第一篇：两数和乘以它们的差教案
课题：13.4.乘法公式
1、两数和乘以它们的差
【内容分析】
两数和乘以它们的差公式是把具有特殊形式的多项式相乘的式子及其结果写成公式的形式。从多项式乘法到乘法公式是从一般到特殊的认识过程的范例，对它的学习和研究，丰富了教学内容，也开阔了学生的视野，乘法公式的应用十分广泛，是本章的重点内容，也是数学运算和变形的基础内容之一。教学时，要求注意引导学生进行观察、分析，使他们掌握公式的结构特征，理解公式的意义，并能正确地运用公式。
教学中，首先运用多项式的乘法法则推导出两数和乘以它们的差公式；然后，通过具体实例分析两数和乘以它们的差公式的结构特征，促使学生掌握两数和乘以它们的差公式的结构特征，理解两数和乘以它们的差公式的意义；最后通过例1,例
2、例3的教学，使学生学会运用两数和乘以它们的差公式进行计算。这节课的教学重点为掌握两数和乘以它们的差公式的结构特征，教学难点为理解公式中字母的广泛含义。因而教学时应讲练结合，随时注意纠正学生可能出现的符号、系数和指数等方面的错误。
【教学目标】：
知识与技能目标：
1．学生掌握两数和乘以它们的差公式，会推导两数和乘以它们的差公式，并能运用公式进行简单的计算。
2．了解两数和乘以它们的差公式的几何背景。过程与分析目标：
1．培养学生独立思考的能力，集体协作的能力，组织归纳的能力及积极探索问题的能力。2.经历探索两数和乘以它们的差公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力。情感与态度目标：
通过学生解决问题的过程，激发学生的创新思维，培养学生学习的主动性和坚韧不拔的、通于探索的品质。
【教学重点】：
对两数和乘以它们的差公式的理解，掌握两数和乘以它们的差公式的结构特征，熟练运用两数和乘以它们的差公式进行简单计算。
【教学难点】：
理解两数和乘以它们的差公式的几何意义及特点，理解公式中字母的广泛含义，代数推理能力的培养。
【教学建议】：
（1）在教学中，要帮助学生对对照两数和乘以它们的差公式找特点，培养学生的观察能力；
（2）要引导学生体会根据特例进行归纳、建立猜想、用符号表示并给出证明这一重要的探索过程，要让学生体会符号运算对证明猜想的作用。评价建议： 过程性：（1）关注学生在探索两数和乘以它们的差公式过程中的参与态度。（2）学生对例题、“想一想”，两数和乘以它们的差公式几何解释的兴趣。
知识性：关注学生对符合两数和乘以它们的差公式运用计算的多项式乘法观察的敏锐性，能否熟练运用两数乘以它们的差公式进行简单的计算。
【教学过程】：
一、创设情境 教师引导问题一： 请同学们计算：（1）(a＋b)(a－b)
（2）（x＋3）(x－3)并思考下列问题：
1、等式左边的两个多项式有什么特点？
2、等式右边的多项式有什么规律？
3、你能用上面的规律直接计算下列各式吗？（1）(a＋2)(a－2)（2）(3a＋1)(3a－1)
4、你能用一句话归纳出上述等式的规律吗？
5、你有什么不清楚的问题想问老师吗？
教师质疑总结：
对问题系列中的关键问题进行提问答疑。教师提出两数和乘以它们的差公式。ababab2
学生解决问题：
学生根据教师交给的问题，分组讨论，由小组长做好记录。
学生反馈问题：
每组自告奋勇回答，把解决问题的过程和结果向教师和全班同学汇报。并提出自己小组存在的问题。
[学生提出 ：
（1）为什么两数和乘以它们的差公式是对的？
（2）a2a22型，可以用两数和乘以它们的差公式完成吗？
（3）怎样形状的多项式相乘可以用两数和乘以它们的差公式？]（当然，我们的学生还可能会问出许多我们事先不曾预料到的问题）
波利亚曾说：“如果你不能解决所提出问题，可先解决一个与此有关的问题。故我先构筑这一系列的与两数和乘以它们的差公式推导有关的问题，让学生积极探索，勇于创新。
一方面，人人尝试了问题的解决，另一方面，鼓励学生发现问题。正如爱因斯坦所说：提出一个问题比解决一个问题更重要，因为它需要创造性的想象力。
得出两数和乘以它们的差公式的基本特征：两个二项式相乘，一项相同，一项相反，且相同的写在前面。
二、自主学习解决问题 教师提出问题二：
你能用以下图解释两数和乘以它们的公式吗？（见教材81页的图）
方法：把图甲沿虚线剪开，用剪开后的两个长方形拼成图乙的形状。
教师提出问题3：（你会用两数和乘以它们的差公式了吗？）
1、请你计算：
（1）(2m－3n)（2m+3n）
2111(2)abab（3）（2－5y）(2+5y)322
22、观察：（－2x＋y）（），在括号内填入怎样的代数式，才能运用两数和乘以它们的差公式进行计算？由此你想到了什么规律？
3、练习（1）（－4a－0.1）（4a＋0.1）（2）（2x＋y）(2x－y)（3）（a2+2）(a2－2)（4）（－a+b）（a+b）
上面各式能不能用两数和乘以它们的差公式进行计算？如果能的话，每一式可以看作是哪两式（或数）的和与差的积？你能计算吗？
学生动手，动脑：
得出面积相等推得两数和乘以它们的差公式：ababab2
独立思考： 巩固公式： 学会计算：
分组讨论，达到共识： 合作讨论，互相启发： 互相学习，激发灵感：
[学生对于第（2）小题提出把（y－2x）中的“－”号提出，变为－（2x－y）,然后运用两数和乘以它们的差公式进行计算的创新思维。
用面积相等来证明两数和乘以它们的差公式的准确性。让学生熟悉公式，学会公式的应用。有趣味，有挑战性的问题，激发学生的兴趣，培养学生一题多解的发散思维。要求学生求取解答并继续前进。不只满足于用某种方法求得了问题的解答，而不再进行进一步的思考。对于（2x＋y）(y－2x)，应培养学生的创新精神，思考它解法的多样性。
三、内容小结巩固新知 教师提出问题四：
1、你已经学到了两数和乘以它们的差公的哪些知识？
2、判断正误：
1)ababa2b2 2)ababa2b2 3)(2x＋3)(2x－3)=2x29 4)3x13x19x21
3、化简：（x－y）（x+y）－（x－2y）（2x＋y）
1、小组讨论，汇报结果
2、独立练习，得出答案
3、独立思考，分组讨论
四、学习评价：
内容已经学完了，你还有什么不清楚的问题想问老师吗？欢迎你的提问。根据学生的学习报告，把学生的学习报告，给学生分成优、良、一般三个等级，重点表扬几个表现突出的同学，同时记录评价结果。
五、学生自己记录自己的评价结果：
1、小结是构建完善学生认知结构的重要环节。
2、变式训练，提高学生认知水平。
通过练习，帮且学生总结问题解决过程中的经验教训，理顺思路。对学生学习评价方法进行改革，更好地促进学生学习的积极性，以及充分发挥的创新精神。
设计意图
第二篇：两数和乘以这两数的差教学设计
两数和乘以这两数的差教学设计
在教学工作者实际的教学活动中，时常需要准备好教学设计，借助教学设计可以提高教学效率和教学质量。你知道什么样的教学设计才能切实有效地帮助到我们吗？以下是小编帮大家整理的两数和乘以这两数的差教学设计，希望对大家有所帮助。
一、教学内容：
华东师大版八年级上册第十三章第三节乘法公式之两数和乘以这两数的差。
二、教材分析：
（一）教材所处的地位：
乘法公式是初中代数学习的几个重要的公式之一。两数和乘以这两数的差实质上就是平方差公式。此公式源于整式的乘法，又可用于整式的乘法。同时也与今后学习因式分解中平方差公式互逆。故掌握好平方差公式有利于今后学习因式分解时的知识迁移，又可减少之后学习完全平方公式时产生负迁移。
（二）教学重、难点及关键：
1、重点：掌握平方差公式的特点，并会运用。
2、难点：公式的几何背景，会灵活运用公式。
3、关键：抓住公式的结构特点，能根据公式的特点，判断哪些多项式的乘法可以套用公式。
三、教学设计说明：
针对八年级学生的知识结构和心理特征，本节课选择“迁移引导法”探索式教学，引导学生探索、归纳到应用。由学到“思”，由“思”到知识方法的提升，体验探索数学的方法，及应用的必要性，让学生感受学习数学是一件快乐的事，也是服务于生活的一种必备知识。这种教学理念体现了时代精神，有利于提高学生的思维能力，能有效地激发学生的思维积极性。我的教学设计流程是：创设情境--观察发现--归纳验证--强化训练--应用拓展等几个环节。
本节课的内容是学习公式、运用公式，公式的学习及运用主要以技能训练为主。我在设计这节课时，遵循了以下几个原则：
（1）、层次性原则：在教学时由浅入深，由易到难，使所有学生都处于“跳一跳就能摘到桃子“的学习情境中，再根据个别学生学习能力的差异，注意加以辅导，让学困生不掉队，优等生能有所发挥，做到面向全体学生。
（2）、创新性原则：把数学知识的学习设计为学生发现和创造的过程，是培养学生创新意识的一条重要途径。让学生带着问题情境，主动探索、发现问题，并归纳出规律，这样做能提高学生的学习主动性。在统筹安排下，也注重培养学生的自主学习能力。
（3）、操作性原则：本节课的教学容量较大，为了使学生能将知识内化，形成技能，必须让学生清楚的认识并掌握公式的特点，从知识的形成到强化训练，这几个环节利用多媒体辅助教学，才能有效的提高教学效率。
（4）、学习规律性原则：学而时习之，要使学的知识内化，形成技能，应得多次的、反复的学。以精讲多练的形式，确保以学生成为学习的主体。
四、学法分析：
根据学生掌握知识过程的规律，按知识的发生、形成和发展到逐渐迁移来设计学案。在公式形成后添加了填表认识公式的学习环节，引导学生对公式特点进一步分析，将学习的重点逐一在练习中分化，促使学生不断将知识内化。之后的强化训练，促使学生再次从练中认识公式，从练中掌握公式，从练中熟练运用公式，最终形成技能。
所任课班级的学生中外来生居多，学生的流动性较大且学习基础不扎实，再加上家长无暇他顾，故学生学习的积极性不高，学习的依赖性、模仿性强。鉴于这些原因，在公式显现后，鼓励学生联想如何给公式取名（平方差公式），进一步激发学生学习兴趣。模式化教学是促进有效迁移的又一举措，这能使学生记忆更深刻，防止类同错误的产生。接着利用所学知识解决课前的问题情境，在解开问题的面纱时，学生也会体会到学习的重要性和学以致用的成就感。最后以问答的形成进行学习小结，有利于学生在巩固知识的同时，培养学生的反思能力、归纳能力、概括能力。
数形结合是本节课的难点之一，我利用多媒体动画的形式，引导学生对形的变化的理解，从而突破学习难点。另一个难点在于“用”，我先着眼于技能的形成，再结合问题的解决，从而实现学生“用”的能力。
例题3也是学生学习的一个难关。学生特别怕解决实际问题，对于文字的理解能力及知识的应用能力都比较薄弱。所以我将题目稍加改编，以学生喜闻乐见的问题来吸引学生的注意力，激发学生的求知欲，老师可指导学生利用图形分析问题。
五、教学程序：
教学环节
教学设计
学生学习预计
设计意图
一、创设情境
（限时3分钟左右）
以学生生活中易见的问题导入：“小红同学去商店买了单价9.8元/斤的糖10.2斤，售货员刚拿计算器计算时，小红就算出应付99.6元。售货员惊讶问：‘这位同学，你怎么算得这么快？’小红说：‘我用数学中学过的一个公式就口算出来了！’你知道是什么公式吗？你现在能算出来吗？”
个别预习的学生可能会回答出这个问题，可以给他们一个表现的机会。
让学生体会数学来源于生活。
二、观察发现
（限时5分钟左右）
计算下列各式并观察下列乘式与结果特征。
①（x+1）（x+2）②（x+2）（x-2）
③（m-3）（m+2）④（2a+b）（2a-b）
辅导个别学生，并随机调板
既巩固多项式的乘法运算，又能根据积的结果，引导学生探索规律，激发学生探索兴趣。
三、归纳验证
（限时5分钟）
1、利用多媒体与学生一起找出规律，并引导学生归纳成公式。2、体会公式的'几何意义。
找规律并不难，难点在于公式的几何背景，通过动画的形式能帮助学生进一步理解。
由旧获新，突出重点，培养观察概括能力及字母表示数的能力。利用多媒体动画的形式渗透数形结合的思想。
四、强化训练
（15分钟左右）
1、填表（表略）
2、例1精讲：计算：
（1）（a+3）（a-3）
（2）（2a+3b）（2a-3b）
（3）（-2x-y）（2x-y）
3、巩固：教科书P27、练习1评对后，用彩色粉笔标出公式的结构。
1、个别学生理解表格的内容会欠缺。
2、有范例的引导，学生应该能较好的掌握公式的结构。第（3）式的解法可对好生进行思维拓展。
3、练习调板，巡视辅导。
1、培养学生的读表能力。
2、熟悉公式，加深对公式结构特征的理解。
3、在熟悉公式后，形成技能。
五、应用拓展
（限时15分钟）
1、解答问题情境
2、例2自学
3、例3改编：
周扒皮有一块边长为a米的正方形地，租给李老汉耕种。有一天他对李老汉说：“我先把这块地的一边加长2米，再把（相邻的）另一边缩短2米，继续租给你，你也没吃亏，你看如何？”李老汉一听，觉得好象没吃亏，就答应了。同学们，你们觉得李老汉有没有吃亏？为什么？
1、问题情境及例2都比较容易套用公式；
2、例3的学习会有一定的困难，引导学生画图。
1、体会学以致用的重要性。
2、训练学生的运用能力。
3、根据学生特点，将例3改编成趣味应用题，让学生体会数学来源于生活又实践于生活，激发学生学习兴趣，借机对学生进行思想教育。
六、学习反思
（间时2分钟）
（1）提问的形式：本节课我们学习了什么？平方差公式适用于什么问题的计算？
（2）多项式乘法既然可用法则进行，为何要学习这个乘法公式？
（3）利用平方差公式计算多项式乘法时应注意什么？
理清学习知识。
1、目的是理清知识结构和应用范围。
2、比较方法的优劣，了解乘法公式源于多项式乘法，又可用于多项式乘法。
3、培养学生学习反思的能力。
七、课外巩固
1、教科书P29、习题12、选做题
（1）填空：
（2）利用平方差公式计算：
分层作业，让学生能根据自己的情况，适时提高。
1、巩固知识、2、拓展思路、延续学习
第三篇：华东师大版八年级上册数学学案：12.3.1两数的和乘以两数的差
12.3.1
两数的和乘以这两数的差
【学习目标】
1、经历探索平方差公式的过程,会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算。
2、在探索平方差的规律的过程中，培养符号感和推导能力。
3、在计算过程中发现规律，并能用符号表示，从而体会数学的简捷美。
【学习重点】：平方差公式的推导和应用。
【学习难点】：理解平方差公式的结构和特征，灵活应用平方差公式。
【预习案】
一、学法指导
【问题1】什么是平方差公式？用字母如何表示？
预习点拨：认真阅读P30、P31相关内容勾画并记忆平方差公式的定义.【问题2】如何用图形解释平方差公式？
预习点拨：认真阅读P31部分的内容.【问题3】平方差公式的特征是什么？（从左边和右边两方面考虑）
预习点拨：认真阅读P30-31”部分的内容,并总结平方差公式的特征。
探究部分：
一：自主探究：计算下列各式,你能发现什么规律?
1．=
；2．=；
3．=
；4．=；
发现规律:
；用式子表示即为，这个公式叫做平方差公式。观察公式的左右边，进一步挖掘公式的结构特征:
①左边是两个多项式相乘，这两个二项式中有一项相同，另一项；
②右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）。
公式中的字母可以表示具体的数（正数和负数），也可以表示单项式或多项式等代数式。
二：综合应用（展示）
例1：运用平方差公式计算：
点拨：运用平方差公式进行计算需注意公式的特点，将完全相同的项放在前边，互为相反数的项放在后边。
例2.计算：
例3.化简：
拓展：先化简，再求值：
四、当堂检测（课件显示）
五、课堂小结
六、需要培辅内容
七、课后反思
训练案：
我的收获：
第四篇：奥数：和差问题教案
三年级奥数和差问题(教稿)
教学目标：
1：学会运用画图线的方法表示倍关系中两个量，以更方便的找到解题的思路。2：更熟练掌握解答差倍问题的方法，理解差倍问题中各个量之间的关系。
教学重点：更加熟练的运用画图线方法，更准确分析各量之间的关系。教学难点：能够更好的理解差倍应用题中各倍数和差倍数的量的关系。教学过程：
和差问题是已知大小两个数的和与两个数的差，求大小两个数各是多少的应用题。为了解答这种应用题，首先要弄清两个数相差多少的不同叙述方式.有些题目明确给了两个数的差，而有些应用题把两个数的差“暗藏”起来，我们管暗藏的差叫“暗差”。
相关链接
大数=（和—差）÷2
小数=（和＋差）÷2 例1：
两筐水果共重150千克，第一筐比第二筐多8千克，两筐水果各多少千克？
分析与解答：
我们可以这样想：假设第二筐和第一筐重量相等时，两筐共重150＋8＝158（千克）；假设第一筐重量和第二筐相等时，两筐共重150-8＝142（千克）.解法1：①第二筐重多少千克？
（150-8）÷2=71（千克）
②第一筐重多少千克？
71＋8=79（千克）
或 150-71=79（千克）
解法2：①第一筐重多少千克？
（150+8）÷2＝79（千克）
②第二筐重多少千克？
79-8=71（千克）
或150-79=71（千克）
答：第一筐重79千克，第二筐重71千克。
例2：今年小强7岁，爸爸35岁，当两人年龄和是58岁时，两人年龄各多少岁？
分析与解答：
题中没有给出小强和爸爸年龄之差，但是已知两人今年的年龄，那么今年两人的年龄差是35-7=28（岁）.不论过多少年，两人的年龄差是保持不变的.所以，当两人年龄和为58岁时他们年龄差仍是28岁.根据和差问题的解题思路就能解此题。
解：①爸爸的年龄：
[58＋（35-7）]÷2 =[58＋28]÷2 =86÷2 =43（岁）
②小强的年龄：
58-43＝15（岁）
答：当父子两人的年龄和是58岁时，小强15岁，他爸爸43岁。
例3 ： 小明期末考试时语文和数学的平均分数是94分，数学比语文多8分，问语文和数学各得了几分？
分析与解答：
解和差问题的关键就是求得和与差，这道题中数学与语文成绩之差是8分，但是数学和语文成绩之和没有直接告诉我们.可是，条件中给出了两科的平均成绩是94分，这就可以求得这两科的总成绩.解：①语文和数学成绩之和是多少分？
94×2＝188（分）
②数学得多少分？
（188+8）÷ 2＝196÷2=98（分）
③ 语文得多少分？
（188-8）÷2=180÷2=90（分）
或 98-8=90（分）
答：小明期末考试语文得90分，数学得98分.例题4 ：期中考试王平和李杨语文成绩的总和是188分，李杨比王平少4分。两人各考了多少分？
思路导航：根据题意画出线段图。
王平?分李杨?分
我们可以用假设法来分析。假设李杨的分数和王平一样多，则总分就增加4分，变为188+4=192分，这就表示王平的2倍，所以王平考了：192÷2=96分，李杨考了96－4=92分。
例题5.哥弟俩共有邮票70张，如果哥哥给弟弟4张邮票，这时哥哥还比弟弟多2张。哥哥和弟弟原来各有邮票多少张？
思路导航：我们可以这样想，哥弟俩共有邮票70张，根据“如果哥哥给弟弟4张，还比弟弟多2张”，说明原来哥哥比弟弟多4×2＋2=10张邮票。所以，弟弟有邮票：（70－
188分
10）÷2=30张，哥哥有邮票30+10=40张。练习：
1.果园里有桃树和梨树共150棵，桃树比梨树多20棵，两种 果树各有多少棵？
2.甲、乙两桶油共重30千克，如果把甲桶中6千克油倒入乙 桶，那么两桶油重量相等，问甲、乙两桶原有多少油？
3.用锡和铝制成500千克的合金，铝的重量比锡多100千克，锡和铝各是多少千克？
4.某工厂去年与今年的平均产值为96万元，今年比去年多10 万元，今年与去年的产值各是多少万元？
5.一只两层书架共放书72本，若从上层中拿出9本给下层，上层比下层多4本。上、下层各放书多少本？
6.两筐水果共重124千克，第一筐比第二筐多8千克。两筐水果各重多少千克？
7.小宁与小慧的身高总和是264厘米，又已知小宁比小慧矮8厘米。两人分别高多少厘米？
第五篇：奥数和差问题教案
五年级奥数
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