1.3证明(含答案)

第一篇：1.3证明(含答案)

1.3证明

专题一利用平行线的性质和判定证明

1.已知，如图，DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1=∠2，求证：CD⊥AB．

2.已知，如图，∠1=∠ACB，∠2=∠3，求证：∠BDC+∠DGF=180°．

专题二自然数问题的证明

3.两个连续自然数的积是偶数.4.求证：若n为整数，则（2n+1）2-（2n-1）2一定是8的倍数.专题三利用外角的性质证明

5.（1）如图（1），有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直

角边XY、XZ分别经过点B、C．△ABC中，∠A=30°，则∠ABC+∠ACB=，∠XBC+∠XCB=

.（2）如图（2），改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别经过B、C，那么∠ABX+∠ACX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX+∠ACX的大小．

6.（1）如图①，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，∠A=40°，求∠BOC的度数；

（2）如图②，△A′B′C′的外角平分线相交于点O′，∠A′=40°，求∠B′O′C′的度数；

（3）上面（1）、（2）两题中的∠BOC与∠B′O′C′有怎样的数量关系若∠A=∠A′=n°，∠BOC与∠B′O′C′是否还具有这样的关系？这个结论你是怎样得到的？

7.如图1，有一个五角星ABCDE，你能说明∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°吗？如图

2、图3，如果点B向右移到AC上，或AC的另一侧时，上述结论仍然成立吗？请分别说明理由．

课时笔记

【知识要点】

1.要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步推得结论成立.这样的推理过程叫做证明.2.三角形的内（外）角和定理 三角形三个内角的和等于180°；三角形不共顶点的三个外角的和等于360°.3.三角形的外角的概念和性质概念：由三角形的一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角，这样的角叫做该三角形的外角.三角形的内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.4.证明几何命题时，表述格式一般是：（1）按题意画出图形.（2）分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论.（3）在“证明”中写出推理过程.【温馨提示】

1.在解决几何问题时，有时需要添加辅助线.添辅助线的过程要写出证明中.辅助线通常画成虚线.2.用推理的方法可说明一个命题是真命题，用举反例的方法可以说明一个命题是假命题.3.推理的每一步必须有依据.【方法技巧】

1.要说明两直线平行，只需说明这两条直线被第三条直线所截所构成的内错角相等或同位角相等或同旁内角互补.2.要说明两个角相等，目前我们可以利用平行线的性质或角平分线的定义说明.参考答案

1.证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC（已知）∴∠DGB=∠ACB=90°（垂直定义）.∴DG∥AC（同位角相等，两直线平行）.∴∠2=∠ACD（两直线平行，内错角相等）.∵∠1=∠2（已知），∴∠1=∠ACD（等量代换）.∴EF∥CD（同位角相等，两直线平行）.∴∠AEF=∠ADC（两直线平行，同位角相等）.∵EF⊥AB（已知），∴∠AEF=90°（垂直定义），∴∠ADC=90°（等量代换）.∴CD⊥AB（垂直定义）．

2.证明：∵∠1=∠ACB（已知），∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），∴∠2=∠DCF（两直线平行，内错角相等）.∵∠2=∠3（已知），∴∠3=∠DCF（等量代换），∴CD∥FG（同位角相等，两直线平行），∴∠BDC+∠DGF=180°（两直线平行，同旁内角互补）． 3.解：已知：n，n+1是两个连续的自然数.求证：n（n+1）是偶数.证明：当n是奇数时，n+1就是偶数，所以n（n+1）是偶数.当n是偶数时，n（n+1）是偶数.综上所述，n（n+1）是偶数.即两个连续自然数的积是偶数.4.证明：∵（2n+1）2-（2n-1）2=（2n+1+2n-1）（2n+1-2n+1）=8n，∵n为整数，∴8n是8的倍数.．

即（2n+1）2-（2n-1）2一定是8的倍数.5.解：（1）∵∠A=30°，∴∠ABC+∠ACB=150°.∵∠X=90°，∴∠XBC+∠XCB=90°.∴∠ABC+∠ACB=150°，∠XBC+∠XCB=90°．（2）不变化． ∵∠A=30°，∴∠ABC+∠ACB=150°.∵∠X=90°，∴∠XBC+∠XCB=90°.∴∠ABX+∠ACX=（∠ABC-∠XBC）+（∠ACB-∠XCB）=（∠ABC+∠ACB）-（∠XBC+∠XCB）=150°-90°=60°.7.解：（1）如图

（一），∵∠1是△BDF的外角，∴∠B+∠D=∠1.同理∠A+∠C=∠2.由三角形内角和定理可知∠1+∠2+∠E=180°，即∠B+∠D+∠A+∠C+∠E=180°；

（2）如图

（二）∵∠1是△ABD的外角，∴∠A+∠D=∠1.同理∠E+∠EBD=∠2.由三角形内角和定理可知∠1+∠2+∠E=180°，即∠EBD+∠D+∠A+∠C+∠E=180°；

（3）如图

（三），∵∠2是△ABN的外角，∴∠B+∠A=∠2.同理∠D+∠C=∠1.由三角形内角和定理可知∠1+∠2+∠E=180°，即∠B+∠D+∠A+∠C+∠E=180°.故结论都成立．

第二篇：证明二单元检测题(含答案)

2．如图，在△ABC中，AD＝DE，AB＝BE，∠A＝80°则∠DEC＝．25．如图，△ABC中，E是BC边上的中点，A

A

DC PAB

EC

（2题图）（4题图）4．如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC＝4，则PD＝．5．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为度．7．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿AD对折，点C落在C/的位置，如果BC=2，则BC′=． 9．等腰三角形的周长是2＋3，腰长为1，则其底边上的高为__________．

（7题图）（11题图）11．如图，在△ＡＢＣ，∠Ｃ＝90°，∠Ｂ＝15°，ＡＢ的中垂线ＤＥ交ＢＣ于Ｄ，Ｅ为垂足，若ＢＤ＝10ｃｍ，则ＡＣ等于（）

Ａ．10ｃｍＢ．8ｃｍＣ．5ｃｍＤ．2．5ｃｍ 19．已知等腰三角形的两边长分别为6㎝、3㎝，则该等腰三角形的周长是()A．9㎝ B．12㎝C．12㎝或者15㎝D．15㎝24．在△ABC中，AB＝AC，D是AB上一点，A

E是AC延长线上一点，且BD＝CE． 求证：DM＝EM．

D

BC E

DE⊥BC于E，交∠BAC的平分线AD于D，过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，试证明：BM＝CN．

M

E

B

C

NDA1． 在△ABC中，∠BAC=130°，若PM、QNN分别垂直平分AB和AC，那M

么∠PAQ=度．

BC

PQ

3．如图，一张直角三角形的纸片，象图中那样折叠，使A与B重合，∠B=30°，AC=3，则折痕DE等于

．

4．如图，△ ABC≌△ADE，BC的延长线交DE于F，∠B=∠D=25°，∠ACB=∠E=105°∠DAC=10°则∠DFB=．

B

D

F

E

E C

D

A B

C A(B)

A(3题图)(4题图)

10．如图，在△ABC中，AD是高，CE是中线，DC=BE，DG⊥CE于G．

E求证：①G是CE的中点． G

②∠B=2∠BCE．

B

CD

2．100°4．2；

5．60或120度； 7．2； 9．1 ；

2选择题

11．C； 19．D；

24．提示：过D点作AC的平行线（或者过E点作AB的平行线）利用三角形全等可证．

25．提示：连结BD、CD利用角平分线和中垂线的性质证△BDM≌CDN．

B卷

1．80； 3．1；4．60°；

2． 10．提示：连结DE，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半易证．

第三篇：第一章证明(二)单元测试题(含答案)

.cn

第一章证明

（二）单元测试题

一、选择题：（每小题3分，共21分）

1、一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，这个三角形一定是（）A．直角三角形

B．等腰三角形C．锐角三角形

D．钝角三角形 2．若等腰三角形中有一个角等于50，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）A．50

B．80

C．50或80

D．65或50

3．如图，已知△ABC为直角三角形，∠C =90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1＋∠2等于（）

A．315°B．270°C．180°D．135°

第3题

A

D

B

C

第4题

4．如图，在ΔABC中，AC=DC=DB，∠ACD=100°，则∠B等于（）A．50°B．20°C．25°D． 40°

5.用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则说明∠AOB∠AOB的依据是（）

Ａ．S．S．S． Ｂ．S．A．S．　Ｃ．A．S．A．Ｄ．A．A．S．

A

6.如图，在等边△ABC中，AC9，点O在上，且，点是上一动点，连结OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60得到线段OD．要使点D恰好落在BC上，则AP的长是（）A

．

4A

B．

5C．6D．8

P C

E D

P

第6题

B

第7题

7．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：

① AD=BE；② PQ∥AE；③ AP=BQ；④ DE=DP；⑤ ∠AOB=60°．恒成立的有（）A．①②③

B．①②③⑤

C．②③④⑤

D．①③④

二、填空题（每小题3分，共27分）

8.命题“如果三角形的一个内角是钝角，则其余两个内角一定是锐角”的逆命题是.9、图是用七巧板拼成的一艘帆船，其中全等的三角形共有

B

(第10题图)

D

C

第9题

10．如图，已知AE＝CF，∠A＝∠C，要使△ADF≌△CBE，还需添加一个条件______________________（只需写一个）．

11.11.如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC, ∠BAC=50°, ∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点 C沿EF折叠后与点O重合，则∠OEC的度数是.12.如图，在等边△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且ADCE，则

BCDCBE

B

第12题

A

B

C

D

a

第13题

第14题

13如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3cm，AC＝5cm，将△ABC折叠，使点C与A重合，得折痕DE，则△ABE的周长等于_________cm.14.如图，所有的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长是a，则图中四个小正方形A，B，C，D的面积之和是．

Rt△ABF中，AFB90，AF3，15、如图，由四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”．AB5．四边形EFGH的面积是

B

第15题

第16题

Ｃ

16.如图所示的圆柱体中底面圆的半径是，高为2，若一只小虫从A点出发沿着圆柱体的π

（结果保留根号）

侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路程是

三、解答题（共72分）

17.（8分））如图，在Rt△ABC中，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、EC．

试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．

18、（本题10分）文文和彬彬在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一命题时，画出图形，写出“已知”，“求证”（如图），她们对各自所作的辅助线描述如下： 文文：“过点A作BC的中垂线AD，垂足为D”； 彬彬：“作△ABC的角平分线AD”． 数学老师看了两位同学的辅助线作法后，说：“彬彬的作法是正确的，而文文的作法需要订正．”（1）请你简要说明文文的辅助线作法错在哪里．（2）根据彬彬的辅助线作法，完成证明过程．

（第18题图）已知：如图，在△ABC

中，BC． 求证：ABAC．

19.（本题10分）把两个含有45°角的直角三角板如图放置，点D在BC上，连结BE，AD，AD的延长线交BE于点F．

探索AF与BE的位置关系，并说明理由。

20、（本题10分）有一个角为30°且腰长为2的等腰三角形，你能求出腰上的高吗？

21.（本题10分）如图a，ABCD是一张正方形纸片，E，F分别为AB，CD的中点，沿过点D的折痕将A角翻折，使得点A落在EF上（如图b），折痕交AE于G．

E

C

19题

A

图a

G

图b

图c

（1）求∠ADG的度数。

（2）活动探究：你能利用图b折出一个等边三角形吗？你能证明你的结论吗？

22.（8分）如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边作等边△ABD，连接DC，以DC为边作等边△DCE，B、E在C、D的同侧，若

23.(12分)如图，点O是等边△ABC内一点，AOB110，BOC．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60得△ADC，连接OD．（1）判断△COD的形状，并证明你的结论。

（2）当150时，试判断△AOD的形状，并说明理由；

2，求BE的长.D

（3）探究：当为多少度时，△AOD是等腰三角形？22.C 并按要求进行证明．

24.已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且BAECDE．求证：ABCD.D

B E

分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰

三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此，要证ABCD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．

现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中一种，对原题进行证明．B

21．（2013山西，21，8分）（本题8分）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BA延长线上的一点，点E是AC的中点。

（1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）。

①作∠DAC的平分线AM。②连接BE并延长交AM于点F。

D

D E F

（1）

C

B CF∥AB

F（2）

F

E

E

EF=DE（3）

D

（2）猜想与证明：试猜想AF与BC有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由。

第四篇：4.3 反例与证明(含答案)

4.3反例与证明

【要点预习】

1.反例的含义与作用：

命题的反例是具备命题的但不具备命题的的实例.可以用来证明命题的错误性.【课前热身】

1.以下可以用来证明命题“任何偶数都是4的倍数”为假命题的反例是„„„„„„„（）

A．3B．4C．5D．6

答案：D

2.要证明一个命题假命题，通常使用的方法是„„„„„„„„„„„„„„„„„（）

A.用学过的定义、定理B.用真命题来判断

C.举反例来说明命题不成立D.没有办法

答案：C

3.命题“素数是奇数”是.(填“真”或“假”)

答案：假

4.证明命题“若ab,则a2b2”是假命题的反例是________．

答案：如a=1，b=-2，a>b，但a2

【例1】举反例说明下列命题是假命题：

(1)已知x与y是实数，则有│x+y│=│x│+│y│．

(2)等腰三角形边上的中线、高线、角的平分线互相重合．

解：(1)取实数x=-1，y=2，但|x+y|=1≠|x|+|y|=3.(2)如作等腰三角形一腰上的中线，另一腰上的高线，顶角的角平分线，则显然这三条线都不重合.【绿色通道】用举反例来证明命题时，如果要否定的命题为A→B，那么反例为“有A，而非B”的具体例子，也就是具备命题的条件，而不具备命题的结论.【变式训练】

1.举反例说明下列命题是假命题：

(1)正比例函数的函数值随着自变量的增大而增大．

(2)有一个角是60°的三角形是等边三角形

解：(1)如y=-x是反比例函数，但函数值随着自变量的增大而减小.(2)如一个三角形的三个角分别为30°，60°和90°，但这个三角形不是直角三角形.【例2】判断命题“两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等．”的真假，并给出证明.假命题.证明：作等腰△ABC，使AB=AC，在BC边上任取一点E(E不是中点)，则在△ABE和△ACE中，AB=AC，AE=AE，∠B=∠C，但它们显然不全等.【黑色陷阱】反例的作用只能是证明一个命题为假，但不能由此得出一个相反的命题.例如本例的反例是“边边角”，从而否定本例，但不能得出“两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形一定不全等”的结论（事实上直角三角形时以上结论显然成立）.【变式训练】

2.当n＝0，1，2，3，4，5时，代数式n2-n+11的值是质数吗?你能否得到结论，对于所有自然数n，代数式n2-n+11的值都是质数.解：当n＝0，1，2，3，4，5时，代数式n2-n+11的值分别是11，11，13，17，23，31，虽然都为质数，但并不是对于所有自然数n，代数式n-n+11的值都是质数，如n=11时，n2-n+11=121不为质数.2

【同步测控】

基础自测

1.能说明命题“如果两个角互补，那么这两个角一定是锐角，另一个是钝角”为假命题的两个角是„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（）

A．120°，60°B．95.1°，104.9°C．40°，140°D．90°，90°

答案：D

2.以下图形变换所得到的图形与原图形不一定是全等变形的是„„„„„„„„„（）

A．轴对称变换B．平移变换C．旋转变换D．相似变换

答案：D

3.下列命题中，是真命题的为„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（）

A.一个钝角与一个锐角之差一定是锐角B．一个钝角与一个锐角之和一定是钝角

C．一个锐角的补角大于它的余角D．一个锐角大于它的余角

答案：C

4.举反例说明“一个角的余角大于这个角”是假命题时，下列反例中不正确的是„„„（）

A.设这个角是45°，它的余角是45°，但45°=45°

B.设这个角是30°，它的余角是60°，但30°＜60°

C.设这个角是60°，它的余角是30°，但30°＜60°

D.设这个角是50°，它的余角是40°，但40°＜50°

答案：C

5.(2007钦州中考)请给假命题“两个锐角的和是锐角”举出一个反例：

答案：例如直角三角形的两个锐角的和是直角.6.可以用来证明命题“两个无理数的和仍是无理数”为假命题的反例是_______．

.7.举反例说明下列命题是假命题：

(1)一个角的补角大于这个角．

(2)相等的角是对顶角．

(3)如果n是整数，那么n2+3n+2一定是3的倍数.解：(1)如这个角为120°，则它的补角为60°，显然小于这个角.(2)如等腰三角形的两个底角相等，但它们不是对顶角.(3)如n=3时，n2+3n+2=20不是3的倍数.8.•判断命题“若∠1=∠2是同位角，∠2与∠3也是同位角，那么∠1

与∠3•是同位角”的真假，画出图形，并给出证明．

假命题.证明：

如图，∠1=∠2是同位角，∠2与∠3也是同位角，但∠1与∠3•不

是同位角.能力提升

9.有下列命题：①不论p为何值，一元二次方程x+px-1=0必定有两个不相等的实数根；

第五篇：全等三角形证明经典50题(含答案)

全等三角形证明经典50题（含答案）

1.已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD

B

D

22.已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证：CD

AB

3.已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2