河南科技大学工科线性代数综合测试1试卷及答案

第一篇：河南科技大学工科线性代数综合测试1试卷及答案

河南科技大学工科线性代数综合测试

（一）试卷

河南科技大学

工科线性代数综合测试

（一）试卷

一．填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）请将合适的答案填在每题的空中

12113x是关于x的一次多项式，该式中x的系数为____________． 11k1111k111，且A的秩rA3，则k___________． 1k

1．已知11k

12．已知矩阵A11xy0

3．已知线性方程组2x3y5 有解，则a___________．

2xya

4．设A是n阶矩阵，A0，A*是A的伴随矩阵．若A有特征值，则2A*_________________． 5．若二次型fx1,x2,1必有一个特征值是x32x1x2x32x1x2ax2x3是正定二次型，则a的取值范围是

222______________．

二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）a11

1．设Aa21a311P201010a12a22a32a13a21a23，Ba11aaa331131a22a12a32a12a23a13a33a130，P11010000，100，则必有【

】． 1

A.AP1P2B ；

B.AP2P1B ；

C.P1P2AB ；

D.P2P1AB．

2．设A是4阶矩阵，且A的行列式A0，则A中【

】．

A.必有一列元素全为0；

B.必有两列元素成比例；

C.必有一列向量是其余列向量的线性组合；

D.任意列向量是其余列向量的线性组合．

3．设A是56矩阵，而且A的行向量线性无关，则【

】．

A.A的列向量线性无关；

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（一）试卷

B.线性方程组AXB的增广矩阵A的行向量线性无关；

C.线性方程组AXB的增广矩阵A的任意四个列向量线性无关；

D.线性方程组AXB有唯一解．

4．设矩阵A是三阶方阵，0是A的二重特征值，则下面各向量组中：

⑴ 1,3,2，4,TT1,T3，0,T0,T0；

T

⑵ 1,1,1，1,1,⑶ 1,⑷ 1,1,0,2，2,T0，0,0,1； 3,T2,1,T4，3,T6；

T0，0,T0，0,0,1；

肯定不属于0的特征向量共有【

】．

A.1组；

B.2组；

C.3组；

D.4组．

5．设A是n阶对称矩阵，B是n阶反对称矩阵，则下列矩阵中，可用正交变换化为对角矩阵的矩阵为【

】．

A.BAB；

B.ABA；

C.AB三．（本题满分10分）

设n阶矩阵A和B满足条件：ABAB． ⑴ 证明：AE是可逆矩阵，其中E是n阶单位． ⑵ 已知矩1阵B2031000，求矩阵A． 22；

D.2AB．

四．（本题满分10分）

x3x40x1x2x22x32x41ba

当、为何值时，线性方程组有唯一解，无解，有无穷多组解，并求出有

xa3x2xb2343x12x2x3ax41无穷多组解时的通解．

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（一）试卷

五．（本题满分10分）1

2设4阶矩阵A341234123412，求A100． 34

六．（本题满分10分）

已知α11,1, 七．（本题满分10分）

设A是n阶矩阵，如果存在正整数k，使得AO（O为n阶零矩阵），则称A是n阶幂零矩阵．

⑴.如果A是n阶幂零矩阵，则矩阵A的特征值全为0．

⑵.如果AO是n阶幂零矩阵，则矩阵A不与对角矩阵相似．

k1,1，α21,2,0,3，求α3，α4，使得α1，α2，α3，α4线性无关． 河南科技大学工科线性代数综合测试

（一）试卷

八．（本题满分10分）

2222若二次型fx12x2x32x1x22x1x32x2x3经正交变换后可变为标准形y22y3，求，．并求出该正交变换．

九．（本题满分10分）

设有5个向量α13,1,α54,2,3,2,5，α21,1,1,2，α32,0,1,3α41,1,0,1，7．求此向量组中的一个极大线性无关组，并用它表示其余的向量．

答案

河南科技大学

工科线性代数综合测试

（一）试卷及答案

一．填空题

1．应填：1．

2．应填：3．

3．应填：4．

应填：

二、选择题

1． 应选：C．

2． 应选：C．

3． 应选：B．

4． 应选：B．

5． 应选：A ． 三．（本题满分10分）

设n阶矩阵A和B满足条件：ABAB．

⑴ 证明：AE是可逆矩阵，其中E是n阶单位． 1B

⑵ 已知矩阵2031000，求矩阵A． 22A．

5．应填：2a2．

解：

⑴ 由等式ABAB，得ABABEE，即AEBEE因此矩阵AE可逆，而且AE1BE．

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（一）试卷

⑵ 由⑴知，AEBE，即ABE11E

02030000111000100010310120001001001000 11 30121000 2四．（本题满分10分）

x3x40x1x2x22x32x41

当a、b为何值时，线性方程组

有唯一解，无解，有无穷多组解，并求出

xa3x2xb2343x12x2x3ax41有无穷多组解时的通解．

解：

将方程组的增广矩阵A用初等行变换化为阶梯矩阵： 10

A03111212a31122a01100b10110012a10120a101 b10所以，⑴ 当a1时，rArA4，此时线性方程组有唯一解．

⑵ 当a1，b1时，rA2，rA3，此时线性方程组无解．

⑶ 当a1，b1时，rArA2，此时线性方程组有无穷多组解． x1x1x2x3x40x2

此时，原线性方程组化为因此，原线性方程组的通解为x22x32x40x3x4x1111x2221k 或者写为 k12x3100x0130x3x41x3x42x32x41

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（一）试卷

五．（本题满分10分）12

设4阶矩阵A3412解：

由于A3***3412，求A100． 3411221111，3344所以，A100111222111111111111 333444100个A1111122222

1111111111111111

由于111110，333334444499组所以

A100109912111110993412341234123412 34六．（本题满分10分）

已知α11,1,1,1，α21,1,2,0,2,3，求α3，α4，使得α1，α2，α3，α4线性无关． 0,3的对应分量不成比例，所以α1与α2线性无关．满足

0,1,0，α40,解： 由于α11,1,1与α21,α1，α2，α3，α4线性无关的向量α3与α4有很多，例如我们可以取α30,112001010130110，所以α1，α2，α3，α4线性无关．

0,0,1

由于100七．（本题满分10分）

设A是n阶矩阵，如果存在正整数k，使得AO（O为n阶零矩阵），则称A是n阶幂零矩阵．

⑴.如果A是n阶幂零矩阵，则矩阵A的特征值全为0．

⑵.如果AO是n阶幂零矩阵，则矩阵A不与对角矩阵相似．

解：⑴.设是矩阵A的特征值，α0是矩阵A的属于的特征向量，则有Aαα．所以，AαAkk1kAαAk1αkα，但是AkkO，所以α0，但α0，所以0．

⑵ 反证法：若矩阵A与对角矩阵D相似，则存在可逆矩阵P，使得APDP．

1河南科技大学工科线性代数综合测试

（一）试卷

所以，APDPk1kPDPPDPPDPPDPPDP k组11111k但是，AkO，所以P1DkPO，所以DkO，即DO．因此AP1DPO．这与AO相矛盾，因此矩阵A不与对角矩阵相似． 八．（本题满分10分）

2222

若二次型fx12x2x32x1x22x1x32x2x3经正交变换后可变为标准形y22y3，求，．并求出该正交变换．

1

解： f的矩阵及标准形的矩阵分别为A1110，Λ00101000．则有 EAEΛ，21即 1100001010

1221,32． 由此得0．而且矩阵A的三个特征值分别为10,1

特征值10对应的特征向量为α1,212T,0 T

特征值21对应的特征向量为α20,0,1

1

特征值32对应的特征向量为α3,2α31212000112,0 x1x2x31212000112y11y 220y3T因此令：

Pα1,α2,121

因此所作的正交变换为

20九．（本题满分10分）

设有5个向量α13,1,α54,2,3,2,5，α21,1,1,2，α32,0,1,3α41,1,0,1，7．求此向量组中的一个极大线性无关组，并用它表示其余的向量．

解：对由α1，α2，α3，α4，α5构成的矩阵，进行行变换 31

α1，α2，α3，α4，α5251112201311014120037012130213142622 13 河南科技大学工科线性代数综合测试

（一）试卷

10

001100010012002110000001001100120011 00α3，或者α1,由此可以看出，向量组α1,α2，或者α1,α4，或者α1,α5都可以作为向量组α1，α2，α3，α4，α5的极大线性无关组．

不妨取向量组α1,α2作为极大线性无关组，则有

α3α1α2，α4α12α2，α5α1α2．

第二篇：线性代数试卷及答案1

一、填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案填在题中横线上）

31（1）三阶行列式

111311113111______________________.1

312121（2）设A,B11，则AB______________________.10111（3）已知(1,2,3)T,(1,1,1)T，则T_____.5001（4）设A031，则A________.021

121313,5，且线性方程组Ax无解，则a_____.（5）设A21

40a216

二、计算题（本题共3小题，每小题10分，满分30分，要求写出演算过程或步骤）

1．计算n级行列式10

11110111110111110。111

2022．设三阶方阵A和B满足关系式AB2AB,且A040,求(AE)1。202

3．求下面线性方程组的通解

x1x2x3x40x1x2x33x41

xx2x3x0.5341

2三、解答题（本题共2小题，每小题15分，满分30分，要求写出演算过程或步骤）

1．设1(1,1,1),2(1,2,3),3(1,3,t)。

（1）问当t为何值时，向量组1,2,3线性无关？

（2）当t为何值时，向量组1,2,3线性相关？

（3）当向量组1,2,3线性相关时，将3表示为1和2的线性组合。

x1x2x31

2．为何值时，线性方程组x1x2x3

xxx

2312

（1）有惟一解？（2）无解？（3）有无穷多个解。

四、证明题（本题共2小题，每小题10分，满分20分，）

1．设b13a12a2,b2a2a3,b34a35a1，且a1,a2,a3线性无关，证明：向量组

b1,b2,b3也线性无关。

2．设A为n阶可逆矩阵A的伴随矩阵，证明：AA

填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上）

**

n

11110.500



222011

333023

；；2（1）48(2)；（3）（4）（5）1

二、计算题（本题共3小题，每小题10分，满分30分，要求写出演算过程或步骤）1.解：

0111

11011111111

1101110111

11011

11101

1111011101

n1n1n1n1n11

11111110

…………………………………………………….（6分）

0111

1011



1101

1110

………….（3分）



(n1)



(n1)

000

11000



10001

……………………………………………..…….（9分）

100



1

(1)n1(n1)…………………………………………….………………………….（10分）

2．解：

原方程

(AE)(B2E)2E……….（5分）

001

1(AE)1(B2E)010

2100…………………………………（5分）

3．解

对方程组的系数矩阵

A作初等行变换, 有

111012

1111010012

211131

00000111232

由此得基础解系为

………（5分）

T

(1,1,0,0)(1,0,2,1)1, 2

T,（7分）

(,0，0)T

特解为

（8分）

于是所求方程组的通解为

1212

xk11k22, 其中1

k,k2,k

3为任意常数………….（10分）

三、解答题（本题共2小题，每小题15分，满分30分，要求写出演算过程或步骤）

1．解：设有数组

k1,k2,k3，使k11k22k330，k1(1,1,1)k2(1,2,3)k3(1,3,t)(0,0,0)。………………………（2分）

于是有方程组

k1k2k30,

k12k23k30,k3ktk0

23

1其系数行列式

……………………………………（3分）

D23t

53t………………………………………………………….（4分）

（1）当

t5

时，D0，方程组只有零解：

k1k2k30

。此时，向量组

1,2,

3线性无

关。………………………………………………………………………………（5分）

（2）当

t5时，D0，方程组有非零解，即存在不全为0的常数k1,k2,k3，使k11k22k330。此时，向量组

1,2,3线性相关。……………….（5分）

（3）当

t5时，方程组的系数矩阵的秩小于3。由左上角2阶子式不为零可知，系数矩阵的秩等于2。因此，取方程组①的前2个方程

k1k2k30,

k12k23k30,令

k31，解得k11,k22，即12230，从而3122。

………………………………………………………………………………………….（5分）

2．解：

11

110,111,2时，方程组有唯一解。………………（5分）（1）即

121111



11011(1)

211200(1)(2)(1)(1)，（2）

则当

2时，方程组无解。…………………………………………….（5分）

111

xk11k200

010。1（3）当时，方程组有无穷多个解，通解为

…………………………………….（5分）

四、（本题共2小题，每小题10分，满分20分，）

305



210b1,b2,b3a1,a2,a3014…………………….（4分）

1．证明：因为

且a1,a2,a3线性无关…………………………………………………………（6分）

5210220

又01

……………………………………………….（8分）

故向量组b1,b2,b3也线性无关………………………………………………….（10分）

*1

2．证明：因为

AAA…………………………………………….（4分）

|A*||A1|n

1

所以

……………………… ……….（8 分）

A

n1

…

…………………………….10分）（

第三篇：线性代数4试卷及答案

线性代数（经管类）试题B 试卷满分100分

考试时间120分钟

(出卷人：廖磊)试卷说明：AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式。

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1．若行列式|A|=0，则A中（）A．必有一行全为0 C．有两列成比例

a11a12a22a32a13a33B．行向量组线性相关 D．所有元素全为0

a11a315a112a125a212a225a312a32a13a23，则D1的值为（）a33a23=3，D1=a212．设行列式D=a21a31A．-15 B．-6 C．6 D．15 3．设A，B，C，D均为n阶矩阵，E为n阶单位方阵，下列命题正确的是（）A．若A20，则A0

B．若A2A，则A0或AE C．若ABAC，且A0，则BC

D．若ABBA，则(AB)A2ABB

2224．设A、B为n阶方阵，满足A2=B2，则必有（）A．A=B C．|A|=|B| 1A．0010012010 012 0B．A=-B D．|A|2=|B|2

1B．001D．2311012311 01235．设3阶方阵A的秩为2，则与A等价的矩阵为（）

1C．20 6.设A，B为同阶可逆方阵，则下列等式中错误的是（）．．A.|AB|=|A| |B| C.(A+B)-1=A-1+B-1

7．设2阶矩阵A＝，则A＝()

*

B.(AB)-1=B-1A-1 D.(AB)T=BTAT

A．

B．

C．

D．acb，则d

8．设2阶矩阵A＝A．C．dcb abaA＝（）

dbdbcaca＊

B．

dc

D．

9．设矩阵A＝，则A中()A．所有2阶子式都不为零

B．所有2阶子式都为零 C．所有3阶子式都不为零

D．存在一个3阶子式不为零

10．设1,2是x1x2x312x1x20，的两个解，则（）

1A．12是2x1B．12是2x1C．21是2xxx2x301x20，的解，的解 xx2x301x20xx2x311x20xx2x311x20，的解，的解 1D．22是2x11．设1,2,3,均为n维向量，又1,2,线性相关，2,3,线性无关，则下列正确的是（）

A．1,2,3线性相关 B．1,2,3线性无关 C．1可由2,3,线性表示 D．可由1,2线性表示

12．设向量1(a1,b1,c1),2(a2,b2,c2),1(a1,b1,c1,d1),2(a2,b2,c2,d2)，则下列命题中正确的是（）

A．若1,2线性相关，则必有1,2线性相关

B．若1,2线性无关，则必有1,2线性无关 C．若1,2线性相关，则必有1,2线性无关 D．若1,2线性无关，则必有1,2线性相关

13．设A为m×n矩阵，齐次线性方程组Ax＝0有非零解的充分必要条件是()A．A的列向量组线性相关

B．A的列向量组线性无关 C．A的行向量组线性相关

D．A的行向量组线性无关

14．设α1，α2，α3，α4为向量空间V的一个基，则V的维数=（A．1 B．2 C．3

D．4 15.设A与B是两个相似n阶矩阵，则下列说法错误．．的是（）A.AB

B.秩（A）=秩（B）C.存在可逆阵P，使P-1AP=B

D.E-A=E-B

16．正交矩阵的行列式为（）A．0 B．+1 C．-1

D．±1 17．矩阵A＝的非零特征值为()A．

4B．

3C．

2D．1

18．当矩阵A满足A2=A时，则A的特征值为（）A．0或1 B．±1 C．都是0

D．都是1）19．二次型A．0 C．2 f(x,y,z)xy2.2的正惯性指数p为（）

B．1 D．3

22220.设有二次型f(x1,x2,x3)x1x2x3,则f(x1,x2,x3)（）

A.正定 C.不定

B.负定 D.半正定

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

a1b1a1b2a2b2a3b2a1b3a2b3=_____________.a3b321．若aibi0,i1,2,3,则行列式a2b1a3b112322．三阶行列式D222，则A11A12A13__________.4513A=0121423.设,B=10012,则AB=__________.01114中元素9的代数余子式A32=____________ 1624．行列式234925.若k1120,则k=___________.26．设A，B均为n阶矩阵，(AB)E，则(BA)=__________.a11x1a12x2a13x3027．若齐次线性方程组a21x1a22x2a23x30有非零解，则其系数行列式的值为

axaxax032233331122______________.128.设矩阵A=232t423，若齐次线性方程组Ax=0有非零解，则数t=____________.5129．设矩阵A=0002010，矩阵B=A-E，则矩阵B的秩r(B)=______________.130.已知A有一个特征值-2,则B=A2+2E必有一个特征值___________.31.方程组x1x2x30的通解是___________.T

T32.已知向量α=（2，1，0，3），β=（1，-2，1，k），α与β的内积为2，则数k=____________.33.设向量α=（b,12,12）T为单位向量，则数b=______________.34．设AX0为一个4元齐次线性方程组，若1,2,3为它的一个基础解系，则秩（A）=_________.35．已知某个3元非齐次线性方程组Ax＝b的增广矩阵A经初等行变换化为：，若方程组无解，则a的取值为

．

36．已知3维向量(1,3,1)T,(1,2,4)T，则内积(,)=____________.37.设三阶方阵A的特征值分别为-2,1,1,且B与A相似,则2B=___________.38.设三阶方阵A的特征值分别为-2,1,1,且B与A相似,则2B=___________.12121010339.矩阵A=所对应的二次型是___________.T40．设3元实二次型f(x1,x2,x3)XAX经正交变换化成的标准形为f3y1，则矩阵

2A的特征值为_________.三、计算题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）

***241.计算四阶行列式的值.42．设A=301214,B=10012,求矩阵0AB.143.已知矩阵A=10011130，B=10201110，4（1）求A的逆矩阵A-1；（2）解矩阵方程AX=B.44．设A=311100210111022,求A1.45.设1A=001,B=00120023,且A,B,X满足(E-B1A)TBTXE.求X,X1.46．求向量组1=（1，2，1，3），2=（4，-1，-5，-6），3=（1，-3，-4，-7）的秩和其一个极大线性无关组.47．设向量组1(1,1,0)，2(2,4,1)，3(1,5,1)，4(0,0,1)，求该向量组的秩，并判断其线性相关性。

x12x24x332x22x3348．求线性方程组2x2x6x3231817，2的通解.49.设矩阵A=（1）求矩阵A的特征值与对应的全部特征向量.（2）判定A是否可以与对角矩阵相似，若可以，求可逆矩阵P和对角矩阵，使得P-1AP=.50．已知二次型f(x1，x2，x3)＝2x1＋3x2＋3x3＋2ax2x3通过正交变换可化为标准形f＝y1＋2y2＋5y3，求a． 22222

2四、证明题（本大题10分）

51.设1,2,3是齐次方程组A x =0的基础解系.证明：

11,212，3123一定是Ax =0的基础解系．

52．设A，B均为正交矩阵，且AB，试证AB0.

321、AB0121104210011110123200***021460

2

322、（A,E）=11

11300………………………..3分 110……….………………….1分 001001211………………………2分 311………………………..1分 111002010000112111121121010

01000221101001000021101001000011212012111011

1112……2分

所以A112112…………………………………………1分

12

23、令A=（1,2,3)=131000499184156134………………………….2分 7155………………………………………………….2分 1010004900150………………………………………………………….2分 0所以向量组1,2,3的秩为2………………………………………….2分 极大线性无关组为1,2或1,3或2,3……………………….2分

124、(A,b)0212020242222242633………………………………………………..2分 313303021041033……………………………………2分 2010001021003………………………………………………………….1分 20所以非齐次方程的一般解为

x12x33xx322……………………………………………

1分

所以齐次方程组的一个特解为*0320…………………………..1分

2x2x13对应的齐次方程组为得基础解系为11…………….2分 x2x31所以原方程组的通解为*k11,其中k1为任意常数………………….1分

25、（1）项式AE8172=（1)(9)

所以特征值11,29…………………………………………………..1分

7当11时，AE1711010

即x1x2，所以特征向量为1………………………………..1分

1对应特征值11全部特征向量为k11，k为任意非零常数………..1分

当29时，A9E11717017 07即x17x2，所以得到对应的特征向量2………………………..1分 1对应特征值29的全部特征向量为k22，k2为任意非零常数……….1分（2）因为矩阵A有两不同的特征值1和9,(或者说存在两个线性无关的特征向量

1,2),所以矩阵A可以对角化……………………………………………..2分

可逆矩阵P=(1,2),即1091P=171,．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分

10．．．．．．．．．．．．．．．１分 ．9且有P1AP0

2６、，所以对角矩阵为0证明：首先，1,2,3 的个数与所给的基础解系1,2,3个数相同，都为３，即

n-r=3………………………………………………………………………1分 其次A1A10,A2A(12)0,A3A(123)0

所以，1,2,3都是方程组Ax =0的解………………………………………2 最后，根据提设条件可以写出矩阵等式

1(1,2,3)=(1,2,3)0011011………………………………………2分 11110111把它记为BAP.因为标出矩阵的行列式P00=10…….1分

P是可逆矩阵………………………………………………………..1分 所以，r(B)r(A)3，这说明1,2,3线性无关………………………

2分

所以，1,2,3必是Ax =0的基础解系……………………………………….1分

***104021000213分 21、解：D=002=

00012100210002***0215154分

3分 =0001=00022、解：(1)A1E100100100011112210111111020111211000100100100100010112211211112121110010001分 11 001 00010010112分 11211A211A1112分 1BXA1(2）AXB方程两边同时左乘2X211211,得 A1AXAB2分

1311100111504422321223分 3

23、解： EBATBXEB(EBTA)TXEBAXE3分

T2X001200020001T1200020001112000120003分 10120X10011200020004分 112101210

24、解：令A145006603分

01110111121

011000013分 1所以向量组的秩为3。因为未知数的个数大于向量组的秩，所以向量组线性相关。……4分 200

25、解：f的矩阵为A03a

……2分

0a3203a0a3(2)3aa3先求A的特征值，AE00

(2)(69a)0

……（1）

……2分 22由已知，二次型可通过正交变换可化为标准形f＝y1＋2y2＋5y3，得 矩阵A的特征值为1，2，5。

……2分

将λ1=1代入（1）式，得

(21)(16*19a)0a2.4分

四、证明题

26、证：由已知可知

AATE

BBTE

……2分

AT2222ABAAABEABBBAB TTTTT

BTATBBTATBABB

……4分 再由AB，又正交阵的行列式为1

……1分 不妨设A1，则B1

则 ABAB，故AB0

……3分

第四篇：线性代数试卷(网上1)

线 性 代 数 试 卷(A)

一、选择题（每题3分，共15分）

1a12若矩阵A01a2的秩r(A)2,则a的值为_____________10121.(A)0(B)0或-1(C)-1(A)AT••(D)-1或者1(B)-AT*设A为正交矩阵，且|A|1,则A_____________ 2.(C)A••••(D)-A

TT3.设,是n维列向量,0,n阶方阵AE,n3，则在A的 n个特征值中,必然______________

(A)有n个特征值等于1(B)有n1个特征值等于1(C)有1个特征值等于1(D)没有1个特征值等于1

r(A)r(B),则______________ 4.设A,B为n阶方阵，且秩相等，既(A)r(A－B)0(B)r(AB)2r(A)(C)r(A,B)2r(A)(D)r(A,B)r(A)r(B)

___ 5.设矩阵Amn的秩r(A)n,则非齐次线性方程组Axb__________(A)一定无解(B)可能有解(C)一定有唯一解(D)一定有无穷多解

二、填空题（每题3分，共15分）

**|A|2|2A|=_____________ nA1.设是阶方阵A的伴随矩阵，行列式，则

2.D中第二行元素的代数余子式的和

1111j1A42j=__________ ,其中

D =

212f(xx,x)x4x2x2ax1x12x2x3正定,则实常数 1,231233.已知实二次型

a的取值范围为________________

111111111111AB________________BA4.2n阶行列式 ,其中n阶矩阵 a0000b0a00b0AB000ab00



101020，101nn1而n2为正整数，则A2A______ 5.设A=

三、计算题(每题9分,共54分)1.计算n阶行列式

x1mx2x3xnx1x2mx3xnDn••x1x2x3xnm

20060011AXBAABX0，其中,A010,B012001021 X2.求矩阵使

2x1x2a3x3a4x4d1x12x2b3x3b4x4d2cxcx2x3xd22343有三个解向量 3.设非齐次线性方程组11231112142

1＝1，2＝1，3＝2

求此方程组系数矩阵的秩,并求其通解(其中ai,bj,ck,dt为已知常数)

4.已知实二次型 f(x1,x2,x3)=2x13x23x32x2x3(0)经过正交

222y2y5yXQY123变换,化为标准形,求实参数及正交矩阵Q

x1x2x33x402xx3x5x112343x12x2ax37x41x1x23x3x4b，问a,b各取何值时，线性

2225.设线性方程组为

方程组无解，有唯一解，有无穷多解？在有无穷多解时求出其通解

446.在四元实向量构成的线性空间R中,求a使1,2,3,4为R的基,并求由基1,2,3,4到1,2,3,4的过渡矩阵P,其中

四、证明题(每题8分,共16分)1.设 1,2,3 是欧氏空间V的标准正交基,证明: 13也是V的标准正交基

11110111123400110001    111111101234a2a001100   

1(21223)2(21223)3(12223)1313

T2.设fXAX是n元实二次型,有n维实列向量X1,X2,使X1AX10，TTX2AX20, 证明:存在n维列实向量X00,使X0AX0=0

T

第五篇：2006~2007线性代数试题1答案

一、选择题： [教师答题时间：2 分钟]（每小题 3 分，共 12分）①A ②D

③A

④B

二、填空题： [教师答题时间：4分钟]（每空 3分，共 12 分）① 5

② 线性相关

③ 0

④-8

三、计算题 [教师答题时间： 6 分钟]（共16分）

1、aDnbbbab......1bbababbab0n1a(n1)ba(n1)ba(n1)b......bb（4分）a......b0bab......bba解: [a(n1)b]111

＝[a(n1)b]00（2分）ab＝[a(n1)b](ab)（2分）

2、1解：A3100224011211202201110121(3分）514(3分）50 45(2分）2

四、综合题 [教师答题时间： 7 分钟]（共15分）

骣1çç(a1,a2,a3,a4)=ç1çççç-2桫骣1珑珑?珑0珑珑珑珑0桫骣1çç解：?ç0çççç0桫-12-801000-1-110-11-6-1-222÷÷÷4÷(2分）÷÷÷4÷-120-11-422(2分）16骣2鼢1鼢鼢2鼢(2分）?0鼢鼢鼢8鼢0桫-3÷÷÷1÷(2分）÷÷÷-4÷

所以极大无关组是a1,a2,a3(2分）a4=-3a1-a2-4a3(5分）五题、综合题 [教师答题时间： 8 分钟]（共10分）

1解:A,b1110011(3)111111200(1)(4分）2(21)2∴当＝－3时，线性方程组无解（2分）

当0且3时，线性方程组有唯一解（2分）当＝0时，线性方程组有无穷解（2分）六题、解答题 [教师答题时间： 5 分钟]（共10分）

1A3510001025325(2分）310021021(2分）001(2分）0

00∴通解为x=c-1(2分），故基础解系为c-1(2分）11七题、解答题 [教师答题时间：10 分钟]（共12分）3解：E－ A012124101=(1)(45)(2分）所以A的特征值为11,23i2(2分）4当1，EA011202140000100200所以1对应的特征向量为C12(C10)(3分）11ii2时，A-E=01101i0i11i3140021i100104i32i32i20

i3所以i2时对应的特征向量为C22i2(C20)(3分）1显然A不能相似对角化(2分）八题、证明题 [教师答题时间： 7 分钟]（共13分）

11)证明：（1，，）＝（，，）22312301设K=2002310,显然K0,∴K可逆（2分）302310（2分）3-1 ∴（1，，）=（，，2）K2313

故1，，与，，2等3价，而，，2线性3无关2311∴1，，线性无关（3分）232)证明：因为A为正交阵，故A1,而A0，∴A1(2分）E＋A＝AA＋AAA＋EAA＋EE＋A(2分）故A＋E＝0，所以E＋A不可逆(2分）TT