和差的变化规律 《举一反三》四年级奥数教案

第一篇：和差的变化规律 《举一反三》四年级奥数教案

《举一反三》四年级奥数教案

一、教学内容：举一反三P44--P47

二、教学目标：

1、两个加数同时变化时，和的变化规律。

2、被减数和减数同时变化时，差的变化规律。

三、教学难点：理解两数同时变化时，和、差的变化过程。

四、教学设计：

1、复习上周所学内容，讲解作业。

作业1：计算9+18+27+36+...+261+270.[分析]：这个数列后项和前项的差是9，都相等，所以这个数列是等差数列，我们可以用求和公式计算。

要求这一数列的和，首先要求出项数是多少，用项数公式。

项数＝（末项－首项）÷公差＋1＝（270－9）÷9＋1＝30；

首项＝9，末项＝270，项数＝30，则由求和公式可得，和＝（首项＋末项）×项数÷2＝﹙9＋270﹚×30÷2＝4185。

作业2：1+2-3+4+5-6+7+8-9+...+58+59-60

[分析]：原式＝（1+2+3+...+59+60）-2×（3+6+9+...+60）

＝（1+60)×60÷2-2×[(3+60)×20÷2] = 570。

2、新课内容

I、我们知道两个数的和的最基本的变化规律是：一个加数不变，和随另一个加数的增加（减少）而增加（减少）；和与加数增加或减少的数量都是相等的。下面我们要讲的和的变化规律都是以此为基础演变的。

【例题1】：两个数相加，一个加数减少10，另一个加数增加10，和是否会起变化？

【分析】：一个加数＋另一个加数＝和

+10

－

－

+10

+10

和先增加10，后减少10，所以和不变。练习：疯狂操练1（1）、（2）、（3）

总结：两个加数同时变化时，和的变化规律有两种。

两个加数同时增加（或减少），和增加（或减少）的数量等于两个加数增加（或减少）的数量之和；两个加数中，一个加数增加，另一个加数减少，和的变化量就是较大变化量与较小变化量的差。

【例题2】：两个数相加，如果一个加数减少8，要使和增加8，另一个加数应有什么变化？

【分析】：一个加数＋另一个加数＝和

－

-8 → 不变 → +8

和先增加8，后增加8，所以和增加16。那么另一个加数也增加16。练习：疯狂操练2（1）、（2）

总结：两数相加，已知和的变化求加数的变化，可以先使和变化到原来的位置再做解答。

II、学习了和的变化规律，下面我们来看看差的变化规律。我们知道差最基本的变化规律是：如果被减数不变，差随减数的增加（减少）而减少（增加）；如果减数不变，差随被减数的增加（减少）而增加（减少）；差与减数、被减数增加或减少的数量都是相等的。

那么当被减数和减数同时变化时，差的变化规律是怎样的呢？

【例题3】两数相减，如果被减数减少2，减数也减少2，差是否会起变化？ 【分析】：被减数－减数＝差

－2

－

－2

－

－2 + 2 差先减少2，后增加2，所以差不变。

练习：疯狂操练3（1）、（2）、（3）

总结：被减数和减数同时增加或减少相同的量，差不变。被减数和减数，一个增加，另一个减少，差的变化量等于被减数和减数的变化量之和。

【例题4】两数相减，被减数增加20，要使差减少16，减数应有什么变化？ 【分析】：被减数－减数＝差

+20

－

+20

+20 →差不变→-16 要使差减少16，先使差不变，再减少16，所以，差减少20+16=36，则减数增加36。

练习：疯狂操练4（1）、（2）

总结：已知差的变化，要求减数（或被减数）的变化，可以使差先变回原来的位置，再做解答。

3、能力提升。

【例题5】被减数、减数、差相加得2076，差是减数的一半。如果被减数不变，差增加42，减数应变为多少？

【分析】：被减数+减数+差=2076，被减数=减数+差 所以被减数=2076÷2=1038.被减数=减数+差=2×差+差=（2+1）差=1038

差=1038÷（2+1）=346，减数=2×差=2×346=692.当被减数不变，差增加42，则减数减少42，所以减数应变为692-42=650。练习：疯狂操练5（1）

4、作业：

P46疯狂操练2（3）P47疯狂操练4（3）P47疯狂操练5（2）

第二篇：积商的变化规律 《举一反三》四年级奥数教案

《举一反三》四年级奥数教案

一、教学内容：举一反三P48--P51

二、教学目标：、两个因数同时变化时，积的变化规律。2、被除数和除数同时变化时，商的变化规律。

三、教学难点：理解两数同时变化时，积、商的变化过程。

四、教学设计：

1、复习上周所学内容，讲解作业（疯狂操练5（2））。

【分析】：被减数+减数+差=90，被减数=减数+差

所以被减数=90÷2=45。

被减数=减数+差=减数+2×减数=（1+2）×差=4

5减数=45÷（1+2）=15，差=2×减数=2×15=30。

当被减数不变，差增加7，则减数减少7，所以减数应变为30-7=23。

2、新课内容

I、我们知道两数相乘，积的最基本的变化规律是：一个因数不变，积随另一个因数的扩大（缩小）而扩大（缩小）；积与因数的扩大或缩小的数量都是相等的。

下面我们要讲的积的变化规律都是以此为基础演变的。

【例题1】：两个数相乘，一个因数扩大3倍，要是积扩大9倍，另因数应该怎么变化？

【分析】：一个因数×另一个因数＝积

↑3倍

－

↑3倍

积：

↑3倍

→

↑9倍

积先扩大3倍，要使积扩大9倍，只要积再扩大3倍。积扩大3倍，所以另一个因数也扩大3倍。

练习：疯狂操练1（1）、（2）、（3）总结：

【例题2】：两数相乘，积是96。如果一个因数缩小4倍，另一个因数扩大3

倍，那么积是多少？

【分析】：一个因数×另一个因数＝96

↓4倍

－

↓4倍（96÷4=24）

－

↑3倍

↑3倍（24×3=72）

积先缩小4倍（96÷4=24），后扩大3倍（24×3=72），积是72。方法二：见书P49（例题2【思路导航】）练习：疯狂操练2（1）、（2）总结：

II、学习了积的变化规律，下面我们来看看商的变化规律。我们知道商最基本的变化规律是：如果被除数不变，商随除数的扩大（缩小）而缩小（扩大）；如果除数不变，商随被除数的扩大（缩小）而扩大（缩小）；差与除数、被倍数扩大或缩小的倍数相等。

那么当被除数和除数同时变化时，商的变化规律是怎样的呢？

【例题3】两数相除，如果被除数缩小3倍，除数扩大2倍，商将怎么变化？ 【分析】：被除数÷除数＝商

↓3倍

－

↓3倍

－

↑2倍 ↓2倍

商先缩小3倍，后缩小2倍，所以商将缩小3×2=6倍。练习：疯狂操练3（1）、（2）、（3）总结：

【例题4】两数相除，被除数扩大30倍，要使商扩大60倍，除数应该怎样变化？ 【分析】：被除数÷除数＝商

↑30倍

－

↑30倍

商： ↑30倍

→

↑60倍

商先扩大30倍，要使商扩大60倍，只要使商再扩大2倍即可。商扩大2倍，则除数缩小2倍。

练习：疯狂操练4（1）、（2）总结：

3、能力提升。

【例题5】两数相除，商是4，余数是10。如果被除数和除数同时扩大50倍，商是多少？余数是多少？

【分析】：如果被除数和除数同时扩大，商不变。所以商=4。下面我们看看余数怎么变。

被除数－余数=除数×商，所以余数＝被除数－除数×商

↑50倍

↑50倍

被除数和除数同时扩大50倍，即等式右边同时扩大50倍。要使等式成立，则等式左边，即余数，也需要扩大50倍。所以余数=10×50=500。

练习：疯狂操练5（1）

4、总结

加、减、乘、除各算式内部各量的变化关系：

（1）加法：加数部分与和的变化方向是一样的，加数怎么变，和就怎么变。

（2）减数：被减数与差的变化方向相同，被减数增大或减少，差也会随之增大或减少；减数与差的变化方向相反，减数增大或减少，差反而会减少或增大。

（3）乘法：因数部分与积的变化方向相同。因数扩大或缩小，积随之扩大或缩小。

（4）除法：被除数与商的变化方向相同，被除数扩大或缩小，商也随之扩大或缩小；除数与商的变化方向相反，除数扩大或缩小，商反而缩小或扩大。

5、作业：

P50疯狂操练2（3）P50疯狂操练3（3）P51疯狂操练4（3）

第三篇：错中求错 《举一反三》四年级奥数教案

《举一反三》四年级奥数教案

一、教学内容：举一反三P52--P56

二、教学目标：、让学生了解错中求错问题的出现。、理解解决这类问题的关键是利用加、减、乘、除各算式内部各量的变化关系。

三、教学难点：利用加、减、乘、除各算式内部各量的变化关系进行解题。

四、教学设计：

1、复习上周所学内容，讲解作业。

2、新课内容

I、复习加法的变化规律

加数部分与和的变化方向是一样的，加数怎么变，和就怎么变。【例题1】：小李在计算两个数相加时，把一个加数个位上的7错写成1，把另一个加数百位上的2错写成3，所得的和是2003，原来两个数相加的正确答案是多少？

【分析】：我们知道可以根据一个数的位数把它表示成几个数相加，如213=200+10+3。那么，根据题意，由于错写，把一个加数个位上的7错写成1，说明这个加数减少了7-1=6；

把另一加数百位上的2错写成3，说明这个加数增加了300-200=100；

这样加数部分总共增加了100-6=94，所以这时的和比原来正确的和增加了94，原来两个数相加的正确答案是

2003-（100-6）=1909。

练习：疯狂操练1（1）、（2）、（3）总结：

II、复习减法的变化规律

被减数与差的变化方向相同，被减数增大或减少，差也会随之增大或减少；减数与差的变化方向相反，减数增大或减少，差反而会减少或增大。

【例题2】：大明做题时，把被减数个位上的3错写成8，把十位上的6错写成0，这样算出的差是200，正确的差是多少？

【分析】：由于错写，被减数个位上的3错写成8，被减数增加了8-3=5，十位上的6错写成0，被减数减少了60-0=60，这样错写的被减数比原来少了60-5=55；

因为减数不变，根据差的变化规律，差也减少了55，即错误的差比原来正确的差总共减少了55。

那么，原来正确的差应是200+55=255 练习：疯狂操练2（1）、（2）、（3）

总结：可以先根据加法的变化规律得出被减数和减数的变化，然后由减法的变化规律得出原来正确的差。

III、复习除法的变化规律

被除数与商的变化方向相同，被除数扩大或缩小，商也随之扩大或缩小；除数与商的变化方向相反，除数扩大或缩小，商反而缩小或扩大。

【例题3】小明在计算除法时，把被除数1350写成了1305，结果得到商是52，余数是5，正确的商应该是多少？

【分析】：被除数被错写，但除数没有变，我们可以根据错误的被除数，求出除数。根据“被除数=除数×商+余数”，所以

除数=（被除数-余数）÷商=（1305-5）÷52=25，这个除数自始至终都没变过，所以正确的商=正确的被除数÷除数=1350÷25=54。

练习：疯狂操练3（1）、（2）、（3）总结：

【例题4】小星在计算有余数的除法时，把被除数567错写成521，这样商比原来少了2，而余数正好相同。请你算出这道题的除数和余数各是多少？ 【分析】： 根据“被除数=除数×商+余数”，商比原来少了2，也就是少了2个除数，被除数比原来少了567-521=46，这样我们可以算出除数就是：46÷2=23，余数就是：567÷23=24···15

练习：疯狂操练4（1）、（2）总结：

IV、复习乘法的变化规律

因数部分与积的变化方向相同。因数扩大或缩小，积随之扩大或缩小。【例题5】晓晓在计算两位数乘两位数时，把一个因数的个位数6错写成9，结果得936，实际应为864，这两个因数各是多少？

【分析】：把一个因数个位数6错写成9，所得的结果比原来多了（9-6=3）个另一个因数，导致实际的积比原来的积增加了936-864=72，那么另一个因数就是：72÷3=24。我们也就可以算出这个错写的因数是：864÷24=36。

所以一个因数是36，另一个因数是24。练习：疯狂操练5（1）

总结：解答这类应用题，往往要采用倒推的方法，从错误的结果入手，分析错误的原因，最后利用和差的变化规律求出加数或被减数、减数，利用积商的变化规律求出因数或被除数、除数。关键是利用加、减、乘、除各算式内部各量的变化关系。

也提醒我们在进行四则运算时，不能抄错题目，不能漏掉数字。计算时要仔细小心，不能丝毫马虎，否则就会造成错误。

3、作业：

P54疯狂操练3（3）P55疯狂操练4（3）P56疯狂操练5（1）

第四篇：四年级奥数 找规律(教案含答案)

雅智教育 立德树人 传道解惑 启发思维 成就英才

第一讲：规律性问题

教学目标

1、学会从简单问题入手找规律

2、能够利用数论、几何等专题解周期性问题

3、归纳找规律问题的解题思想

知识点拨

一、知识点说明

同学们在探索某一类事物的性质或它们之间的关系的时候，经常从观察具体事物入手，通过分析、猜测、验证，找出这类事物的一般属性。这种“从特殊到一般的推理方法”，叫做归纳法，或者称之为找规律，很多人也称之为周期问题。

二、考点总结

找规律问题在小升初考试中几乎每年必考，但考题的分值较低，多以填空题型是出现。这是为了考验我们是否能在最短时间里找到数字间的奥秘，即是在考察我们的数感和归纳能力，这种能力不是与生俱来的，是和我们日常积累分不开的，正所谓见多识广吧。所以找规律这类题目，需要同学们养成细观察、勤思考的习惯，不断提高归纳能力。找规律是解决数学问题的一种重要的手段，而规律的找寻既需要敏锐的观察力，又需要严密的逻辑推理能力.三、提炼思想

找规律是奥数里最重要的思想之一，很多难题都是靠这种方法解决的，要求我们能够观察数列或数表中每一个数自身的特征（如奇偶性，整除性，是否为质或者合数等等）、相邻数之间的差或商的变化特征（常见的有等差数列，等比数列，斐波那契数列，复合数列等等），有时候还需要考虑连续多个数之间的和差倍关系，甚至对于某个自然数的余数数列等等，所以同学们要好好的体会这种思想方法，争取在奥数的学习中能够克服难题，取得进步。

例题精讲

模块

一、数论部分

【例 1】 下面各列数中都有一个“与众不同”的数，请将它们找出来：

（1）3，5，7，11，15，19，23，„„

（2）6，12，3，27，21，10，15，30，„„（3）2，5，10，16，22，28，32，38，24，„„（4）2，3，5，8，12，16，23，30，„„ 雅智教育 立德树人 传道解惑 启发思维 成就英才

【解析】 这四个与众不同的数依次是：15，10，5，16。因为：（1）除了15其余都是质数；（2）除了10其余都是3的倍数；（3）除了5其余都是偶数；（4）相邻两数之间的差依次是1，2，3，4，5，6，„„，成等差数列。注：本题答案不唯一，只要学生说明白道理就算正确。

【例 2】 在下面的一串数中，从第五个数起，每个数都是它前面四个数字之和的个位数字，那么在这串数中，能否出现相邻的四个数依次是2，0，0，8 ？

1，9，9，9，8，5，1，3，7，6，7，3，3，9，2，7，1，9，9，6，„„

【解析】 运用奇偶性进行分析，这些数的奇偶性依次是：奇，奇，奇，奇，偶，奇，奇，奇，奇，偶，奇，奇，奇，奇，偶，奇，奇，奇，奇，偶，……四个奇数一个偶数循环出现，而2，0，0，8均为偶数，必定不会出现在相邻的位置上。

【例 3】 数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，„„一共2005项，其中共有多少个是6的倍数？

这串数从第三个起，每个数都是它前面两个数的和，所以这是一个菲波那契数列，这串数除以6的余数依次是：1，1，2，3，5，2，1，3，4，1，5，0，5，5，4，3，1，4，5，3，2，5，1，0，1，1，2，3，„„，注意：计算余数的时候不用把原数计算出来，可以直接用菲波那契数列的规律计算余数，如前两个数是5，2，则下一个数是（5+2）÷6的余数为1。余数数列从第一个起，每24个循环一次，每一次循环中有两个数是6的倍数，而2005 =24×83＋13，所以这2005个数中一共有2×83＋1=167个是6的倍数

模块

二、几何部分

【例 4】 观察图形的变化，想一想，按图形的变化规律，在带“？”的空格处应画什么样的图形？

【解析】 横着看，每行圆形的个数一次减少，而三角形的个数依次增加，但每行图形的总个数不变.因为圆形的个数是按4、3、？、1的顺序变化的，显然“？”处应填一个圆形。

【例 5】 观察下面的图形，按规律在“？”处填上适当的图形.？

【解析】 本题中，几何图形的变化表现在数量关系上，图中黑三角形的个数从左到右依次增多，从（2）起，每一个格比前面一个格多两个黑三角形，所以，第（4）个方框中应填七个黑三角形.【巩固】 观察图形变化规律，在右边补上一幅，使它成为一个完整系列。（1）（2）（3）（4）（5）雅智教育 立德树人 传道解惑 启发思维 成就英才

【解析】 观察发现，乌龟的顺序是：头、身→一只脚、背上一个点→两只脚、背上两个点→两只脚、一条尾、背上三个点→三只脚、一条尾、背上四个点，根据这个规律，最后一幅图应该是：→四只脚、一条尾、背上五个点.即：

【巩固】 观察图形变化规律，在右边再补上一幅，使它们成为一个完整的系列.【解析】 第一格有8个圆圈，第二格有4个圆圈，第三格有2个圆圈，第四格有1个圆圈，第五格有半个圆圈.由此发现，前一格中的图减少一般，正好是后一格的图.所以第六格的图应该是第五格图的一半，即：

练习1.观察图形的变化，想一想，按图形的变化规律，在带“？”的空格处应画什么样的图形？

【解析】（方法一）横着看，每行圆形的个数一次减少，而三角形的个数依次增加，但每行图形的总个数不变.因为圆形的个数是按5、4、3、？、1的顺序变化的，显然“？”处应填一个圆形.(方法二)竖着看，圆形由左而右依次减少，而三角形由左而右依次增加，圆形按照5、4、？、2、1的顺序变化，也可以看出 “？”处应是圆形.练习2.观察下面由点组成的图形（点群），请回答：

（1）方框内的点群包含多少个点？

（2）第（10）个点群中包含多少个点？（3）前十个点群中，所有点的总数是多少？

【解析】（1）数一数可知：前四个点群中包含的点数分别是：1，4，7，10.可以看出，在每相邻的两个数中，后一个数都比前一个数大3.因为方框内应是第（5）个点群，它的点数应该是10+3=13（个）.（2）列表，依次写出各点群的点数，可知第（10）个点群包含有28个点.雅智教育 立德树人 传道解惑 启发思维 成就英才

（3）前十个点群，所有点的总数是：1+4+7+10+13+16+19+22+25+28=14

5（个）

练习3.下面是两个按照一定规律排列的数字三角形，请根据规律填上空缺的数：

1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 10 10 5 1 1 6 15 15 6 1(1)

3 6 9 4 8 12 16 5 10 15 25 6 12 18 24 30 36 7 21 28 35 42 49（2）

【解析】（1）这个是著明的“杨辉三角”，其最本质的特征是，它的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和。（）处分别填上5、20。其实，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位。中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页。杨辉，字谦光，北宋时期杭州人。在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图。

（2）每行第k个数等于该行第一个数的k倍，故上、下空缺的数分别为20和14。

第五篇：等差数列三个公式及其应用 《举一反三》四年级奥数教案

《举一反三》四年级奥数教案

一、教学内容：举一反三P39--P43

二、教学目标：等差数列三个公式及其应用

1、求和公式：总和＝（首项＋末项）×项数÷2

2、项数公式：项数＝（末项－首项）×公差＋1

3、通项公式：第N项＝首项＋（项数－1）×公差

三、教学难点：根据已知量和未知量，确定使用公式。

四、教学设计：

1、复习上节课内容。

2、由高斯小故事引入新课

【P41例题3】有这样一个数列： 1、2、3、4…99、100，请求出这个数列所有项的和。

【分析】：如果我们把1、2、3、4…99、100与列100、99…3、2、1相加，则得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（99+2）+（100+1），其中每个小括号内的两个数的和都是101，一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2，就是所求数列的和。

1+2+3+…+99+100=（1+100）×100÷2=5050 总结：上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可以用下面的公式求和：等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2

这个公式也叫做等差数列求和公式。

那么我们来看看，什么叫数列，什么又是等差数列？【P39】

若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项。数列中项的个数称为项数。从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，（即任意相邻两个数的差是一定的），后项与前项的差称为公差。

关于等差数列求和的问题，我们需要记住三个公式，即求和公式、通项公式和项数公式。这也是我们这节课的重点。

前面我们得出的是求和公式。练习：疯狂操练3：（1）、（2）

3、接下来我们来学习另外两个公式：“通项公式”和“项数公式”。

I、项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1

【例题1】有一个数列：4、10、16、22…52，这个数列共有多少项？ 【分析】仔细观察可以发现，后项与其相邻的前项之差都是6，所以这是一个以4为首项，以公差为6的等差数列，根据等差数列的项数公式即可解答。

由等差数列的项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1,可得,项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。

练习：疯狂操练1(1)、(2)、(3)

II、通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差

【例题2】有一等差数列：3，7，11，15…这个等差数列的第100项是多少？ 【分析】仔细观察可以发现，后项与其相邻的前项之差等于4，所以这是一个以3为首项，以公差为4的等差数列，根据等差数列的通项公式即可解答。

由等差数列的通项公式:第几项=首项+(项数-1)×公差,可得，第100项=3+4×（100－1）=399.练习：疯狂操练2(1)、(2)总结：在等差数列中，只要知道首项、末项、项数、公差这四个量中的三个，就可以利用三个公式求出第四个。

4、综合练习。

【例题4】求等差数列2，4，6…48，50的和。

【分析】仔细观察数列中的特点，相邻两个数都相差2，所以可以用等差数列的求和公式来求。

因为首项是2，末项是50，公差是,2，所以,项数=（50－2）÷2+1=25。再根据等差数列的求和公式:总和=(首项+末项)×项数÷2,解出

2+4+6+8+…+50=(2+50)×25÷2=650。

练习：疯狂操练4(1)、(2)总结：在等差数列中,如果已知首项、末项、公差,求总和时,应先求出项数,然后再利用等差数列求和公式求和。

5、能力升级。

【例题5】计算（2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99）

【分析】方法一：仔细观察算式中的被减数与减数，可以发现它们都是等差数列相加，根据题意可以知道首项、末项和公差，但并没有给出项数，这需要我们求项数，按照这样的思路求得项数后，再运用求和公式即可解答。

被减数的项数=(100-2)÷2+1=50，所以被减数的总和=(2+100)×50÷2=2550;减数的项数=(99-1)÷2+1=50,所以减数的总和=(1+99)×50÷2=2500。所以原式=2550-2500=50。

方法二：进一步分析还可以发现，这两个数列其实是把1 ～ 100这100个数分成了奇数与偶数两个等差数列，每个数列都有50个项。因此，我们也可以把这两个数列中的每一项分别对应相减，可得到50个差，再求出所有差的和。

（2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99）

=（2－1）+（4－3）+（6－5）+…+（100－99）=1+1+1+…+1 =50 练习：疯狂操练5(1)

6、作业：

P42疯狂操练4（2）P42疯狂操练4（3）

P43疯狂操练5（2）