，并验证或推理说明．这是规律归纳类题目的特点．
解题思路：
解决此类题目时，要用从特殊到一般的思想找到思路，而且必须善于猜想．代数规律题一般用式子表示其规律，对于几何规律题有时用式子表示，有时写出文字结论．
(2)推理在日常生活中的应用
生活中我们经常需要对有关结论的真伪作出判断，如购买货物、称重是否准确、获得的某种信息是否可靠等．我们可以根据自己的知识储备或借助外力，进行适当的推理，辨别真
伪，从而作出判断．
【例3－1】 下列图案均由边长为单位长度的小正方形按一定的规律拼接而成．依此规律，第5个图案中小正方形的个数为__________．
【例3－2】 有红、黄、蓝三个箱子，一个苹果放入其中某个箱子内，并且：①红箱子盖上写着：“苹果在这个箱子里．”②黄箱子盖上写着：“苹果不在这个箱子里．”③蓝箱子盖上写着：“苹果不在红箱子里．”已知①②③中只有一句是真的，那么苹果在哪个箱子里？
……………………………………………………………………………… ◆7.2定义与命题
1．定义
对某些名称或术语的含义加以描述，作出明确的规定，就是对名称和术语下定义．
谈重点
下定义的注意事项 ①在定义中，必须揭示出事物与其他事物的本质属性的区别．②定义的双重性：定义本身既可以当性质用，又可以当判定用．③语句必须通顺、严格、准确，一般不能用“大约”“大概”“差不多”“左右”等含糊不清的词语．要有利于人们对被定义的事物或名词与其他事物或名词区别．
【例1】 下列语句，属于定义的是（）．
A．两点之间线段最短
B．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 C．三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半 D．三人行则必有我师焉
2．命题
(1)定义：判断一件事情的句子，叫做命题．(2)命题的组成结构： ①每个命题都是由条件和结论两部分组成．条件是已知事项，结论是由已知事项推断出的事项．命题一般写成“如果……那么……”的形式．“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论．
②有些命题没有写成“如果……那么……”的形式，条件和结论不明显．对于这样的命题，要经过分析才能找到条件和结论，也可以将它们改写成“如果……那么……”的形式．命题的条件部分，有时也可用“已知……”或“若……”等形式表述．命题的结论部分，有时也可用“求证……”或“则……”等形式表述．
谈重点
改写命题
命题的改写不能是简单地加上“如果”“那么”，而应当使改写的命题和原来的命题内容不变，且语句通顺完整，命题的条件、结论要清楚可见．有些命题条件和结论不一定只有一个，要注意区分．
【例2】 指出下列命题的条件和结论：①平行于同一直线的两条直线互相平行；②若ab＝1，则a与b互为倒数；③同角的余角相等；④矩形的四个角都是直角．
分析：命题的条件是已知事项，结论是由已知事项推断出的事项．命题一般写成“如果……，那么……”的形式．“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论．
解：①条件：两条直线都和第三条直线平行，结论：这两条直线互相平行．
②条件：ab＝1，结论：a与b互为倒数．
③条件：两个角是同一个角的余角，结论：这两个角相等．
④条件：一个四边形是矩形，结论：这个四边形的四个角都是直角． 点技巧
分清条件和结论
“若……则……”形式的命题中“若”后面是条件，“则”后面是结论．
3．公理、定理、证明
(1)公理
公认的真命题称为公理． ①公理是不需推理论证的真命题． ②公理可以作为推理论证定理及其他命题真假的依据． 常用的几个公理： ①两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． ②两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． ③两边及其夹角对应相等的两个三角形全等． ④两角及其夹边对应相等的两个三角形全等． ⑤三边对应相等的两个三角形全等． ⑥全等三角形的对应边相等、对应角相等．
其他公理：等式和不等式的有关性质，等量代换都可以看作公理．(2)定理
有些命题的正确性是通过推理的方法证实的，这样的真命题叫做定理． ①定理是经过推理论证的真命题，但真命题不一定都是定理． ②定理可以作为推理论证其他命题的依据．(3)证明
推理的过程叫证明．推理必须做到步步有据，条条有理． 【例3】 下列说法正确的是（）．
A．真命题都可以作为定理
B．公理不需要证明
C．定理不一定都要证明
D．证明只能根据定义、公理进行
4．命题及真假命题的判断
(1)命题的判断
判断一个句子是否为命题，要根据命题的定义． ①命题的特征：一是必须为一个完整的句子；二是必须对某件事情做出肯定或否定的判断，即具有明确的判断性．如果一个句子对某一件事情没有作出任何判断，那么它就不是命题．
②命题并不是数学所独有，凡是判断某一件事情的正确或错误的语句都是命题． ③命题是陈述语句，其他形式的句子，如：疑问句、感叹句、祈使句等都不是命题．如：“你爱好什么运动？”没有作出判断，这不是命题．
注意：错误的判断也是命题，不能以正确与否来判断是否为命题．(2)真假命题的判断
命题是一个判断，这个判断可能正确，也可能错误．因此可以将命题分为真命题和假命题．
①正确的命题称为真命题． ②不正确的命题称为假命题． ③真命题、假命题的判断与比较：
要说明一个命题是假命题，通常可以举出一个例子，使之具有命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例；要说明一个命题是真命题需根据公理和定理证明．
谈重点
判断真假命题的方法 ①如果题设成立，结论也一定成立，那么这样的命题为真命题；②如果题设成立，但结论不成立，这样的命题为假命题．
【例4－1】 下列句子中是命题的有__________(填序号)．①直角三角形中的两个锐角互余．②正数都小于0.③如果∠1＋∠2＝180°，那么∠1与∠2互补．④太阳不是行星．⑤对顶角相等吗？⑥作一个角等于已知角．
【例4－2】 下列命题中，真命题是（）．
A．若a·b＞0，则a＞0，b＞0
B．若a·b＜0，则a＜0，b＜0 C．若a·b＝0，则a＝0，且b＝0 D．若a·b＝0，则a＝0，或b＝0
【例4－3】 已知下列命题：①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②等腰梯形的对角线相等；③对角线互相垂直的四边形是菱形；④内错角相等．其中假命题有__________(填序号)．
5．命题的组合
命题是由条件和结论组成的，当条件成立，结论也成立时，该命题即为真命题．命题的组成就是通过选择一定的条件，使结论成立，即组成真命题．
组合新的命题是考察命题的概念及有关知识的重要题型．该题型常见于对几何的考查，一般是给出几个单独的论断，根据有关知识内容结合图形重新组合写出正确的命题．
命题的条件和结论往往不是固定的，要使所组合的命题是正确的，要求必须理解掌握有关的知识内容．
点评：①命题组合时，条件可能不止一个，注意两个条件的情况．②组合命题一般是几何中的某一图形的性质或者判定．
【例5－1】 如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个论断：①AB＝AC；②AD＝AE；③∠B＝∠C；④BD＝CE.请以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题__________．(用序号的形式写出)
【例5－2】 对同一平面内的三条直线a，b，c，给出下列五个论断：①a∥b；②b∥c；③a⊥b；④a∥c；⑤a⊥c.以其中两个论断为条件，另一个论断为结论，组成一个你认为正确的命题：__________(用序号表示)．
……………………………………………………………………………… ◆7.3平行线的判定
1．平行线的判定公理
(1)平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简单记为：同位角相等，两直线平行．
如图，推理符号表示为： ∵∠1＝∠2，∴AB∥CD.谈重点
同位角相等，两直线平行 ①平行线的判定公理是证明两直线平行的原始依据；②应用时，应先确定同位角及形成同位角的是哪两条直线；③本判定方法是由两同位角相等(数量关系)来确定两条直线平行(位置关系)，所以在推理过程中要先写“两角相等”，然后再写“两线平行”．
(2)平行公理的推论： ①垂直于同一条直线的两条直线平行．若a⊥b，c⊥b，则a∥c； ②平行于同一条直线的两条直线平行．若a∥b，c∥b，则a∥c.【例1】 工人师傅想知道砌好的墙壁的上下边缘AB和CD是否平行，于是找来一根笔直的木棍，如图所示将其放在墙面上，那么，他通过测量∠EGB和∠GFD的度数，就知道墙壁的上下边缘是否平行了．请问：∠EGB和∠GFD满足怎样的条件时，墙壁的上下边缘才会平行？你的依据是什么？
2．平行线的判定定理
(1)判定定理1 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行． 简单记为：同旁内角互补，两直线平行． 符号表示：如下图，∵∠2＋∠3＝180°，∴AB∥CD.谈重点
同旁内角互补，两直线平行 ①定理是根据公理推理得出的真命题，可直接应用；②应用时，找准哪两个角是同旁内角，使哪两条直线平行．
(2)判定定理2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单记为：内错角相等，两直线平行． 符号表示：如上图，∵∠2＝∠4，∴AB∥CD.【例2－1】 如图，小明利用两块相同的三角板，分别在三角板的边缘画直线AB和CD，这是根据________，两直线平行．
【例2－2】 如图，下列说法中，正确的是（）．
A．因为∠A＋∠D＝180°，所以AD∥BC
B．因为∠C＋∠D＝180°，所以AB∥CD C．因为∠A＋∠D＝180°，所以AB∥CD
D．因为∠A＋∠C＝180°，所以AB∥CD 3．平行线的判断方法
平行线的判定方法主要有以下六种：
(1)平行线的定义(一般很少用)．(2)同位角相等，两直线平行．(3)同旁内角互补，两直线平行．(4)内错角相等，两直线平行．
(5)同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线相互平行．(6)如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行． 析规律
如何选择判定两直线平行的方法 ①在利用平行线的公理或定理判定两条直线是否平行时，要分清同位角、内错角以及同旁内角是由哪两条直线被第三条直线所截而构成的；
②证明两条直线平行，关键是看与待证结论相关的同位角或内错角是否相等，同旁内角是否互补．
【例3】 如图，直线a，b与直线c相交，形成∠1，∠2，…，∠8共八个角，请你填上你认为适当的一个条件：__________，使a∥b.4．平行线判定的应用
(1)平行线的生活应用
数学来源于生活，同样生活中也有大量的平行线，其判定平行的方法也常在生活中遇到．如木工师傅判定所截得的木板的对边是否平行，工人师傅判定所制造的机器零件是否符合平行的要求……
对于生活中的平行线判断，关键是利用工具确定与平行有关的角是否相等，比较常用的是利用直角尺判断同位角是否相等，从而判定两直线是否平行．
(2)平行线在数学中的运用
平行线判定方法在数学中的运用主要通过角之间的关系判定两条直线平行，进一步解决
其他有关的问题．常见的条件探索题就是其应用之一．探索题是培养发散思维能力的题型，它具有开放性，所要求的答案一般不具有唯一性．解决探索性问题，不仅能提高分析问题的能力，而且能开阔视野，增加对知识的理解和掌握．
释疑点
判定平行的关键
判定两直线平行，关键是确定角的位置关系及大小关系．
【例4－1】 如图，一个零件ABCD需要AB边与CD边平行，现只有一个量角器，测得拐角∠ABC＝120°，∠BCD＝60°，这个零件合格吗？__________(填“合格”或“不合格”)．
【例4－2】 已知：如图在四边形ABCD中，∠A＝∠D，∠B＝∠C，试判断AD与BC的位置关系，并说明理由．
……………………………………………………………………………… ◆7.4平行线的性质
1．平行线的性质公理
平行线的性质公理：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简记为：两直线平行，同位角相等．
如图，推理符号表示为： ∵AB∥CD，∴∠1＝∠2.谈重点
两直线平行，同位角相等 ①两直线平行的性质公理是推理论证后面两个性质定理的基础； ②“同位角相等”是在“两直线平行”的前提下才成立的，是平行线特有的性质．要避免一提同位角就以为其相等的错误；
③两直线平行的性质公理与两直线平行的判定公理的条件与结论是互逆的．其中判定公理是在已知同位角相等(数量关系)的前提下推理论证两直线的平行位置关系，是由角到线的推理过程；而两直线平行的性质公理是在已知两直线平行的前提下推理论证同位角相等的数量关系，是由线到角的推理过程． 【例1】 如图，AB∥CD，CE平分∠ACD，若∠1＝25°，那么∠2的度数是________．
2．平行线的性质定理
(1)性质定理1 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．
简单记为：两直线平行，同旁内角互补．符号表示：∵AB∥CD，∴∠2＋∠3＝180°.(2)性质定理2 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．
简单记为：两直线平行，内错角相等．符号表示：∵AB∥CD，∴∠2＝∠4.点评：①平行线的性质定理是在平行线性质公理的基础上推理得出的；②从平行线得到角相等或互补的关系；③内错角相等或同旁内角互补的前提条件是“两条直线平行”．要避免
出现一提内错角就相等或一提同旁内角就互补的错误．
【例2－1】 某商品的商标可以抽象为如图所示的三条线段，其中AB∥CD，∠EAB＝45°，则∠FDC的度数是（）．
A．30°
B．45°
C．60°
D．75° 【例2－2】 如图，直线AB，CD相交于点E，DF∥AB.若∠AEC＝100°，则∠D等于（）．
A．70°
B．80°
C．90°
D．100°
3．证明的步骤
(1)证明的一般步骤： ①理解题意； ②根据题意正确画出图形； ③结合图形，写出“已知”和“求证”； ④分析题意，探索证明的思路； ⑤依据寻求的思路，运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程； ⑥检查表达过程是否正确、完善．(2)证明的思路：
可以从求证出发向已知追溯，也可以由已知向结论探索，还可以从已知和结论两个方向同时出发，互相接近．
点评：对于用文字叙述的命题的证明，要先分清命题的条件和结论，然后根据题意画出图形，写出已知和求证，证明即可． 4．借助辅助线构造平行线
在有平行线的条件下，证明两个角相等或求某个角，当这两个角不是两条平行线所截得的同位角、同旁内角或内错角时，往往要利用其他的角，转化为平行线所截的角．
但有些题目中某些条件所对应的图形没有或不完整，这时就需要通过添加辅助线去构造某些“基本图形”，再由图形联想相关性质，从而确定方法，达到解题的目的．
释疑点
平行线判定与性质的应用
以平行为条件的求值或证明角相等的问题中，关键要分析出哪对角相等(或互补)，再进行转化，从而求出结论中的角或完成证明．
【例3】 证明“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”．
分析：本题是文字证明题．根据文字证明的一般步骤，先根据题意画出两条直线a，b都与直线c垂直，根据已知和图形写出本题的已知和求证，已知是直线a⊥c，b⊥c，求证是a∥b.证明两条直线平行，可根据平行线的判定方法，证明同位角相等就可以．然后写出证明过程．
解：已知：如图，直线a，b被直线c所截，且a⊥c，b⊥c.求证：a∥b.证明：∵a⊥c，b⊥c(已知)，∴∠1＝90°，∠2＝90°(垂直的定义)． ∴∠1＝∠2(等量代换)． ∴a∥b(同位角相等，两直线平行)． 点技巧
文字证明题的步骤
文字证明题的已知和求证要结合图形来写，因此在分析题意时，要确定应该画什么图形．书写证明过程时，要注重格式，注意推理的条理性，每一步都要有理有据． 【例4】 如图，AB∥CD，若∠ABE＝120°，∠C＝35°，则∠BEC＝__________.5．平行线性质与判定的综合应用
(1)平行线的性质与判定的区别
平行线的性质定理和判定定理的条件和结论正好相反．性质是由条件“平行”得到结论“角的关系”；判定是由条件“角的关系”得到结论“平行”．
具体为：
在判定中，把角相等或互补作为判断两直线是否平行的前提．角相等或互补是已知，结论是两直线平行．判定则是由“角相等或互补”推理论证“两直线平行”．
在性质中，两直线平行是条件，结论是角相等或互补．性质是用来说明两个角相等或互补的，即由“两直线平行”推理论证“角相等或互补”．
释疑点
平行线的性质与判定要分清 在书写证明过程中，填写推理的根据或者理由时，要注意性质与判定的区别，防止填错．(2)平行线性质的应用
平行线的应用包括生活中的实际应用和综合应用．实际应用要挖掘题目中隐含的平行线，利用平行线的性质来解决和角有关的计算问题．而综合应用主要是综合运用平行线的性质和判定来求角的度数或证明，要注意与图形的结合(数形结合)和角的转换．
如求方位角和机器零件的角度问题就是实际应用比较多的问题．解决时，确定平行线是关键．
【例5－1】 如图，已知：AD∥BC，∠A＝∠C，求证：AB∥CD.【例5－2】 如图1，在甲、乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东48°.甲、乙两地间同时开工，若干天后，公路准确接通，则乙地所修公路的走向是南偏西__________．
……………………………………………………………………………… ◆7.5三角形内角和定理
1．三角形内角和定理
三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°.符号表示：△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°.变式：∠A＝180°－∠B－∠C.谈重点
三角形内角和解读
(1)三角形内角和等于180°是三角形的一个重要性质．与三角形的具体形状或种类没有关系，即所有三角形的内角和都等于180°；
(2)三角形内角和等于180°是三角形本身固有的一个隐含条件，在有关角的计算或日常生活中应用广泛；
(3)利用定理在三角形中已知两角可求第三角，或已知各角的关系求各角；(4)三角形内角和的一个重要结论：直角三角形的两个锐角互余． 【例1－1】 在一个三角形中，下列说法错误的是（）．
A．可以有一个锐角和一个钝角
B．可以有两个锐角 C．可以有一个锐角和一个直角
D．可以有两个钝角
【例1－2】 已知一个三角形三个内角度数的比是1∶5∶6，则其最大内角的度数为（）．
A．60°
B．75°
C．90°
D．120° 2．三角形的外角
(1)定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角．
如图所示，∠ACD和∠BCE是△ABC的两个外角，而∠DCE不是三角形的外角．
(2)三角形外角的特征 三角形的外角特征：①顶点是三角形的一个顶点；②外角的一边是三角形的边；③外角的另一条边是三角形某条边的延长线．
(3)三角形外角的实质
是一个内角的邻补角，两个角的和等于180°.如上图中，∠ACB＋∠ACD＝180°.【例2】 如图所示，∠1为三角形的外角的是（）．
3．三角形内角和定理的证法
在解决几何问题时，当仅用已有条件解决问题比较困难时，常在图形中添加线，构造新的图形，形成新的关系，搭建已知与未知的桥梁，把较困难的问题转化为熟悉的、易解决的问题．这些在原来的图形上添加的线叫辅助线．辅助线通常画成虚线．
证明三角形内角和定理的基本思路：
想办法把分散的三个角“拼凑”成一个“整体”，即借助于辅助线，结合所学过的知识，达到证明的目的．
在证明三角形的内角和定理时，常用的辅助线主要有以下几种：
(1)构造平角：利用平行线的性质进行转化(作平行线)，让三个内角组成一个平角．如图①和图②.(2)构造同旁内角：如图③，过C点作CM∥AB，利用∠ABC与∠BCM是同旁内角可证． 4．三角形内角和定理的运用
(1)利用定理求角的度数或证明 生活中，三角形、四边形是常见的图形，在解决与角的度数有关的问题时，一般会用到三角形的内角和定理．
三角形的内角和定理的运用，主要是利用三角形内角和定理进行计算或证明．常见于求三角形中相关角的度数及证明角的相等关系．计算或证明时，往往与其他的知识相结合，如特殊三角形、余角、高线、角平分线等性质．
(2)利用定理判断三角形的形状
根据一个三角形的内角情况判断三角形的形状，关键是利用三角形内角和定理求出各个角，再根据各类三角形的性质判断．①若有两个角相等，则可判定为等腰三角形；②若有三个角相等，则可判定为等边三角形；③若有特殊角90°和两个45°，则为等腰直角三角形．
若一个三角形根据角来分类，可先求出最大的角．①若最大的内角是钝角，则三角形为钝角三角形；②若最大的角为直角，则三角形为直角三角形；③若最大的角为锐角，则三角形是锐角三角形．
【例3】 如图所示的四边形是平行四边形，如何利用ABCD证明三角形内角和定理？
【例4－1】 若一个三角形三个内角度数的比为2∶3∶4，那么这个三角形是（）．
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．等边三角形
【例4－2】 △ABC中，若∠B＝∠A＋∠C，则△ABC是__________三角形．
【例4－3】 如图，已知△ABC中，∠B＝65°，∠C＝45°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数．
5.运用三角形内角和定理的推论进行计算或证明
(1)三角形内角和定理的推论1 推论1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 如图，符号表示：∠ACD＝∠A＋∠B.谈重点
三角形的外角 ①推论是由三角形内角和定理推理得到的，可作为定理使用； ②该推论反映的是三角形的外角与和它不相邻内角的关系．(2)三角形内角和定理的推论2 推论2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 符号表示：∠ACD＞∠A或∠ACD＞∠B.析规律
灵活使用三角形的外角 ①三角形的一个外角大于和它“不相邻”的任意一个内角，而不是大于任何一个内角； ②利用该推论证明角之间的不等关系时，先找到一个适当的三角形，使要证明的那个大角处于外角的位置上，小角处于内角的位置上．
【例5－1】 如图，△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，点D在BC的延长线上，则∠ACD等于（）．
A．100°
B．120°
C．130°
D．150° 【例5－2】 如图，∠1，∠2，∠3的大小关系为（）．
A．∠2＞∠1＞∠3 B．∠1＞∠3＞∠2
C．∠3＞∠2＞∠1 D．∠1＞∠2＞∠3
【例5－3】 如图，将一副三角板按图示的方法叠在一起，则图中∠α等于________．
解析：此题主要考查外角的性质和直角三角形的性质．由外角的性质可得，∠α＝45°－30°＝15°.6．三角形内角和定理的实际应用
三角形的内角和在生活中的应用非常广泛，如方位角与折叠问题，零件的合格判定等． 用三角形的内角和定理解决生活中的实际问题时，要注意几何图形中与问题中的对应条件．
析规律
灵活运用三角形的内角和 ①“三角形的内角和为180°”是隐含条件，在实际应用中必不可少； ②在方位角的计算中需要构造三角形，在三角形中计算其度数； ③折叠问题中，被折叠部分折叠后的图形与原图形对应角相等，再根据内角和、平角等知识列出方程计算．
【例6－1】 如图，是一块三角形木板的残余部分，量得∠A＝100°，∠B＝40°，则这块三角形木板另外一个角的度数为__________．
【例6－2】 如图，D是AB边上的中点，将△ABC沿过D的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，若∠B＝50°，则∠BDF＝__________.7.辅助线与角的转化应用
(1)辅助线与角的转化
有关三角形角度的计算与比较，常常利用添加不同辅助线的方法，把大角转化为小角，或者把不规则图形转化为规则图形等，从而利用相关性质进行解题．
在证明角度不等的问题中，常用“三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角”这一性质，当角不在同一个三角形中时，可作辅助线使之转化到同一个三角形中再解．
析规律
辅助线的作法
辅助线的添加有很多种方法，基本方法是延长法和连接法．在本节中主要是构造三角形，利用“三角形内角和定理及其推论”解决角的问题．
(2)等腰三角形中内、外角的转换
对于等腰三角形，当不知道所给的角为顶角还是底角时，要分情况讨论，不能漏解． ①当等腰三角形的外角是钝角时，其相邻的内角一定是锐角．该锐角可能是等腰三角形的顶角，也可能是底角，要分情况讨论．
②当等腰三角形的外角是锐角或直角时，其相邻的内角是钝角或直角，所以该内角一定是等腰三角形的顶角，则这个外角一定是顶角的邻补角． 【例7－1】 如图1，直线a∥b，则∠ACB＝__________.【例7－2】 等腰三角形的一个外角为110°，则这个等腰三角形的三个内角分别为__________．
【例7－3】 已知：如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝120°，求∠DAC
的度数．
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第七章：证明
（一）章末总结
【基础知识】
1、判断一件事情的句子叫做命题，每个命题都由题设和结论两部分组成，正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题；
2、定理：同角或等角的补角相等；同角或补角的余角相等；三角形的任意两边之和大于第三边；
3、平行线的判定：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行；
4、平行线的性质：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补；
5、三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°；
6、外角：三角形的一条边与另一条边的反向延长线组成的角称为三角形的外角；
定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；
定理：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角； 【解题方法总结】
方法1：证明两直线平行，步骤：①寻找两直线的截线，确定“三线八角”；②将已知的角的度数或关系转移到“三线八角”中的角中去；③选择合适的判定定理，证明两直线平行。方法2：已知平行求角度，步骤：①寻找两直线的截线，确定“三线八角”；②将所求角转移到“三线八角”中的角中；③利用条件，将已知度数的角转化到“三线八角”中的角中去；④通过平行线的性质，建立已知角与所求角的联系，求出所求角的度数； 方法3：已知平行判断角的关系，步骤：①根据已知平行的直线，寻找截线，确定“三线八角”；②将要判断关系的两个角转移到“三线八角”中的角中去；③根据平行线的性质，得到两个角的关系。
方法4：利用三角形内角和定理求角，步骤：①将未知角放入三角形中，利用内角和定理用其他角表示未知数角；②利用条件将其他角用已知角表示，直到所有表达式中的角的度数已知；③代入已知角的度数求出未知数角。
方法5：解决“利用三角形的外角性质求角的度数或相互关系”的问题，基本步骤是：①确定三角形的内角及相关外角；②利用三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角比较角的大小；③利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，以及外角和求解角的大小。
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第二篇：初二数学讲义证明
初二数学春季讲义（4）证明
一、识点归类 知识点四证明
1、从一个命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出它的结论成立，这个过程叫作证明。
注意：证明一个命题是假命题的方法是举反例，即找出一个例子，它符合命题条件，但它不满足命题的结论，从而判断这个命题是假命题。知识点五反证法
步骤：①假设原命题的结论不成立，得出“反面”②从“反面”出发，推出矛盾，因此否定“反面”③既然假设是错误的，所以原命题正确。举反例（用来证明假命题）
1．要想说明一个命题是假命题，只需举个反例。举反例的要求是：命题的条件，而命题的结论。举反例说明下列命题是假命题：
（1）对于不为零的实数c，关于x的方程
3．如图，AB // CD，MP // AB，MN平分AMD，A35，D40，求
4.点为O，E是AC•交BD于F，则OE=OF．（1）证明上述命题．
（2）对上述命题，若点E在AC的延长线上，AG⊥EB交EB的延长线于点G，AG的延长线交DB的延长线于点F，其他条件不变，请画出图形，则结论“OE＝OF”还成立吗？若成立，请你证明，若不成立请说明理由．
x
c
c1的根是c。x
（2）有两边和一角对应相等的两个三角形全等。
证明题（直接证明）2.已知：如图，AD⊥BC于D，EF⊥BC于F，交AB于G，交CA延长线于E，∠1＝∠2．
求证：AD平分∠BAC.填写分析和证明中的空白． 分析：要证明AD平分∠BAC，只要证明__________＝____________，而已知∠1＝∠2，所以应联想这两个角分别和∠
1、∠2的关系，由已知BC的两条垂线可推出________∥_________，这时再观察这两对角的关系已不难得到结论． 证明：
5.在ΔABC中AB=AC,∠BAC=90,直角∠EPF的顶点P是BC的中点,两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F ⑴求证：PE=PF。
⑵已知AF=12,CF=5.求ΔPEF的面积。
6．如图，已知四边形ABCD是边长为2的正方形，以对角线BD为边作正三角形BDE，过E作DA的延长线的垂线EF，垂足为F。
（1）找出图中与EF相等的线段，并证明你的结论；（2）求AF的长。
7．如图，ΔABC中，∠A=60°，BE、CD分别平分
∠ABC和∠ACB，交点为P。请证明：BC=BE+CD。
A
E
B
D
C
8．如图，等腰Rt△ABC的直角边AB＝2，点P、Q分别从A、C两点同时出发，以相同速度作直线运动．已知点P沿线段AB运动，点Q沿边BC的延长线运动(当点P运动到点B时两点即停止运动)，PQ与直线AC相交于点D．
(1)设AP的长为x，△PCQ的面积为S．求出S关于x的函数关系式；
(2)问是否存在x的值,使S△PCQ=S△ABC?若存在,请求出x的值;若不存在,说明理由.(3)作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变?证明你的结论．
2用反证法证明专题 14．求证：若n为自然数，则nn2不能被1
59．用反证法证明：“三角形中必有一个角不大于
整除 60°”，第一步先假设
10．已知：如右图，直线l1，l2，l3在同一平面内，且l1∥
l2，13与11相交于点P.求证：13与l2相交．
证明：假设，即∥，又∵∥（已知），∴过直线12外一点有两条直线11,13与直线12平行，这与“”
15.证明：2不是有理数
相矛盾，∴假设不成立，即求证的命题成立，∴13与12相交．
11．已知:a,b是实数,且满足ab=0, 求证:a、b中至少有一个为0
12．求证:一个三角形中，至少有一个内角不小于
16.已知实数ｐ满足不等式（2x1)(x2)0,用反证法证明：关于x的方程x22x5p20无实根.17.求证：当x+bx+c=0有两个不相等的非零实数根时，必有bc≠0．
13．求证：两条相交直线只有一个交点.
第三篇：初二北师大版数学第六章__证明(一)练习题
初二北师大版数学第六章证明
（一）练习题
祁家河初中主笔：陈全安审阅：姓名__________ 练习目标：⒈加深理解本章所学各个知识点，在证题过程中能娴熟灵活地运用之。⒉学会分析证明思路，初步掌握综合法证明的步骤和格式。知识提炼：㈠、关于命题、定理及公理
⒈对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义。
⒉判断一件事情的句子，叫做命题，每个命题都由条件和结论两部分
组成。
⒊正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题。
⒋ 公认的真命题称为公理（书P225 6条公理）（等量代换）⒌ 推理的过程称为证明，经过证明的真命题称为定理。
㈡、平行线的性质及判定
判定：⒈同位角相等，两直线平行。⒉同旁内角互补，两直线平行。
⒊内错角相等，两直线平行。
性质：⒈两直线平行，同位角相等。⒉两直线平行，同旁内角互补。⒊两直线平行，内错角相等。
㈢、三角形的内角和外角的定理
⒈如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。⒉如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线也互相平行。⒊如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条。⒋三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180° ⒌三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。⒍三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
提升训练：
一、填空题：
⒈把命题“对顶角相等”改写成“如果„那么„”的形式____________________。⒉把“等角的余角相等”改写成 “如果„，那么„”的形式_________________。⒊命题“任意两个直角都相等”的条件是___________，结论是_________________，它是______（真或假）命题。
⒋如图所示，∠1＋∠2=180°，若∠3=50°，则∠⒌如图所示：已知∠1 = 20°，∠2 = 25°，∠A = 3°，则∠BDC 的度数为。
⒍、如图所示：AB∥CD，∠1 = 100°，∠2 = 120°，则 ∠α=。
⒎如图所示：已知DB平分∠ADE，DE∥AB，∠CDE=82º，则∠EDB=，∠A=_______。
⒏如图所示：平行四边形ABCD中，E为AB上一点，DE与AC交于点F，AF∶FC=3∶7，则AE∶
A ⒐在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点I,B
F
若∠A=60则∠BIC=__________。
⒑在三角形中，最多有个锐角，至少有个锐角，C
D
A最多有个钝角（或直角）。
二、选择题：
D
⒈下列语句不是命题的是（）B
E
C
A、2008年奥运会的举办城是北京。B、如果一个三角形三边a，b，c满足a2＝b2＋c2，则这 个
三角形是直角三角形。
C、同角的补角相等。
D、过点P作直线l的垂线。⒉下列命题是真命题的是（）
A、－a一定是负数。B、a＞0
C、平行于同一条直线的两条直线平行。
D、有一角为80°的等腰三角形的另两个角为50°与50°。
⒊“两条直线相交，有且只有一个交点”的题设是（）
解：∵AB∥MN（_______）
A、两条直线。B.、交点。C、两条直线相交。D、只有一个交点。∴∠BCD＋∠CDN＝180°（_____________________）
∵CG、DG是角平分线（_______)⒋命题“垂直与同一条直线的两条直线互相平行”的题设是（）A、垂直。B、两条直线。C、同一条直线。D、两条直线垂直于同一条线。⒌如图所示：AB⊥EF，CD⊥ EF，∠1=∠F=30°，那么与FCD相等的角∴∠1=
1∠BCD∠2=∠CDN(__________________)2
2∴∠1＋∠2＝90°
∵∠1＋∠2＋∠CGD＝180°（___________________）
有（）A、1个B、2C、3个D、4个 ⒍如图所示：AD平分CAE，∠ B=30°，CAD=65°，∠ACD=（）A、50°
B、65°
C、80°D、95°
⒎如图所示：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F等于（）A、180°B、360°C、540° D、720° ⒏如图所示：如果AB∥CD，则角α、β、γ之间的关系式为（）A、α＋β＋γ=360°B、α－β＋γ=180°C、α＋β＋γ=180°D、α＋β－γ=180°A B
F
B
E
E
C
C
D
DE
三、完型填空：
⒈如图所示：直线AB∥MN，分别交直线EFA
B 于点C、D，∠BCD、∠CDN的角平分线 交于点G，求∠CGD的度数。
GMN
F
∴∠CGD＝90°
如图所示：在△ABC中，CH是外角∠ACD的平分线，BH是∠ABC求证：∠A= 2∠H
证明：∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠ACD=∠ABC+∠A（________________）∠2是△BCD的一个外角，∴∠2=∠1+∠H（__________________）
∵CH是外角∠ACD的平分线，BH是∠ABC的平分线，∴∠1=
2∠ABC，∠2= 1
2∠ACD（_____________________）∴∠A =∠ACD-∠ABC= 2（∠2 －∠1）（____________）
而 ∠H=∠2-∠1（等式的性质）∴∠A= 2∠H（____________）
⒉已知：的平分线。
四、解答题：
⒈如图所示：已知：AD∥EF，∠1＝∠2。求证：AB∥DG。
E
⒉．如图所示：已知：AB∥CD，∠1＝∠B，∠2＝∠D。求证：BE⊥DE。
⒊.如图所示：在△ABC中，∠B、∠C的平分线相交于点P，∠BPC＝130°，求：∠A的度数。
A
P
BC ⒋如图所示：已知：直线AB∥MN，分别交直线EF于点C、D，∠BCD、∠CDN的角平分线交于点G。求∠CGD的度数。
AB ⒌如图所示：已知：CF⊥AB于F，ED⊥AB于D，∠1＝∠2，求证：FG∥BC
GMN
F
⒍如图所示：O是四边形ABCD的两条对角线的交点，过点
O作OE∥CD，交AD于E，作OF∥ BC，交AB于F，连接EF。求证：EF∥BD
⒎如图所示：已知：AB∥DE。⑴猜测∠A、∠ACD、∠D有什么关系？并证明你的结论。⑵若点C向右移动到线段AD的右侧，此时∠A、∠ACD、∠D之间的关系，仍然满足⑴中的结论吗？若符合，请你证明，若不符，请你写出正确的结论并证明。要求画出相应的图形。
第四篇：初二数学讲义命题与证明
初二数学讲义（5）证明（3）
一、选择题（每题3分）
1.下列语句：①若直线a∥b，b∥c，则a∥c；②生活在水里的动物是鱼；③作两条相交直线；④AB＝3，CD＝3，问AB与CD相等吗？④连结A，B两点； ⑤内错角不相等，两直线不平行。是命题的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个 2.命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是（）
A.垂直B.两条直线C.同一条直线D.两条直线垂直于同一条直线
3.下列各组所述几何图形中，一定全等的是（）A.一个角是45°的两个等腰三角形
B.腰长相等的两个等腰直角三角形C.两个等边三角形D.各有一个角是40°，腰 长都为5㎝的两个等腰三角形
4.若三角形的三个外角的度数之比为2：3：4，则与之对应的三个内角的度数之比为„（）
A.4：3：2B.3：2：4C.5：3：1D.3：1：
55．如图，如果AB∥CD，那么角α，β，γ之间的关系式为（）
A.α+β+γ=360°B.α-β+γ=180°C.α+β+γ=180°D.α+β-γ=180°
6．已知，如图，在△ABC中，AB=AC，P是BC上任意一点，连结AP，则AC2AP2（）A.CPBPB.CPBCC.BPBCD.以上都不对
二、填空题（每题3分）
7．如图，若AB∥CD，EF与AB、CD分别相交于点E、F,EP与EFD的平分线相交于点P，且EFD60，EPFP，则BEP
8．若一个三角形的外角平分线与三角形的一边平行，则这个三角形是三角形.9.用反证法证明“三角形三个内角中至少有两个锐角”时应首先假设.10.如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，∠CDE＝150°，则∠C＝__________.11.把命题“在同一个三角形中，等角对等边”改写成“如
果„„那么„„”的形式：.12.如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，若CAD=76°，则CBD度．
三、解答题：
13．如图，在RtABC中，∠
ACB＝90，AC=BC,D是斜边AB上的一点, AE⊥CD于E,BF⊥CD交
CD的延长线于F.求证：
ACE≌CBF.14．如图，点B在AC上，△ABE与△DBC是等
边三角形，M、N分别是AD、BC的中点，求证：△BMN是等边三角形．E
ABC
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D、P分别在边AC、AB上，且BD＝AD，PE⊥BD，PF⊥AD，垂足分别为点E、F．求证：PE＋PF＝BC．
A
EB
16.已知如图，在△ABC中，CH是外角∠ACD的角平分线，BH是∠ABC的平分线,∠BAC=58°.①求∠BHC.②求∠CAH
17．在△ABC中，AD平分∠BAC，DE＝DC，AC＝EF．求证：EF∥AB．A
F
CBED
18.如图，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD中点．求证：CE⊥BE．
19．已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，EP=3,求EF的值，20．操作：在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，将一块等腰三角形板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点.图①，②，③是旋转三角板得到的图形中的3种情况.三角板绕点P旋转，观察线段PD和PE之间有什么数量关系？请
选择图②、图③中的一个加以证明.A
DC
AP
P
EB C①②
21．用反证法证明：设a，b，c是不全相等的任意实数，若x=a2-bc，y=b2-ca，z=c2-ab.求证：x，y，z中至少有一个大于零
E
B
D
第五篇：初二数学讲义统计与证明（模版）
1、频数和频率：频数分布表的绘制步骤
（1）求出最大值和最小值的差（极差的概念。）
（2）确定组距、组数。x =94.5，下面是50名学生数学成绩的频数分布表．
极差25，为了使数据组距0.4不落在各组的边界上，我们把数据分成6组，且边界
值比实际数据多取一位小数。（特别指出：数据个数在100以内时，通常按数据的多少分成5—12组。）
2、介绍频数和频数分布表。
频数：我们称数据分组后落在各小组内的数据个
数为频数；（结合表中数据）根据题中给出的条件回答下列问题：
频数分布表：反映数据分布的统计表叫做频数分（1）在这次抽样分析的过程中，样本是___________ 布表，也称频数表。（2）频数分布表中的数据a= ____，b= __________．
频数（3）估计该校初三年级这次升学考试的数学平均成绩
3、频率的概念：频率＝数据总数约为 ___________分．
4、频率分布直方图和折线图：（4）在这次升学考试中，该校初三年级数学成绩在画频数分布直方图的一般步骤： 90.5~100.5范围内的人数约为 __________人．（1）画频数分布表（2）写标题
8、某中学进行了一次演讲比赛，分段统计参赛同学的（3）画坐标：横坐标是什么？纵坐标是什么？ 成绩，结果如下（分数为整数，满分为100分）
（4）画小长方形：长是什么？ 宽是什么 请根据表中提供的信息，解答【练习】 下列问题：
1、一组数据的最大值为100，最小值为45，若选取组（1）参加这次演讲比赛的同距为10，则这组数据可分成（•）学有；
A．5组B．6组C．8组D．4组（2）已知成绩在91~100分的2、将50个数据分成5组列出频数分布表，其中第一同学为优秀者，那么优胜率
组的频数为6，•第二组与第五组的频数和为20，那么为；
命题与证明综合提高
一、识点归类
注意：定义必须严密的，一般避免使用含糊不清的语
言，例如“一些”、“大概”、“差不多”等不能在定义中出现。
例1 在下列横线上，填写适当的概念：（1）连结三角形两边中点的线段叫作三角形的；（2）能够完全重合的两个图形叫做_____； 例2 叙述概念的定义
（1）数轴；（2）等腰三角形 知识点命题
知识点一命题的概念 注意：（1）命题必须是一个完整的句子。
（2）这个句子必须对某事情作出肯定或者否定的判断，二者缺一不可。
例 下列句子中不是命题的是()
A 明天可能下雨B 台湾是中国不可分割的部分 C 直角都相等D 中国是2008年奥运会的举办国知识点二真命题与假命题
注意：真、假命题的区别就在于其是否是正确的，在判断命题的真假时，要注意把握这点。例 下列命题中的真命题是（）
A 锐角大于它的余角B 锐角大于它的补角 C 钝角大于它的补角D 锐角与钝角等于平角 知识点三命题的结构
每个命题都有条件和结论两部分组成。条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项。一般地，命题都可以写出“如果------，那么-------”的形式。有的命题表面上看不具有“如果------，那么-------”的形式，但可以写成这种形式。如：“对顶角相等”，改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”。例 把下列命题改写成“如果------，那么-------”的形式，并指出条件与结论。
1、同角的余角相等
2、两点确定一条直线
知识点四证明
1、从一个命题的条件出发，通过讲道理（推理），得
出它的结论成立，这个过程叫作证明。
注意：证明一个命题是假命题的方法是举反例，即找出一个例子，它符合命题条件，但它不满足命题的结论，从而判断这个命题是假命题。
证明题 1.已知：（如图）MN//PQ，AC⊥PQ，BD、AC相交于点E，且DE＝2AB． 求证：∠DBC＝
∠ABC．
3MDAN
2.如图，已知△ABC中，AD平分∠BAC，AB+BD＝AC，求证：∠B＝2∠C．
BDC
3.如图，△ABC中，AD平分∠
BAC，BE＝CE，过点E作GH⊥AD，交AC、以及AD、AB的延长线于H、F、G．求证：AC＝2BG+AB
A
DH
F
C
4求证：
5.DC（2）
6．如图，已知AB // CD，B100，EF平分BEC，EGEF，求BEG和DEG的度数。
9.求证：形如4n+3的整数P（n为整数）不能化为两个整数的平方和．
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